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《關鍵少數》中的關鍵:那些電影裡沒告訴你的凱薩琳.強森

張瑞棋_96
・2017/01/13 ・2798字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 555 ・八年級

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編按:2017年1月上映的電影《關鍵少數》(Hidden Figures)描述三位非裔女性數學家:凱薩琳強森(Katherine G. Johnson)、桃樂絲范恩(Dorothy Vaughan)、瑪麗傑克森(Mary Jackson),克服了性別、種族與專業上的種種考驗,於1960年代太空競賽時期在美國太空總署(NASA)貢獻一己之力的故事;而本篇文章著眼於《關鍵少數》的主角凱薩琳.強森。

1962 年二月,美國「國家航空暨太空總署」(簡稱 NASA)的水星計畫終於要進行極為關鍵的發射任務——首度將美國太空人送上地球軌道。這項任務的成功與否,不僅意謂著美國能否在太空競賽中趕上蘇聯,也關係著甘迺迪總統提出的登月計畫能否如期實現。

自從 1957 年蘇聯成功發射第一顆人造衛星以來,雖然美國大為震驚而急起直追,隔年即整合相關單位,成立專責機構 NASA 發展太空計畫,但在這場太空競賽中,卻一直落後給蘇聯,眼睜睜看著蘇聯率先達成許多重要的里程碑。當 1961 年 4 月,蘇聯太空人加加林(Yuri Gagarin)在三百公里處的地球軌道環繞地球一圈,成為第一位進入太空的人類後,甘迺迪決意要在進入 70 年代之前將太空人送上月球並安全歸來,以期一舉超越蘇聯。因此這次 NASA 是否也能讓太空人成功繞行地球、平安往返地球軌道,至關重要!

Astronaut John H. Glenn Jr. source:NASA
太空人葛倫上校(John H. Glenn) source:NASA

擔任這次飛行任務的太空人是葛倫上校(John H. Glenn),他不但是二次大戰的的空戰英雄,也是第一位駕駛超音速飛機橫越美洲大陸的人,備受敬重。NASA 還特別採用 IBM 新一代的電腦——內部的真空管改用電晶體取代,可以更迅速準確的算出太空船的返航軌道。不料,葛倫竟堅持指名一定要凱薩琳.強森(Katherine Johnson)親自計算軌道,確認電腦算出的結果無誤後,他才願意出任務!

這位女士究竟是誰?竟得到資深的葛倫上校如此信任!莫說當時女性在科學界與工程界中已屬少數,強森女士還是位黑人女性,更是異數!

凱薩琳.強森(Katherine Johnson)source:NASA
凱薩琳.強森(Katherine Johnson)source:NASA

凱薩琳.強森原姓柯爾曼(Coleman),1918 年出生於西維吉尼亞州。在她的家鄉,黑人只能讀到八年級,因此她的父親特地把妻女送到二百公里外的城鎮,讓小孩可以在那裏唸完高中,上大學。但父親自己卻因為工作的關係,只能留在家鄉,與家人分隔兩地。

凱薩琳自幼即展現數學的天份,因此即使當時社會仍瀰漫種族歧視的氛圍,她在求學過程中仍能得到許多教授的特別照顧與指點,十四歲就跳級念完高中,十八歲大學畢業。

熱愛數學的凱薩琳一心想以研究數學為一生志業,但西維吉尼亞州雖然沒南方那麼保守,也仍未開放黑人攻讀研究所,因此她大學畢業後只能到中小學教書。三年後,得助於美國最高法院的判決,凱薩琳才受母校之邀,重返校園,攻讀數學研究所。無奈沒多久,她的先生就罹患癌症,凱薩琳不得不中止學業,重拾教職,以負擔家中生計。

蘭利研究中心(Langley Research Center)
蘭利研究中心(Langley Research Center)source:wikimedia

1952 年,凱薩琳從妹夫處得知「國家航空諮詢委員會」(NASA 前身)的蘭利研究中心(Langley Research Center)正在招募女性數學計算員,不限膚色。這應該是她所能得到的,最接近夢想的工作了!於是凱薩琳毅然辭去教職,隔年如願進入蘭利研究中心。

