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站在「震動機」上就能增肌並預防老化?真的這麼簡單有效嗎?

活躍星系核_96
・2022/01/12 ・2049字 ・閱讀時間約 4 分鐘

「全身震動可以預防骨質密度、長肌肉?」「電刺激可以電出八塊肌、燃燒脂肪?」

可能是演算法的關係,最近不斷跳出類似的儀器跟文章,也有許多朋友私訊我說是不是真的那麼厲害。

如果健康是 60 分,單獨使用全身震動,可能讓你從 0 分進步到 20 分,而大部分的人可能都有在 40 到 80 分這個程度,但是單獨做運動訓練,想從 0 到 60 分或 60 分到 100 分都是可以達到的。

什麼是全身震動治療?

全身震動治療(Whole body vibration)是透過水平或垂直的震動,來達到刺激肌肉活化、避免骨質疏鬆、改善肌力等效果。常常是站在一個儀器或平台上,專業人員可以設定參數如震動頻率、持續時間等,嘗試達到特定的效果。

為什麼有爭議性?

以我自己,從物理治療師跟教練的角度來看,這些爭議多來自「過度誇大效果」。不只強調「提升肌力」的全身震動;還有「放鬆軟組織」的震動按摩槍;可以「預防」肌肉萎縮的功能性電刺激(FES),其實都不是新興的儀器,很早在物理治療跟復健領域就有在用了,而他們都是適用在較嚴重的病患。

現代人文明病越來越多,可以帶來很高的商業價值,這類的器材可能想應用在「一般族群、民眾」上。這些產品的宣傳、行銷也跟著擴大,提倡各種優點跟效果,但這些效果是否出現在每個人,或都有巨大的成效,需要審慎評估。

以下是根據我個人所學,分享部分觀點:

這些儀器常是「在沒有辦法中的辦法」

「太空人在無重力的環境下,身體能力會逐漸喪失,只能使用全身震動。」
「因車禍導致神經斷裂的個案,為了避免肌肉萎縮,只能使用電刺激。」

要避免肌肉萎縮,讓肌力、骨質密度上升,目前研究證據力最高,無庸置疑是阻力訓練;要讓心肺耐力不斷提升,無庸置疑是有氧訓練。但上述的狀況是因為「沒有重力,無法創造阻力」、「神經斷掉,肌肉無法主動收縮」,所以才不得不放棄 100 分的方式,而選擇一個 30 分的方式。一般的病患、民眾其實並沒有到那麼嚴重,也沒有這樣的條件跟環境限制,其實運動訓練的效益更大。

也因此,全身震動或電刺激的研究中,比較有效的個案都是「非常嚴重的肌力不足」、「久病臥床」的人,或許可以讓他們從 0 分提升到 30 分,但是接下來的 30 分提升到 80 分,是需要透過運動訓練,而大多數人只要能生活自理,應該都有個 30 分的能力,所以這個工具只能讓你提升到 30 分,要再往上的效果可能有限。

比起震動機,運動訓練對大部分健康的人來說較有效果。圖/ 陳曉謙個人 Instagram

身體能力提升,「超負荷」是關鍵

要讓身體能力提升,有個很簡單的原理:刺激 → 疲勞 → 適應。我們每天走路、上下班,都在給身體刺激,包括肌肉收縮來承受體重,或使用大腦思考問題等,在刺激後身體會感到疲勞,但經過充足休息或睡覺後,身體的能力可能會提升(適應),因為身體知道你需要這些能力、應付這些刺激。

而要讓身體能力提升,還有個前提是「刺激要超過自身的能力一些」,又稱為超負荷(Overload)。運動(Exercise)跟活動(Activity)之間的差異是,運動有達成超負荷的原則,活動則泛指有消耗熱量的任何事情。所以對一個家庭主婦來說,做家事可能是活動,但去慢跑 30 分鐘是運動。但對一個久病在床的阿公,能坐在床邊可能就是運動了。

因此,全身震動、按摩槍、電刺激等這些工具,對大部分能生活自主的人,不見得有達到「超負荷」,反倒是常見的上下樓梯、跑步、運動、重量訓練等,對身體的刺激還比較大,並且能讓身體更知道要成長。

運動跟活動的差異說明。圖/陳曉謙個人 Instagram

全身震動,無法替代運動效果

懶惰是人的本性,因為人與生俱來的是要生存、繁殖,而生存的條件就是「盡可能減少能量的消耗」來度過古時代的寒冬、或找不到食物的日子。

所以大部分人包括我自己,也是懶惰的。但我知道「只」喝乳清蛋白、高蛋白不會讓我長肌肉,「只」用電刺激的也不會電出腹肌或燃燒脂肪,所以只能透過「比較辛苦、需要讓身體出力」的運動訓練。

