Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

0

0
0

文字

分享

0
0
0

伯特蘭箱子悖論@《悖論:破解科學史上最複雜的9大謎團》

PanSci_96
・2013/04/08 ・2824字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 518 ・六年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

「似是而非的悖論」的第二個例子由十九世紀法國數學家約瑟夫‧伯蘭特(Joseph Bertrand)提出。(他最著名的悖論並不是這個,而且比這個更需要數學專業。)

有三個箱子,每個箱子裡各有兩枚硬幣,放置方式如下:每個箱子都隔成兩半;每一半各放一枚硬幣,而且蓋子可以單獨打開來查看裡頭的硬幣種類(但不允許查看另一枚)。第一個箱子裡放了兩枚金幣(代號GG),第二個箱子裡放了兩枚銀幣(代號SS),第三個箱子則有金幣和銀幣各一枚(代號GS)。請問你選到內有金幣跟銀幣的箱子機率有多少?答案的確很簡單:三分之一。這一點都不難。

接著,隨機挑選一個箱子。如果打開半邊的蓋子發現裡面是金幣,那麼這個箱子是GS箱的機率有多少?在發現一枚金幣的當下,你已經知道這個箱子不可能是SS箱,排除之後只剩兩種可能性:GG箱或GS箱。因此它是GS箱的機率就是二分之一,沒錯吧?

假如打開蓋子出現的是銀幣,我們就可以排除GG箱的選項,剩下的只有SS箱或GS箱兩種可能,所以選到GS箱的機會依然是二分之一。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

由於打開選定的蓋子出現的不是金幣就是銀幣,而且每種硬幣各有三枚,若兩者出現的機率相同,那麼不論出現何種硬幣,你都有一半的機率選中GS箱。也就是說,往某個箱子的其中半邊裡瞧了一眼之後,選中GS箱的整體概率竟然從一開始的三分之一變成二分之一。可是,只不過才瞧了某個硬幣一眼,怎麼會使機率產生這麼大的變化?如果隨機選出一個箱子,打開其中一個蓋子之前,你知道選出的箱子有三分之一機率是GS箱;然而,僅僅憑著看到其中一枚硬幣,究竟是怎麼使得機率從三分之一突然變成二分之一的?畢竟這個動作並不會帶來新的資訊,因為你心裡明白,出現的不是金幣就是銀幣。究竟哪裡出問題了呢?

正確答案是,不論是否察看其中一枚硬幣,選到GS箱的機率一直都是三分之一,而非二分之一。首先考慮從箱子裡找到一枚金幣的情況:金幣共三枚,姑且稱他們為G1,G2和G3。假設GG箱裡放的是G1和G2,G3在GS箱裡。如果你打開其中一個箱蓋並且發現一枚金幣,那麼你有三分之二的機率打開的是GG箱,因為看到的金幣可能是G1或G2。這枚金幣是G3的機率只有三分之一,與你選中GS箱的機率一樣。

生日悖論

這是最著名的「似非而是的悖論」之一。不同於前兩個例子,這種悖論不耍花招,沒有邏輯推理上的謬誤,也不使用敘述上的障眼法。我必須強調,不論讀者是否相信其解答,它在數學與邏輯上都是完全正確的,並且具有一致性。這種面對問題的挫敗感在某種程度上提高了破解此悖論的樂趣。

以下是生日悖論的表述:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

你認為房間裡至少要有多少人,才能讓其中任意兩人同一天生日的機率超過一半──也就是說,任意兩人生日相同的機率比不同來得高?

