一切都是時臣的錯？同情心讓你先把拳頭放下來──「私刑正義」的心理學

重複賽局中的均衡結果

在 1883 年，法國經濟學家伯特蘭（1822 – 1900）研究了販售相同產品的廠商之間的價格競爭，在他的分析中，廠商面對的誘因問題很類似囚徒困境賽局。

伯特蘭預測在均衡時廠商之間會彼此削價，類似囚徒困境賽局中的｛認罪，認罪｝結果。但我們在現實中常常看到廠商彼此勾結並訂定高價。西方民主國家多數立有「反壟斷法」禁止這類勾結，以促進競爭。

為了瞭解在囚徒困境之類的處境中，參與者何時會勾結，我們必須跳脫一次性賽局，也就是參與者只進行一次後就結束的賽局。轉而考慮更符合現實的重複互動，也就是參與者會不斷進行同樣賽局。

如果參與者重複互動，我們能夠在囚徒困境中觀察到合作的均衡嗎？

假設兩位參與者都知道囚徒困境賽局會進行兩次。為了找出重複互動賽局的均衡，我們要先預測最後一回合賽局的均衡，然後倒推第一回合賽局的均衡。這種推理方式稱為逆向歸納法。

如果這就是結局？

在第二回合，參與者知道這是最後一次互動，也就沒有必要嘗試改變未來的結果。因此，最後一局結果就像是一次性囚徒困境：沒人合作。

參與者可以推論，不論第一回合如何，第二回合肯定沒有合作。那麼，從參與者的角度來看，第一回合也跟一次性囚徒困境沒有兩樣。因此，在均衡時兩回合都不會出現合作。

事實上，即使囚徒困境賽局進行多次，只要賽局有個確切的結束回合，我們永遠不會觀察到合作。逆向歸納法從最終回合拆解了整體賽局的結果。

現實世界沒有真正的「最終回」

以色列裔美國數學家歐曼（1930 年生）在 2005 年與謝林一起獲得諾貝爾經濟學獎。他的研究之一是無限回合賽局均衡下的合作行為。在無限回合中，逆向歸納法無法從最終局拆解合作情形，因為沒有明確的最終局。

合作要能成為均衡的結果，首要條件是參與者的策略能夠處罰過去的壞行為（不合作）。為了避免以後受罰，參與者可能選擇合作。

試看在無限回合的囚徒困境賽局中所謂的冷酷策略：參與者起初採取合作行動（例如囚徒保持沉默，也可能是室友賽局中的洗碗，或是廠商的勾結高價）。

在接下來的賽局中，只要對方合作，我也一直保持合作。但只要對方背叛了（例如囚徒認罪、室友不再洗碗、廠商用低價搶走市場），我就選擇背叛。

——本文摘自《大話題：賽局理論》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

• 作者： 喬登．彼得森 (Jordan B. Peterson)
  譯者： 劉思潔, 何雪綾

喬登•彼得森是多倫多大學心理學教授、臨床心理學家，前哈佛大學心理學系教授。主要研究異常心理、社會心理，以及人格心理學。《生存的12條法則》討論我們該如何改變現況，建立生命的架構、過得更好。本文摘自 法則 05：別讓孩子做出令你討厭他們的事。

管教不只懲罰一招，還有獎勵可用

現代父母很怕兩個經常並列的詞：管教與懲罰。

這兩個詞令人想起監獄、士兵、納粹的長筒靴等畫面。事實上，管教與暴虐或懲罰與酷刑之間的距離，是很容易跨越的，因此管教和懲罰一定要小心拿捏。父母會害怕並不足為奇，但這二者都有其必要，在運用時可能是無意識或有意識，也可能用得拙劣或妥善，但不可能完全避免。

用獎勵來管教並非不可能。實際上，獎勵良好表現可能非常有效。最著名的行為心理學家史金納（F. B. Skinner）便大力提倡這個方法，他是這方面的專家。

史金納教鴿子玩乒乓球，不過牠們只是用喙部啄著球來回滾動，雖然表現得不好，但以鴿子來說算是相當不錯。史金納甚至訓練他的鳥兒在第二次世界大戰期間導航飛彈，稱為「鴿子計畫」（後來稱為「生控計畫」）。他的研究成果卓越，直到電子導航系統問世，他的心血才遭到淘汰。

