「似是而非的悖論」的第二個例子由十九世紀法國數學家約瑟夫‧伯蘭特（Joseph Bertrand）提出。（他最著名的悖論並不是這個，而且比這個更需要數學專業。）

有三個箱子，每個箱子裡各有兩枚硬幣，放置方式如下：每個箱子都隔成兩半；每一半各放一枚硬幣，而且蓋子可以單獨打開來查看裡頭的硬幣種類（但不允許查看另一枚）。第一個箱子裡放了兩枚金幣（代號GG），第二個箱子裡放了兩枚銀幣（代號SS），第三個箱子則有金幣和銀幣各一枚（代號GS）。請問你選到內有金幣跟銀幣的箱子機率有多少？答案的確很簡單：三分之一。這一點都不難。

接著，隨機挑選一個箱子。如果打開半邊的蓋子發現裡面是金幣，那麼這個箱子是GS箱的機率有多少？在發現一枚金幣的當下，你已經知道這個箱子不可能是SS箱，排除之後只剩兩種可能性：GG箱或GS箱。因此它是GS箱的機率就是二分之一，沒錯吧？

假如打開蓋子出現的是銀幣，我們就可以排除GG箱的選項，剩下的只有SS箱或GS箱兩種可能，所以選到GS箱的機會依然是二分之一。

由於打開選定的蓋子出現的不是金幣就是銀幣，而且每種硬幣各有三枚，若兩者出現的機率相同，那麼不論出現何種硬幣，你都有一半的機率選中GS箱。也就是說，往某個箱子的其中半邊裡瞧了一眼之後，選中GS箱的整體概率竟然從一開始的三分之一變成二分之一。可是，只不過才瞧了某個硬幣一眼，怎麼會使機率產生這麼大的變化？如果隨機選出一個箱子，打開其中一個蓋子之前，你知道選出的箱子有三分之一機率是GS箱；然而，僅僅憑著看到其中一枚硬幣，究竟是怎麼使得機率從三分之一突然變成二分之一的？畢竟這個動作並不會帶來新的資訊，因為你心裡明白，出現的不是金幣就是銀幣。究竟哪裡出問題了呢？

正確答案是，不論是否察看其中一枚硬幣，選到GS箱的機率一直都是三分之一，而非二分之一。首先考慮從箱子裡找到一枚金幣的情況：金幣共三枚，姑且稱他們為G1，G2和G3。假設GG箱裡放的是G1和G2，G3在GS箱裡。如果你打開其中一個箱蓋並且發現一枚金幣，那麼你有三分之二的機率打開的是GG箱，因為看到的金幣可能是G1或G2。這枚金幣是G3的機率只有三分之一，與你選中GS箱的機率一樣。

生日悖論

這是最著名的「似非而是的悖論」之一。不同於前兩個例子，這種悖論不耍花招，沒有邏輯推理上的謬誤，也不使用敘述上的障眼法。我必須強調，不論讀者是否相信其解答，它在數學與邏輯上都是完全正確的，並且具有一致性。這種面對問題的挫敗感在某種程度上提高了破解此悖論的樂趣。

以下是生日悖論的表述：

你認為房間裡至少要有多少人，才能讓其中任意兩人同一天生日的機率超過一半──也就是說，任意兩人生日相同的機率比不同來得高？

先讓我們來運用一下直觀的常識（當然稍後會證明是錯的）。一年有365天，可以想像成大講堂裡有365個空座位。100位學生進入講堂，每個人隨機選了一個座位。有些人可能想跟朋友坐在一起；有些人喜歡最後一排的隱蔽性，讓他們可以在課堂中打瞌睡不被發現；較多學生則選擇離講台較近的位置。然而他們坐在哪裡並不重要，因為超過三分之二的座位仍然空著。當然，沒有學生會去坐已經有人的座位，而我們總覺得講堂裡有這麼多座位，兩位學生搶同一個位置的機會相當微小。

