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黃金比例如何啟發世界的「美」!

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2021/07/19 ・3828字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文由 微星科技 委託,泛科學企劃執行。

  • 作者 / 曾繁安

人類總會不由自主地被閃閃發光的事物吸引,取名時加上「黃金」二字,好像就能讓身價大漲,變得受歡迎。不管是黃金海岸、黃金地段、黃金右腳、 黃金奇異果,黃金獵犬、黃金脆薯、黃金盔甲、黃金流沙包、黃金開口笑(大誤)……人們用黃金形容所有美好的事物,連「比例」也一樣。「黃金比例」被譽為最美好的比例,你一定聽聞過,如果人的臉蛋身體或畫作構圖越接近黃金比例,就越迷人的説法。然而一個數字比例,怎麼會和美學扯上關係?

人類探究黃金比例的歷史,可追溯至兩千多年前……

古希臘時代大約公元五百多年前,癡迷於數學的畢達哥拉斯,認爲數學可以解釋世上一切事物。他的教學吸引了一群熱心的追隨者,被稱爲畢氏學派。在旁人眼裏,畢氏學派恐怕是一群怪人:恪守極爲嚴格的生活條規,不可吃肉和豆類,還會進行高强度記憶力訓練和三省吾身等等。但畢氏學派對數學幾近狂熱崇拜,尤其對數字 5 和五角星形的迷戀,使他們成爲史上最早接觸黃金比例分割的一群人。將構成五角星形的線段分割,由短至長排列,把最短的兩條線段相加,恰恰等於第三條線段長;把第二短和第三短的線段相加,也會等於第四條線段,依序如是,顯示出黃金比例的奇妙!不過,他們並沒有進一步為這個神奇的發現加以解釋、定義和命名。

一直到公元前三百年,歐基里德所著的《幾何原本》問世,才有了對黃金比例最早的系統性論述。但你知道嗎?歐基里德也根本沒說過「黃金比例」一詞。後世所謂的「黃金比例」,其實是出現在《幾何原本》第四章的「極限與均值比例」(Extreme and mean ratio)。歐基里德對這個比例的說明如下:

“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.”

(一條線段如果切在「極限與均值比例」上,則線段的全長與較長分割段的長度比例,和較長分割段與較短分割段的長度比例相等。)

黃金比例的線段:a + b:a = a:b。圖/wikipedia

大家常常挂在嘴邊的黃金長寬比 1.618 ,就是從上圖的比例計算而來。只要把較短的線段 b 定義成 1 個單位,較長的線段 a 定義成 x 單位,再用一點國中數學上過的一元二次方程式,就能算出解答為 1.6180339887…… 或 0.6180339887…… 這兩個看~~~不到盡頭的無理數,都可被視爲黃金比例之值。就像另一位大名鼎鼎的無理數——圓周率,是以 「π」來表示,黃金比例也有自己的符號,叫做「φ」。「φ」一般念作 “ fai ” ,跟「π」押同韻,但捍衛正統希臘文念法的人可能會堅持念作 “ fee ”。

當初歐基里德只説了這麽多,純粹是為了解釋數學幾何上的意義。但他想也想不到的是,這個「極限與均值比例」,會變成美的代言人,帶給未來人類無限遐想的空間。

數學與人文藝術匯集,文藝復興時期的「神聖比例」

現代人熟知的「黃金比例」一詞,一直到 1830 年代左右才被廣爲流傳。在此之前,它的地位曾被提升到更崇高、神聖的位置。文藝復興時期,被稱為「會計學之父」的數學家兼方濟會修士——盧卡.帕西奧利(Luca Pacioli),出版了名叫《神聖比例》(Divina scalee)的著作。他從歐基里德定義的「極限與均值比例」出發,對正多面體和半正多面體的性質做討論。

1509 年由盧卡·帕西奧利出版的《神聖比例》,書中插圖由達文西繪製。圖/wikimedia

帕西奧利在研究「極限與均值比例」時深受啟發,開始與他熟悉的神學進行連結。他發現這個比例中提到的三個線段(全長、長邊、短邊),都在描述同一條線,像極了基督教的神學觀,既聖父、聖子和聖靈是三位一體。而這個比值之解的無理數,所具備無法窮盡的性質,就如同凡人無法理解全能無限的上帝般,兩個線段之比例是相等的(全:長 = 長:短),則代表神永恆的不變性與無所不在的屬性。

