邏輯駭客！霍金成功寄出穿越時空的邀請函，為何沒人赴約？

無需證據就能肯定的事情，同樣也可以無需證據就能否定。

-歐幾里德（Euclid）古希臘數學和邏輯學家

當筆者還是一位教書匠時，時常鼓勵學生應該多讀數學，不是因為數學的實用性，而是因為它是訓練邏輯的基礎。愛因斯坦（A. Einstein）曾經說過：「就其方式而言，純數學是邏輯思想的詩歌。」而26歲時就提出了反物質的存在、奠定了量子電動力學基礎的狄拉克（Paul Dirac）更認為數學幫助他了解物理定律（宇宙）。我們不是大物理學家，在這裡只能介紹一個簡單的、 2300年前的數學━幾何（geometry），看它如何能幫助我們了解我們日常生活中的邏輯。

歐幾里德

歐幾里德（Euclid）大約於西元前 300 年生於埃及亞歷山大。我們對歐幾里德的生平知之甚少，只有希臘哲學家普羅克洛斯（Proclus，410-485 年）在其《希臘著名數學家》總結中提到：歐幾里德在托勒密一世（Ptolemy I Soter，公元前 323 年至公元前 285 年）統治時期在亞歷山大任教。儘管如此，雖然歷史上有過更偉大的數學家，也有過更重要的數學家，但如果說數學界有家喻戶曉的名字，那非「歐幾里德」莫屬！歐幾里德對人類文明的長期影響可以說非常深遠：幾個世紀以來，數學和歐幾里德在整個西方世界幾乎是同義詞。

歐幾里德的《幾何原本》（The Element of Geometry，通常縮寫為 Elements）是有史以來最著名數學著作之一。印刷術發明後，這部著作是最早以印刷形式出現的書籍之一：它出版了超過一千種不同的版本，只有《聖經》比它多。《幾何原本》通常被描述為一本幾何書，但它事實上也涉及數論和一種以幾何形式呈現的原型代數。

歐氏幾何

歐幾里德有兩大創新。其一是「證明」的概念：除非是從已知為真的命題中推導出來，歐幾里德拒絕接受任何數學命題為真。第二項創新是認識到任何事物都要始於無法被證明的某些「假設」。因此，歐幾里德預先提出了五個基本假設作為其所有推論的基礎：兩點可以用一條線連接；任何有限的線都可以延伸；可以以任意圓心和任意半徑畫一個圓；所有直角都相等；及兩條直線可以平行永不相交。

對歐幾里德來說，邏輯證明是幾何學的本質特徵，而「證明」至今仍是數學事業的基石。缺乏證明的命題無論有多少間接證據支持它、或蘊含意義多麼重要，都會被（合理地）懷疑。歐幾里德公理━他精心挑選的邏輯推論鏈━的影響極為深遠。例如，他用當時被認為無可挑剔的邏輯證明了：一旦同意他的公理，你就必然得出不能理解之「無理數」存在的結論！

嚴格的邏輯證明

「無理數」是不能用兩個整數相除來精確表達的實數。所以要證明x不是一個無理數，我們只要能找出兩個實數來表達它即可。例如利用高速電腦或人腦，我們發現可以用 40/99 表達 1.212121……，所以 1.212121…… 不是無理數。可是如果我們也同樣地想利用高速電腦來證明 \(\sqrt{2}\) = 1.4142135……呢？我們可以在一秒鐘內完成成千上萬的嘗試；但如果在數年後，我們還是找不到一組整數來表達\(\sqrt{2}\) 時，我們能下結論說 \(\sqrt{2}\) 是無理數嗎？不能，因為對歐幾里德來說，這不是嚴格的邏輯證明（註一）！

同樣地，費馬（Fermat）大定理於 1637 年提出，謂若 n 大於 2（n>2），則沒有任何三個整數 a,b,c 可滿足 aⁿ+bⁿ=cⁿ 方程式。隨著時間的推移，這個簡單的定理成為數學界最著名的未證命題之一。許多數學家和業餘愛好者要麼適用於所有 n>2 的值，要麼針對特定情況，試圖證明這一命題，推動了數論領域全新的發展。最初是手工證明，後來是計算機證明，找到了最高可達 400 萬的所有 n 值；儘管如此，因為不是嚴格的邏輯證明，數學家還是不能肯定該定律的正確性。

