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牛頓的非主流學術研究:左手是聖經、右手是煉金術,那科學呢?--《科學大歷史》

PanSci_96
・2017/08/04 ・6140字 ・閱讀時間約 12 分鐘 ・SR值 545 ・八年級

  • 【科科愛讀書】人類花了數百萬年學習和思考,才從那個連「科學」怎麼寫都還沒一撇的古早時代,到今天能夠運用科技超越肉身的限制,探索小粒子的無窮和大宇宙的廣袤。但是人類的璀璨成就絕非是一蹴可幾,而是建立在無數先人的跌跌撞撞之上,這過程其中也不乏許多學校沒教、卻相當有趣的故事。就讓《科學大歷史》帶你坐上時光機重回科學史萌芽的年代,來一趟精彩的發現之旅吧!
煉金術師的實驗室。圖/Lau Svensson@Flickr

一六七O年代中期,牛頓對數學感到厭煩,也因為光學研究遭到批評而憤怒不已。這時才三十出頭的牛頓開始冒出白髮,而且經常蓬頭亂髮,他幾乎已經完全抽離了科學圈,接下來十年也一樣。

不過,厭惡衝突不是導致他幾乎完全陷入孤立的唯一原因。在之前的那幾年間,即使他在研究數學和光學,他也開始把每週上百小時的研究時數轉移到兩個新的興趣上。他不急著跟任何人討論那兩項興趣,那是他後來經常遭到批評的「瘋狂」研究專案。事實上,那兩項興趣顯然是在主流學術之外:對聖經進行數學和文本分析,以及煉金術

牛頓。圖/wikimedia commons

用數學和虔誠的心來探究聖經

對後代的學者來說,牛頓決定潛心研究神學和煉金術往往令他們費解,那種行徑就好像他決定不再投稿《自然》,開始為山達基教撰寫文宣一樣。不過,那樣評斷牛頓,就忽略了科學主體的真正範疇,因為牛頓之所以辛勤地投入物理學、神學和煉金術的研究,其實可以用一個共同的目標一言以蔽之:為了探究世界的真相。

稍微思考一下牛頓的辛勤探索其實很有趣--不是因為那些探索證明是對的,也不是因為那些探索證明牛頓有時候很瘋狂,而是因為它們突顯出科學探索最後究竟是成果豐碩、還是徒勞無功,往往只是一線之隔。

牛頓實驗室著火圖。圖/wikimedia commons

聖經承諾上天會對虔誠的人揭示真相,雖然單純閱讀文本時,某些元素不是那麼顯而易見,不過牛頓依然相信聖經的承諾。他也相信,以前的虔誠信徒,包括瑞士醫生帕拉賽瑟斯(Paracelsus)之類的卓越煉金術士,已經推測出重要的見解,並以暗碼的形式把那些見解寫在他們的作品中,以避免不虔誠的人知道。牛頓推演出萬有引力定律以後,他甚至開始相信摩西、畢達哥拉斯、柏拉圖都比他早知道那個定律。

由於牛頓天賦過人,他想以數學來分析聖經其實是可以理解的。他的研究促使他算出創世、諾亞方舟,以及其他聖經事件的確切日期。此外,他也根據聖經預測了世界末日,並持續修正他的算法。最後幾次預測中,他有一次預測世界末日是介於 2060 年到 2344 年之間。(不知道那會不會證實是真的,但怪的是,那確實和全球氣候變遷的一些情境非常吻合。)

牛頓預測世界末日是介於2060年到2344年之間。圖/wikipedia

此外,牛頓也開始懷疑一些聖經段落的真實性,並深信有一樁龐大的騙局為了支持耶穌是上帝的概念,而破壞了早期教會的傳承,他覺得那個概念是一種偶像崇拜。總之,他不相信三位一體,這實在有點諷刺,畢竟他是三一學院的教授。他抱持這樣的觀念也很危險,因為萬一有心人士得知他的觀點,他肯定會因此失去教職,或許還會失去更多的東西。不過,儘管牛頓投入很多心血去重新詮釋基督教,他對於公開自己的研究極其小心謹慎。(但牛頓認為,他最重要的研究其實是宗教研究,而不是科學方面的革新。)