如果將這種常識性的思維方式應用到生日問題上，我們可能會認為，在可選的生日與座位一樣多的情況下，這100位學生當中任何人跟別人同一天生日的機會也一樣微小。當然，難免有少數一起過生日的死黨，但我們覺得發生的可能性比不發生來得低。

如果換成一群為數366人的學生（先不管閏年），很自然地，不須多作解釋就很清楚，我們可以確定至少有兩個人生日在同一天。然而，當學生人數逐漸減少，情況卻開始變得有趣起來。

以下所述也許會讓讀者感到不可思議──事實上，房間裡只需要57個人，就可以讓任意兩人同一天生日的機率超過99％。也就是說，只要57個人，就幾乎能確定其中有兩個人同一天生日！這個答案聽起真是令人難以置信。若只針對問題來回答，任意兩人生日相同的可能性比不同還高（也就是機率超過一半）所需的人數則遠低於57。事實上，只要23個人就足夠了！

多數人初次聽到這個答案莫不大吃一驚，甚至在確認過解答的正確性之後依舊感到渾身不自在──這在直覺上的確太令人難以接受了。所以，我們接著來詳細探討其中的數學，我會儘可能將它說清楚。

我們首先假定一些預設條件，儘量使問題簡化：排除閏年的狀況、一年中所有日期作為生日的機率都相同、而且房間裡沒有雙胞胎。

許多人所犯的錯誤在於，他們認為這個問題是兩個數字之間作比較：房間裡的人數與一年中的天數。由於共有365天可作為這23人的生日，因此避開彼此生日的機會似乎遠比撞在一起來的高。但是這種看待問題的方式卻造成誤導。試想，為了能讓兩個人的生日在同一天，我們需要的是成對的人，而非單獨的個體；因此應該考慮的是不同配對方式的總數。首先從最簡單的狀況出發：如果只有三個人，那麼總共有三種不同的配對：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ｂ—Ｃ。若是四個人，配對的可能性增加到六種：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ａ—Ｄ，Ｂ—Ｃ，Ｂ—Ｄ，Ｃ—Ｄ。當總人數達到23人時，我們發現總共有253種不同的配對方式（註）。到這裡讀者是否發現，相較於原本的答案，要相信這253種雙人組合其中一組的生日剛好是365個日期之一，是否變得簡單多了呢？

計算這個機率的正確方法是：從一組配對開始，逐漸增加人數，並且觀察生日相同的機率如何變化。這個方法的訣竅在於，我們直接計算的並非新加入者與別人一同過生日的概率，而是避開所有其他人生日的機率。如此一來，第二個人避開第一個人生日的機率就是364÷365，因為他可以在一年中頭一個人生日以外的任何一天出生。第三人與前兩人生日錯開的機率是363÷365。然而別忘了前兩人仍得避開同一天生日（有364÷365的機會）；在機率論裡，如果我們想知道兩個獨立事件同時發生的概率，就得將第一個事件出現的機率乘上第二個事件的機率。因此，第二人避開第一人生日，以及第三人同時避開前兩者生日的機率，就是：（364／365）×（363／365）＝ 0.9918。最後，如果以上結果是三個人生日完全錯開的概率，那麼其中任意兩人生日相同的機率就是1－0.9918＝0.0082。因此在只有三個人的情況下，生日出現在同一天的機會非常微小，正如讀者所預期。

接著繼續進行相同的步驟——逐一增加人數，建立一串連乘的分數算出所有人錯開彼此生日的機率，直到總乘積低於0.5（也就是50％）為止。這時候就會得到任意兩人生日相同機率超過百分之五十所需的人數。我們發現，共需要22個分數連乘就可以讓總乘積小於0.5，也就是22個人：