英國數學家懷爾斯爵士（Sir Andrew Wiles）於 1993 年 6 月 23 日首次公佈了他的證明，不幸地該證明在三個月後被發現含一個錯誤。一年後的 1994 年 9 月 19 日，懷爾斯在其自謂為「職業生涯中最重要的時刻」時偶然發現了一個啟示，使他能夠修正該錯誤，於 1995 年令歐幾里德、數學界滿意地嚴格證明了費馬大定理的正確性。

又雖然早在公元五百年左右就有印度數學家懷疑圓周率 π 是無理數；但兩千年過去了，雖然還是找不到一組整數來表達它，還是沒有任何數學家敢說π是無理數。1761 年法國數學家蘭伯特 (Johann Heinrich Lambert) 終於首次嚴格地證明了π 為一無理數！

非歐幾里德幾何學

歐幾里德之五個初始、無法被證明的命題似乎都是大家很容易認定或接受的日常生活經驗。但事實上，歐幾里德的第五公設「兩條直線可以平行永不相交」遠非那麼合理明顯。因此許多數學家一直在懷疑可以從其它四個假設中推導出來（刪除它），或者能用更簡單、與其它一樣明顯的東西代替。但到了十九世紀，數學家們終於證明了它不能從其它四個假設中推導出來，明白了歐幾里德加入第五個公設是絕對正確的！

我們之所以認為「兩條直線可以永不相交」是合理的是因為我們生活在平面宇宙中：例如如果宇宙是二維空間，那我們就是生活在一張無限大的平面白紙上。但如果我們是生活在一個圓球的表面上呢？事實上我們不正是生活在一個圓球的地球表面上嗎？！但因我們的生活圈太小了，故整個周圍看起來好像一平面上而已。如果在地球表面上我們將兩「平行線」（註二）往同一方向延長不到一萬公里，它們是會相交於一點的（如果該兩點是在赤道上，那麼垂直於赤道的兩「平行線」將相交於北極或南極）。所以「兩條直線可以永不相交」在地球上不但不合理，根本完全是錯誤的假設━它只適用於日常生活中。

這些合理的懷疑歐幾里德之第五公設並沒有付諸流水。1854年，黎曼（Bernhard Riemann）在一次著名的演講中建構了無限多的非歐幾里德幾何族，為非歐幾里德幾何學邁出了決定性的一步。其中最簡單的一族缺乏平行線的公設，被稱為「非歐幾何」（non-Euclidean Geometry）。

在歐幾里德幾何裡，兩點之間的最短距離是一條直線；在非歐幾里德幾何球體表面上，兩點之間的最短距離則是沿著球體表面的大圓弧路徑(稱為測地線，註三）。在歐幾里德幾何裡，三角形內角總和為180度；但在非歐幾里德幾何球體表面上，由三個大圓弧組成的球體表面三角形內角總和則大於180度。

非歐幾何與物理

非歐幾何的發展對數學和物理學產生了深遠的影響。它顯示歐幾里德幾何並非唯一邏輯一致的體系，為愛因斯坦的相對論鋪平了道路。

牛頓物理學從根本上來說是使用平坦的歐幾里德空間和通用時間的概念來描述運動，因此當地球不沿著直線運動時，牛頓必須用重力來解釋。愛因斯坦的相對論運用非歐幾何來描述彎曲時空，謂重力並非一種力，而是時空曲率的表現：巨大的太陽彎曲了其附近時空，地球只是沿著這一彎曲時空中之「最直」的路徑（測地線）運動而已。

同樣地，牛頓物理學假設重力只對有質量的物體施加力，而光是無質量的，因此光應該永遠沿著直線傳播。但愛因斯坦廣義相對論將重力描述為時空的彎曲(不是力)，光將在這彎曲的時空沿著「直線」（測地線）傳播，但我們觀察到的將是「光不沿著直線傳播」！愛因斯坦的這一成功預測使他「瞬間」成為家喻戶曉的科學家（「延伸閱讀1」）。