金星綠獅與巴比倫的龍:牛頓的煉金術研究

那幾年,牛頓的另一項興趣是煉金術。煉金術也占用了他很多的時間和精力,而且他持續研究了三十年,遠比他投入物理學的時間還多。研究煉金術也很花錢,因為他還為此設立了煉金術實驗室和圖書館。如果我們直接把牛頓對煉金術的投入視為不科學,那也是誤會大了。因為他探索煉金術時,就像探索其他的學術一樣,非常仔細小心,而且非常理性。不過,由於他的推理是以我們完全不熟悉的脈絡為基礎,我們很難瞭解他得出來的煉金術結論。

現在我們對煉金術士的刻板印象是:穿著長袍、留著鬍子、唸著咒語,試圖把肉荳蔻煉成黃金。事實上,目前已知最早的煉金術士是一個埃及人,名叫曼底斯的波洛斯(Bolos of Mendes),活在公元前兩百年左右。每次做完「實驗」時,他都會唸以下的咒語:「一物配一物,一物剋一物,一物治一物。 」聽起來好像在講兩人結婚後可能發生的多種不同狀況。但是波洛斯所說的物質是化學物質,他確實對化學反應有一些瞭解。牛頓認為:在古代,波洛斯之類的學者已經發現了深奧的真相,只是後來失傳了,但是分析希臘神話可以重新發掘真相,他深信希臘神話是以暗碼形式撰寫的煉金祕訣。

畫中為不知名之煉金術師,牛頓用利用此畫來寫他的書。圖/ David Lees/Corbis@NOVA

牛頓在探索煉金術時,也是採用一絲不茍的科學研究方法,做了無數細膩的實驗,寫下大量的筆記。所以這位後來寫出《原理》的作者(《原理》常被譽為科學史上最偉大作品),也花了好幾年在筆記中寫下許多類似下面的實驗觀察:

「在金星的中央鹽裡溶解揮發性的綠獅, 加以蒸餾提煉。提煉出來的靈氣是金星綠獅的血。綠獅亦即巴比倫的龍,它可以用其毒素毒死一切,但是被女神戴安娜的鴿子(亦即水星環)所祭出的安撫降服了。」

(譯註:綠獅是煉金術的術語,代表硫酸。金、銀、水銀、銅、鐵、錫、鉛分別對應太陽、月亮、水星、金星、火星、木星、土星。)

牛頓煉金手稿。圖/ R. D. Flavin @Neatorama

牛頓心底的秘密

我剛踏入科學這一行時,崇拜每一位備受大眾肯定的大師,例如牛頓和愛因斯坦之類的先哲,以及費曼之類的當代天才。對年輕的科學家來說,踏入這種大師輩出的領域可能是壓力很大的事。我剛獲得加州理工學院的教職時,也感受到那樣的壓力,感覺就像升中學的前一晚,我擔心上體育課,尤其是必須跟其他的男學生一起洗澡,和大家裸裎相見 。因為在理論物理學界,你也是在袒露自己,只不過不是裸身,而是坦露智識,而且其他人不只會旁觀,還會下評斷。

很少人談過那種不安感,或分享自己的感受,但這種現象其實很常見。每位物理學家都必須找到自己的方式去因應那種壓力。不過,想要成功因應壓力的話,就要盡可能避免擔心自己是錯的。據傳,愛迪生常提出一項建議:「想要獲得絕佳的點子,要先想出許多點子。」確實,創新者走過的死胡同比康莊大道還多,所以你老是擔心轉錯彎的話,就永遠到不了有趣的地方。因此,我真心希望當初入行時就知道牛頓想過的所有錯誤點子,以及他徒勞無功的那段歲月。

對我這種人來說,知道那些極其出色的人偶爾也會搞錯,總是讓我放心不少。知道連牛頓那種天才都可能錯得離譜,就令人格外安心。他也許想出「熱是微小粒子移動的結果」,也認為所有物質都是由微小粒子組成的,但是他覺得自己感染肺結核時,還是喝了松節油、玫瑰水、蜜蠟、橄欖油調配的偏方。(據傳那個偏方也可以治胸痛和瘋狗咬傷。)沒錯,他發明了微積分,但他也覺得耶路撒冷所羅門神殿的平面圖裡,蘊藏著世界末日的數學線索。

