【Gene思書齋】機率陷阱的風險

本文由 紐崔萊 委託，泛科學企劃執行。 

營養品的吸收率如何？

藥物和營養補充品，似乎每天都在我們的生活中扮演著越來越重要的角色。但你有沒有想過，這些關鍵分子，可能無法全部被人體吸收？那該怎麼辦呢？答案或許就在於吸收率！讓我們一起來揭開這個謎團吧！

當我們吞下一顆膠囊時，這個小小的丸子就開始了一場奇妙的旅程。從口進入消化道，與胃液混合，然後被推送到小腸，最後透過腸道被吸收進入血液。這個過程看似簡單，但其實充滿了挑戰。

首先，我們要面對的挑戰是藥物的溶解度。有些成分很難在水中溶解，這意味著它們在進入人體後可能無法被有效吸收。特別是對於脂溶性成分，它們需要透過油脂的介入才能被吸收，而這個過程相對複雜，吸收率也較低。

你有聽過「藥物遞送系統」嗎？

為了解決這個問題，科學家們開發了許多藥物遞送系統，其中最引人注目的就是自乳化藥物遞送系統（Self-Emulsifying Drug Delivery Systems，簡稱 SEDDS），也被稱作吸收提升科技。這項科技的核心概念是利用遞送系統中的油脂、界面活性劑和輔助界面活性劑，讓藥物與營養補充品一進到腸道，就形成微細的乳糜微粒，從而提高藥物的吸收率。

還有一點，這些經過 SEDDS 科技處理過的脂溶性藥物，在腸道中形成乳糜微粒之後，會經由腸道的淋巴系統吸收，因此可以繞過肝臟的首渡效應，減少損耗，同時保留了更多的藥物活性。這使得原本難以吸收的藥物，如用於愛滋病或新冠病毒療程的抗反轉錄病毒藥利托那韋（Ritonavir），以及緩解心絞痛的硝苯地平（Nifedipine），能夠更有效地發揮作用。

除了在藥物治療中的應用，SEDDS 科技還廣泛運用於營養補充品領域。許多脂溶性營養素，如維生素 A、D、E、K 和魚油中的 EPA、DHA，都可以通過 SEDDS 科技提高其吸收效率，從而更好地滿足人體的營養需求。

隨著科技的進步，藥品能打破過往的限制，發揮更大的療效，也就相當於有更高的 CP 值。SEDDS 科技的出現，便是增加藥物和營養補充品吸收率的解決方案之一。未來，隨著科學科技的不斷進步，相信會有更多藥物遞送系統 DDS（Drug Delivery System）問世，為人類健康帶來更多的好處。

理解期望值，有助於分析賭場裡的大部分賭局，以及美國中西部和英國的嘉年華會中，常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法：骰子擲好運（chuck-a-luck）。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力：你從 1 到 6 挑一個號碼，莊家一次擲三顆骰子，如果三個骰子都擲出你挑的號碼，莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼，莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼，莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現，那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子，你有三次機會贏，而且，有時候你還不只贏 1 美元，最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安．李維絲（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：「我們能聊一聊嗎？」），問一句：「我們能算一算嗎？」（如果你寧願不算，可以跳過這一節。）不管你選哪個號碼，贏的機率顯然都一樣。不過，為了讓計算更明確易懂，假設你永遠都選 4。骰子是獨立的，三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6＝1/216，你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

僅有兩個骰子出現 4 點的機率，會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布，我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4，有三種彼此互斥的情況：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6＝5/216，第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加，可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216，你有這樣的機率會贏得 2 美元。

同樣的，要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率，也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6＝25/216，得到 X4X 和 XX4 的機率亦同，三者相加，得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率，因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率，我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1（或是100％）減去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子擲好運，就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來，就可以算出你贏的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）＝$（–17/216）＝–$0.08。平均來說，你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局，大概就要輸掉 8 美分。

尋找愛情，有公式？

面對愛情，有人從感性出發，有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好，但加起來⋯⋯也不是很妙。不過，如果善用兩者，成功的機率可能還是大一些。回想舊愛，憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣，並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人，很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中，假設女主角——就叫她香桃吧（按：在希臘神話中，香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象徵愛與美）有理由相信，在她的「約會生涯」中，會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說，N 可能等於 2；對另一些人來說，N 也許是 200。香桃思考的問題是：到了什麼時候我就應該接受X先生，不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」？我們也假設她是一次遇見一個人，有能力判斷她遇到的人是否適合她，以及，一旦她拒絕了某個人之後，此人就永遠出局。