歐幾里德幾何的社會邏輯

人類可能是唯一知道死是怎麼一回事的動物，因此很早就在尋找生命的目的，很難接受霹靂一聲、無中生有地出現了時間、空間、及能量的近代宇宙觀（「延伸閱讀2」）。因此許多人認為我們來到這個世界是有目的的，我們是「上帝」（註四）創造出來的。因此「上帝」存在成了一個大家能接受、不需要證明的合理「公設」。對信教的人來說，它解釋了日常生活中的所有現象。對愛因斯坦及一些科學家來說：如果不是超人的「上帝」，為什麼我們看到的宇宙能不可思議地依循某些定律井然有序地運轉，但我們只是朦朧地了解這些定律？

在「延伸閱讀3」裡，筆者提到了要證明上帝的存在是很困難的，但要證明上帝不存在更加困難！因此「上帝不存在」也是屬於「不能證明、不需要回答的合理假設」，所以在民主國家裡人人有宗教信仰或不信仰的自由。

在社會上要證明某人沒有博士學位很困難甚或不可能（註五），因此能被接受、不需要證明之唯一合理假設應該是「人人沒有博士學位」。在這前提下，如果你說你有博士學位，則證明有博士學位的責任應該落在你身上，而不是檢察官或具告人!

同樣地，因為證明我們沒有犯罪很困難甚或不可能，所以「我們沒有犯罪」應該是唯一的不需要證明之合理假設；如果你控告我犯罪，那法庭應該要你（告訴人或檢察官）提出不被懷疑及合理質疑的證據。這事實上正是民主國家所採取的法律制度。

結論

歐幾里德的專著《幾何原本》為幾何學提供了一個系統而公理化的方法：他從一組不證自明的真理（公理和公設）出發，運用演繹推理推導出定理和證明，為數學的嚴謹性和邏輯推理確立了標準，塑造了數學家和科學家解決問題和建構理論的方式，甚至影響了數學以外的各個領域如法律和政治思想，在人類社會發展中發揮了基礎性作用。例如美國傑斐遜（Thomas Jefferson）和其他開國元勳們就是運用歐幾里德演繹法構建了《獨立宣言》：他們從類似於歐幾里德幾何的「不證自明」的真理━公理━入手，建立邏輯論證，以證明革命和建立新政府的必要性。因為這些基本原則被普遍接受，無需進一步證明，因此賦予了《獨立宣言》強大而不可否認的力量。

我們在這裡探討了日常生活中所碰到的宗教信仰、學位真假、與犯罪判決的爭論與判斷，得到結論：人人有宗教信仰或不信仰的自由，確定犯罪的責任在檢察官身上，證明有學位的義務則落在當事人身上!

註釋

• （註一）嚴格地證明 \(\sqrt{2}\) 是無理數很簡單，有興趣的讀者可參考「延伸閱讀3」。
• （註二）原則上必須是趨近於零的短線。
• （註三）大圓弧是球體上任何圓心與球心重合的圓（例如赤道）。但是因為天氣、急流和空域限制等因素，航班並不沿著大圓弧路徑飛行，例如台北到舊金山的實際航線比大圓弧長了約10%。
• （註四）這裡指的「上帝」是抽象的、廣泛的超人造物主。
• （註五）在「延伸閱讀4」一文裡，筆者提到了要證明有博士學位應該是非常簡單的，如拿出正式的畢業證書或學校出證明；但要外人證明你沒有博士學位，則將與證明上帝不存在一樣更加困難：因為即使我們找遍全世界所有的地方，都沒發現你的論文或證書，我們還是不能說你沒有博士學位的博士學位━因為這不是「嚴格的邏輯證明」！

延伸閱讀

1. 「抱歉了愛因斯坦，但我真的沒辦法給那個酷理論——為何相對論與諾貝爾獎擦身而過？」，泛科學，2021/07/28。
2. 「思考的極限：宇宙創造出「空間」與「時間」？ ——宇宙觀的發展史（下篇）｜20 世紀後」，泛科學，2023/05/17。
3. 「愛因斯坦相信的上帝，是你以為的那位上帝嗎？」，泛科學，2018/03/30。
4. 「要被接受，需有不被合理質疑的證據–從科學與蔡博士學位事件討論起」，科技報導，2020/02/01。
5. 「從圓周率與無理數，談數學也有其無法理解、不精確、與不確定性」，泛科學，2019/06/03。

