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黃金比例如何啟發世界的「美」!

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2021/07/19 ・3828字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文由 微星科技 委託,泛科學企劃執行。

  • 作者 / 曾繁安

人類總會不由自主地被閃閃發光的事物吸引,取名時加上「黃金」二字,好像就能讓身價大漲,變得受歡迎。不管是黃金海岸、黃金地段、黃金右腳、 黃金奇異果,黃金獵犬、黃金脆薯、黃金盔甲、黃金流沙包、黃金開口笑(大誤)……人們用黃金形容所有美好的事物,連「比例」也一樣。「黃金比例」被譽為最美好的比例,你一定聽聞過,如果人的臉蛋身體或畫作構圖越接近黃金比例,就越迷人的説法。然而一個數字比例,怎麼會和美學扯上關係?

人類探究黃金比例的歷史,可追溯至兩千多年前……

古希臘時代大約公元五百多年前,癡迷於數學的畢達哥拉斯,認爲數學可以解釋世上一切事物。他的教學吸引了一群熱心的追隨者,被稱爲畢氏學派。在旁人眼裏,畢氏學派恐怕是一群怪人:恪守極爲嚴格的生活條規,不可吃肉和豆類,還會進行高强度記憶力訓練和三省吾身等等。但畢氏學派對數學幾近狂熱崇拜,尤其對數字 5 和五角星形的迷戀,使他們成爲史上最早接觸黃金比例分割的一群人。將構成五角星形的線段分割,由短至長排列,把最短的兩條線段相加,恰恰等於第三條線段長;把第二短和第三短的線段相加,也會等於第四條線段,依序如是,顯示出黃金比例的奇妙!不過,他們並沒有進一步為這個神奇的發現加以解釋、定義和命名。

一直到公元前三百年,歐基里德所著的《幾何原本》問世,才有了對黃金比例最早的系統性論述。但你知道嗎?歐基里德也根本沒說過「黃金比例」一詞。後世所謂的「黃金比例」,其實是出現在《幾何原本》第四章的「極限與均值比例」(Extreme and mean ratio)。歐基里德對這個比例的說明如下:

“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.”

(一條線段如果切在「極限與均值比例」上,則線段的全長與較長分割段的長度比例,和較長分割段與較短分割段的長度比例相等。)

黃金比例的線段:a + b:a = a:b。圖/wikipedia

大家常常挂在嘴邊的黃金長寬比 1.618 ,就是從上圖的比例計算而來。只要把較短的線段 b 定義成 1 個單位,較長的線段 a 定義成 x 單位,再用一點國中數學上過的一元二次方程式,就能算出解答為 1.6180339887…… 或 0.6180339887…… 這兩個看~~~不到盡頭的無理數,都可被視爲黃金比例之值。就像另一位大名鼎鼎的無理數——圓周率,是以 「π」來表示,黃金比例也有自己的符號,叫做「φ」。「φ」一般念作 “ fai ” ,跟「π」押同韻,但捍衛正統希臘文念法的人可能會堅持念作 “ fee ”。

當初歐基里德只説了這麽多,純粹是為了解釋數學幾何上的意義。但他想也想不到的是,這個「極限與均值比例」,會變成美的代言人,帶給未來人類無限遐想的空間。

數學與人文藝術匯集,文藝復興時期的「神聖比例」

現代人熟知的「黃金比例」一詞,一直到 1830 年代左右才被廣爲流傳。在此之前,它的地位曾被提升到更崇高、神聖的位置。文藝復興時期,被稱為「會計學之父」的數學家兼方濟會修士——盧卡.帕西奧利(Luca Pacioli),出版了名叫《神聖比例》(Divina scalee)的著作。他從歐基里德定義的「極限與均值比例」出發,對正多面體和半正多面體的性質做討論。