為什麼牛頓會偏離本行那麼遠呢?仔細探究當時的情況,會看到一個原因最顯而易見:與世隔絕。就像知識隔離導致壞科學在中世紀的阿拉伯世界裡大幅擴散一樣,同樣的情況似乎也導致牛頓逐漸走偏。不過,與世隔絕是他自願的,因為他始終沒讓任何人知道他在研究宗教和煉金術。他不想冒著遭到取笑的風險,或甚至因為開放學術討論而遭到抨擊。牛津大學的哲學家 W.H.紐頓 – 史密斯(W. H. Newton-Smith)寫道,沒有所謂的「好牛頓」和「壞牛頓」,理性和非理性的牛頓;牛頓之所以走偏了,是因為他沒把概念提出來,讓大家公開討論與質疑。「公開論壇」是「科學體系中最重要的常態之一」。

牛頓煉金手稿。圖/SRI BHAGAWAN MAHAVEER JAIN COLLEGE

牛頓不僅厭惡批評,在瘟疫肆虐期間,也不願分享他在運動物理學方面的革新研究。他擔任盧卡斯教授十五年後,那些概念依然是尚未發表的未成品。所以,一六八四年,牛頓四十一歲時,這個極其認真的前神童只留下一堆有關煉金術和宗教的混亂筆記和論文、多篇未完成的數學論文,以及依舊令人困惑不解、也不完整的運動理論。牛頓在好幾個領域裡都做了詳盡的探究,留下一些數學和物理學的概念,但那些概念就像過飽和食鹽水:濃度極高,但沒有結晶。

牛頓當時的職涯狀態就是如此,史學家韋斯福(Westfall)指出:「牛頓要是在一六八四年過世,並留下那些論文,我們會從那些論文知道這世上曾出現一個天才。不過,我們不會把他尊稱為開創現代智慧的先哲,頂多只會以簡短的段落提到他,並感嘆他無法完成未竟之志。 」

牛頓的命運沒有落入那樣的下場,並不是因為他決心完成研究內容並加以公開,而是因為一六八四年一個近乎偶然的事件改變了科學史的發展,牛頓和一位同僚的互動提供了他所需的概念和刺激。要不是因為那次偶然,科學史--乃至全世界--都將會截然不同,而且不是變得更好。

一個賭注,促成牛頓最偉大的科學論文

那一顆促成史上最大科學躍進的種子,是在牛頓遇到一位同僚之後萌芽的。那位同事在當年的夏末碰巧經過劍橋。

那年一月,天文學家愛德蒙.哈雷(Edmond Halley)參加了倫敦的英國皇家學會所舉行的會議,並在會中和兩位同仁討論了當時的熱門議題。英國皇家學會是致力於科學的學術團體,有很大的影響力。

數十年前,克卜勒引用丹麥貴族第谷.布拉赫(Tycho Brahe, 一五四六~一六O一年)所收集、準確性前所未見的行星資料,發現有三個定律似乎可用來描述行星的軌道。他宣稱,行星的軌道是橢圓形的,太陽是其中的一個中心點。他也找出那些軌道依循的某些規則,例如,行星繞軌道一圈的時間平方,和它距離太陽平均距離的三次方成比例。就某方面來說,他提出來的定律很簡潔優美,精簡地描述了行星在太空中的運轉。但另一方面,那只是空泛的看法,特定的說詞,並未說明為什麼軌道會依循那種定律。

愛德蒙.哈雷(Edmond Halley)。圖/wikimedia commons

哈雷和兩位同僚臆測,克卜勒的定律反映了某些更深層的意涵。尤其,他們推測,假設太陽對每顆行星的拉力大小,跟著行星和太陽的距離平方成反比(亦即所謂的「反平方定律」),克卜勒的定律依然成立。

遠端物體(例如太陽)對四面八方的施力大小跟距離平方成反比,這個道理其實可以用幾何學來主張。想像一個極大的球體,那個球體大到讓太陽看起來像其中心的一小點。球體表面的每一點到球心的距離都一樣,太陽的影響力(亦即「力場」)應該是同樣分布在球體的表面。