本文由 國立臺灣師範大學 委託，泛科學企劃執行。 

煮湯時看到調理包背面寫著「加水且加入鹽巴或味精，就大功告成了」。

這句話該怎麼解讀呢？邏輯思維好的人可能很快就能反應過來，意思是加水是必須的，鹽巴和味精至少要加一個。當然，兩者都加也行，但似乎不太健康。

你可能會說：「煮湯時誰會想那麼多？這太哲學了！」其實，19 世紀有位數學家將邏輯建立在數學而非哲學之上，他的貢獻深深影響了現代電腦的運算。他就是我們今天的主角——喬治．布爾（George Boole）。

在工作會議中，清晰的邏輯思維能幫助我們有條理地表達觀點，並迅速理解他人的意見；程式設計中，邏輯是核心，透過布林代數和邏輯運算，電腦能根據條件執行不同的任務，在智慧家電中利用邏輯閘判斷多個輸入條件來控制輸出結果。

因此，布爾提出的這一套邏輯思維與布林代數，不僅在學術領域至關重要，更是日常生活中不可或缺的工具。

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星際捷徑

一個無底深淵怎能成為星際飛行的捷徑呢？原來按照愛因斯坦的理論，黑洞是一個時空曲率趨於無限大——也就是說，時空本身已「閉合」起來的區域。但往後的計算顯示，若收縮的星體質量足夠大的話，時空在閉合到某一程度之後，會有重新開敞的可能，而被吸入的物體，將可以重現於宇宙之中。只是，這個「宇宙」已不再是我們原先出發的宇宙，而是另一個宇宙、另一個時空（姑毋論這是甚麼意思）。按照這一推論，黑洞的存在，可能形成一條時空的甬道（稱為「愛因斯坦－羅森橋接」），將兩個本來互不相干的宇宙連接起來。

這種匪夷所思的推論固然可以成為極佳的科幻素材，但對於克服在我們這個宇宙中的星際距離，則似乎幫助不大。然而，一些科學家指出，愛因斯坦所謂的另一個宇宙，很可能只是這一宇宙之內的別的區域。如果是的話，太空船便可由太空的某處飛進一個黑洞之內，然後在遠處的一個「白洞」（white hole）那兒走出來，其間無須經歷遙遠的星際距離。把黑洞和白洞連結起來的時空甬道，人們形象地稱之為「蛆洞」、「蛀洞」或「蟲洞」（wormhole）。

「蛆洞」是否標誌著未來星際旅行的「捷徑」呢？不少科幻創作正以此為題材。其中最著名的，是《星艦奇航記》第三輯《太空站深空 9 號》（Deep Space Nine, 1993-1999），在劇集裡，人類發現了一個遠古外星文明遺留下來的「蛆洞」，於是在旁邊建起了一個龐大的星際補給站，成為了星際航運的聚散地，而眾多精彩的故事便在這個太空站內展開。

我方才說「最著名」，其實只限於《星艦》迷而言。對於普羅大眾，對於「蛆洞」作為星際航行手段的認識，大多數來自二○一四年的電影《星際效應》（Interstellar，港譯：《星際啟示錄》），其間人類不但透過蛆洞去到宇宙深處尋找「地球 2.0」（因為地球環境已大幅崩壞），男主角更穿越時空回到過去，目睹多年前與年幼女兒生離死別的一幕。電影中既有大膽的科學想像，也有感人的父女之情，打動了不少觀眾。大家可能有所不知的是，導演基斯杜化．諾蘭（Christopher Nolan, 1970-）邀請了知名的黑洞物理學基普．索恩（Kip Thorne, 1940-）作顧問，所以其中所展示的壯觀黑洞景象，可不是憑空杜撰而是有科學根據的呢！

那麼蛆洞是否就是人類進行星際探險的寄託所在呢？

然而事情並非這麼簡單。我們不要忘記，黑洞的周圍是一個十分強大的引力場，而且越接近黑洞，引力的強度越大，以至任何物體在靠近它時，較為接近黑洞的一端所感受到的引力，與較為遠離黑洞的一端所感受到的，將有很大的差別。這種引力的差別形成了一股強大之極的「潮汐張力」（tidal strain），足以把最堅固的太空船（不要說在內的船員）也撕得粉碎。

