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數字紅樓夢 壹—平均多掀了一次馬桶蓋

本文出自《超展開數學教室》。

卻說在《紅樓夢》的世界裡,有這麼一段鮮為人知的故事 :

Photo credit: 紅樓夢百科

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年關將至,賈府上上下下無不忙著準備過年。大門上褪色的舊春聯被撕下,年節的氣氛,從嶄新的大紅色春聯中瀰漫出來。在皇宮中的長女元春,特地送了一具洋人的玩意兒過來,原本要安裝在賈母房內,但賈母年紀大了,不喜歡這種挺新鮮的玩意兒,便讓僕人直接送到她最疼愛的孫子賈寶玉的住處,大觀園怡紅院。

場景來到大觀園的怡紅院。

這裡,特地留了個房間給這新玩意兒。雪白陶瓷鑄成的圓滑造型,摸不出一個稜角。初看像張椅子,椅面卻有個大大的洞兒,洞的底下接了座小水潭。椅子上有兩層蓋子,一片環狀的,一片實的。據送來的差使表示,沒用的時候要兩個蓋子都蓋上,用的時候,女眷蓋上環狀的蓋子好坐著,男生嘛,有時候要站著,有時候坐著,端看想做啥。

沒錯,就是馬桶。怡紅院裡有了第一座座式馬桶。

除夕前幾天的某一晚,怡紅院依舊熱鬧得緊,寶玉和他的四大ㄚ鬟襲人、晴雯、麝月、秋紋的聲音,幾尺外都聽得清晰。薛寶釵來串門子,推開房門。晴雯一見到寶釵,立刻說:「寶姑娘來得正好,幫我們評評理,二爺真不講理。」

二爺指的正是家中排行老二的寶玉。寶釵望向寶玉,見他搖頭苦笑,明明是主子,卻跟這群ㄚ鬟平起平坐,一點架子也沒有。寶玉解釋:「她們怪我不體貼,用完這馬桶,不把馬桶蓋蓋回去。」

「我們不是無理取鬧,但二爺這麼一等一細心的人,不應該沒注意到這點小事。明明用完了,將掀起的蓋子蓋回去,後用的姑娘們不需要去伸手碰蓋子,這等體貼,才符合二爺的形象。寶姑娘別責罵我們壞,說到底是為二爺著想,要馬桶以後普及了,寶姑娘的蘅蕪苑和林姑娘的瀟湘館都有了,二爺去作客,用完了照樣不蓋蓋子,豈不破壞了二爺體貼的好名聲。」

麝月替晴雯幫腔,寶玉依然搖搖頭。

賈府上下素來認定寶玉是個紈褲子弟,只愛風花雪月,吟詩作對。但其實,寶玉對數學相當有興趣,花了很多時間研究洋人與中國的數學,連東瀛的和算也略有涉獵。寶玉跟寶釵解釋道:「寶姊姊幫幫我,聽我的解釋有沒有道理,這是元春姊姊從宮裡送來的寶物,不是尋常地方可以拿到的。」

寶玉那時還不知道,兩百多年後,這是連路邊公共廁所都有的基本配備。

Photo credit: 新京報書評周刊

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他繼續說:「我當然想體貼,但要是照著大家的想法做了,馬桶很容易壞掉的。怎麼可以把這麼寶貴的東西弄壞呢。」

「為什麼容易壞掉?」

寶釵問道,寶玉指了指桌上一張紙,上頭有個表格:「我解釋給妳聽,襲人、晴雯、麝月、秋紋也再來聽一次吧。這表整理了不同狀況下馬桶蓋的翻動次數:

各種如廁可能 男子不蓋回馬桶蓋下的掀、蓋次數 男子蓋回馬桶蓋下的掀、蓋次數
接在女子後面的男子 1 2
接在男子後面的男子 0 2
接在女子後面的女子 0 0
接在男子後面的女子 1 0