我個人使用全身震動的經驗,是用來「喚醒」或「活化」病患的肌肉,例如在剛手術完的個案,大腦會反射性地讓肌肉不出力或「被抑制」。此時在復健訓練前,能做些震動,可能是震動按摩槍、震動滾筒等,就能讓運動訓練的效果加成,但並不是「每個人」都需要、或這些器材是必要的。輔助的意思是它不見得是必要的,但「主要」就代表是不能缺少的,例如運動訓練、對應的醫療處置。

延伸閱讀:

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活躍星系核_96
752 篇文章 ・ 100 位粉絲
活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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用這劑補好新冠預防保護力!免疫功能低下病患防疫新解方—長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2882字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022 年美、法、英、澳及歐盟等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示該藥品針對 Omicron、BA.4、BA.5 等變異株具療效。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
帕克斯洛維德
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

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想站 C 位,先站定位——聽覺和身體平衡原來緊密相關!
雅文兒童聽語文教基金會_96
・2022/12/24 ・1721字 ・閱讀時間約 3 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

  • 雅文兒童聽語文教基金會 研究員 林桂如
平衡感不只依靠眼睛和大腦,更與聽覺系統息息相關! 圖/Pixabay

如果平衡感好,不僅可以輕易維持單腳站立的金雞獨立姿勢,還可以像韓國防彈少年、Twice 天團的成員們一樣,迅速變換舞蹈動作,也不至於跌出鏡頭外!

只是,你知道嗎?平衡感和臉蛋無關,更不只依靠眼睛和大腦!我們的耳朵,其實是維持身體平衡息息相關的要角。許多平衡感不佳的人,最後往往發現問題出在他們的耳朵上,箇中原因便是當內耳出現問題,將可能導致平衡跟著出現異狀,例如:步履不穩、搖晃,天旋地轉的眩暈,讓人站也不「適」、坐也不「適」。

聽覺和身體平衡的關係

如欲維持良好的身體平衡,將有賴聽覺系統中前庭系統(vestibular system)將接受到外界刺激,經前庭神經將刺激信息傳入相應的腦幹內的前庭神經核和小腦,再經視覺系統(visual system)和體感覺系統(somatosensory system)傳送至腦內更高層次的中樞神經系統處理,最後以運動神經系統做出反應。

國外相關研究指出,如果聽力受損時,前庭系統功能很可能也會有損傷,以致出現協調與平衡能力上的問題,甚至阻礙聽覺障礙(以下簡稱聽障)者的動態平衡(dynamic balance)(如:跑步、踢球)、靜態平衡(static balance)(如:單足站立)和協調能力的發展1。因此,鑒於當聽力損失程度越重,其前庭功能失調的風險也越高,反映在生活中的表現可能為較晚學走、學習或從事關於平衡的活動時常受挫,故建議當個人的純音平均聽力閾值(pure tone threshold)超過 65 分貝以上者,宜進一步進行前庭功能測試2

適度運動可促進平衡表現,聽覺障礙者亦然!

在諸多研究上顯示,相較正常聽力者,聽障者的靜態與動態平衡上均有明顯表現較差的情況。然而,在比較聽障運動員與正常聽力者的平衡表現時,結果卻顯示聽障運動員在動態平衡能力和正常聽力者相當,甚至更好,惟靜態平衡能力中的表現仍明顯比正常聽力者差;進一步比較一般聽障者與聽障運動員間的平衡表現,亦發現聽障運動員有較好的反應時間、移動速度及靜態平衡能力3

從上述可知,藉由後天規律、適度的運動,除了可改善平衡表現和運動能力,亦能促進心理發展和社會技能4,並預防失衡導致的意外或傷害發生,這樣的成效在聽障者身上亦可見一斑5

運動可促進個體平衡表現,達到較佳的反應時間、移動速度和動、靜態平衡能力。圖/Pixabay

面對平衡感欠佳的孩子,宜留意其聽覺狀況、整體發展與適時引導!

