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作者 / 林澤民
人生的旅途中，適合擇偶的年齡是有限的。在這段期間，妳無須登【徵婚啟事】都可能陸續遇到好幾位適婚的對象。雖說女人二十一枝花，但太早結婚，難保白馬王子在婚後才出現，只能恨不相逢未嫁時；而太晚結婚，又怕使君已有婦，顧影徒嘆陌上花開遲。假如妳在同一時間只遇見一位適婚對象，而必須決定是否許諾終身，那麼是否有一種策略能夠讓妳有最大的機會「撿到」最佳的對象呢？
說「撿到」，是因為這個問題的數學結構，類似於在一條小徑上散步撿石頭：規定只能撿一顆，不能丟棄再撿，也不能回頭再撿。那麼要如何才能撿到最大的石頭呢？這個問題，提供了與擇偶問題相同的困境：撿得太早，怕前面還有更大的石頭；太遲，怕已經錯過了最大的石頭。面對這個困境，出手的時機便是一個重要的策略問題：如果預先設定一段觀察期，在此期間只觀察而不出手，而在其後則當機立斷見好就撿，那麼觀察期應該多久才是最適宜呢？數學上，這是一個極大化的問題，解決的方法是將觀察期設為未知數，用這未知數來計算撿到最大顆石頭的機率，也就是把得手機率作為觀察期的函數，然後求出讓此函數有最大值的觀察期。
假設小徑為一條長度固定的線段，而石頭的位置呈現統計上的均勻分配，數學家對這個問題的解答是：在大約前1/3=0.33333的路段上，仔細觀察石頭的大小，但不要撿起任何石頭。過了這一段觀察期，記住所看到最大顆石頭的大小，繼續前進。此後，一旦看見一顆比觀察期間最大石頭還大的石頭，要毫不猶豫地撿起。如此，則在路徑的終點總結清算，妳撿取到最大顆石頭的機率為最大。 當然，妳運氣不好的話，可能再也碰不到更大的石頭，因此只好在路徑的盡頭撿起最後一顆石頭。這個策略只保證妳撿到最大石頭的機率為最大，它不能保證妳一定撿到最大的石頭。
更精準的計算顯示，如果路徑甚長因而石頭甚多，則最佳觀察期為整條路段長度的1/e=0.36788。這裡e=2.71828…是所謂納皮爾常數或尤拉數(Napier’s Constant or Euler’s Number)。這機率比1/3還要略為大些。根據這個策略，撿到最大顆石頭的機率恰巧也趨近於1/e=0.36788。相對而言，當石頭數目為n，隨機撿取能撿到最大顆石頭的機率為1/n。 當n很大時，1/n趨近於零。這個策略能夠達到1/e的得手機率是相當令人驚訝的。
回到擇偶的問題，假設男性的適婚年齡是25-40歲，有15年的擇偶期，則最佳的擇偶策略是在30歲以前不要結婚，只注意觀察25-30歲這五年間所遇見的可能對象；30歲以後，一旦遇到更好的對象，不要猶豫，立刻結婚。女性的適婚年齡也許早些，算20-35歲的話，則25歲前不要結婚，要等到25歲後再當機立斷。依此策略，不論男女能夠「撿到」最佳另一伴的機率會比1/3稍大些。在這最佳擇偶策略下，如果在觀察期錯過最佳對象，那也只能說是沒有緣份了。
數學家 Frederick Mosteller 在Fifty Challenging Problems in Probability一書中解此題時，舉了一個簡單的例子。假設選擇過程中共遇見四個對象，以 1/2/3/4 代表等第，數目越大越佳，則依遇見的順序，共有24種可能情況：
| 1234 | 2134 | 3124*+ | 4123 |
| 1243+ | 2143*+ | 3142*+ | 4132 |
| 1324+ | 2314+ | 3214*+ | 4213 |
| 1342+ | 2341+ | 3241*+ | 4231 |
| 1423* | 2413* | 3412* | 4312 |
| 1432* | 2431* | 3421* | 4321 |
如果妳隨機選擇，則撿到最佳對象的機率是1/4 或6/24。那麼如果採用有一段觀察期的策略，得手機率又是如何呢？依觀察期的長短，我們可以檢視以下各種策略的良寙：
- 策略零：觀察期=0/4，亦即第一次遇見對象便立刻結婚。得手機率=6/24。
- 策略一：觀察期=1/4，亦即Pass第一個，此後一旦看到比第一個更大的則立即撿起，如未看到，則撿最後一個。根據此策略，上列24種可能情況中，有11種(*標示者)可以撿到最大的石頭，所以得手機率=11/24。
- 策略二：觀察期=2/4，亦即Pass前兩個，此後一旦看到比前兩個更大的則立即撿起，如未看到，則撿最後一個。根據此策略，上列24種可能情況中，有10種(+標示者)可以撿到最大的石頭，所以得手機率=10/24。
- 策略三：觀察期=3/4，亦即Pass前三個，撿起第四個。根據此策略，上列24種可能情況中，6種可以撿到最大的石頭，所以得手機率=6/24。
很明顯的，策略一是最佳策略，因為其得手機率=11/24為最大。此策略的觀察期(1/4)雖然不到1/3或1/e，但已是所有可能值中最接近的了。11/24=0.45833的機率則比1/e還大。當適婚期中遇見的對象越來越多，最佳的觀察期會趨近於1/e，贏得佳偶的機率也會趨近於1/e。假如妳估計會有n=10人來追求妳，Mosteller的公式顯示妳應該跳過前三人，從第四人開始，只要比前三人更好就立刻答應。如此，則撿到最佳郎君的機率將高達0.399，已經很接近1/e了。
這個擇偶最佳策略的解法假設妳沒有夢寐中的完美對象，如果有，相信妳在作選擇時會以這個絕對標準來衡量。這種情況還是可以用數學算出最佳策略，但那必須要寫另外一篇文章了。
原刊載於Tse-min Lin 的部落格