（364／365）×（363／365）×（362／365）×（361／365）×（360／365）×……＝ 0.4927…

←    22個分數連續相乘    →

於是房間裡任意兩人生日在同一天的機率便為：

1－0.4297＝0.5073＝50.73%

解開這個難題需要一些機率論的知識。相較之下，下一個悖論就某些方面來說較為淺顯易懂，而我認為這點更令它顯得不可思議。這是我最喜歡的真悖論，因為它的陳述是如此簡單，如此容易解釋，卻又難以透徹理解。

【註】：用來計算不同配對方式總數的數學方法稱為「二項式係數法」（binomial coefficient）。這個例子的算法如下：（23 × 22）÷ 2 = 253

節錄至 PanSci 2013 四月選書《悖論：破解科學史上最複雜的9大謎團》第一章：綜藝秀裡的悖論。由三采文化出版。

• 聲音的魔法！說話聲音可以提升別人對你的好感度？
• 雜物OUT！斷捨離的同時，也能整理思緒帶來好心情？
• Outdoor 戶外魂，注意！收納成手掌大小的野餐墊！登山健走，防水防磨，隨身攜帶，說走就走～
• 到泛科市集結帳輸入 panscihere 優惠碼，立即省 60 元
• 咖啡磨豆的顆粒大小、水溫的高低、水流的速度......都是決定咖啡風味的影響變數，手沖咖啡有如一場科學實驗
• 在低溫下萃取而成的冷萃咖啡(Cold Brew Coffee)，因萃取時間長而著稱，風味醇厚、酸度低，口感馥郁，快看看再懶也能成功的冷萃秘訣～

「他們沒有問我性別，認為寫走私的就是男性吧，在論文刊出首頁用『His Mailing address…』來標註我的聯絡方式。」

如同這樣的性別刻板印象，投入邊境研究也是一個不斷突破刻板印象的歷程。

孤軍以外消聲的生命故事

1992 年，張雯勤隻身在泰北旅行，偶然到了泰緬邊境的一個村子，那裡正是臺灣媒體經常報導的泰北難民村之一。

這段歷史得追溯到 1950 年初。當時，一批一千多人的國軍殘餘部隊，在雲南節節敗退後進入緬甸撣邦，抵達與泰國為鄰的大其力。經過集結、招兵買馬，1951 年這批重整的軍隊在撣邦勐撒成立了「雲南反共救國軍」。其後的故事即是一般人所熟知的「異域孤軍」戰史——經歷兩次撤台，部分軍隊落腳泰北邊境，當地人稱作「國民黨村」。

然而，在被歌泣的男性化、黨國化歷史背後，隱藏著邊區遊移政治與無數難民的生活史。

最初，張雯勤帶著既定印象從孤軍將領訪談，研究這些「雲南移民」。但在村子住了大半年，她發現日常接觸的並不是將官，反倒都是大爹、大媽、大嬸、大叔這樣的平常百姓。「臺灣報導裡全是忠貞愛國、異域求生的孤軍，這些普通人完全沒聲音，但他們的生命故事非常豐富。」

於是，張雯勤用了兩年，走訪二十四個邊境村落，此後又一路延展到緬甸，展開二十多年以平民為視角的邊境研究。

越界流動，是歷史上的邊境常態

自古以來，從雲南、緬甸至泰北即常有大批人口來來回回遷移，多元族群交織著不同政治勢力，在這塊廣衾的土地上脈動著爭戰、交易營生、多元文化的習作與交流。1949 年因國共內戰及往後二十多年中國政治運動，造成大規模跨境遷徙。

在 1961 年「二撤」之前，留在緬甸的國民黨軍隊主要有五支，其中三軍和五軍最終沒有撤回臺灣，集結於泰北。1970、80年代，他們協助泰國政府剿滅泰共，爾後取得泰國國籍定居當地。