    平衡感與生活自主有關,平衡感不佳的孩子,很可能無法自行走路、跑步或上/下樓梯,進而影響整體學習與適應。在平衡感欠佳者的孩子中,除了存在於自身的神經、前庭、肢體動作發展因素,也可能與個體所處的後天環境中家長過度保護、提供的環境刺激過少有關。

    當遇到平衡感不佳的孩子時,除了應留意其聽力發展外,亦建議定期參考「兒童健康手冊」分齡發展檢核,或各縣市衛生局提供的「學前兒童發展檢核表」加以留意。同時,亦鼓勵家長多提供兒童早期動作發展的經驗,如:當孩子可以放手行走時,酌量減少推車乘坐或手抱的機會,此外,也可善用共融遊戲場的遊戲設施加以探索,並可透過居家平衡小遊戲,如:練習墊腳尖、維持平衡;一隻手牽扶上/下樓梯;在柔軟的物體面(如:枕頭)上站立;玩需要經常轉頭的活動來提高前庭視覺反射功能(如:走路去拿一個球並把它放回桶中)等,幫助孩子從遊戲中練習平衡感!

參考文獻

  1. Chilosi, A., Comparini, A., Scusa, M., Berrettini, S., Forli, F., & Battini, R. (2010). Neurodevelopmental disorders in children with severe to profound sensorineural hearing loss: A clinical study. Developmental Medicine and Child Neurology, 52(9), 856-862.
  2. 2Castiglione, M., & Lavender, V. (2019). Identifying red flags for vestibular dysfunction in children. The Hearing Journal, 72(3), 32-35.
  3. 高賡祖、林威秀(2020)。兒童與青少年聽覺障礙者平衡能力之探究。中華體育季刊,34(4),249-258。  
  4. Vidranski, T., & Farkaš, D. (2015). Motor skills in hearing impaired children with or without cochlear implant – a systematic review. Collegium Antropologicum, 39, 173-179. 
  5. Hartman, E., Houwen, S., & Visscher, C. (2011). Motor skill performance and sports participation in deaf elementary school children. Adapted physical activity quarterly, 28(2), 132-145.
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雅文兒童聽語文教基金會_96
42 篇文章 ・ 203 位粉絲
雅文基金會提供聽損兒早期療育服務,近年來更致力分享親子教養資訊、推動聽損兒童融合教育,並普及聽力保健知識,期盼在家庭、學校和社會埋下良善的種子,替聽損者營造更加友善的環境。

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水滴其實不是水滴狀?看似單純的現象下,暗藏數條複雜規則——《大自然的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/12/23 ・2724字 ・閱讀時間約 5 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

混沌使我們了解,遵循簡單規則的系統可以表現出驚人的複雜行為,這對每個人都是很重要的教訓,包括那些以為嚴謹管束的公司就能自動平穩營運的經理階層;自以為針對問題立法,便能消滅問題的政治人物;以為替某個系統找出模型,就等於完工的科學家。

但這個世界也不可能完全混沌一片,否則我們根本無法生存。事實上,混沌現象遲至今日才被發現的原因之一,就是我們這個世界在許多方面仍舊相當單純。當我們向深層探索時,這種單純性通常就會消失,可是在事物的表面它依然存在。

我們用來描述這個世界的語言,即奠基在這些單純性之上。例如,「狐狸追逐兔子」這個敘述之所以有意義,只是因為它掌握了動物互動的一般模式。狐狸的確會追逐兔子,這也就是說,當一隻餓狐狸看到兔子時,牠就很有可能窮追不捨。

看似簡單,實則複雜

然而,我們若是開始注意細節,單純性很快就會消失,一切都會變得複雜無比。比如說,為了進行「窮追不捨」這簡單的行動,狐狸必須先能認出兔子,然後還得做好拔腿飛奔的準備。想要了解這些行動,我們必須先了解視覺、模式辨識(pattern recognition)與運動。

狐狸作跳躍運動時的軌跡。圖/envatoelements

在第七章中,我們探討了第三點:運動,發現它牽涉到生理學與神經學的複雜現象,包括骨骼、肌肉、神經與腦部。而肌肉的行動又由細胞生物學與化學決定;化學則由量子力學主宰;至於量子力學,又可能受制於千呼萬喚始出來的萬有理論(Theory of Everything)。在萬有理論之中,所有的物理定律都統一於整體架構之下。

如果我們暫且忽略運動,改為研究視覺或模式辨識所開拓的領域,我們仍將發現同樣不斷開枝散葉的複雜性。

由於只有我們的出發點具有單純性,所以,若非大自然的確利用了複雜無比的因果網絡,就是自然界的機制與大部分複雜性無關。看來,想要一探究竟似乎毫無希望。

直到最近為止,科學研究的自然途徑都是順著複雜性這棵大樹,不斷向下挖掘。這就是寇恩與我所謂的「化約論者(reductionist)的噩夢」。沿著這條傳統路徑,我們學到很多關於大自然的知識,尤其是如何操控大自然為我們服務的知識。

