伯特蘭箱子悖論@《悖論：破解科學史上最複雜的9大謎團》

「似是而非的悖論」的第二個例子由十九世紀法國數學家約瑟夫‧伯蘭特（Joseph Bertrand）提出。（他最著名的悖論並不是這個，而且比這個更需要數學專業。）

有三個箱子，每個箱子裡各有兩枚硬幣，放置方式如下：每個箱子都隔成兩半；每一半各放一枚硬幣，而且蓋子可以單獨打開來查看裡頭的硬幣種類（但不允許查看另一枚）。第一個箱子裡放了兩枚金幣（代號GG），第二個箱子裡放了兩枚銀幣（代號SS），第三個箱子則有金幣和銀幣各一枚（代號GS）。請問你選到內有金幣跟銀幣的箱子機率有多少？答案的確很簡單：三分之一。這一點都不難。

接著，隨機挑選一個箱子。如果打開半邊的蓋子發現裡面是金幣，那麼這個箱子是GS箱的機率有多少？在發現一枚金幣的當下，你已經知道這個箱子不可能是SS箱，排除之後只剩兩種可能性：GG箱或GS箱。因此它是GS箱的機率就是二分之一，沒錯吧？

假如打開蓋子出現的是銀幣，我們就可以排除GG箱的選項，剩下的只有SS箱或GS箱兩種可能，所以選到GS箱的機會依然是二分之一。

由於打開選定的蓋子出現的不是金幣就是銀幣，而且每種硬幣各有三枚，若兩者出現的機率相同，那麼不論出現何種硬幣，你都有一半的機率選中GS箱。也就是說，往某個箱子的其中半邊裡瞧了一眼之後，選中GS箱的整體概率竟然從一開始的三分之一變成二分之一。可是，只不過才瞧了某個硬幣一眼，怎麼會使機率產生這麼大的變化？如果隨機選出一個箱子，打開其中一個蓋子之前，你知道選出的箱子有三分之一機率是GS箱；然而，僅僅憑著看到其中一枚硬幣，究竟是怎麼使得機率從三分之一突然變成二分之一的？畢竟這個動作並不會帶來新的資訊，因為你心裡明白，出現的不是金幣就是銀幣。究竟哪裡出問題了呢？

正確答案是，不論是否察看其中一枚硬幣，選到GS箱的機率一直都是三分之一，而非二分之一。首先考慮從箱子裡找到一枚金幣的情況：金幣共三枚，姑且稱他們為G1，G2和G3。假設GG箱裡放的是G1和G2，G3在GS箱裡。如果你打開其中一個箱蓋並且發現一枚金幣，那麼你有三分之二的機率打開的是GG箱，因為看到的金幣可能是G1或G2。這枚金幣是G3的機率只有三分之一，與你選中GS箱的機率一樣。

生日悖論

這是最著名的「似非而是的悖論」之一。不同於前兩個例子，這種悖論不耍花招，沒有邏輯推理上的謬誤，也不使用敘述上的障眼法。我必須強調，不論讀者是否相信其解答，它在數學與邏輯上都是完全正確的，並且具有一致性。這種面對問題的挫敗感在某種程度上提高了破解此悖論的樂趣。

以下是生日悖論的表述：

你認為房間裡至少要有多少人，才能讓其中任意兩人同一天生日的機率超過一半──也就是說，任意兩人生日相同的機率比不同來得高？

先讓我們來運用一下直觀的常識（當然稍後會證明是錯的）。一年有365天，可以想像成大講堂裡有365個空座位。100位學生進入講堂，每個人隨機選了一個座位。有些人可能想跟朋友坐在一起；有些人喜歡最後一排的隱蔽性，讓他們可以在課堂中打瞌睡不被發現；較多學生則選擇離講台較近的位置。然而他們坐在哪裡並不重要，因為超過三分之二的座位仍然空著。當然，沒有學生會去坐已經有人的座位，而我們總覺得講堂裡有這麼多座位，兩位學生搶同一個位置的機會相當微小。

如果將這種常識性的思維方式應用到生日問題上，我們可能會認為，在可選的生日與座位一樣多的情況下，這100位學生當中任何人跟別人同一天生日的機會也一樣微小。當然，難免有少數一起過生日的死黨，但我們覺得發生的可能性比不發生來得低。