1509 年由盧卡·帕西奧利出版的《神聖比例》,書中插圖由達文西繪製。圖/wikimedia

帕西奧利在研究「極限與均值比例」時深受啟發,開始與他熟悉的神學進行連結。他發現這個比例中提到的三個線段(全長、長邊、短邊),都在描述同一條線,像極了基督教的神學觀,既聖父、聖子和聖靈是三位一體。而這個比值之解的無理數,所具備無法窮盡的性質,就如同凡人無法理解全能無限的上帝般,兩個線段之比例是相等的(全:長 = 長:短),則代表神永恆的不變性與無所不在的屬性。

從數學上看見神學解釋的帕西奧利,遂將「極限與均值比例」改稱為「神聖比例」。他在著作中進一步以「神聖比例」分析古希臘羅馬建築與人體結構的比例。在他看來,被神所創造的人類,其軀幹比例也隱含了「神聖比例」。這些內容更深地加強了「神聖比例」與「美」之間的連接。

此後,「神聖比例」便與「宗教」和「美」脫離不了關係。帕西奧利對純數學理論進行宗教哲學解讀的突破,成功地讓這個神奇的比例跨出數學界的舒適圈,成為數學家、神學家與藝術家之間共同的話題,後來更在討論中逐漸演變成後世蔚為流行的「黃金比例」。帕西奧利可説是打開「黃金比例」知名度,背後不可或缺的功臣。

宇宙誕生以來就存在?藏在大自然中的密碼竟是「黃金數列」

儘管吉薩金字塔和帕特農神殿是否依照黃金比例建造,數學界和藝術界還在爭辯不休,但實際上不需要人爲設計,大自然本身就蘊藏著黃金比例的美麗。以描述「兔子生兔子」問題而聞名的費波那契數列(Fibonacci number),可説是黃金比例的孿生手足。費波那契數列第零項是 0,第一項是 1,從第二項以後的值,就是前兩項加起來的和,所以依序會是:

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

用費波那契數為邊的正方形,可以拼凑出的近似的黃金矩形 ( 1 : 1.618 ) !圖/wikimedia

文藝復興後期鼎鼎大名的天文學家克卜勒(Johannes Kepler)發現,把費波那契數列的後一項除以前一項的值的話,會是 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2,3 / 2 = 1.5,5 / 3 = 1.67, 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.615…… 計算到這裏,你是不是也察覺到其中奧妙?隨著數列遞進繼續相除,這個值竟會越來越趨近於黃金比例!也因此,費波那契數列的別名就叫做「黃金數列」。

大自然中的植物,其實都是深諳造物奧義的數學大師。試著數一數雛菊的花瓣數量,你會發現它們恰好都是 13、21 或 34 的費波那契數。葉子與葉子之間要怎麽喬位子,才不會擋住彼此吸收陽光?玫瑰的花瓣要如何排列,才會顯得漂亮對稱?松果上的種子要怎麽生長,才可以有效利用有限的空間?這些問題的答案通通都是:旋轉角度的比值(以 360° 為分母)要符合黃金比例!

對稱的玫瑰,決定其花瓣位置的角度遵循黃金比例。圖/Pixabay

不只是植物界,無論是鸚鵡螺貝殼的生長、鷹隼迫近獵物的飛行軌線,抑或衛星圖上熱帶氣旋的外觀,就連宇宙中漩渦星系的旋臂,都呈現遵循黃金比例的螺線。從小至可一手掌握的貝殼,大至遙遠光年之外的星系,都藏著黃金比例的身影。大自然對這個奇妙比值的鍾愛,讓科學家着迷不已。

黃金矩形中隱藏的等角螺線。圖/wikimedia

有生命的動植物和無生命的氣旋或星系,都不約而同服膺於一個神奇的比值,展現一種似乎自世界誕生以來就存在,難以撼動、一致而規律的美。同屬於大自然一份子的人類,也不停在各樣的建築或藝術品中追尋,渴望證明黃金比例與美的相關性。然而即使是世人眼中曠世巨作的大衛像,也沒辦法百分百貼近黃金比例,畢竟誤差永遠不能被全面消除,更別忘了有限的我們也無法窮盡無限的 φ 。正因爲黃金比例是一種人類無法徹底掌握的美,才迫使我們得以在追求美的道路上,不停努力地前進,再前進。


連自然都青睞的「黃金比例」近乎是「美」的同義詞。而我們的身邊,又有什麼東西用到黃金比例呢?