先讓我們來運用一下直觀的常識(當然稍後會證明是錯的)。一年有365天,可以想像成大講堂裡有365個空座位。100位學生進入講堂,每個人隨機選了一個座位。有些人可能想跟朋友坐在一起;有些人喜歡最後一排的隱蔽性,讓他們可以在課堂中打瞌睡不被發現;較多學生則選擇離講台較近的位置。然而他們坐在哪裡並不重要,因為超過三分之二的座位仍然空著。當然,沒有學生會去坐已經有人的座位,而我們總覺得講堂裡有這麼多座位,兩位學生搶同一個位置的機會相當微小。

如果將這種常識性的思維方式應用到生日問題上,我們可能會認為,在可選的生日與座位一樣多的情況下,這100位學生當中任何人跟別人同一天生日的機會也一樣微小。當然,難免有少數一起過生日的死黨,但我們覺得發生的可能性比不發生來得低。

如果換成一群為數366人的學生(先不管閏年),很自然地,不須多作解釋就很清楚,我們可以確定至少有兩個人生日在同一天。然而,當學生人數逐漸減少,情況卻開始變得有趣起來。

以下所述也許會讓讀者感到不可思議──事實上,房間裡只需要57個人,就可以讓任意兩人同一天生日的機率超過99%。也就是說,只要57個人,就幾乎能確定其中有兩個人同一天生日!這個答案聽起真是令人難以置信。若只針對問題來回答,任意兩人生日相同的可能性比不同還高(也就是機率超過一半)所需的人數則遠低於57。事實上,只要23個人就足夠了!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

多數人初次聽到這個答案莫不大吃一驚,甚至在確認過解答的正確性之後依舊感到渾身不自在──這在直覺上的確太令人難以接受了。所以,我們接著來詳細探討其中的數學,我會儘可能將它說清楚。

我們首先假定一些預設條件,儘量使問題簡化:排除閏年的狀況、一年中所有日期作為生日的機率都相同、而且房間裡沒有雙胞胎。

許多人所犯的錯誤在於,他們認為這個問題是兩個數字之間作比較:房間裡的人數與一年中的天數。由於共有365天可作為這23人的生日,因此避開彼此生日的機會似乎遠比撞在一起來的高。但是這種看待問題的方式卻造成誤導。試想,為了能讓兩個人的生日在同一天,我們需要的是成對的人,而非單獨的個體;因此應該考慮的是不同配對方式的總數。首先從最簡單的狀況出發:如果只有三個人,那麼總共有三種不同的配對:A—B,A—C,B—C。若是四個人,配對的可能性增加到六種:A—B,A—C,A—D,B—C,B—D,C—D。當總人數達到23人時,我們發現總共有253種不同的配對方式(註)。到這裡讀者是否發現,相較於原本的答案,要相信這253種雙人組合其中一組的生日剛好是365個日期之一,是否變得簡單多了呢?

計算這個機率的正確方法是:從一組配對開始,逐漸增加人數,並且觀察生日相同的機率如何變化。這個方法的訣竅在於,我們直接計算的並非新加入者與別人一同過生日的概率,而是避開所有其他人生日的機率。如此一來,第二個人避開第一個人生日的機率就是364÷365,因為他可以在一年中頭一個人生日以外的任何一天出生。第三人與前兩人生日錯開的機率是363÷365。然而別忘了前兩人仍得避開同一天生日(有364÷365的機會);在機率論裡,如果我們想知道兩個獨立事件同時發生的概率,就得將第一個事件出現的機率乘上第二個事件的機率。因此,第二人避開第一人生日,以及第三人同時避開前兩者生日的機率,就是:(364/365)×(363/365)= 0.9918。最後,如果以上結果是三個人生日完全錯開的概率,那麼其中任意兩人生日相同的機率就是1-0.9918=0.0082。因此在只有三個人的情況下,生日出現在同一天的機會非常微小,正如讀者所預期。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

接著繼續進行相同的步驟——逐一增加人數,建立一串連乘的分數算出所有人錯開彼此生日的機率,直到總乘積低於0.5(也就是50%)為止。這時候就會得到任意兩人生日相同機率超過百分之五十所需的人數。我們發現,共需要22個分數連乘就可以讓總乘積小於0.5,也就是22個人:

(364/365)×(363/365)×(362/365)×(361/365)×(360/365)×……= 0.4927…

←    22個分數連續相乘    →

於是房間裡任意兩人生日在同一天的機率便為:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

1-0.4297=0.5073=50.73%

 