然而在這些「國民黨村」裡，軍人只是一部分，大部分其實是跟著軍隊逃難的眷屬及一般難民。邊境村落或周遭，包含有雲南漢人、雲南穆斯林、阿卡族、佤族、儸黑、傈僳人等各式族群，彼此用不同語言交流。「我很佩服這些大媽，買賣東西的時候，遇到阿卡人，就講阿卡話，遇到百夷人，就講百夷話。」張雯勤說。

平民耕地、做小生意謀生，撤退至緬泰的國民黨軍隊也亦商亦軍，軍隊找商隊馱運物資，商人仰賴武裝保護。對於難民來說，同樣如此，軍隊既保護也剝削他們。於此同時，帶兵的軍官也利用騾馬往返泰緬馱運「黑金」——大煙（生鴉片）。

刀片上是老闆的，刀片下是我們自己的

從我們社會的眼光來看，毒品似乎萬惡不赦，但回歸到當地生活脈絡，這只是平民百姓的一種生計。許多人歷經顛沛流離，沒有身分、沒有錢，最重要的目標皆為了「努力活下來」。毒品、走私因而成為邊境的生存日常。

「他們的童年記憶裡，從小就生活在大片大片的罌粟花田。爺爺躺在蚊帳裡抽煙，但不是每個人都能抽大煙，只有老人家有權利，年輕人頂多是工作累了，抽個幾口。」

現實中備嘗艱辛的生活，經過記憶轉化後的敘事卻呈現出一種近乎迷人的日常：罌粟花很美，年輕人為雇主做工「刮煙」，一邊刮一邊唱歌。罌粟一顆一顆，用刀子劃下去，汁液才會跑出來。劃也不是亂劃，有一定技巧。劃完以後，白色的汁液流出，不能馬上去刮，隔天凝結成暗褐色，才能用一把彎彎的刀刮下來，在刀片上慢慢累積，就成了生鴉片。

「他們說，刀片上是老闆的，刀片下就是我們自己的。」因為汁液大部分留在刀片上，少量落在刀片下，一點點攢起來可以賣錢，這也是一種酬勞的給付方式。

毒品議題龐大而複雜，牽涉跨國政治、經濟與利益集團的輸送角力，甚至不乏國家政府涉入其中；但從底層百姓的角度，罌粟田是人們熟悉的生活記憶，採大煙是從小到大的日常勞作。

對張雯勤來說，這也正是邊境研究的重要關懷，在傳統國家中心的分析視角外，看見每個真實的個別生命。她擅於採用敘事書寫方式，爬梳自 1949 年以後，雲南移民從中國西南逃難到緬甸，部份移民又從緬甸遷居他國的歷史，以及他們從事的耕作和跨境商貿。

這些人的生命和動亂時代交織在一起，相對邊緣不被看見，他們怎麼面對生命處境，掙扎、奮鬥、存活下來？我要做的，就是用說故事的方式書寫出來。

民間「影子經濟」：馬幫到摩托車車隊

除了戰事逃難，經濟營生也讓跨境成為邊界常態。雲南多高山，長途經濟活動必須依靠騾馬。由於在山上形單影隻不安全，容易遇到強盜劫匪，商人便集結起來形成了馬幫，這是自古中國西南獨特的商隊組織。

張雯勤提到，1962 年尼溫軍政府上台，隨後實行國有化經濟體制，嚴厲禁止人民自由行動與私有交易，造成緬甸經濟迅速崩解，大量民生用品必須仰賴泰國走私；而進行地下貿易的主要族群，即為定居兩地的雲南移民。

「雲南移民在泰緬邊區的馬幫貿易，雖然奠基於大漢中心主義『走夷方』的文化傳統心態，然而實踐過程呈現不同社群間互助、衝突與協商，突顯邊區特有的地理政治、經濟與文化主體性，以及這個經濟活動內涵的複雜規範和知識。」張雯勤分析。