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讓人好玩又好學的「數學遊樂場」,在台灣有嗎?
Sharkie Lin_96
・2017/05/11 ・3130字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 517 ・六年級

Photo source: ads of the world

我們曾寫過的《盪了幾度的鞦韆》:一位母親推著孩子盪鞦韆,旁邊有一個很美的量角器,讓親子在享受盪鞦韆樂趣之外,還可以藉由身體的對高度與速度的感知,增進對數學的感覺。是一個美感與數感兼具的遊樂器材。

現在我們再繼續聊聊這個主題:美國首都華盛頓特區有一個遊樂場叫做 Harry Thomas Sr. playground,由 Landscape Structures 公司設計,它被選為世界上最酷的十六座遊樂場之一,因為這是一個被數學啟發(math-inspired)的遊樂場!

圖/取自 Harry Thomas Sr. playground 官網

此遊樂場的設計和植物有關,也有許多可愛的曲線,事實上這是利用費波那契數列與黃金比例的概念進行設計。費波那契數列是由義大利數學家 Leonardo Bonacci 在十三世紀提出一個和兔子有關的問題,費氏數列的第 0 項是 0,第 1 項是 1,從第 2 項以後的值就是前兩項的和,頭幾項是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……。

費氏數列和黃金比例有很密切的關係。隨著費氏數列的增加,後一項除以前一項的值 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≒1.67, 8/5=1.6, 13/8=1.625,會趨近於黃金比例 ϕ= (1+√5) /2,近似值為 1.618。黃金比例最常製造出的圖形是黃金螺線。

黃金螺線是對數螺線的一種,名字源自於半徑的擴增方式,常見的例子是鸚鵡螺的殼;對數螺線也被稱為等角螺線,其特點是從極點向這條曲線的任何一點畫直線,其交角都會相等。黃金螺線可以用長寬比等於黃金比例的黃金矩形畫出,或者是利用以正方形邊長為費氏數列的一系列正方形畫出。

鸚鵡螺的貝殼像等角螺線。圖/By Chris 73創用CC 姓名標示-相同方式分享 3.0Wikimedia Commons

官方網站與其YouTube影片中可以看到黃金螺線是這座遊樂場的主要意象,除了將其運用在遊樂設施的整體結構之外,還包含了公園的路徑、溜滑梯的梯子、地上與地面裝飾物等物件,到處充滿數學設計。另一方面,整體的色調為同樣深受自然啟發的綠色系,顏色搭配相當協調。

不僅如此,這座遊樂場的說明牌還介紹了藝術作品與自然界中的黃金比例,像是希臘神殿、蒙娜麗莎的微笑,以及自然界中某些植物出現螺線生長的模式例如向日葵。若是公園設計能再加入與植物生長相關的數學主題像是蕨類植物呈現的碎形原理,以及實際種植相關的原生物種(像是以蕨類為主題的南港三重世貿公園)就更棒了。

從這座美國的遊樂場,我們可以發現好的教育並不是填鴨地灌輸知識,而是設計與營造出適當的環境,讓孩童從小沉浸在結合數學、藝術甚至是生態環境中,引發出孩童的玩心、好奇心,增進對自然與美的感知,自然而然也就親近數學了。

圖/取自 Harry Thomas Sr. playground 官網

台灣有數學相關的遊樂場或是公園嗎?

就讓數感實驗室特派員也就是我本人,來到台灣版的數學公園竹北的嘉豐數學公園,帶大家看看台灣的設計。

竹北市公所的網站對此公園描述為:「本公園將數的概念以數學遊樂設施的方式呈現,讓兒童在遊戲中學數學,認識數字 1~10 並參與數學遊戲,如:量高度,認識形狀、時間等以數的概念設立的遊樂設施。」甚至有環場實境導覽[註1]。

網站描述清楚點出希望兒童在公園裡遊戲,但真的那樣美好嗎?到了現場,公園的入口意象為兩組數字的雕塑,是個適合拍照上傳的門面,然而單純觀看數字或與其合照,會讓人發現數學的有趣之處甚至喜歡數學嗎?