如果換成一群為數366人的學生（先不管閏年），很自然地，不須多作解釋就很清楚，我們可以確定至少有兩個人生日在同一天。然而，當學生人數逐漸減少，情況卻開始變得有趣起來。

以下所述也許會讓讀者感到不可思議──事實上，房間裡只需要57個人，就可以讓任意兩人同一天生日的機率超過99％。也就是說，只要57個人，就幾乎能確定其中有兩個人同一天生日！這個答案聽起真是令人難以置信。若只針對問題來回答，任意兩人生日相同的可能性比不同還高（也就是機率超過一半）所需的人數則遠低於57。事實上，只要23個人就足夠了！

多數人初次聽到這個答案莫不大吃一驚，甚至在確認過解答的正確性之後依舊感到渾身不自在──這在直覺上的確太令人難以接受了。所以，我們接著來詳細探討其中的數學，我會儘可能將它說清楚。

我們首先假定一些預設條件，儘量使問題簡化：排除閏年的狀況、一年中所有日期作為生日的機率都相同、而且房間裡沒有雙胞胎。

許多人所犯的錯誤在於，他們認為這個問題是兩個數字之間作比較：房間裡的人數與一年中的天數。由於共有365天可作為這23人的生日，因此避開彼此生日的機會似乎遠比撞在一起來的高。但是這種看待問題的方式卻造成誤導。試想，為了能讓兩個人的生日在同一天，我們需要的是成對的人，而非單獨的個體；因此應該考慮的是不同配對方式的總數。首先從最簡單的狀況出發：如果只有三個人，那麼總共有三種不同的配對：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ｂ—Ｃ。若是四個人，配對的可能性增加到六種：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ａ—Ｄ，Ｂ—Ｃ，Ｂ—Ｄ，Ｃ—Ｄ。當總人數達到23人時，我們發現總共有253種不同的配對方式（註）。到這裡讀者是否發現，相較於原本的答案，要相信這253種雙人組合其中一組的生日剛好是365個日期之一，是否變得簡單多了呢？

計算這個機率的正確方法是：從一組配對開始，逐漸增加人數，並且觀察生日相同的機率如何變化。這個方法的訣竅在於，我們直接計算的並非新加入者與別人一同過生日的概率，而是避開所有其他人生日的機率。如此一來，第二個人避開第一個人生日的機率就是364÷365，因為他可以在一年中頭一個人生日以外的任何一天出生。第三人與前兩人生日錯開的機率是363÷365。然而別忘了前兩人仍得避開同一天生日（有364÷365的機會）；在機率論裡，如果我們想知道兩個獨立事件同時發生的概率，就得將第一個事件出現的機率乘上第二個事件的機率。因此，第二人避開第一人生日，以及第三人同時避開前兩者生日的機率，就是：（364／365）×（363／365）＝ 0.9918。最後，如果以上結果是三個人生日完全錯開的概率，那麼其中任意兩人生日相同的機率就是1－0.9918＝0.0082。因此在只有三個人的情況下，生日出現在同一天的機會非常微小，正如讀者所預期。

接著繼續進行相同的步驟——逐一增加人數，建立一串連乘的分數算出所有人錯開彼此生日的機率，直到總乘積低於0.5（也就是50％）為止。這時候就會得到任意兩人生日相同機率超過百分之五十所需的人數。我們發現，共需要22個分數連乘就可以讓總乘積小於0.5，也就是22個人：

（364／365）×（363／365）×（362／365）×（361／365）×（360／365）×……＝ 0.4927…

←    22個分數連續相乘    →

於是房間裡任意兩人生日在同一天的機率便為：

1－0.4297＝0.5073＝50.73%

解開這個難題需要一些機率論的知識。相較之下，下一個悖論就某些方面來說較為淺顯易懂，而我認為這點更令它顯得不可思議。這是我最喜歡的真悖論，因為它的陳述是如此簡單，如此容易解釋，卻又難以透徹理解。

【註】：用來計算不同配對方式總數的數學方法稱為「二項式係數法」（binomial coefficient）。這個例子的算法如下：（23 × 22）÷ 2 = 253

節錄至 PanSci 2013 四月選書《悖論：破解科學史上最複雜的9大謎團》第一章：綜藝秀裡的悖論。由三采文化出版。