時代改變，跨境貿易的方式也在改變。

1980 年代，汽車運輸漸漸取代原有馬幫，往來中緬與泰緬邊區，2000 年到 2014 年更出現「摩托車車隊」，穿梭於上緬甸與雲南邊城瑞麗。過去，馬幫由頭人帶領，策劃路線與行走時間，在特定地點向叛軍或官方上稅；交通工具改變了，當代商隊同樣繼承這些「地下貿易規則」。

以緬北摩托車車隊來說，一個車隊約五至二十人，大家先坐車到雲南瑞麗，到認識的摩托車商店買車。通常一個騎士騎一輛、帶兩輛（拆解成零件），厲害的能帶上四輛！

回緬甸不能走正規大路，要趁夜翻山越嶺，路況好的時候，六小時就能抵達緬北臘戌，一路上過村則需要付費給警察。清晨五、六點，臘戌的摩托車市集擠滿了人。除了賣車的，還有販賣偽造車牌的攤位，貴一點用鐵片做，便宜陽春版則是塑膠材質製成。

「我的摩托車車隊研究主軸，一方面引用地下經濟與日常政治理論，分析這個走私行業的運作規則與組織網絡。另一方面，我將它與過去中國西南與高地東南亞之間的長程馬幫貿易，進行比較對照，兩者在結構運作上高度相似，都是根基於地方知識與社會網絡的助因。」張雯勤談到。

她進一步分析：「我因此主張，當今中緬摩托車走私並非隨意運作，而是延續了歷史上長途馬幫貿易的組織精神；但不同的是，當代摩托車走私打破了馬幫貿易的性別專斷（只有男性從事），同時吸納兩性。」

中緬泰的邊境貿易存在已久，民間百姓經常跨境往返。雖然 1950 到 1980 年代中緬邊界關閉，但私下邊境貿易仍然存在，交易的物資包括許多日常用品：農產、醃豬肉、野生動物、熱水瓶、藥材、豬油、鹽巴、被單、枕頭套、膠鞋、布料、熱水瓶、腳踏車，以及貴重的玉石、紅寶、柚木等。

一位玉石商人曾如此形容緬甸：「賣米不合法，賣鹽不合法，賣什麼都不合法，那還可以做什麼？只能走私啊。」這些國家法律不認可的交易，一般被稱為「非法走私」；然而張雯勤認為，用「影子經濟」（shadow economy）或「非正式經濟」（informal economy），更能理解在國家治理視角之外，邊民們為了生存，遊走穿梭邊境的自主貿易。

無論國界是否封鎖、政治角力如何劇烈，平民百姓手無寸鐵，唯能在檯面下運用常民強韌的生存力量，對抗突破國家政體的限制。

大起大落的血淚玉石夢

在跨境貿易經濟鏈裡，普通人民、不同的叛軍武裝團體、政府官員、軍隊等，都共同參與這個地下商業活動。執法者也是違法者，合法與非法關係錯綜交織。

緬甸最著名的玉石貿易，亦是如此。緬甸玉石開挖已有數百年，過去挖玉石叫「挖洞子」。依照傳統，找到未被開採之處，插個樹枝示意為有主之地，就能以簡單的器具挖掘。

玉石產於克欽邦，是叛軍的勢力範圍，在尼溫主政的社會主義時期（1962-1988），雖然政府禁止私人開採，人民依舊冒險盜採。但緬軍和叛軍經常開打，挖掘玉石非常危險。到了 1990 年代初，緬軍和叛軍和談後，由政府接手管轄玉石場，商人必須向政府標地開挖，挖到玉石後上稅，再經過公盤買賣。不過，地下交易走私仍未消失。

窮人沒錢參與標案，常常聚在玉石場，一等商家把廢棄石頭倒出便蜂擁而上，幸運的或許就能找到被錯過的玉石。但採石如同賭命，由石頭堆起的「山」極不穩固，經常崩塌，傷亡慘重。張雯勤回憶看過的「山崩」影片，滿心不忍地感嘆：「在那麼不安全的社會，你得要用生命去營生。」