史金納格外仔細地觀察他訓練的動物如何執行這些動作。牠們只要做出與他的目標接近的行為，就會立刻得到一個大小適度的獎勵，不至於太小而無足輕重，也不至於太大而消減日後獎勵的價值。

這種方法也適用於兒童，而且效果非常好。假設你希望家裡的幼兒幫忙擺設餐桌，這是很實用的技能。如果他做得到，你會更喜愛他，對他（脆弱）的自尊也有幫助。

好，你把預定要達成的行為拆解成幾個部分，其中一項就是從櫥櫃拿一個盤子放在餐桌上。但這個動作可能還是太複雜，或許孩子幾個月前才剛學會走路，仍然搖搖晃晃，不太可靠。所以你一開始訓練時，先拿一個盤子給他，再讓他交還給你，之後你就輕撫他的頭。

你可以把這變成一個遊戲：左手拿盤子，交換到右手，繞過背後轉一圈，把盤子交給他，接著你後退幾步，這樣他就必須走幾步才能交還給你。訓練他成為端盤子大師，別讓他一直笨手笨腳。

觀察與鼓勵，足以形塑出任何行為

你可以用這樣的方法教任何人：第一步，先弄清楚你想要什麼，然後像老鷹一樣觀察身邊的人。最後，每當你看到任何事情稍微更接近你想要的結果，就撲過去（跟老鷹一樣精準，要記得）送出獎勵。你女兒進入青春期之後就非常沈默，你希望她能多開口講話，你的目標就是「比較願意聊心事的女兒」。

有一天早上吃過早餐，她講了一則學校的趣事，這就是你給予關注的絕佳時機，這就是獎賞，停止發簡訊並仔細聆聽，除非你不希望她日後再告訴你任何事。

父母的介入若是能讓孩子高興，顯然就能夠且應該用來形塑孩子的行為。這個道理也適用於丈夫、妻子、同事和父母親。但史金納是現實主義者，他注意到使用獎賞有其難度，觀察者必須耐心關注，直到觀察目標自發地表現出期望的行為，然後才增強。

這需要大量的時間和等待，這就構成了問題。另外，史金納也必須先讓動物挨餓到只剩正常體重的四分之三，動物才會對食物獎賞有足夠的興趣，才會真的關注。但這些並不是純粹正面取向的唯一缺點。

成長過程總有傷害

負面情緒就像正面情緒，也會幫助我們學習。我們需要學習，因為我們很愚蠢，很容易受傷，然後可能會送命，這可不是好事，也令我們痛苦（否則我們就會尋死，然後就沒命了）。就算死亡只是可能發生，我們也不會感到舒服。我們向來如此。可見負面情緒帶來的不愉快可以保護我們。

我們感到受傷、害怕、羞愧、厭惡，所以我們會避開傷害。而且我們很容易受到這些感受的影響。實際上，我們因失落而產生的負面情緒，會大於同樣程度的收穫所帶來的正向感受。痛苦比快樂更深刻，焦慮比希望更強烈。

情緒（正面和負面）有兩種截然不同的變形。

滿意（嚴格來說是飽足）讓我們知道自己做得很好，希望（嚴格來說是誘因式酬賞）表示令人愉快的事即將來到。

痛苦傷害我們，所以我們不會重複做出造成個人損傷或社會孤立的舉動（寂寞嚴格來說也是某種形式的痛苦）。

焦慮使我們遠離帶來傷害的人和不好的地方，讓我們不必感到痛苦。這些情緒都必須相互平衡，並在適當脈絡下審慎判斷，但也都是我們生存與蓬勃發展所必需。因此，如果沒有用盡一切可用的東西幫助孩子學習，就是在傷害他們。可用的東西也包含負面情緒，只是應該以最仁慈的方式運用。

史金納知道威脅和懲罰可以遏阻令人厭惡的行為，正如獎勵會強化理想的行為。現代人一想到會阻礙兒童走上自然發展的假想原始路徑，就嚇呆了，連要討論純粹正面取向的管教技巧也有困難。但假使兒童的行為不必經過塑造，在長大成熟之前就不會有如此漫長的自然發展時期，只會一蹦出子宮就打算買賣股票。兒童也無法完全避免害怕和痛苦。