現在,再想像一個球體是剛剛那個球體的兩倍大。幾何定律告訴我們,球體的半徑加倍時,表面積會變成原來的四倍,所以這時太陽引力是分布在四倍的表面積上。如此可以推斷,在那個四倍大的表面積上的任一點,太陽的引力是之前那個球體的四分之一。反平方定律就是這樣運作的:離得愈遠,施力跟著距離平方成反比。

克卜勒完成了《新天文學》的手稿:他運用幾何速率法則,假定軌道是蛋形軌道,開始計算火星的整體軌道。圖/wikipedia

哈雷和同仁懷疑克卜勒定律的背後存在著反平方定律,但是他們怎麼證明呢?其中一人說他可以證明,那個人就是虎克。另一人是克里斯多佛.雷恩(Christopher Wren),如今最為人知的身分是建築師,但他也是知名的天文學家。他跟虎克打賭,要是虎克能證明出來,他就給他獎金。但虎克婉拒了,他向來以個性反骨著稱,不過他婉拒的理由令人懷疑:他說,他暫時不想揭露證明,他想讓大家先去嘗試,嘗試失敗後才會知道那個證明有多難。或許虎克真的已經解開問題了,或許他也設計出可以飛往金星的飛船了,但總之他從未揭露證明。

那場會議結束七個月後,哈雷正巧來到劍橋,他決定去探望孤僻的牛頓教授。牛頓就像虎克一樣,宣稱他也做了研究,可以證明哈雷的上述臆測。但牛頓也跟虎克一樣,其實沒有證明出來。他故意翻箱倒篋找了一下文件,就是找不到他的證明,但他承諾會好好找一下,之後再寄給哈雷。過了幾個月,哈雷沒收到任何東西,你可以想見哈雷當時作何感想。他問了兩位頗具聲望的成年人,能不能解開一個問題,其中一人說:「我知道答案,但我不要講出來!」另一人的回應彷彿是說:「狗吃掉了我的作業!」所以雷恩的獎金始終發不出去。

牛頓後來確實找到證明了,但他又仔細看了一遍,發現那個證明有誤。他並未放棄,而是著手重新研究,最後成功了。那年十一月,他寄給哈雷九頁的論文,以顯示克卜勒的三個定律其實都是「引力的反平方定律」的數學推論。他把那篇短文稱為〈論天體的軌道運動〉(De Motu Corporum in Gyrum)。

〈論天體的軌道運動〉(De Motu Corporum in Gyrum)手稿。圖/UCI

哈雷非常興奮,他看出牛頓的論證充滿了革命性,希望英國皇家學會能把它發表出來,但牛頓反對,他說:「既然我開始研究這個議題了,我想徹底探究以後再發表論文。 」由於後來牛頓投注了極大的心力,發表的成果稱得上是史上最重大的學術論著,他那句話聽起來可謂史上最輕描淡寫的回應。牛頓後來「徹底探究」的結果,是證明行星軌道的根本原理,就是可以套用在一切物體上(包括天體和地球上的物體)的運動定律和力學定律。

後續的十八個月,牛頓撇開一切雜務,專注地延伸那篇論文,把它擴增成後來的《原理》。他就像物理學機器一樣,一旦投入一項主題,就廢寢忘食,這是他從以前就養成的習慣。據說,他的貓變得很胖,因為他直接把飼料堆在牠的盤子裡。他以前的大學室友說過,他早上看到牛頓時,通常會發現他依然在昨晚的位置上努力解著同一個問題。不過,這一次,牛頓又變得更極端了,他幾乎完全不跟任何人接觸,足不出戶。偶爾幾次出門,是去大學的食堂,站著吃一兩口東西,就立刻趕回家繼續奮戰。

圖/Dan Perry@Flickr

最後牛頓關閉了煉金術實驗室,也擱下了神學探索。他還是繼續按照規定講課,但講課內容艱澀難懂,後來大家才知道原因:牛頓每堂課都是拿《原理》的草稿來授課。


 

 

本文摘自《科學大歷史:人類從走出叢林到探索宇宙, 從學會問「為什麼」到破解自然定律的心智大躍進》漫遊者文化出版。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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強核力與弱核力理論核心:非阿貝爾理論——《撞出上帝的粒子》
貓頭鷹出版社_96
・2023/01/28 ・1733字 ・閱讀時間約 3 分鐘