起初凱薩琳只是女性計算員中的一員,她們的主要工作是把飛機的黑盒子所記錄的資料拿來計算分析;她笑稱她們宛如「穿裙子的計算機」。但有一天,她被暫派到一個都是男性的研究小組幫忙計算,結果她在解析幾何方面的能力令同事與主管都刮目相看,甚至解出許多男性同事解不開的問題,於是她就被留了下來,沒再回去當「穿裙子的計算機」。

1958 年 NASA 成立後,凱薩琳繼續與其他科學家共事,負責計算火箭升空與太空船返回地球的軌道。1961 年,美國第一位太空人薛帕德(Alan Shepard)駕駛的太空船,完全依照凱薩琳的計算結果,從次軌道安全降落海面,更是讓她贏得大家的信賴,也難怪這次葛倫上校只願意將自己的生命安危交給凱薩琳!之後葛倫果然成功繞行地球三圈,平安返抵地面,達成美國在太空競賽中一個重要的里程碑。

《關鍵少數》電影片段。source:福斯
《關鍵少數》劇照。source:福斯

在之後越來越困難複雜的太空任務中,凱薩琳也開始使用電腦做為輔助計算的工具。1969 年,阿姆斯壯(Neil Armstrong)成為第一位踏上月球表面的人,成功完成甘迺迪的大膽願景;凱薩琳獲贈一面隨行往返的小旗子,以感謝她的貢獻。而隔年阿波羅 13 號在途中向休士頓控制中心回報出了問題後,凱薩琳也隨即幫忙算出返航的路線,讓三位太空人得以安全回到地球。凱薩琳繼續參與了後續的太空梭、火星探測等太空任務,她在 NASA 服務前後長達三十三年,直到 1986 年,才以 68 歲的高齡光榮退休。

身為黑人,凱薩琳自小就得面對不公平的環境與不友善的對待,即使進了蘭利研究中心,頭幾年也因為隔離政策,限用黑人專用的餐廳與廁所,但她始終以不卑不亢的態度淡然處之。而且在太空中心內部有形無形的男性威權主義下,女性處處受限,但凱薩琳憑其卓越的專業能力,據理力爭,成功打破性別藩籬,贏得全體同仁的敬重。

凱薩琳在 NASA 內部獲獎無數,還與別人共同發表了26篇論文。退休後陸續獲頒名譽博士,多少彌補了她當年無法完成學業的缺憾。2015 年,她從美國第一位黑人總統歐巴馬手中接過美國平民的最高榮譽——「總統自由勳章」,可說別具意義。2016 年 5 月,美國第一位太空人薛帕德安全返航的 55 週年紀念日,NASA 新落成的計算研究中心冠以凱薩琳的姓名,以表彰她的貢獻與背後的時代意義。

2015/11/24 凱薩琳獲頒總統自由勳章。Photo Credit: NASA/Bill Ingalls
2015/11/24 凱薩琳獲頒總統自由勳章。Photo Credit: NASA/Bill Ingalls

儘管她被視為掙脫膚色與性別歧視的典範,凱瑟琳對此卻謙沖以對。她多次表示從來不覺得自己低人一等,因為她自小深信父親對她的剴切教誨:「妳絕不比鎮上任何一個人差,但是,你也沒高人一等。」凱瑟琳自認平凡,多年來甘於當個幕後英雄,世人也多不知曉。然而,對許多人而言,凱瑟琳絕對是個值得頌揚的楷模;你瞧,她的生日還恰好與美國的「女性平權日」——為了紀念 1920 年 8 月 26 日美國女性正式獲得投票權——同一天,多美妙的巧合啊!

《關鍵少數》電影片段。source:福斯
《關鍵少數》電影片段。source:福斯

參考資料:





文章難易度
張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 628 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
110 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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