解開這個難題需要一些機率論的知識。相較之下,下一個悖論就某些方面來說較為淺顯易懂,而我認為這點更令它顯得不可思議。這是我最喜歡的真悖論,因為它的陳述是如此簡單,如此容易解釋,卻又難以透徹理解。

 

【註】:用來計算不同配對方式總數的數學方法稱為「二項式係數法」(binomial coefficient)。這個例子的算法如下:(23 × 22)÷ 2 = 253

 

節錄至 PanSci 2013 四月選書《悖論:破解科學史上最複雜的9大謎團》第一章:綜藝秀裡的悖論。由三采文化出版。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
PanSci_96
1262 篇文章 ・ 2418 位粉絲
PanSci的編輯部帳號,會發自產內容跟各種消息喔。

0

1
0

文字

分享

0
1
0
ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度

討論功能關閉中。

0

1
0

文字

分享

0
1
0
賭博與愛情公式:用數學擬定你的擇偶策略——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/06 ・2486字 ・閱讀時間約 5 分鐘

理解期望值,有助於分析賭場裡的大部分賭局,以及美國中西部和英國的嘉年華會中,常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法:骰子擲好運(chuck-a-luck)。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力:你從 1 到 6 挑一個號碼,莊家一次擲三顆骰子,如果三個骰子都擲出你挑的號碼,莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼,莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼,莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現,那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子,你有三次機會贏,而且,有時候你還不只贏 1 美元,最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安.李維絲(Joan Rivers)的名言(按:她的名言是:「我們能聊一聊嗎?」),問一句:「我們能算一算嗎?」(如果你寧願不算,可以跳過這一節。)不管你選哪個號碼,贏的機率顯然都一樣。不過,為了讓計算更明確易懂,假設你永遠都選 4。骰子是獨立的,三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6=1/216,你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

僅有兩個骰子出現 4 點的機率,會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布,我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4,有三種彼此互斥的情況:X44、4X4 或 44X,其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6=5/216,第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加,可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216,你有這樣的機率會贏得 2 美元。

圖/envato

同樣的,要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率,也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6=25/216,得到 X4X 和 XX4 的機率亦同,三者相加,得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率,因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率,我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1(或是100%)減去(1/216 +15/216 + 75/216),得出的答案是 125/216。所以,平均而言,你每玩 216 次骰子擲好運,就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來,就可以算出你贏的期望值($3×1/216)+($2×15/216)+($1×75/216)+(–$1×125/216)=$(–17/216)=–$0.08。平均來說,你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局,大概就要輸掉 8 美分。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

尋找愛情,有公式?

面對愛情,有人從感性出發,有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好,但加起來⋯⋯也不是很妙。不過,如果善用兩者,成功的機率可能還是大一些。回想舊愛,憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣,並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人,很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中,假設女主角——就叫她香桃吧(按:在希臘神話中,香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物,象徵愛與美)有理由相信,在她的「約會生涯」中,會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說,N 可能等於 2;對另一些人來說,N 也許是 200。香桃思考的問題是:到了什麼時候我就應該接受X先生,不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」?我們也假設她是一次遇見一個人,有能力判斷她遇到的人是否適合她,以及,一旦她拒絕了某個人之後,此人就永遠出局。

為了便於說明,假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士,她對這些人的排序如下:3—5—1—6—2—4。這是指,在她約過會的這 6 人中,她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名,對第二人的喜歡程度排第 5 名,最喜歡第三個人,以此類推。如果她見了第七個人,她對此人的喜歡程度超過其他人,但第三人仍穩居寶座,那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人,她就更新追求者的相對排序。她在想,到底要用什麼樣的規則擇偶,才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中,選出最好的。

圖/envato

要得出最好的策略,要善用條件機率(我們會在下一章介紹條件機率)和一點微積分,但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好,且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面,她大概需要拒絕前面的 37%,之後真命天子出現時(如果有的話),就接受。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

舉例來說,假設香桃不是太有魅力,她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設,這 4 個人與她相見的順序,是 24 種可能性中的任何一種(24=4×3×2×1)。

由於 N=4,37% 策略在這個例子中不夠清楚(無法對應到整數),而 37% 介於 25% 與 50% 之間,因此有兩套對應的最佳策略如下:

(A)拒絕第一個對象(4×25%=1),接受後來最佳的對象。

(B)拒絕前兩名追求者(4×50%=2),接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略,香桃會在 24 種可能性中的 11 種,選到最好的追求者。採取 B 策略的話,會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列,如同前述,1 代表香桃最偏好的追求者,2 代表她的次佳選擇,以此類推。因此,3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇,再來遇見第二選擇,第三次遇到最佳選擇,最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B,代表在這些情況下,採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

1234;1243;1324;1342;1423;1432;2134(A);2143(A);2314(A, B);2341(A, B);2413(A, B);2431(A, B);3124(A);3142(A);3214(B);3241(B);3412(A, B);3421;4123(A);4132(A);4213(B);4231(B);4312(B);4321

如果香桃很有魅力,預期可以遇見 25 位追求者,那她的策略是要拒絕前 9 位追求者(25 的 37% 約為 9),接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證,但是這個表會變得很龐雜,因此,最好的策略就是接受通用證明。(不用多說,如果要找伴的人是男士而非女士,同樣的分析也成立。)如果 N 的數值很大,那麼,香桃遵循這套 37% 法則擇偶的成功率也約略是 37%。接下來的部分就比較難了:要如何和真命天子相伴相守。話說回來,這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本,其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

討論功能關閉中。

大牌出版.出版大牌_96
3 篇文章 ・ 0 位粉絲
閱讀的大牌不侷限於單一領域, 視野寬廣,知識豐富,思考獨立。

0

10
2

文字

分享

0
10
2
鑑識故事系列:Lucia de Berk 值班死幾人?荷蘭護理冤案
胡中行_96
・2023/02/27 ・2983字 ・閱讀時間約 6 分鐘

前言:本文為鑑識系列中,罕見提及統計學的故事。不過,繁複的計算過程全部省略,僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

護理人員 Lucia de Berk。圖/Carole Edrich on Wikimedia Commons(CC BY-SA 3.0)

荷蘭護理人員 Lucia de Berk,長年於海牙茱莉安娜兒童醫院(Juliana Kinderziekenhuis)的 1 個病房,與紅十字醫院(Rode Kruis Ziekenhuis)的 2 個病房工作。2001 年 12 月,她因謀殺罪嫌被捕。[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因,發現是中毒身亡;後來連帶調查 1997 至 2001 年間,幾家醫院可能的謀殺案件,於是找上了她。[2]在法庭上,司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念,證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說,就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法,叫做超幾何分佈(又稱「超幾何分配」;hypergeometric distribution)。[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中,隨機抽取樣本,不再放回的情形。例如:袋子裝有 N 顆球,其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球,不特別挑選的話,紅球碰巧被抓到的機率為 X。[3, 4]以此類推,在此案被調查的時間範圍內,病房總共有 N 個班次,其中 Lucia de Berk 值了 L 班,而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排,則她正好出現在事故班次的機率為 X。[1]公式介紹。[4]

此處實際帶入數據後得到的答案,說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一(X = 1 / 3.42 x 108)的機率,會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此,法庭認定她的頻繁出現(> 1 / 3.42 x 108),絕非巧合。[1, 2, 5, 6]2003 年,Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂,[2]被判終身監禁。[5]

茱利安納兒童醫院(Juliana Kinderziekenhuis)外觀。圖/Joris on Wikimedia Commons(CC BY-SA 3.0)
紅十字醫院(Rode Kruis Ziekenhuis)已於 2021 年關閉。圖/1Veertje on Wikimedia Commons(CC BY-SA 4.0)。

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師,以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授,都覺得事有蹊蹺。[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄,並指出部份醫療事故的類型和事發時間,與判決所用的數據對不起來因為後者大半仰賴記憶,他們甚至發現有些遭指控的班次,Lucia de Berk 其實不在現場。然而,光是這些校正,還不足以推翻判決。[1, 7]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學(Universiteit Leiden)統計學榮譽教授 Richard Gill,也伸出援手。[2]在協助此案的多年後,他的團隊發表了一篇論文,解釋不該使用超幾何分佈的理由,例如:[1]