非阿貝爾理論

量子色動力學與弱核力理論有個更為奇特的性質,兩者都是「非阿貝爾理論」 (non-Abeliantheories)。非阿貝爾的意思是強核力與弱核力理論核心(參見【科學解釋 6】)的對稱群代數是不可交換的。簡單來說就是「A 乘 B」不等於「B 乘 A」。

一般人的常識會告訴你,如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣,你用計算機怎麼試答案都不變。一個袋子裝三塊錢、兩個袋子總共是六塊錢;一個袋子裝兩塊錢,三個袋子總共還是六塊錢。

如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣。圖/pixabay

這件事對數字永遠都成立,是千真萬確的事實。然而,我們有個很好的方法能定義出一套數學架構,其中的 AB 不等於 BA。實際上,數學家已經鑽研這個領域很多年了。

條條大路通數學

或許更驚人的是,物理學家竟然也在許多地方應用這套數學,因為某些和物理學相關的事物也是 AB 不等於 BA。矩陣就是我們表示這些東西的一種方式。現在我在倫敦大學學院為新生上的數學方法課就有介紹矩陣力學。以前我的學校制定了一套「新數學」的課綱,所以我在年僅十五歲的時候就多少認識一點矩陣了。

數學的一個矩陣是一群按照行列排列整齊的數字。把兩個矩陣 A 和 B 相乘,會得到另一個矩陣 C,方法是把對應的列和行上面的數字依序相乘。

這種矩陣聽起來可能不像某部電影裡面那掌控一切、創造虛擬實境的超級電腦一樣迷人,卻有用的多。這部電影的角色身穿黑色皮衣,還有出現著名的慢動作躲子彈鏡頭

慢動作躲子彈鏡頭。圖/giphy

我來舉個例子。

你可以用一個矩陣來描述你移動某個物體的結果。相乘的順序(AB 或 BA)在這個例子有明顯的區別。物體先在原地轉九十度再向前直直走十公尺,和先走十公尺再轉九十度,兩種移動方式最後的終點顯然不會相同。假設矩陣B代表旋轉,矩陣 A 代表直行,那麼合在一起的「旋轉後直行」就是矩陣(C = AB);這和「直行後旋轉」的矩陣(D = BA)必定不會相同。C 不等於 D,所以 AB 不等於 BA。要是 AB 和 BA 永遠相同,我們就沒辦法用矩陣來描述這類的移動過程了。正是因為矩陣的乘法不可交換―非阿貝爾,這個工具才會如此有用。

數學和真實世界密不可分

在狄拉克試圖要找出能描述高速電子的量子力學方程式時,矩陣被證實是他所需要的工具。實際上,電子有某項特性讓狄拉克不得不使用矩陣來表示它,這項特性與他描述電子自旋的語言同出一轍;所有原子的行為和元素周期表的規律,都與自旋有深刻的關聯。除此之外,這個性質也啟發狄拉克去預測有反物質的存在。

數學和真實世界之間似乎有緊密的關係,這讓我讚嘆不已。優秀的研究要能解決問題、也要能提出好的問題。而問題永遠比解答還要多,為了研究我們要付出許多的時間和金錢,因此大家得做出抉擇。數學是威力極大的工具,能幫助科學家檢查實驗數據、並從結果當中尋找最有趣的新實驗方向。就算有些方法和結論,好比矩陣及反物質,看起來可是相當古怪的。

秉持著這份精神,我要在繼續討論希格斯粒子搜索實驗之前,先繞個路來講微中子,最後這回要介紹的是一個很重要的真實結果。2012 年 3 月 7 日,中國的大亞灣核反應爐微中子實驗(DayaBay Reactor Neutrino Experiment)發表了最新的研究成果。

One of the Daya Bay detectors.圖/wikipedia

他們的實驗結果不但對標準模型影響重大,也會決定粒子物理學未來的研究走向。如果你只想要繼續讀希格斯粒子的故事,大可跳過這一段沒關係,下一節再見。但是微中子的粉絲可千萬別錯過精彩好戲了!

——本文摘自《撞出上帝的粒子:深入史上最大實驗現場》,2022 年 12 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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