災害預測新技術 (一)：強颱臨頭 團結聚力預報更準

國小高年級科普文，素養閱讀就從今天就開始!!

• 作者／ 班‧歐林 (Ben Orlin)；譯者／王年愷

若說人類「不擅長」機率，太過簡化又太讓人難堪了。

機率是現代數學裡一門相當精妙的分支，當中處處有悖論陷阱。即使是基本的問題，也可能讓冷靜無情的專家暈頭轉向。嘲諷別人機率算錯，就像是在笑他們怎麼那麼不會飛，或是怎麼那麼不會喝下一整個海洋的水，或是怎麼那麼不防火。

如果真要說句公道話，應該說人類處理機率的能力實在爛透了。康納曼和特沃斯基在心理學研究中發現，人類對於不確定的事件有頑固的錯誤想法。他們會一而再、再而三地高估可能性微乎其微的事件，並低估幾乎鐵定會發生的事件。

這沒什麼大不了的，不是嗎？老實說，我們什麼時候看過機率在真實世界裡冒出頭來呢？又不是一輩子都在想辦法抓住知識性的工具，讓我們也許能在每一個清醒時刻的種種不確定性混沌中稍稍有些安穩⋯⋯

好吧，為了以防萬一——本章是一個操作指南，說明各種不同的人類怎麼去思考不確定性。這個東西就算再難，也不表示我們不能拿它來玩一玩。

如果你是政治記者

哈囉！你是一位政治記者。你會報導即將到來的選舉。你會報導失敗的選戰。在罕見的特別日子裡，你甚至還會報導像是「政策」和「治理」的事。

另外，稍微不可能的事情發生時，你好像會感到困惑。情況並非一直如此。在某個遙遠的過去，你會把選舉視為無限可能的神奇時刻。你輕描淡寫最可能發生的結果來增加刺激感，讓每一場選戰看起來都像是比賽結束鈴聲響起時從中場丟球正中籃框定勝負的。

2004 年美國總統大選當天晚上，小布希在俄亥俄州領先 100,000 票，未開出的選票不到 100,000 張時，你卻說俄亥俄州的選舉結果「太接近，無法確定」。到了 2012 年的總統大選，機率模型預測歐巴馬獲勝的可能性是 90%，你卻說選戰是「兩邊都有可能贏」。

然後，2016 年又把你的世界完全顛倒過來了。川普贏了希拉蕊．柯林頓。第二天醒來時，你覺得你經歷了一次量子奇異點，選舉結果就像是一隻突然憑空冒出來的兔子一樣完全無法預料。但對機率學家席佛（Nate Silver）及看法相近的人來說，這個結果只不過有一點意外而已，發生的機率為三分之一—就像丟骰子丟出 5 或 6 一樣。

如果你是氣象預報員

哈囉！你是一位氣象預報員，是電視上的雲層先知。你的一舉一動都自信滿滿，每一次交談的結尾都是「現在把現場交還棚內主播」。

另外，你會故意把機率說得模稜兩可，讓觀眾不會對你生氣。當然，你會盡可能誠實。如果你說明天的降雨機率是 80%，你所說的完全正確：在這樣的日子當中，降雨的日子總共有 80%。

但是，當降雨比較不可能發生時，你會誇大這些數據。你害怕有人把雨傘留在家裡，天空卻下起雨來，他們跑到網路上罵你。因此，當你說明天降雨機率是 20% 時，這種日子實際上只有 10% 會降雨。你會增加機率，來減少觀眾的咒罵。

假如觀眾更了解機率是什麼，也許你就能夠說出真話。當觀眾聽到「10%」的時候，好像會理解成「不會發生」。假如他們真的理解真正的意思（「每十次會發生一次」），你就能放鬆講出心裡真正想說的數據。在這一天到來以前，你仍然只能兜售半真半假的數據。

現在把現場交還棚內主播。

如果你是千年鷹號太空船船長

哈囉！你是「千年鷹號」（Millennium Falcon）¹ 太空船船長。你是一位星際暴徒、壞蛋，也是心腸寬大的俠盜。你一生的伙伴是一隻身上只穿一條子彈帶的 8 英尺長太空狗。

另外，你完完全全否認有「可能性」這件事。你不是一個會冷靜反思和考慮戰略的人。你會走私違禁品，也會顛覆整個帝國。你是快速拔槍殺人的冒險之士，只要稍有遲疑便會喪命，多猶豫幾下的話還會更慘。

在散兵坑裡沒有機率專家，而且你一生都躲在散兵坑裡。對你來說，繁複的機率算式只是累贅，和某個一直說「我的天啊」及「請容我建議」的神經質金色機器人一樣是拖油瓶。

我會覺得，我們每一個人的心裡都有一點你的特質。在需要冷靜、細心評估的時候，機率是相當有用的東西，但有時候我們需要一種自信，是頑強的量化數據給不了的。在需要直覺和行動的時刻，被機率拴住的人可能會畏縮，不敢跳出非跳不可的一大步。在這種時候，我們必須忘掉數據，儘管去飛。

註解：

1. 譯注：《星際大戰》中的宇宙飛船，用於走私業務，影史上最著名的太空船之一。

——本文摘自《塗鴉學數學：以三角形打造城市、用骰子來理解經濟危機、玩井字遊戲學策略思考，24堂建構邏輯思維、貫通幾何學、破解機率陷阱、弄懂統計奧妙的數學課》，2020 年 5 月，臉譜出版

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？

這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。

這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%，而不下雨的機率為 6% ，占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。

也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現：

預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的機率有關。

檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？

假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說， 隨機選取一個人，有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病，有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人，健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？