為了便於說明，假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士，她對這些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。這是指，在她約過會的這 6 人中，她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名，對第二人的喜歡程度排第 5 名，最喜歡第三個人，以此類推。如果她見了第七個人，她對此人的喜歡程度超過其他人，但第三人仍穩居寶座，那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人，她就更新追求者的相對排序。她在想，到底要用什麼樣的規則擇偶，才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中，選出最好的。

要得出最好的策略，要善用條件機率（我們會在下一章介紹條件機率）和一點微積分，但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好，且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面，她大概需要拒絕前面的 37％，之後真命天子出現時（如果有的話），就接受。

舉例來說，假設香桃不是太有魅力，她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設，這 4 個人與她相見的順序，是 24 種可能性中的任何一種（24＝4×3×2×1）。

由於 N＝4，37％ 策略在這個例子中不夠清楚（無法對應到整數），而 37％ 介於 25％ 與 50％ 之間，因此有兩套對應的最佳策略如下：

（A）拒絕第一個對象（4×25％＝1），接受後來最佳的對象。

（B）拒絕前兩名追求者（4×50％＝2），接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略，香桃會在 24 種可能性中的 11 種，選到最好的追求者。採取 B 策略的話，會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳選擇，以此類推。因此，3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇，再來遇見第二選擇，第三次遇到最佳選擇，最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B，代表在這些情況下，採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

1234；1243；1324；1342；1423；1432；2134（A）；2143（A）；2314（A, B）；2341（A, B）；2413（A, B）；2431（A, B）；3124（A）；3142（A）；3214（B）；3241（B）；3412（A, B）；3421；4123（A）；4132（A）；4213（B）；4231（B）；4312（B）；4321

如果香桃很有魅力，預期可以遇見 25 位追求者，那她的策略是要拒絕前 9 位追求者（25 的 37％ 約為 9），接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證，但是這個表會變得很龐雜，因此，最好的策略就是接受通用證明。（不用多說，如果要找伴的人是男士而非女士，同樣的分析也成立。）如果 N 的數值很大，那麼，香桃遵循這套 37％ 法則擇偶的成功率也約略是 37％。接下來的部分就比較難了：要如何和真命天子相伴相守。話說回來，這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本，其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

連日本人都管不好核電廠，台灣的核四不會爆炸嗎？基改作物是違反大自然的怪物，會禍害人間嗎？吃了美國牛肉，就會狂牛症發作嗎？加入亞投行，錢都會被中國騙走嗎？

我們生活中，無處不是風險，連本期頭獎上看二十五億的威力彩也是不小的風險，如果不小心中了，該如何是好啊？姑且不論這些機車的風險，如果說今天的降雨機率為 50%，那到底雨是要下還是不要下啊？

蘇俄獨夫史達林（Joseph Stalin，1878-1953）曾說過 :「死一個人是悲劇，死一百萬人卻是個統計數字。」可是我們從小學到大學甚至碩博士，有多少學校和科系提供了機會讓我們好好認識統計數字呢？

我們在非洲乾旱的草原演化出的大腦，對不確定的事物感到莫名恐懼，於是自以為是地製造確定性的假象。其實，我們對比較不熟知的事物的不理性恐懼，讓我們誤估了不少風險，例如 911 恐怖攻擊後，許多老美不敢搭飛機，所以改為長途開車，於是更多人喪命而成了輪下冤魂。

我們的生活鐵定無時無刻都會一而再、再而三地面對愈來愈多的風險數字，從天氣預報到買基金股票，還有健康檢查以及企業領導都是。如果一般民眾，甚至是許多專家，對風險都只有模模糊糊的概念，我們如何做出對自己最有利的決定呢？

專家比你想像得更容易誤解統計數字

德國心理學家捷爾德‧蓋格瑞澤（Gerd Gigerenzer）的《機率陷阱：從購物、保險到用藥，如何做出最萬無一失的選擇？》（Risk Savvy: How to Make Good Decisions）就是要告訴我們，是的，不要懷疑，許多專家，包括醫生、律師、財務顧問與政府官員，常常比我們想像中更容易誤解統計數字，而且無法清楚傳遞許多機率的定義，讓我們被錯誤的資訊與無畏的恐懼所誤導。

這些醫生、律師、財務顧問與政府官員並不是僵化的台灣教育體制下的受害都哦！因為蓋格瑞澤現在是德國教授（他過去曾擔任芝加哥大學心理學教授），他長期接觸的是德國、奧地利、瑞士和美國的專家！書中的例子也幾乎全都來自這些歐美先進國家。