  1. 護理人員不可互換:所有受訪醫師都說,護理人員可以相互替換;但是護理人員覺得,他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異,他們對病患的影響也不同。[1]
  2. 醫療事故通報機率:既然每個護理人員都有自己的個性,他們判定某事件為醫療事故,並且通報醫師的機率也不一樣。[1]畢竟醫院的通報規定是一回事;符合標準與否,都由護理人員判斷。比方說,有個病患每次緊張,血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒,再登記第二次測量的正常結果即可。不過,難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報,分明給病房添亂。
  3. 班次與季節事故率:夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師;季節性的特定病例增減;以及病患的生理時鐘等,都會影響出事的機率。[1]
  4. 護理排班並不平均:護理人員的班次安排,理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班,接著是幾個小夜班之類的,[1]比較方便調整作息。此外,護理人員的資歷和個性,通常也會被納入考量。[1]以免某個班次全是資深人員;但另個班次緊急事故發生時,卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下,如果單看某個時期的班表,每個人所輪到的各類班次總數,應該不會完全相同。
  5. 出院政策曾經改變:茱莉安娜兒童醫院在案發期間,曾經針對確定救不活的小病患,是否該在家中或病房離世,做過政策上的調整。帳面上來說,算在病房裡的事故量絕對會有變化。[1]

總之,太多因素會影響護理排班,或是干擾醫療事故的通報率,因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是,Henk Elffers 在計算過程中,分開處理 3 個病房的機率,然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調,這樣會造成在多處上班的護理人員,比只為一處服務者,看起來有較高的嫌疑。[1]

帕松分佈

因應這種情境,Richard Gill 教授建議採用帕松分佈(又譯「布阿松分配」;Poisson distribution),[1]一種描述特定時間內,事件發生率的統計模型。[8]有別於先前的計算方法,在這裡事故傾向(accident proneness),以及整體排班狀況等變因,都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度;後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等,也適用於 Lucia de Berk 的案子。[1](深入瞭解公式計算(p. 4 – 6)。[1, 8]

雖然此模型的細節複雜,統計學家得大費周章解釋給法官聽,但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據,這個計算最後的答案是 0.0206161,意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率,會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據,機率更高達 9 分之 1。[1, 9]換句話說,她單純是倒楣出現在那裡,就被當作連續殺人犯。[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果,顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而,最不合理的,是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說,怎能不忠於病歷或驗屍報告?Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時,表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊,被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。[2]他們發現原本被視為受害者的病患,根本都喪命於自然死因。[2, 6]

在各方人士的協助下,Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。[6]她曾於 2008 年,被允許在家等候重審結果。[1]但直到 2010 年 4 月,司法才還她清白。[7]Ton Derksen 認為,在荷蘭像這樣誤判的案件,約佔總判決數的 4 至 11%,也就是每年 1,000 人左右。不過,2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡,只有 5 個上訴到最高法院,而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。[10]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
Lucia de Berk 冤案改編電影的海報。圖/電影《Lucia de B.》(2014) on IMDB

  

  1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
  2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
  3. 超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所(Accessed on 03 FEB 2023)
  4. 李柏堅(06 FEB 2015)「超幾何分配CUSTCourses on YouTube.
  5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
  6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
  7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
  8. 李伯堅(04 FEB 2015)「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
  9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
  10. One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
胡中行_96
169 篇文章 ・ 67 位粉絲
曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
伯特蘭箱子悖論@《悖論:破解科學史上最複雜的9大謎團》
PanSci_96
・2013/04/08 ・2824字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 518 ・六年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

「似是而非的悖論」的第二個例子由十九世紀法國數學家約瑟夫‧伯蘭特(Joseph Bertrand)提出。(他最著名的悖論並不是這個,而且比這個更需要數學專業。)