從數學上看見神學解釋的帕西奧利,遂將「極限與均值比例」改稱為「神聖比例」。他在著作中進一步以「神聖比例」分析古希臘羅馬建築與人體結構的比例。在他看來,被神所創造的人類,其軀幹比例也隱含了「神聖比例」。這些內容更深地加強了「神聖比例」與「美」之間的連接。

此後,「神聖比例」便與「宗教」和「美」脫離不了關係。帕西奧利對純數學理論進行宗教哲學解讀的突破,成功地讓這個神奇的比例跨出數學界的舒適圈,成為數學家、神學家與藝術家之間共同的話題,後來更在討論中逐漸演變成後世蔚為流行的「黃金比例」。帕西奧利可説是打開「黃金比例」知名度,背後不可或缺的功臣。

宇宙誕生以來就存在?藏在大自然中的密碼竟是「黃金數列」

儘管吉薩金字塔和帕特農神殿是否依照黃金比例建造,數學界和藝術界還在爭辯不休,但實際上不需要人爲設計,大自然本身就蘊藏著黃金比例的美麗。以描述「兔子生兔子」問題而聞名的費波那契數列(Fibonacci number),可説是黃金比例的孿生手足。費波那契數列第零項是 0,第一項是 1,從第二項以後的值,就是前兩項加起來的和,所以依序會是:

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……

用費波那契數為邊的正方形,可以拼凑出的近似的黃金矩形 ( 1 : 1.618 ) !圖/wikimedia

文藝復興後期鼎鼎大名的天文學家克卜勒(Johannes Kepler)發現,把費波那契數列的後一項除以前一項的值的話,會是 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2,3 / 2 = 1.5,5 / 3 = 1.67, 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.615…… 計算到這裏,你是不是也察覺到其中奧妙?隨著數列遞進繼續相除,這個值竟會越來越趨近於黃金比例!也因此,費波那契數列的別名就叫做「黃金數列」。

大自然中的植物,其實都是深諳造物奧義的數學大師。試著數一數雛菊的花瓣數量,你會發現它們恰好都是 13、21 或 34 的費波那契數。葉子與葉子之間要怎麽喬位子,才不會擋住彼此吸收陽光?玫瑰的花瓣要如何排列,才會顯得漂亮對稱?松果上的種子要怎麽生長,才可以有效利用有限的空間?這些問題的答案通通都是:旋轉角度的比值(以 360° 為分母)要符合黃金比例!

對稱的玫瑰,決定其花瓣位置的角度遵循黃金比例。圖/Pixabay

不只是植物界,無論是鸚鵡螺貝殼的生長、鷹隼迫近獵物的飛行軌線,抑或衛星圖上熱帶氣旋的外觀,就連宇宙中漩渦星系的旋臂,都呈現遵循黃金比例的螺線。從小至可一手掌握的貝殼,大至遙遠光年之外的星系,都藏著黃金比例的身影。大自然對這個奇妙比值的鍾愛,讓科學家着迷不已。

黃金矩形中隱藏的等角螺線。圖/wikimedia

有生命的動植物和無生命的氣旋或星系,都不約而同服膺於一個神奇的比值,展現一種似乎自世界誕生以來就存在,難以撼動、一致而規律的美。同屬於大自然一份子的人類,也不停在各樣的建築或藝術品中追尋,渴望證明黃金比例與美的相關性。然而即使是世人眼中曠世巨作的大衛像,也沒辦法百分百貼近黃金比例,畢竟誤差永遠不能被全面消除,更別忘了有限的我們也無法窮盡無限的 φ 。正因爲黃金比例是一種人類無法徹底掌握的美,才迫使我們得以在追求美的道路上,不停努力地前進,再前進。


連自然都青睞的「黃金比例」近乎是「美」的同義詞。而我們的身邊,又有什麼東西用到黃金比例呢?