他們又小又脆弱，對世界沒什麼認識，即使是學走路這麼自然的事，也會一再受到世界的重擊，更別提跟手足、同儕及不配合又固執的大人相處時，難免會經歷受挫、被拒絕。

因此，最基本的道德問題並不是如何保護孩子完全免於不幸和失敗，讓孩子永遠不會經歷任何害怕或痛苦，而是如何極大化學習，讓孩子以最低的成本獲得有用的知識。

本文摘自《生存的12條法則：當代最具影響力的公共知識分子，對混亂生活開出的解方》，2019 年 5 月，大家出版

草率分析機率，是帶著正義面具的暴力

粗暴的正義

如果你想瞭解某件事的機率，例如在犯罪現場發現的 DNA 是否與被告的 DNA 相符，那麼你必須以良好的統計數據為基礎。但近年來，構成良好基礎的東西已出現變化。對許多人來說，就像安琪拉．賽尼 (Angela Saini) 所說的，傳統的統計數據需用18世紀的一個想法加以翻新。

不修邊幅的神探可倫坡，總能抓到他想抓的人。我們拿這齣美國知名電視影集在1974年播放的某一集來說吧。該集中有個攝影師殺了他的妻子，還把整件事偽裝成一場手法拙劣的綁架案，但在偵探可倫坡發現了一個詭計，終於揭發整件事情之前，這是一齣完美的犯罪。可倫坡在一個架子上放了十二台相機，然後引誘凶手從架上取下拍下受害人被殺前影像的那台相機。看守的警察對凶手說：「先生，你剛剛讓自己捲進事端了。」

事情若有這麼簡單就好了。無論是不是凶手，每人去拿相機的人都有十二分之一的機會隨機拿到同一台相機。在法庭上，這樣的證據根本站不住腳。但，如果它站得住腳呢？

這種機率陷阱不只出現在犯罪小說裡。「發生統計錯誤的頻率高得驚人，」英國索爾福德大學數學家雷．希爾 (Ray Hill) 說，他曾在幾個著名的刑事案件中提供證據。「我總在證據說明中發現人們沒注意的例子。」他說。

其中根本原因在於人們草率地分析機率，玷汙了公正性，甚至可能讓無辜者啷噹入獄。隨著人們在判案時越來越仰賴「確定」的數據，像 DNA 配對，這問題變得越來越嚴重。有些數學家呼籲，法院應開密集課程，把證據的重要性放在第一要務。他們需要什麼呢？貝氏機率能公斷一切。

有兩億分之一的機率，你與罪犯有相同的 DNA

這呼籲出自湯馬斯．貝氏 (Thomas Bayes) 的研究，他是18世紀英國一名數學家和神職人員，他曾針對該如何計算條件機率做出說明。條件機率是指某一件事發生的機率，取決於其他事件發生的機率。這正是刑事案件面對的問題，因為辦案人員會清查所有證據，以確認被告無罪或有罪（請參見下面的「法庭上的貝氏統計」）。

那麼，數學看來很適合使用在法庭上，但法官和陪審團其實常常太過依賴直覺判案。有個讓人吃驚的案例發生在1996年，那是跟英國男子丹尼斯．約翰．亞當斯 (Dennis John Adam) 有關的強暴案。在指認凶手時，亞當斯並未被指認出來，而他的女友也提供了他的不在場證明。但他的 DNA 與犯罪現場的精液匹配，而這是兩億分之一的機率，這個證據很可能讓任何一位陪審員判他有罪。

然而，在這裡我們必須面對的問題是，這個數字到底說明了什麼。實際上，這數字並不如法庭和新聞界一般以為的那樣稀罕。他們往往認為，既然這些精液只有兩億分之一的機率不是亞當斯留下的，因此他不太可能是無辜的。就像我們稍後會明白的，這數字實際上代表，若我們隨機在大眾之中取得 DNA，那麼我們將有兩億分之一的機會，拿到與犯罪現場精液相符的 DNA。