有三個箱子,每個箱子裡各有兩枚硬幣,放置方式如下:每個箱子都隔成兩半;每一半各放一枚硬幣,而且蓋子可以單獨打開來查看裡頭的硬幣種類(但不允許查看另一枚)。第一個箱子裡放了兩枚金幣(代號GG),第二個箱子裡放了兩枚銀幣(代號SS),第三個箱子則有金幣和銀幣各一枚(代號GS)。請問你選到內有金幣跟銀幣的箱子機率有多少?答案的確很簡單:三分之一。這一點都不難。

接著,隨機挑選一個箱子。如果打開半邊的蓋子發現裡面是金幣,那麼這個箱子是GS箱的機率有多少?在發現一枚金幣的當下,你已經知道這個箱子不可能是SS箱,排除之後只剩兩種可能性:GG箱或GS箱。因此它是GS箱的機率就是二分之一,沒錯吧?

假如打開蓋子出現的是銀幣,我們就可以排除GG箱的選項,剩下的只有SS箱或GS箱兩種可能,所以選到GS箱的機會依然是二分之一。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

由於打開選定的蓋子出現的不是金幣就是銀幣,而且每種硬幣各有三枚,若兩者出現的機率相同,那麼不論出現何種硬幣,你都有一半的機率選中GS箱。也就是說,往某個箱子的其中半邊裡瞧了一眼之後,選中GS箱的整體概率竟然從一開始的三分之一變成二分之一。可是,只不過才瞧了某個硬幣一眼,怎麼會使機率產生這麼大的變化?如果隨機選出一個箱子,打開其中一個蓋子之前,你知道選出的箱子有三分之一機率是GS箱;然而,僅僅憑著看到其中一枚硬幣,究竟是怎麼使得機率從三分之一突然變成二分之一的?畢竟這個動作並不會帶來新的資訊,因為你心裡明白,出現的不是金幣就是銀幣。究竟哪裡出問題了呢?

正確答案是,不論是否察看其中一枚硬幣,選到GS箱的機率一直都是三分之一,而非二分之一。首先考慮從箱子裡找到一枚金幣的情況:金幣共三枚,姑且稱他們為G1,G2和G3。假設GG箱裡放的是G1和G2,G3在GS箱裡。如果你打開其中一個箱蓋並且發現一枚金幣,那麼你有三分之二的機率打開的是GG箱,因為看到的金幣可能是G1或G2。這枚金幣是G3的機率只有三分之一,與你選中GS箱的機率一樣。

生日悖論

這是最著名的「似非而是的悖論」之一。不同於前兩個例子,這種悖論不耍花招,沒有邏輯推理上的謬誤,也不使用敘述上的障眼法。我必須強調,不論讀者是否相信其解答,它在數學與邏輯上都是完全正確的,並且具有一致性。這種面對問題的挫敗感在某種程度上提高了破解此悖論的樂趣。

以下是生日悖論的表述:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

你認為房間裡至少要有多少人,才能讓其中任意兩人同一天生日的機率超過一半──也就是說,任意兩人生日相同的機率比不同來得高?

先讓我們來運用一下直觀的常識(當然稍後會證明是錯的)。一年有365天,可以想像成大講堂裡有365個空座位。100位學生進入講堂,每個人隨機選了一個座位。有些人可能想跟朋友坐在一起;有些人喜歡最後一排的隱蔽性,讓他們可以在課堂中打瞌睡不被發現;較多學生則選擇離講台較近的位置。然而他們坐在哪裡並不重要,因為超過三分之二的座位仍然空著。當然,沒有學生會去坐已經有人的座位,而我們總覺得講堂裡有這麼多座位,兩位學生搶同一個位置的機會相當微小。

如果將這種常識性的思維方式應用到生日問題上,我們可能會認為,在可選的生日與座位一樣多的情況下,這100位學生當中任何人跟別人同一天生日的機會也一樣微小。當然,難免有少數一起過生日的死黨,但我們覺得發生的可能性比不發生來得低。

如果換成一群為數366人的學生(先不管閏年),很自然地,不須多作解釋就很清楚,我們可以確定至少有兩個人生日在同一天。然而,當學生人數逐漸減少,情況卻開始變得有趣起來。