在玉石貿易網絡研究上，張雯勤打破既有華人關係研究的迷思，這些迷思強調華商成功源於人際關係的信任、忠誠、和諧。但她切入日常政治與法律層面，指出商貿網絡中組織性層次及規範，並藉由這個研究，提出跨越國家疆界、法律，從地區特性、歷史情境去追踪民間跨境能動性。

沉默卻堅韌的邊境女人們

性別關係是張雯勤的另一主要課題。「女性移民經常被忽略，尤其是具有軍事背景的雲南移民團體，多數報導、研究只集中在軍事與走私活動，婦女如何在不斷遷移的過程中，扮演日常生活實際供養者與文化意義延續者，卻被視而不見。」

論文中，張雯勤以一位段大嬸的生命故事，爬梳冷戰時期在紛亂的泰緬邊區，女性如何因應複雜的政治軍事生態。她們一方面穩定了家中的經濟，又成功支助男性出外打仗或跑馬幫過程所需的定點補充。論文處理了馬店與雜貨店的經營──這是雲南移民婦女在長程馬幫貿易上，不被看見的經濟角色。

2010 年，張雯勤到泰北邊境的村子田調，剛巧就住進了段大嬸媳婦開的民宿。幾日的停留，張雯勤與段大嬸一起剝著大蒜，聽著她的生命故事。

段大嬸是雲南漢人，少時與家人隨國民黨軍隊輾轉逃往緬甸、泰國。她結過兩次婚，都是部隊軍人，也都早早離世，留她一人流離遷徙，獨力撫養孩子。沒了丈夫，一個女人在邊境村落要靠自己謀生立足，艱辛可想而知。還好段大嬸很有生意頭腦，她買騾馬馱運貨物到少數民族村販賣，後來又開起了馬店和雜貨店，接待往返泰緬的馬幫商隊。

但邊境的生活永遠充滿挑戰，一遇戰事，門來不及鎖就得逃命。有一次戰事又突然爆發，當時下著傾盆大雨，段大嬸抓了雨衣就逃，沿路頭上是盤旋的飛機，身旁是落下的子彈。幾天後，當她再返家才發現鋪子裡的東西全被軍人拿走了。但別說財物，在那樣混亂的時代裡，平民百姓只能在縫隙裡拚命求生，活下來已是大幸。

邊境村子如同段大嬸這樣的女人很多。男人無論做了什麼、數年未歸，只要回家，女人還是必須接納他們。傳統性別的限制與突破，就如同邊境日常的曖昧與多重性。

因為環境險惡，性別限制得以被打破，女性在輾轉遷徙中獲得更多自由與賦權空間，但並不代表她們能完全擺脫傳統框架。

投入田野近三十年，張雯勤以人類學為根基，結合歷史學的深度，進行跨國界多點的田野研究。她從邊境百姓的遷徙著手，透過「非正式」的邊境貿易，梳理跨境流動的曖昧與多重性。

她的研究瓦解了「合法」與「非法」之間的界限，突破由國家法律先行的刻板印象，並提出「跨境民間」的概念，來理解這個區域不曾中斷的民間跨界與流動。

• 聲音的魔法！說話聲音可以提升別人對你的好感度？
• 雜物OUT！斷捨離的同時，也能整理思緒帶來好心情？
• Outdoor 戶外魂，注意！收納成手掌大小的野餐墊！登山健走，防水防磨，隨身攜帶，說走就走～
• 到泛科市集結帳輸入 panscihere 優惠碼，立即省 60 元
• 咖啡磨豆的顆粒大小、水溫的高低、水流的速度......都是決定咖啡風味的影響變數，手沖咖啡有如一場科學實驗
• 在低溫下萃取而成的冷萃咖啡(Cold Brew Coffee)，因萃取時間長而著稱，風味醇厚、酸度低，口感馥郁，快看看再懶也能成功的冷萃秘訣～