潮汐張力的危險不獨限於黑洞，方才提及的中子星，其附近亦有很強的潮汐力。 拉瑞．尼文（Larry Niven, 1938-，港譯：拉利．尼雲）於一九六六年所寫的短篇〈中子星〉（Neutron Star），正以這一危險作為故事的題材。

尤有甚者，即使太空船能抵受極大的潮汐力，在黑洞的中央是一個時空曲率趨於無限，因此引力也趨於無限的時空「奇點」（singularity）。太空船未從白洞重現於正常的時空，必已在「奇點」之上撞得粉碎，星際旅程於是變了死亡旅程。

然而，往後的研究顯示，以上的描述只適用於一個靜止的、沒有旋轉的黑洞，亦即「史瓦西解」所描述的黑洞。可是在宇宙的眾多天體中，絕大部分都具有自轉。按此推論，一般黑洞也應具有旋轉運動才是。要照顧到黑洞自旋的「場方程解」，可比單是描述靜止黑洞的史瓦西解複雜得多。直至一九六三年，透過了紐西蘭數學家羅伊・卡爾（Roy Kerr, 1934-）的突破性工作，人類才首次得以窺探一個旋轉黑洞周圍的時空幾何特性。

旋轉的黑洞

科學家對「卡爾解」（The Kerr solution）的研究越深入，發現令人驚異的時空特性也越多。其中一點最重要的是：黑洞中的奇點不是一個點，而是一個環狀的區域。即只要我們避免從赤道的平面進入黑洞，理論上我們可以毋須遇上無限大的時空曲率，便可穿越黑洞而從它的「另一端」走出來。

不用說，旋轉黑洞（也就是說，自然界中大部分的黑洞）立即成為科幻小說作家的最新寵兒。

一九七五年，喬．哈德曼（Joe Haldeman,1943-）在他的得獎作品《永無休止的戰爭》（The Forever War, 1974）之中，正利用了快速旋轉的黑洞（在書中稱為「塌陷體」——collapsar）作用星際飛行——以及星際戰爭得以體現的途徑。

由於黑洞在宇宙中的分佈未必最方便於人類的星際探險計劃，一位科學作家阿德里安．倍里（Adrian　Berry,1937-2016）更突發奇想，在他那充滿想像的科普著作《鐵的太陽》（The Iron Sun, 1977）之中，提出了由人工製造黑洞以作為星際轉運站的大膽構思。

要特別提出的一點是，飛越旋轉黑洞雖可避免在奇點上撞得粉碎，卻並不表示太空船及船上的人無須抵受極強大的潮汐力。如何能確保船及船員在黑洞之旅中安然無恙，是大部分作家都只有輕輕略過的一項難題。

此外，按照理論顯示，即使太空船能安然穿越黑洞，出來後所處的宇宙，將不是我們原先出發的那個宇宙；而就算是同一個宇宙，也很可能處於遙遠的過去或未來的某一刻。要使這種旅程成為可靠的星際飛行手段，科幻作家唯有假設人類未來對黑洞的認識甚至駕馭，必已達到一個我們今天無法想像的水平。

然而，除了作為星際飛行途徑，黑洞本身也是一個怪異得可以的地方，因此也是一個很好的科幻素材。黑洞周圍最奇妙的一個時空特徵，就是任何事物——包括光線——都會「一進不返」的一道分界線，科學家稱之為「事件穹界」（event horizon）。這個穹界（實則是一個立體的界面），正是由當年史瓦西計算出來的「史瓦西半徑」（Schwarzschild radius）所決定。例如太陽的穹界半徑是三公里，也就是說，假若一天太陽能收縮成一個半徑小於三公里的天體，它將成為一個黑洞而在宇宙中消失。「穹界」的意思就是時空到了這一界面便有如到了盡頭，凝頓不變了。

簡單地說，穹界半徑就是物體在落入黑洞時的速度已達於光速，而相對論性的「時間延長效應」（time dilation effect）則達到無限大。對太空船上的人來說，穿越界面的時間只是極短的頃刻，但對於一個遠離黑洞的觀測者，他所看到的卻是：太空船越接近界面，船上的時間變得越慢。