就因為對風險機率的認識不夠，常常會作出不是對公共利益最佳的政策。蓋格瑞澤列舉了金融危機、體育賽事、疾病篩檢到點菜購物等精彩實例，教我們識別各種風險情境，並找到因應該情境的決斷策略。他認為徹底解決問題的方法是教育，就是在中小學教育就加入統計相關課程。

「自然頻率」讓你遠離陷阱

《機率陷阱》最獨到之處，是讓我們學會「自然頻率」，雖然這個所謂的「自然頻率」在數學上就是統計學上赫赫有名的貝氏定理（Bayes’ theorem），跟隨機變量的條件機率以及邊緣機率分布有關。可是對數學頭腦不靈光的人來說，貝氏定理並不直覺。「自然頻率」的方法，得出的結果和使用貝氏定理是一模一樣，卻直覺多了。根據蓋格瑞澤的研究，連小學生都能算得出來。更重要的是，利用自然頻率會是一種更有效的溝通方式，化解專家和民眾之間的鴻溝。

最近網路上有個全球瘋傳考倒眾多網友的新加坡小學數學題。猜出來了沒？如果你覺得自己已經想出答案，或者你感覺無從下手，都可以在這裡參看答案和解釋。

Albert 和 Bernard 與 Cheryl 成為朋友，他們兩個很想知道 Cheryl 的生日。Cheryl 給了他們 10 個可能的日期。

5 月 15 日，5 月 16 日，5 月 19 日

6 月 17 日，6 月 18 日

7 月 14 日，7 月 16 日

8 月 14 日，8 月 15 日，8 月 17 日

然後 Cheryl 分別告訴 Albert 和 Bernard 生日的月和日。

Albert：「我不知道 Cheryl 的生日，但我確定 Bernard 也不知道。」

Bernard：「剛開始我也不知道是哪一天，現在我知道了。」

Albert：「那我現在也知道了。」

請問，Cheryl 的生日倒底是哪天？

我沒猜出來，我有些理工科教授朋友以為這是小學生平日的數學題差點吞糞自殺，還好後來得知這是數學奧林匹克競賽的測試題目才倖存。如果你沒猜出來，那麼就不要期望自己對風險了如指掌，搞不好你能做的是刪除謝麗爾（Cheryl）的交友要求，然後封鎖阿爾伯特（Albert）和伯納德（Bernard）XD 或者還是好好來讀讀蓋格瑞澤的《機率陷阱》吧！

除了大力提倡使用自然頻率來認識機率，蓋格瑞澤在《機率陷阱》給眾網友一些中肯的忠告，例如要問絕對風險是多少？例如 0.00000001 的發生機率，即使風險增加百倍，也只是 0.000001 而已。千萬別讓相對風險嚇著了。

還有，千萬不要買自己搞不懂的金融商品。許多所謂的「避險」只是偷偷地增加你的風險，因為設計許多衍生性金融商品的人以為他們懂得風險，實際上卻一無所知。他還指出最簡單的「1/N 資產配置法則」，平均績效還比贏得過經濟學諾貝爾獎的「平均數─變異數投資組合模型」（mean-variance portfolio）還優。搞笑的是，我主修金融學的妹妹，只聽過後者，不知道 1/N 資產配置法則是三小朋友。

另外，當詢問專家時，如醫師或侍者，不要問他們什麼是最好的方案或菜色，問他們如果是他們自己，或父母兄弟姐妹伴侶遇到同樣的狀況，他們會真心推薦什麼。蓋格瑞澤指出，因為陽性篩檢結果的誤導，許多「病」人不僅活在恐懼之中，還進行了無益的醫療，浪費了資源還影響生活品質。事實上，陽性篩檢結果有不少比例是為陽性，仍需進一步檢查確認。

蓋格瑞澤在《機率陷阱》也繼續探討他在《半秒直覺：不多想的力量 少想一點，可能知道更多》（Gut Feelings: the Intelligence of the Unconscious）中的主題，他指出許多企業領導人的決策多數憑的是直覺，一堆調查報告只是為了確認而白花的錢。直覺有多重要呢？他舉例德國足球守門員靠著剝奪對手的直覺，淘汰了阿根廷等等。如果你有朋友的直覺一向頗準，請好好對待他們，多聽他們的意見，可能比所謂的專家意見更受用！

本文原刊登於閱讀‧最前線【GENE思書軒】，並同步刊登於The Sky of Gene。