先討論男子是不願意用完蓋回馬桶蓋的情形,上表四個列的可能性之中,連續使用者為不同性別的兩種狀況,馬桶蓋會被掀開(先女後男)或蓋上(先男後女),平均翻動次數是2÷4=0.5次。 如果與復原馬桶蓋的體貼男子共用廁所,女孩子完全不用碰馬桶蓋,但男子每次得耗費兩分力氣:先掀開、再蓋上馬桶蓋。四種可能的如廁狀況中有兩種得翻動2次馬桶蓋,平均次數為2×2÷4=1,是前者的兩倍。」

寶玉一口氣講完,他很開心,對於文學跟數學,他同樣喜歡。前者有海棠詩社可以讓他和大家吟詩作對,但說起數學,這還是他第一次在眾人面前發揮。他環顧寶釵與ㄚ鬟們,燭光下,眾人臉上紅通通的。他用緩慢但篤定的語氣,道出結論:「體貼換來的代價是加倍的使用頻率,馬桶蓋會因此比較快壞掉。」

怡紅院裡一陣沉默。寶玉可以感覺得到,她們正在努力地吸收他方才的話,如果可以打開她們的腦袋,一定比紡織機上的飛梭動得還要快。寶玉不知道,兩百年後有個叫fMRI的儀器真的可以測出人類在思考時的大腦反應變化。

「我想不透,二爺定是故意拿這些難題來考我們,想看我們出糗。我去找馬桶君好了。」

秋紋先說話,她也不是要去上廁所,只是馬桶是現在怡紅院最新穎的東西,僕人無時無刻把它打掃得一塵不染,大家有事沒事便會去那兒思考。有時候他們坐在上面,儘管很舒服,但卻覺得少了些什麼……沒錯,是報紙,很可惜那時候馬桶君的最佳好朋友,報紙,尚未問世。

「我也一起去。」

Photo credit: 紅樓夢百科

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女孩子喜歡結伴上廁所似乎是天性,麝月跟著離去,只留下襲人、晴雯、寶釵還在與寶玉的表格奮戰。寶釵終究聰明過人,她查覺到一件事似乎不對勁。

「可是,寶兄弟的怡紅院裡姑娘比較多,只有你一個男生。而且…」

寶釵思考著該怎麼比較文雅地說出這話:「而且……男女如廁的頻率本來就不同,還沒考慮到寶兄弟偶爾也會……坐著用。要是把這些都考慮進去,方才的數據推論還會成立嗎?」

「寶姊姊真厲害,竟然有這麼正確的數學思維,質疑單一特例是否通用。」

寶玉一臉興奮,原來還是有人可以跟他討論數學,說不定這樣下去,可以再成立一個藥芍數學會,交流數學。他向寶釵解釋:「我可以解釋,不過得用上比較麻煩的『變數x』。假設男女比例為x:(1-x),男方用完廁所不復原時,翻動馬桶蓋的平均次數是2(1-x)x;另一個狀況,得到的平均次數則是2(1-x)x+2x2,永遠比前者多2x2

換句話說,就算是皇上的後宮,有皇帝跟999位妃子,不考慮到底得站著還是坐著上的太監。若皇帝耍體貼,翻動馬桶蓋的平均次數是0.002;要是皇帝上完廁所,放下龍袍後就閃人,後宮馬桶蓋平均只被翻動0.001998次。我昨天才寫信給元春姐姐,請他建議皇上,甭掀了。省下體貼的動作,一生在位,或許可以替後宮省下一個馬桶蓋的維修費呢。」

「原來是這樣啊,我懂了。大夥兒聽懂了嗎,以後就照寶兄弟說的吧。不要再叫他掀起來了,就算我的蘅蕪苑裡有,我也不會這般要求他的。」

寶玉滿意地點頭,心想寶釵果然聰明。

寶釵緩緩地起身,去參觀馬桶君。跟剛好走回來的秋紋擦身而過,她低聲地跟秋紋說:「妳們就愛跟妳們家二爺鬧,現在可好,把他鬧得都有些瘋癲了,以後多順著點他吧。」

很遺憾地,寶玉全都聽到了。他嘆了口氣,數學有這麼難懂嘛。他決定要想個計策讓大家更了解數學。

欲知寶玉施出何計,請待下回分解。

本文出自《超展開數學教室》,臉譜出版社出版。

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Photo credit: 超展開數學教室


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關於作者

賴 以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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