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How to 找到可靠的抗體?做出可信賴的實驗

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2021/07/21 ・3312字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本特輯由 拜爾國際股份有限公司 委託,泛科學企劃執行

  • 文/曾繁安

科學界的重大考驗:過半實驗無法重現

對科學家來説,要一探隱藏於萬物中的奧秘,無論多麽乏味無趣,把同一件事重複做個好幾遍絕對是家常便飯。研究者在相同條件下可重複自己的結果,稱為可重複性(Repeatability)。而可再現性(Reproducibility),指的是相同的實驗即使交在不同的研究團隊手中,只要根據相同前提、操作步驟一致的情況下,就能夠得出相同的結果。為了獲得可反覆驗證的實驗結果,為後續研究指引正確方向,「可再現性」是學術研究非常重要的基本原則。

Nature 一份對超過 1500 名科學家所做的問卷發現,竟有超過 70% 的研究者在試著再現他人的研究時失敗了!即使是自己的實驗,也有過半數的人無法做出相同的結果。

如何在學界激烈競爭及拔得頭籌的時間壓力下,確保實驗結果的可信度,真的很不簡單。目標是將研究成果應用在生物,包括人體上的生醫領域,在實驗的可再現性上更是不可馬虎。但生醫領域,還得面對常用實驗檢測試劑——抗體不穩定性的挑戰!

成也抗體?敗也抗體?

當病菌準備入侵人體時,我們的免疫系統也不是省油的燈,會派出可以識別這些壞家夥的抗體(antibody,又稱免疫球蛋白)來迎戰。抗體是一個 Y 形的蛋白質,其兩個分叉上具有被稱為表位(epitope,又稱抗原結合位)的化學官能基。每一種抗體的表位置可以和一種特定抗原結合,就像一把鑰匙(抗體)只能打開一把鎖(抗原)。抗體靠著表位結構的特異性來辨識外源的抗原並與之結合,阻止病原體繼續感染其他細胞,也有標記之並促發其他免疫反應來進行抵禦的功能。抗體就像人體的警察,發現通緝中的犯人後,趕快逮到拷上手銬限制行動,進一步呼喚其他警力來對抗犯罪行動。

除了在免疫上扮演關鍵角色,抗體因為可以和特定抗原結合的高度特異性,而成為醫學及科研上用來偵測蛋白質表達量的有力工具,可以用於診斷、研究各種疾病的訊號和致病機轉。例如最近中研院所研發的 Covid-19 快篩試劑,便是應用了抗體和特定抗原結合的原理。

抗體的量產,是透過往實驗動物如兔子或羊身上注射抗原產生抗體,對其血液進行分離,從血清中提取而來。儘管抗體是因其高度特異性而被廣泛用於研究,然而跨國科研計劃組織 Human Protein Atlas 針對市面上的抗體產品進行檢測的報告發現,竟有一半的抗體沒有通過品質檢測,存在抗體不穩定性可能導致實驗失敗的疑慮。

實驗結果無法重現,可能是抗體出了錯?這就得談談抗體的交叉反應性(cross-reactivity)。

由於自然界中存在的蛋白質實在多得數不清,抗體的特異性再高,難以保證不會碰到與目標抗原的化學結構非常類似的另一種抗原,因此無法完全排除抗體辨認錯誤發生「開錯鎖」情況的可能性。這種抗體與非標的但相似的抗原結合(off-target binding),就稱作交叉反應性。在疾病診斷上,交叉反應性經常是假陽性結果出現的原因,受試者明明沒有受病毒感染,檢測用抗體卻出現反應。

抗體的交叉反應性,讓實驗結果的可靠性受到威脅,還真是叫科學家傷透了腦筋。抗體又不像實驗室的儀器,可以放包乖乖要它乖乖的,該如何驗證其特異性呢?