而在太空船抵達界面時，時間已完全停頓下來。換句話說，相對於外界的人而言，太空船穿越界面將需要無限長的時間！

無限延長的痛苦

了解到這一點，我們便可領略波爾．安德遜（Poul Anderson, 1926-2001）的短篇〈凱利〉（Kyrie, 1968）背後的意念。故事描述一艘太空船不慎掉進一個黑洞，船上的人自是全部罹難。但對於另一艘船上擁有心靈感應能力的一個外星人來說，情況卻有所不同。理由是她有一個同樣擁有心靈感應能力的妹妹在船上，而遇難前兩人一直保持心靈溝通。由於黑洞的特性令遇難的一剎（太空船穿越穹界的一剎）等於外間的永恆，所以這個生還的外星人，畢生仍可在腦海中聽到她妹妹遇難時的慘叫聲。

安德遜這個故事寫於一九六八年，可說是以黑洞為創作題材的一個最早嘗試。

太空船在穹界因時間停頓而變得靜止不動這一情況在阿爾迪斯一九七六年寫的《夜裡的黑暗靈魂》（The Dark Soul of the Night）中，亦有頗為形象的描寫。恆星的引力崩塌，在羅伯特．史弗堡（Robert Silverberg）的《前往黑暗之星》（To the Dark Star, 1968）之中卻帶來另一種（雖然是假想的）危險。故事中的主人翁透過遙感裝置「親身」體驗一顆恆星引力塌陷的過程，卻發覺時空的扭曲原來可以使人的精神陷於瘋狂甚至崩潰的境地。

以穹界的時間延長效應為題材的長篇小說，首推弗雷德里克．波爾（Frederik Pohl, 1919-2013）的得獎作品《通道》（Gateway, 1977），故事描述人類在小行星帶發現了由一族科技極高超的外星人遺留下來的探星基地。基地內有很多完全自動導航的太空船，人類可以乘坐這些太空船穿越「時空甬道」抵達其他的基地，並在這些基地帶回很多珍貴的，因此也可以令發現者致富的超級科技發明。

故事的男主角正是追尋這些寶藏的冒險者之一。他和愛人和好友共乘一艘外星人的太空船出發尋寶，卻不慎誤闖一顆黑洞的範圍。後來他雖逃脫，愛人和好友卻掉進黑洞之中。但由於黑洞穹界的時間延長效應，對於男主角來說，他的愛人和好友永遠也在受著死亡那一刻的痛苦，而他也不歇地受著內疚與自責的煎熬。

故事的內容由男主角接受心理治療時逐步帶出。而特別之處，在於進行心理治療的醫生不是一個人，而是一副擁有接近人類智慧的電腦。全書雖是一幕幕的人機對話，描寫卻是細膩真摯、深刻感人，實在是一部令人難以忘懷的佳作。

由於這篇小說的成功，波氏繼後還寫了兩本續集：《藍色事件穹界以外》（Beyond the Blue Event Horizon, 1980）及《希徹會晤》（Heechee Rendezvous, 1984）。而且兩本都能保持很高的水準。

時間延長效應並非一定帶來悲劇。在先前提及的《永無休止的戰爭》的結尾，女主角正是以近光速飛行（而不是飛近黑洞）的時間延長效應，等候她的愛侶遠征歸來，為全書帶來了令人驚喜而又感人的大團圓結局。

七○年代末的黑洞熱潮，令迪士尼（Walt Disney）的第一部科幻電影製作亦以此為題材。在一九七九年攝製的電影《黑洞》（The Black Hole）之中，太空船「帕魯明諾號」在一次意外中迷航，卻無意中發現了失蹤已久的「天鵝號」太空船。由於「天鵝號」環繞著一個黑洞運行，船上的人因時間延長效應而衰老得很慢。這艘船的船長是一個憤世疾俗的怪人，他的失蹤其實是故意遠離塵世。最後，他情願把船撞向黑洞也不願重返文明。

比起史提芬．史匹堡（Steven Spielberg, 1946-）的科幻電影，這部《黑洞》雖然投資浩大，拍來卻是平淡乏味，成績頗為令人失望。除了電影外，科幻作家艾倫．迪安．霍斯特（Alan Dean Foster, 1946-）亦根據劇本寫成的一本同名的小說。

——本文摘自《超次元．聖戰．多重宇宙》，2023 年 11 月，二○四六出版，未經同意請勿轉載。