但是我們再也無法見到巨大的單純性,因為我們不能再將它們視為單純的現象。

近年來,有人提出一個根本不同的途徑,統稱為「複雜理論」(complexity theory)。它的中心課題,是眾多成分之間的複雜交互作用所產生的大尺度單純性。

在本書這最後一章,我準備介紹三個複雜性產生單純性的例子。它們並非取材自複雜理論學家的著作,而是我從當代應用數學的主流「動力系統理論」所選出來的。

我這樣做有兩個原因:一來是想證明複雜理論的中心思想已出現在所有科學中,與任何刻意提倡它的行動無關;一場寧靜革命已經接近沸點,其實我們都能看得出來,因為不少氣泡都開始冒出了水面。

另一個原因是,它們各自解決了自然界數學模式的一個歷史大謎,讓我們因此眼界大開;如果不是藉著這些問題,我們根本無法體會自然界的這些特色。這三個題目分別是:液滴的形狀、動物群體的動態行為,以及花瓣數目的奇異數字模式(我在第一章曾提到會在這裡揭曉謎底)。

你真的知道水滴的形狀嗎?

首先,讓我們再回到水滴從水龍頭緩緩滴下的問題。

這是個天天可見的簡單現象,但它已為我們提供了混沌的知識。現在,我們還要藉它來了解複雜性的一些面貌。這一回,我們注意的焦點不再是水滴的時間間隔,而是準備研究當水滴脫離水龍頭時,它的形狀究竟是什麼樣子。

這難道不是很明顯嗎? 它一定是個眾所周知的「淚珠」狀,有點像隻蝌蚪,前頭是圓形,漸漸彎成尖尖的尾巴。畢竟淚珠就是這種形狀。但它並不明顯,事實上,它根本不正確。

當我首次聽到這問題的時候,我主要的驚訝來自這個答案並沒有太長的歷史。有關流體的科學研究簡直汗牛充棟,說它們占據圖書館中數英里的書架絕不誇張,當然其中應該已有人費心觀察過水滴的形狀。

然而,早期文獻中只有一張圖畫正確,那是在超過一個世紀之前,由物理學家瑞利男爵 (John William Strutt,Lord Rayleigh, 1842-1919)所繪製的。由於那張圖畫太小了,所以幾乎沒有人注意到。一九九○年,英國布里斯陀大學(Bristol University)的數學家佩里格萊恩(Howell Peregrine)等人將這個過程拍攝下來,發現它比任何人想像中的還要複雜得多,但是也有趣得多。

水滴掉落時。圖/envatoelements

一滴水滴形成之初,是懸掛在水龍頭尾端水面的一個鼓脹部分。它會慢慢形成一個腰身,這個腰身愈變愈細,下端的水滴則漸趨傳統的淚珠狀。在一般人的想像中,這個腰身會被掐斷,形成一個又短又尖的尾巴。可是事實上,腰身卻會愈拉愈長,變成一根細長的圓柱,下端則懸掛著一個幾乎接近球形的水滴。

接下來,圓柱與球形接觸的部位開始變得更細,最後成為一個尖點。在這個階段中,整體的形狀看來像是一支毛線針按在一個橘子上。「橘子」隨後便從針尖處脫離,然後它一面墜落,一面還在進行輕微的脈動。

不過故事並沒有結束。現在,毛線針尖銳的尾部開始變圓,還會有微小的波動向上傳到它的頂端,使它看起來好像一串愈上面愈小的珍珠。最後,這根圓柱的頂端收縮成一個尖點,然後整根圓柱也掉了下來。在墜落的過程中,它的頂端變成了球形,並有了一系列複雜的波動沿著它上下傳遞。

我希望各位讀者也像我一樣感到驚奇,我從沒有想到墜落的水滴會這麼「忙碌」。

這些觀察解釋了為何過去沒有人研究這問題的數學細節,因為它實在太過複雜了。當水滴脫離時,系統會產生一個奇異點(singularity),該處的數學將變得十分棘手。毛線針的針尖就是這個系統的奇異點。可是為什麼會有一個奇異點呢?為什麼水滴要以這麼複雜的方式脫離呢?

一九九四年,艾格斯(J. Eggers)與杜邦(T. F. Dupont)證明這是流體力學方程式的必然結果。他們利用電腦模擬這些方程式的演化,在電腦中重現了佩里格萊恩發現的情節。

水滴脫離前後的形狀變化。圖/《大自然的數學遊戲 》

——本文摘自《大自然的數學遊戲 》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。