這兩個意義的差異十分微小，卻至關重要。在一群（假設是一萬人）可能犯下罪行的人之中，有人的 DNA 與犯罪現場 DNA 相符的機率是兩億分之一，或是兩萬分之一。這樣的解釋對亞當斯來說仍然不太妙，但不至於完全毫無希望。

法庭上的貝氏統計

你能成為貝式陪審員嗎？就像下面例子所示，它並不是一個直截了當的判斷。假設你有個來自犯罪現場的證據E，那是一灘血跡，或是一段衣服線頭，並且與嫌犯身上的東西相符。這些東西會如何影響你對嫌犯清白的看法或假設 H？

貝式定理會告訴你如何在給定的 E，計算出 H 的機率。亦即：（H的機率）乘以（在給定的 H 下，E 的機率），再除以（E 的機率）。或是，如果用標準的數學符號來表示，會是這樣：

P (H | E) ＝ P (H) × P (E | H) / P (E)

假設你擔任一起攻擊案的陪審員，到目前為止你有60%相信被告是無辜的：P (H) ＝ 0.6。然後有人告訴你，被告的血型和犯罪現場留下的血型都是 B 型，而世界上有10%的人是這種血型。這件事會如何改變你的看法？被告的嫌疑應該更大或是更小？

法醫專家給你的機率，是在一般清白大眾中找到與證據相符的人的機率：P (E | H) ＝ 0.1。要應用貝式公式並發現 P (H | E)，也就是你對被告為無罪的新看法，你需要的是數量 P (E)，也就是他們的血液與犯罪現場血液相符的機率。

實際上，這個機率取決於被告無罪或是有罪。如果他們是無辜的，他們就和所有人一樣都是0.1；但如果他們有罪，那就是1，因為他們的血液確定與現場血液相符。這個洞見讓我們可以在無罪 (H) 或有罪 (不是H) 的狀況下加總血液匹配的機率，進而計算出 P (E)：

P (E) ＝ [ P (E | H) × P (H) ]＋[ P (E | 非H) × P(H) ]
＝ (0.1 × 0.6) ＋ (1 × 0.4) ＝ 0.46

所以，根據貝式公式，修正過的無罪機率是：

P (H | E) ＝ (0.6 × 0.1) ÷ 0.46 ＝ 0.13

正如你所想的，若採用這個方法，無罪的機率便下降了。如此一來，被告有罪的機率，也許比你一開始想的高了四到五倍。

當常識與正義背道而馳

亞當斯的辯護團隊，非常擔心陪審團可能會曲解機率，因此找來牛津大學統計科學家彼得．唐納利 (Peter Donnelly) 協助。「我們設計了一個問卷調查，透過貝式推理，幫助他們整合所有證據。」唐納利說。

然而，他們未能說服陪審團相信貝式方法的價值，最終亞當斯還是被定了罪。他上訴兩次皆鎩羽而歸，上訴法官最終裁定陪審團的任務是「不要用公式來評估證據，而是用他們的常識來判斷。」

但如果常識與正義背道而馳，又該如何呢？對英國蘭開斯特大學的數學家大衛．露西 (David Lucy) 來說，亞當斯的案例說明了傳統文化必須有所改變。「在某些情況下，統計分析是評估證據的唯一方法，因為直覺有可能導致謬誤的結果，」他說。

在錯誤發生前便發現它

倫敦瑪麗王后大學計算機科學家諾曼．芬頓 (Norman Fenton)，曾在刑事案件中擔任防務小組的工作，他提出一個可能的解決方案。他和同事馬丁．尼爾 (Martin Neil) 合作，研發了一個按步驟出現的圖片系統和一棵決策樹，藉此幫助陪審員瞭解貝式推理。這兩人說，一旦陪審團相信這方法有效，專家們就能把貝式定理使用在類似這種「黑盒子」的案件中，計算出每個證據所指出的無罪或有罪機率。「人們不會質疑電子計算機執行的步驟是否正確，那麼為什麼在這裡就要質疑呢？」芬頓問。

這個建議很有爭議。根據其結論來說，我們可能在單一計算中看到公平審判的結果。用貝式機率處理DNA和血型配對的效果很好，但若事涉將外貌和行為等因素量化，難度卻變得更大。「不同陪審員對證據會有稍微不同的見解，而這不是數學家可以代勞的事，」唐納利說。