圖/作者提供

接著是魔術方陣區,在 4X4 矩陣中分別填入 1 到 16 中的數字,使得每一行、每一列與對角線的數字和皆相等。此區設計了 16 個數字滾筒,可讓孩童滾動數字。然而,16 個滾筒之間沒有連動,因此在玩的時候完全無法連結至魔術方陣本身,此外互動方式單一與美感匱乏的情況實在讓人提不起勁來玩。

圖/作者提供

下一區是介紹數字與加減法運算的區域,除了落漆的數字版,還有另一個可以轉動旋鈕練習加減法的設施,無論互動方式或色彩配置都像極了罐頭遊具[註2],也就是一般遊樂場中在遊具與地墊常出現的 123 加減乘除符號。

圖/作者提供

圖/作者提供

特派員困惑的是,為什麼要在公園裡面做和書本上一模一樣的事情?孩子來公園的唯一任務不就是放心地遊戲嗎?這種說教型的數學,顯然難以博得大眾的好感。公園裡相對有趣的是立方體內的曲面山洞,可讓孩童從四個面穿梭立方體,以身體感覺到幾何的形狀,可惜變化程度不高。

圖/作者提供

除了現地實察,特派員也訪問在地居民。一位母親說他們只有在接孩子放學會經過這個公園,平時常去隔壁的新瓦屋客家文化保存區;另一位住在附近的父親在網路上表示,小孩只會攀爬入口的金屬數字雕塑,其他設施都不感興趣,他對這個公園並不滿意。

逛完公園以後,大家有發現到網站描述與現場看到的不同嗎?說好的動物身高尺、認識形狀與時間呢?這些聽起來有趣許多的設施曾出現在部落客幾年前的圖文中,猜測是經過歲月的痕跡,有些設施過於老舊或是毀損而遭到移除,使得現況與當初設計的有差異。

為了探討設施變遷過程,特派員也曾聯繫過新竹縣政府與竹北市公所,希望能夠取得原始的設計概念與圖說,經縣府人員詢問相關單位後,找不到最初的設計資料與相關的維修養護過程,甚至不知公園落成的確切時間,可以說是完全沒有資料。

就現場的狀況平心而論,嘉豐數學公園不但缺乏數感更缺乏美感,不好玩之外也沒法啟發孩子與大人;即使想要傳遞知識,卻連知識都傳遞得不好。另一方面,設計單位對於數學的印象停留在數字運算,但數學絕不只是數字運算而已。

難道都沒有優點嗎?數學成為公園主題本身就值得嘉許。事實上,數學公園與遊樂場是展示幾何之美的絕佳場所,適合設計探索式的遊戲場與遊具讓孩童甚至大人親近數學,啟發大眾的數感以及想像,像是上面提到的數學遊樂場案例,與結尾提到的跨領域設計(如數學、藝術、空間、生態等)。

怎麼讓兒童遊戲場變好玩呢?或許,要讓「玩的專家」來參與設計遊戲場吧?不懂玩只懂公式的人就會做出嘉豐這種東西。玩的專家不用說當然是孩童啊!導入參與式設計(包括孩童、照顧者、社區居民等)以及懂孩子遊戲行為的專家(解譯員)相當重要,才能確保台灣的孩童享有聯合國提倡的基本權力──遊戲權。

除此之外,政府單位還必須挑選優質廠商與團隊,在設計上顧及兒童身心發展(像是對挑戰、創造、探索的需求等),再搭配數學概念融入設計,才有可能建造出好玩又兼具數感與美感的遊樂場,實踐竹北市公所的網站描述,讓兒童在遊戲中學數學。

未來與科學或數學相關的公共場域是台北科學藝術園區,我們相當期待此園區的規劃設計。因為:

「一個城市的未來,會在孩子的想像力中展現,並在他們玩的遊戲中,達到完美。」
The future is manifest in our children’s imagination and perfected in the games they play. –Chris L. Andreadis

特別感謝還我特色公園行動聯盟(特公盟)於本篇提供的資料與想法,對特色公園與兒童遊戲場有興趣的朋友,可以關注他們在〈眼底城事〉的精采專欄。

  • 參考資料:
    註1 竹北市公所─嘉豐數學公園(兒十一)
    註2 罐頭遊具指的是並未考量兒童身心發展需求,常以低齡、單一形式且無美學設計感的三原色塑膠套裝組合出現的遊具,常見的加減乘除遊戲版即為罐頭遊具。
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Sharkie Lin_96
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在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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兔子生兔子,費波那契生出費氏數列——位數根的快樂夥伴(一)
Sharkie Lin_96
・2016/12/27 ・2344字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 492 ・五年級

義大利數學家 Leonardo Bonacci,1170 年出生於比薩,人稱「比薩的李奧納多」,從 1838 年以後才被數學史家叫作費波那契(Leonardo Fibonacci),沿用至今[1]。他在 13 世紀初寫了一本給商業用的算術、代數與解題的百科全書——《計算之書》,花了很多篇幅討論國際貿易中使用不同度量衡以及幣值交易時的有效計算方法,可以說是當時的阿拉伯數字演算大師[2]。

人稱「比薩的李奧納多」的費那波契。圖/wiki
人稱「比薩的李奧納多」的費那波契。圖/wiki

書中提出了一個關於皮卡丘(X)兔子(O)繁殖的有趣問題,這個問題包含三個假設:

1. 小兔出生後兩個月就能長成大兔,可以生小兔。

2. 可生育的大兔子都不會累,每個月可以生一對小兔,而且剛好是雄雌各一。

3. 兔子永生不死。

如果現在有一對剛生下來的小兔子,一年之後總共會有幾對兔子?

為了讓大家更清楚,在這裡把剛生下來的兔子叫作幼年兔、一個月大還不能生育的叫作少年兔,兩個月大已具備生育能力的叫作成年兔。我用下表統整兔子的生長狀況,一個 O 代表一對兔子:

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同一個月份,有幾對成年兔便會生下幼年兔,隔月這些幼年兔變成少年兔,再下一個月少年兔變成成年兔,同時生下新的一對幼年兔。不同月份兔子總對數的變化是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…,看出這數列的規律了嗎?從第三個數字 2 開始,每一項的值是前兩項的和,所以接續的數字是 21, 34, 55, 89, 144, 233,一年以後總共會有 233 對兔子!這麼多兔子都要漫出來了。

照費波那契的假設,一年後兔子的數量早就多到滿出來啦!圖/Or Hiltch @ Flickr
照費波那契的假設,不用一年兔子的數量就已經多到滿出來啦!圖/Or Hiltch @ Flickr

而這就是有名的費波那契數列(或稱費氏數列)以及它的由來。其實費氏數列還有第 0 項,其值是 0,第 1 項是 1,從第 2 項以後的值就是前兩項的和。可以用以下的遞迴式表示:

F0=0
F1=1
Fn = Fn–1 + Fn–2 (n ≧ 2)

另外有個小插曲,文藝復興後期鼎鼎有名的天文學家克卜勒(Johannes Kepler, 1571─1630)發現,隨著費氏數列的增加,後一項除以前一項的值 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≒1.67, 8/5=1.6, 13/8=1.625,會趨近於黃金比例 ϕ= (1+√5) /2,近似值為 1.618。

用位數根「玩」費氏數列

除了用後一項除以前一項的玩法外,在這篇文章中我想要跟大家介紹的是用「位數根」重新認識費氏數列。

位數根的概念是把一個正整數各個位數的數字加總,若其和大於 9,則再將所得數的數字再加總一次,如此反覆這個步驟直到所得新數介於 1 至 9 之間,稱此新數為原數的位數根。