HOW TO 驗證實驗結果是可靠的

為了維持實驗數據的品質及一致性,確保研究結果的可靠性,我們必須以更嚴格的方法,對抗體品質進行驗證。由一群蛋白質生物學領域專長之跨國科學家,組成的國際抗體驗證工作小組(International Working Group on Antibody Validation,IWGAC),在 Science Method 上共同發表一篇指導方針,針對如何驗證抗體的特異性、功能性及可重複性,提出了五大可實際應用的强化驗證方法。

IWGAC 團隊認為,如果要宣稱某一種抗體適合投入某項應用,研究者應該至少使用其中一種方法,作為驗證抗體的基準。這五大方法可以為抗體與標的抗原結合提供顯著證據,同時也能評估交叉反應性發生的機率高低,結合兩者去説明抗體的特異性及實驗的可靠性。

以下為强化驗證抗體的五大方法:

  1. 標記蛋白之表現(Expression of tagged protein):在標的蛋白進行標記,使其在和抗體結合時會過度表現或呈現螢光,因此可以用來驗證是否和抗體的訊號大小一致。
  2. 正交驗證(Orthogonal):利用非抗體的獨立方法對多個樣本進行驗證,例如偵測標的蛋白質體學的內標物,和抗體的訊號進行比較。
  3. 免疫捕捉法搭配質譜分析(Migration Capture MS Validation ):
  4. 獨立抗體(independent antibody) :利用兩種以上,但與同一個標的蛋白上不同位置表位結合的抗體,來進行對同一個樣品的驗證。
  5. 基因策略(genetic validation): 利用含有經由基因剃除或敲落標的基因片段的細胞或組織作為對照組,來驗證抗體的特異性。

其中,基因策略最能直接説明基因、標的蛋白及其抗體偵測的關係,是五大方法中最嚴謹的驗證原則。基因策略採用反證法,為了確認抗體和抗原之間的專一性,會在細胞株中剃除該抗原,再測試觀察抗體的反應。這就像情人間的忠貞程度考驗,如果你的情人在你不在的時候,還跟別人眉來眼去,那他的專一性可能就沒那麼好。

為了創造你(抗原)不在場的情況,會利用基因減弱(gene knockdown)基因剃除(gene knockout),來降低或去除標的蛋白在細胞中的表現。

基因減弱(gene knockdown)抑制產生特定蛋白質的信使RNA, 來降低標的蛋白的出現機率,但這個狀況就像你躲在旁邊偷看情人的行為,很有可能被情人發現而失敗。而基因剃除(gene knockout)則是比基因減弱的手段來的更為徹底,它直接將表現特定蛋白質的基因片段剪去,也就是你完全離開現場。這個方法則運用了人類從細菌對抗病毒的戰略中,偷師而來的革命性技術—— CRISPR / Cas9。

過去科學家必須耗費大量時間精力,去設計可從 DNA 上截取特定基因片段的酵素,每改變標的基因,就必須重新設計一次複雜的酵素。但從細菌身上找到的 Cas9 酵素,就像一把可客製化的基因神剪,想要剪取某基因片段的話,只要訂做一條與之互補的導引 RNA 交給 Cas9,便能將標的基因片段剪下,再進行基因剃除或插入工作,大大提高過程效率。

CRISPR / Cas9 可以直接從 DNA 剪除會表達標的蛋白的基因片段,使標的蛋白完全失去來到這個世上的機會,名副其實地被 K.O.(擊倒)!如此一來,抗體絕無與基因剃除細胞株反應發生訊號的可能,可說是五大驗證方法內,嚴格中的嚴格。

拿抗體和經過基因剃除的細胞株樣品反應,理應偵測不到任何標的蛋白的表達,因此可以用來確保抗體的專一性(若有訊號,則表示存在抗體交叉反應性!)反之,使用未經處理的原型細胞株進行抗體測試時,則會出現明顯的訊號。

站在科學最前沿的各種實驗,面臨的是許多未知的不確定性。因此研究者如何選擇合適可靠的驗證方法,來節省寶貴的時間與樣本,便是科研工作的一大關鍵。

想了解更多基因敲除細胞株的資訊嗎?

立即觀看:https://abclonalbio.com/video/show/84.html

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參考資料

  1. 1,500 scientists lift the lid on reproducibility
  2. 你知道抗體研究一直存在嚴重的「重複危機」嗎?
  3. A proposal for validation of antibodies
  4. Antibody validation
  5. How CRISPR lets us edit our DNA | Jennifer Doudna
  6. 三分鐘了解免疫系統怎麼對抗外來敵軍
  7. 中研院19天破解新冠肺炎抗原檢測,解密四大生技平台!
  8. Enhanced Validation of Antibodies
  9. 人體基因編輯是在編什麼?五分鐘搞懂基因神剪 CRISPR

 

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