唐納利認為，法醫專家應接受統計學的教育，以便在錯誤發生之前就能發現它們。從類似亞當斯這樣的案例發生以來，美國和英國的法醫專家確實已開始學習統計學；然而，律師和陪審員受到的統計訓練仍然很少，如果真有的話。

真實的五個謬誤

隨著五個真實謬誤的出現，我們實在無法感到自滿。唐納利說，這些來自法律教科書的真實案例顯示，人們要求翻新統計分析的呼籲，並不是要讓數學家把他們的思考方式強加在整個世界上。「正義必須仰賴每一個人都能在不確定的情況下，適當地進行推理。」他說。

一、檢察官的謬誤

「檢察官謬誤是種非常容易犯的錯，」英國肯特市一家證據顧問公司首席法醫顧問公司的伊恩．埃夫特 (Ian Evett) 說。這種謬誤混淆了貝式公式對兩種機率之間所做的微妙區分。P (H | E) 這機率是指一個人與部分證據相符的情況下，他是無辜的機率；P (E | H) 這機率則是指一個人在無辜的情況下，他與部分證據相符的機率。第一個機率是我們想知道的，第二個機率則通常是法醫告訴我們的。

不幸的是，即使是專業人士有時也會把這兩個機率搞混。例如，1991年在英國曼徹斯特，安德魯．迪恩 (Andrew Deen) 強暴案正在審判時，一位專家證人同意該（精液的）DNA 樣本「不是安德魯．迪恩留下的機率是三百萬分之一。」

然而那樣說是錯的。在一般大眾之中，任何無辜者的 DNA 與犯罪現場的精液相符之可能性是三百萬分之一；也就是說，這是 P (E | H)。英國大約有六千萬人，很少有人的 DNA 會與犯罪現場相符。根據有多少人可能會承認自己犯下罪行來說，就算迪恩的 DNA 與犯罪現場遺留的精液相符，但他無罪的機率—或說 P (H | E) —實際上還是比三百萬分之一要大上很多。

在上訴時，迪恩有罪的判決被撤銷了，讓一群類似案件也成功獲得程度不一的翻案，有些還出現讓人驚訝的結果。例如，警察發現一名在2008年入獄的加州人，他的 DNA 與三十五年前一起姦殺案留下的證據相符。

二、終極議題的謬誤

迪恩的起訴案在快發生機率謬誤之前結束了。然而在陪審團的想法裡，它可能會變成「終極議題」的謬誤：明確將（小的）數字 P (E | H) 等同於嫌犯無罪的可能性。

在1968年的洛杉磯，這個終極議題的謬誤讓黑人馬爾科姆．柯林斯 (Malcolm Collins) 和他的白人妻子珍娜啷噹入獄。乍看之下，這個案子似乎沒什麼可質疑的：一位年長女士被一位金髮白人女性和蓄鬍的黑人搶劫，他們雙雙跳進一輛黃色汽車後逃逸。根據一位專家的計算，要找到一對符合這種組合男女的機率，是一千兩百萬分之一。

警方相信了專家的話，而陪審團也不假思索地相信這看法。他們認為，站在法庭上的這對黑白男女，只有一千二百萬分之一的機率不是作案的那對，而這也是他們無辜的機率。

然而，警察和陪審團都錯了。在像洛杉磯這樣的城市裡，數以百萬計來自各種族的人都住在這裡，或是經過這裡，所以有其他類似種族組合的男女大有可能存在，因此柯林斯夫婦有更平均或更高的機率是無辜的；更不用說，受害者對嫌犯的描述本身可能根本是錯誤，這一點有助於上訴時扭轉被告的有罪判決。

三、忽視基本比率

任何想靠 DNA 分析快速得到判決的人，都該意識到遺傳證據也許並不可靠。這個世界有七十億人，就算發現相同基因的機率是十億分之一，也可以在這世上找到七個相符的人。

所幸，間接證據和法醫證據往往會把可能是嫌犯的那群體迅速切成小團體。但是，忽略你的「基本比率」—也就是可能符合的那群人—會讓你得到錯誤的結論。而且這樣的事不只發生在法庭上。