在此 D(n) 表示正整數 n 的位數根,例如要計算 9527 的位數根,就把這個數字的每一個位數的數字加總,D(9527) = D(9+5+2+7) = D(23) = D(2+3) = D(5) = 5,發現其位數根為 5。而位數根也可以用來檢測一個數字是否為 3 或 9 的倍數,以 9527 為例,D(9527) 不是 9 的倍數也不是 3 的倍數,因此 9527 並非 3 或 9 的倍數。

說了這麼多,還沒講到位數根和他的快樂夥伴費波那契數列的關係呢!一起拿起筆來試算費波那契數列的位數根吧!

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169,…

快速計算位數根

看到這麼多數字已經開始暈了嗎?那先教大家一個快速計算位數根的小訣竅,看到數字有 9 或者是組合為 9 的就可以忽略那幾個位數,例如說 4181 這個數字呢,可以把中間的 1 和 8 省略不看,所以位數根 D(4181) 可以變成 1+4=5,不信的話我們可以慢慢算一遍,D(4181) = D(4+1+8+1) = D(14) = D(1+4) = D(5) = 5,答案是一樣的。

為什麼可以這樣做呢?因為一個數字加上 9 或減去 9 的倍數,其位數根不變。這概念與 9 的同餘(mod)非常類似,像是 25 除以 9 的餘數是 7,而 61 是 25 加上 9 的倍數,61 除以 9 的餘數也是 7,與這兩個數字的位數根相同。但是同餘的世界裡頭會出現 0;位數根只有 1 到 9,不會進入零的領域,例如說 144 和 270 除以 9 的餘數都是 0,可實際上 144 和 270 的位數根是 9,不是 0。

你覺得運用了小訣竅的計算速度還不夠快嗎?那就打開試算表軟體幫你進行計算吧,都長大了讓計算機和電腦幫我們計算是再正當也不過了!先在這裡偷偷透露,這串費波那契數列進行位數根運算後,新的數列也有規律性!而這個規律讀者可以藉由手動計算發現,也可以從試算表裡頭發現。不太確定要怎樣輸入公式嗎?這裡幫大家做好一個線上表格,大家可以直接點進去看結果。

這串新數列的規律性是數列會重複出現:1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9,在第 25 項又回到了開頭的 1, 1, 2, 3,…,就這樣 24 個一數重複。

另外大家有沒有發現在這個線上表格中,我用來計算位數根的方式是餘數(mod)公式,但有些小修改呢?前面提過同餘可能會出現 0 的情況而位數根沒有,為了正確的位數根計算所以修正了 mod 公式。例如說要計算正整數 X 的位數根,我們可以輸入公式 mod(X-1,9)+1,也就是 (X-1) 除以 9 的餘數再加 1,如此一來前面提到計算 9 的倍數的位數根時就不會是 0 了。

大兔子與小兔子

聊完數學以後再回到一開始的大兔子和小兔子,小兔子長大變成大兔子以後,又會生下小兔子,牠們互相出題猜猜我有多愛你?小兔子把手臂張開張到不能再開,說:「我愛你這麼多」;可大兔子的手臂更長,張開一比說 :「可是小兔,我愛你有這麼多哎」。如果手臂張開畫一個圓是愛的範圍,這範圍就會和手臂的長度平方成正比。

《猜猜我有多愛你》書封。圖/Amazon
《猜猜我有多愛你》書封。圖/Amazon

說到平方,下回來聊聊位數根與他的第二位快樂數列夥伴,數字的自戀組合團體——乘方開方表的故事。

  • 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料

  1. 蘇意雯,斐波那契(Fibonacci)及其兔子,2011
  2. 理查.曼奇維茲,數學的故事,台北縣新店市:世潮,2004
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Sharkie Lin_96
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在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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為什麼A4的紙張邊長比是根號2呢?──《數學好有事》
PanSci_96
・2018/05/10 ・2567字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 591 ・九年級