以下所述也許會讓讀者感到不可思議──事實上,房間裡只需要57個人,就可以讓任意兩人同一天生日的機率超過99%。也就是說,只要57個人,就幾乎能確定其中有兩個人同一天生日!這個答案聽起真是令人難以置信。若只針對問題來回答,任意兩人生日相同的可能性比不同還高(也就是機率超過一半)所需的人數則遠低於57。事實上,只要23個人就足夠了!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

多數人初次聽到這個答案莫不大吃一驚,甚至在確認過解答的正確性之後依舊感到渾身不自在──這在直覺上的確太令人難以接受了。所以,我們接著來詳細探討其中的數學,我會儘可能將它說清楚。

我們首先假定一些預設條件,儘量使問題簡化:排除閏年的狀況、一年中所有日期作為生日的機率都相同、而且房間裡沒有雙胞胎。

許多人所犯的錯誤在於,他們認為這個問題是兩個數字之間作比較:房間裡的人數與一年中的天數。由於共有365天可作為這23人的生日,因此避開彼此生日的機會似乎遠比撞在一起來的高。但是這種看待問題的方式卻造成誤導。試想,為了能讓兩個人的生日在同一天,我們需要的是成對的人,而非單獨的個體;因此應該考慮的是不同配對方式的總數。首先從最簡單的狀況出發:如果只有三個人,那麼總共有三種不同的配對:A—B,A—C,B—C。若是四個人,配對的可能性增加到六種:A—B,A—C,A—D,B—C,B—D,C—D。當總人數達到23人時,我們發現總共有253種不同的配對方式(註)。到這裡讀者是否發現,相較於原本的答案,要相信這253種雙人組合其中一組的生日剛好是365個日期之一,是否變得簡單多了呢?

計算這個機率的正確方法是:從一組配對開始,逐漸增加人數,並且觀察生日相同的機率如何變化。這個方法的訣竅在於,我們直接計算的並非新加入者與別人一同過生日的概率,而是避開所有其他人生日的機率。如此一來,第二個人避開第一個人生日的機率就是364÷365,因為他可以在一年中頭一個人生日以外的任何一天出生。第三人與前兩人生日錯開的機率是363÷365。然而別忘了前兩人仍得避開同一天生日(有364÷365的機會);在機率論裡,如果我們想知道兩個獨立事件同時發生的概率,就得將第一個事件出現的機率乘上第二個事件的機率。因此,第二人避開第一人生日,以及第三人同時避開前兩者生日的機率,就是:(364/365)×(363/365)= 0.9918。最後,如果以上結果是三個人生日完全錯開的概率,那麼其中任意兩人生日相同的機率就是1-0.9918=0.0082。因此在只有三個人的情況下,生日出現在同一天的機會非常微小,正如讀者所預期。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

接著繼續進行相同的步驟——逐一增加人數,建立一串連乘的分數算出所有人錯開彼此生日的機率,直到總乘積低於0.5(也就是50%)為止。這時候就會得到任意兩人生日相同機率超過百分之五十所需的人數。我們發現,共需要22個分數連乘就可以讓總乘積小於0.5,也就是22個人:

(364/365)×(363/365)×(362/365)×(361/365)×(360/365)×……= 0.4927…

←    22個分數連續相乘    →

於是房間裡任意兩人生日在同一天的機率便為:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

1-0.4297=0.5073=50.73%

 

解開這個難題需要一些機率論的知識。相較之下,下一個悖論就某些方面來說較為淺顯易懂,而我認為這點更令它顯得不可思議。這是我最喜歡的真悖論,因為它的陳述是如此簡單,如此容易解釋,卻又難以透徹理解。

 

【註】:用來計算不同配對方式總數的數學方法稱為「二項式係數法」(binomial coefficient)。這個例子的算法如下:(23 × 22)÷ 2 = 253

 

節錄至 PanSci 2013 四月選書《悖論:破解科學史上最複雜的9大謎團》第一章:綜藝秀裡的悖論。由三采文化出版。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
PanSci_96
1262 篇文章 ・ 2418 位粉絲
PanSci的編輯部帳號,會發自產內容跟各種消息喔。