舉例來說，看看醫生幫你動手術的狀況。假設你剛剛被檢查出罹患了不治之症，而罹患這疾病的機率是一萬分之一。這個檢查的準確度為99%。那麼，你罹患該疾病的真正機率是多少呢？

答案是不到1%，原因是這種疾病非常罕見，這表示即使檢查擁有高達99%的準確率，出現偽陽性的機率會遠遠超過實際患病的機率（見下頁圖）。這就是為什麼進一步檢查而將機率縮小，是這麼重要。並不是只有像我們這樣的一般人，才會被這種反直覺結果所困擾。根據調查顯示，有85-90%的健康專家，都會搞錯這東西。

四、被告的謬誤

在法庭內，能把統計數據按對自己有利的方式詮釋的人，並不只有檢察官。就我們所知，辯護律師也會出現「挑櫻桃」的機率（譯注：挑櫻桃是指，只談支持論點的理由，而不談反對論點的理由）。

例如，1995年前美國足球明星O.J.辛普森 (O.J. Simpson) ，因謀殺前妻妮可．布朗 (Nicole Brown) 及其友人而受到審判。在此多年之前，辛普森曾被控家暴，對此他不承認自己有罪，但也未替自己辯護。為了淡化這件家暴案，在 O.J. 辛普森的辯護顧問團裡，有個名叫艾倫．德爾霍維茨 (Alan Dershowitz) 的顧問，他說在曾被丈夫或男友施暴的所有女性中，只有不到千分之一的人被伴侶殺害。

後來，賓州天普大學的數學家約翰．艾倫．保羅斯 (John Allen Paulos) 表示，這數字可能是真的，但並非最重要的事。由於貝氏算法會將所有相關事實的資訊都計算進去，所以一名女性若曾遭虐待再被殺害，那麼凶手有80%的機率會是她的伴侶。

但這也許還不是故事的全貌，加州大學爾灣分校的犯罪學家威廉．湯普森 (William Thompson) 就表示，在所有遭殺害的女性中，無論她們有沒有被施暴過，如果有超過80%的人都是被伴侶所殺，那麼「有沒有虐待就根本不具判斷價值，」他說。

五、相關證據謬誤

有時候，早在貝式統計能發揮作用之前，數學邏輯就已離開法庭，變得無用武之地，這是因為我們根本誤用了機率。

就相關證據謬誤來說，這是英國近期最惡名昭彰的一起正義受挫的案例。1991年11月，莎麗．克拉克 (Sally Clark) 被控趁孩子睡覺時，將他們窒息而死。兒科醫生羅伊．梅多 (Roy Meadow) 作證說，兩個孩子皆自然死於初生嬰兒猝死症（SIDS，或稱嬰兒促死）的機率為七千三百萬分之一。他之所以得到這數字，是因為他將個別孩童罹患初生嬰兒猝死症的機率八千五百分之一相乘起來。也就是說，該醫生將克拉克家中的兩起死亡案件，當成彼此獨立的事件來處理。

但，為何這兩起死亡案件是獨立事件呢？對此，英國皇家統計學會在上訴時表示，「可能有未知的基因或環境因素，讓某些家庭特別容易罹患初生嬰兒猝死症。因此發生過這種事件的家庭，更有可能發生第二起這樣的案件。」

「即使當時判案的是三位傑出的法官，但他們都沒發現這個錯誤。」為辯方工作的雷．希爾 (Ray Hill) 說。他估計，如果家中有一個孩子死於初生嬰兒猝死症，那麼另一個孩子死於此症的機率，將高達60%。如此，貝氏推論算出兩個孩子發生初生嬰兒猝死症的機率大約是十三萬分之一。英國每年有幾萬個孩子出生，這表示三不五時就會發生兩起初生嬰兒猝死症。

最後，克拉克在2003年獲釋。她的案件持續發酵，讓人們反省許多類似案件。希爾說，「最近幾年，我不記得法院是否還有收到嬰兒死猝亡案件。」然而，克拉克自此不曾從被誤解的痛苦中痊癒過來。2007年，人們發現她陳屍家中，她終究成了人們對統計無知的受害者。

本文選自泛科學2018年7月選書《偶然的科學：好運、隨機及機率背後的秘密》，八旗文化。