圖/wikipedia

學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的,可能是畢氏定理

這個定理是:取一直角三角形,以直角的兩邊(股)為邊長各畫一正方形,則這兩個正方形的面積總和,會等於第三邊(斜邊)畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形,√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c,且 c 是最長邊,那麼畢氏定理得出的結果是:

a²+ b² = c²

從這個漂亮的結果,你可以算出各種東西,包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊,就構成了直角三角形,如果正方形的邊長為 1,由畢氏定理可知:

1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2,也就是自乘結果等於 2 的數。

圖/wikipedia

讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值,否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘,會得到 2.25,比 2大很多;改用 1.4,則得到 1.96,又變得太小。(1.41)2 = 1.9881,還是太小,但(1.42)2 = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施,事實上也的確辦不到。√2是無理數,意思是無法寫出它所有的位數:完整的小數展開式是無窮盡的,而且沒有不斷重複出現的數字模式。

√2前面 20 位是:

1.4142135623730950488

發現無理數,可能招來殺身之禍

圖/wikipedia

簡單的正方形對角線,無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上,畢達哥拉斯(Pythagoras)的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓(Croton,現今的義大利)的祕密幫派,除了奉行素食主義以及不吃豆類之外,他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心:據說 mathematics(數學,意為「所學習的」)及 philosophy(哲學,意為「愛好智慧」)這兩個詞是畢達哥拉斯所創,據傳,「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是,畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比,也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數;事實上,這正是定義無理數的方式(如果你熟悉長除法,就可以自行驗證,任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數)。

希帕索斯。圖/wikipedia

希帕索斯(Hippasus of Metapontum)發現有些數(譬如√2)可能是無理數,他也是畢氏學派的一員,根據(相當隱晦的)歷史證據顯示,他因此受到嚴厲的懲罰:在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧?

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法,是數學上經常使用的論證形式的重要範例,也就是歸謬法。要證明某件事(比方說√2是無理數),你必須先做相反的假設(√2可以寫成分數),如果之後推算出矛盾的結果,就能斷定你原先的假設一定是錯的,也就證明你最初的陳述(√2是無理數)必定為真。

這是很自然的推理方法,舉例來說,你假設管家殺了人,但如此一來,管家必須同一時間出現在兩個地方,這顯然說不通,那麼你就能推論原先的假設必定是錯的,而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱,但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線,不管多小段,都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數,可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤,但無理數實在太多了,根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳,碰到無理數的機率是 1,而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言,畢氏學派完全錯了。

√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用,大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等,有個非常棒的特點,就是將兩張同尺寸的紙並排起來,即能拼成大一級的尺寸,譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度(W)的兩倍,等於大一級紙張的長度,而小一級紙張的長度(L)等於大一級紙張的寬度。

A 系列紙張大小。source:Wikipedia

所有尺寸的紙張,長寬比都是一樣的,也就是:

可以改寫成:

意思就是:

A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用?如果你希望影印機能夠把原稿縮小(或放大)一級影印,就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同,縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張,代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級,都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小,影印機提供的倍率是 70%,有時候是 71%,把這些數字寫成小數(70 或 71 除以 100),結果是 0.7 及 0.71,兩個數都非常接近:

這個縮小倍率,正是把一張 A3(或兩張 A4)縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2,這表示新紙張的面積會變成:

就是原來的一半,且因長寬比維持不變,所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%,對應的數字很接近,所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。


BOX:證明√2是無理數

假設 √2 = m/n,其中的整數 m 與 n 沒有公因數(除了 1,沒有其他數可同時整除 m 和 n)。

於是:2 = m²/n²,因此:2n² = m²。

這表示 m2是偶數,m 也是偶數,因為奇數的平方永遠是奇數。所以, m 可以寫成 2k,而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k,就得到:2n2 = m2 = 4k2

除以 2,就是:n2 = 2k2

所以 n2 也是偶數,n 也是偶數,但這產生了矛盾,因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此,√2不能寫成 m/n,即為無理數。

本文摘自《數學好有事》,麥田出版

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