我們仿照剛才的計算方法，檢測出患病的總機率為：\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
而患病且檢測出患病的機率為：\(\frac{9999}{70000000}\)

所以在檢測患病的條件下，真正患病的機率為：\( \frac{9999}{70000000} \div  \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

那麼，兩次檢測都是患病的情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率，所以第二次檢測的表格變為：

在兩次檢測都是患病的條件下，此人真正患病的機率為：\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。

貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B₁ 、 B₂ 、……、 B_n 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率稱為：條件機率 \( P(B_i|A) \)

要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率，公式為：\( P(B_i)P(A|B_i) \)

然後，需要計算事件A發生的總機率：

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
\( P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n) \)

最後，用上述兩個機率相除，完整的貝式定理公式就是：

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。

今天窗外望出去，天氣是陰雨綿綿。原本中午和傍晚趁雨稍停，出去買點吃的，結果不約而同地遇到突如其來的雨，兩次淋成落湯雞回家。

在南港生活了六年了，早該習慣陰雨連綿的天氣了。除了夏天，一年三個季節裡，常常整個台北市都是好天氣時，南港就陪同汐止、基隆一同漂起雨來。有時候漂著小雨，我們都戲稱那叫做「濕氣」，不算是雨。據說中研院選址在南港，是因為胡適院長覺得南港煙雨朦朧，有他家鄉的感覺。

台灣天氣多變，不如熱帶那麼穩定，在馬來西亞，大多日子天天就固定來場午後短暫雷陣雨；從前在北加州唸書，通常整個夏天都一滴雨不下，土地乾得裂開，草原上的草也會都枯黃，可是一到秋冬下起了雨，綠草就趁機從土裡冒出，歡樂地迎接秋冬，到處綠意盎然。這種地中海氣候，讓許多從溫帶長大的人，剛來加州時很錯亂，因為在溫帶地區，一般秋冬是枯黃的景象，夏天才迎來綠意盎然。

我比較喜歡戶外活動，所以不愛雨天，除了上班日例外，反正天氣再好又無法痛快地去河濱騎車。可是，我最愛的一個成語是「晴耕雨讀」，人生就是如此，何必要為完全無法掌控的外在因素而困擾自己呢？晴天出外運動，雨天在家讀好書，同樣令人愉悅。

除了沙漠裏，很少地方一滴雨也沒下。即使是沙漠，連地表上最乾燥的加州死谷，今年初也迎來了雨水，整個死谷開滿了黃的、紫的小花，風景漂亮極了。

其實，在 2005 年，我們在加州唸書時，就有幸遇到死谷百年來的大雨，趁機去遊歷了一趟。

那裡還有個奇觀，就是有一㮔稱為鹽鱂（Cyprinodon salinus，Death Valley pupfish）的漂亮小魚，屬於輻鰭魚綱鯉齒目鯉齒亞目鯉齒鱂科，牠們的魚卵可耐高溫和極度乾燥（死谷國家公園夏天白天通常都有攝氏 50 幾度），埋在沙子底下的魚卵，遇到夠多的水就會快速孵化（據說只要挖一點沙回去倒到魚缸就會看到小魚孵化），小魚快速長大後，會懂得魚生苦短的道理，天天尋歡交配，趕緊生育下一代來迎接下一個未知的雨季。

雨水，可能帶來生命的雀躍，可是濕答答的感覺卻也令人不好過，從昂貴的 Gore-Tex 產品之暢銷可見一斑。太潮濕也會是細菌、真菌的溫床。當然，不管是喜歡大晴天還是下雨天，都是我們人類自尋的煩惱，大自然中，雨就只是地球水的循環的一個正常不過的現象而己。但雨，除了是天上落下的水，還會是什麼呢？

這本好書《雨：文明、藝術、科學，人與自然交織的億萬年紀事》（Rain: A Natural and Cultural History）就是要告訴我們，雨在文明、藝術和科學中，種種不同的豐富面向。《雨》用優美的文筆，讓我們不僅瞭解在文化上，我們如何看來雨，還有在科學上，我們如何瞭解雨，也帶我們去看窺看人們如何還要改變雨。

如果沒有四十億年前填滿海洋的傾盆大雨，我們的地球就不會成為藍色星球，而會是像是火星或水星那樣雖然有水，但無雨而仍是孤寂的行星。雨澆灌了維繫人類文明的農田，各文明都有祈雨的儀式，甚至不惜犠牲無辜性命。而《雨》作者辛西亞．巴內特（Cynthia Barnett），述說了許多趣的文化現象，包括在英國這個常常陰雨連綿的國家，雨具和雨衣的有趣時尚史。

下了雨之後，會有種令人熟悉的雨的味道，那是當雨落在土壤時，會釋放被困在液體中的氣溶膠（aerosols），與土壤中的細菌與植物油脂作用，散發出大家所謂的「雨後清新的味道」（petrichor）。這是最近的科學解釋，可是過去人們也嘗試著把雨天的氣味，放入香水和洗衣精等等之中而作了不少努力呢！

雨，當然是天上落下的純水，可是《雨》還描述了一些驚世駭俗的怪雨，從顏色詭異的雨水，到千奇百怪的東西都有可能。巴內特為了探訪各地雨鄉，除了在美國穿梭，也遠到印度東北的梅加拉亞邦的一個村落乞拉朋齊（Cherrapunji）去探訪據說是地表上，雨量最豐沛的地方。當地是世界上曾經在一年和一月內降水最多的地區，有「世界雨極」之稱。

讀了《雨》，不管原本喜不喜歡雨天，從此之後會對雨另眼相看了呢！

本文原刊登於The Sky of Gene。