今晚，我想來點……圓周率的派（π）！

各位觀眾～今天是什麼節日呢？

什麼？情人節？

嘖嘖嘖，只知道這個的話就膚淺了。

今天可是圓周率日、愛因斯坦的生日、霍金的忌日……是巧合嗎？我可不這麼認為！總之，對於科學界來說，3 月 14 日不僅僅是白色情人節，而是一個意義非凡的日子！

那圓周率又有什麼酷酷的地方讓科學家如此著迷，甚至有一個專門的節日呢？快點進影片，一探究竟吧！

除了 π（pi）之外，你還認得哪些希臘字母呢？從國中就認識的朋友——代表波長的 λ（lambda）：

還是代表頻率，長得很像 v，常常害小編認錯的 ν（nu）？

在高中認識的 μ（mu），除了用於微米、代表摩擦係數，它還有什麼意思呢？

快動動你的指頭搜尋一下吧！

最後這個像蛇的符號是什麼啊？長得有點像 Z 的書寫體？

沒錯！拉丁字母的 Z 就是從 ζ（zeta）來的。

而數學上有許多 ζ 函數，其中，最為知名的便是發現質數規律的黎曼 ζ 函數。

歡迎訂閱 Pansci Youtube 頻道 獲取更多深入淺出的科學知識！

根據教育部編《國語辭典》，這成語的解釋是：「比喻人或事物，隨著憑藉者的地位提升而升高。」你覺得拗口是不是？其實這成語是說，水位高了，水裡的船跟著升高，造兩個句你就更明白了。

油價一漲，民生用品水漲船高，人們的生活開支就增加了。

最近老師教得認真，結果水漲船高，段考成績普遍提高了。

如果水位變低了呢？水裡的船當然跟著降低。當水位低於船隻沒入水中的部份（稱為吃水），船隻就會擱淺。談到這裡，就得談談浮力原理了。

這原理的發現還有個小故事呢！相傳某希臘國王，做了一頂純金王冠。有人密報，金冠攙假。然而秤一下重量，又和當初交給金匠的純金一樣重。國王還是不放心，就請科學家阿基米德鑑定。

阿基米德苦思多日，想不出辦法。一天，他在家裡洗澡，當他進入澡盆時，看見水往外溢，突然悟出：「可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確定金冠的比重啊！」他興奮地跳出澡盆，大聲喊著：「尤里卡，尤里卡！」（尤里卡，就是「發現了」的意思）。

阿基米德把王冠和同等重量的純金，放在兩個容量相同、盛滿水的盆子裡，發現放王冠的盆子，溢出的水比另一盆多些。說明王冠的體積，比相同重量的純金的體積大，證明了王冠並非純金製的，揭露了金匠欺君之罪。

阿基米德因此發現了浮力原理（又稱阿基米德原理）：物體在水（液體）中所獲得的浮力，等於物體所排出（開）液體的重量。根據浮力原理，只要水夠深，幾萬噸的船都能浮在水上，因為它排開的水，比船還要重啊！

章老師曾搭乘郵輪經過蘇伊士運河。這條運河寬 205-225 公尺，深 23-24 公尺，所以只要船隻吃水的部份不超過 20 公尺，保證可以通行。章老師搭乘的是艘中小型郵輪，只有 3.5 萬噸，加上 1000 名乘客和 400 位工作人員，吃水可能不到 10 公尺。走在我們前面的，是艘 10 萬噸級的貨輪，也行駛得十分順當。查一下資料，這條運河可以浮起 24 萬噸的船呢！

那麼 2021 年 3 月間怎會發生蘇伊士運河事件？發生事故的長賜號，總噸位 220,940 噸，寬 58.8 公尺，都在安全值之下。可是運河水深 23-24 公尺，是指中央的航道，靠近岸邊就沒那麼深了。長賜號被強風吹離航道，在岸邊擱淺。這還不說，長賜號全長 399.94 公尺，擱淺時斜著卡在運河中，把整條運河堵住了。

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

今年 7 月的科技頭條，應是 11 日及 20 日兩架載著只須穿連身衣（不是專業宇航員在發射或著陸時穿的加壓宇航服和頭盔）之「一般老百姓」的太空艙，飛到太空邊緣後又成功返回地球，這一壯舉標誌著人類商業「太空旅行」（space travel）新時代的開始。

這兩架太空艙的軌跡基本上是相同的，我們以後者（7 月 20 日）的發射為例，為大家大略說明「太空旅行」到底是怎麼一回事。

太空火箭從地面垂直向上發射，進行大約 110 秒的動力飛行到三倍音速、高度為 76 公里處時，火箭減速，乘員艙與之分離，靠其慣性動量、在無動力推動下繼續向上衝刺飛行；因地球引力（重力）不斷地往下拉，衝到約 100 公里的高度，即開始反方向加速折回地面。進入大氣層時，因為空氣阻力而開始減慢，最後在降落傘的幫助下慢速著陸。總共飛行時間大約為 10 分鐘。

本文主要是討論太空旅行及無重量感（weightless）的物理，只在結論時才略微提及太空旅行所造成的社會觀感。

沒辦法讓飛機飛的地方都是太空——卡門線（Kármán line）

相信許多讀者都跟筆者一樣，認為太空是一個遙遠的地方：那裡不但沒有地球引力，也沒有空氣。筆者實在沒想到所謂的「太空旅行」，若不是因為 90 度的斜坡車子開不上去，100 公里的距離，其實只要開車約一個小時即可到達！

高空 100 公里處的氣壓只有地球表面的千萬分之一，也比一般客機飛行之 8-12 公里高度高得多，但那裡的地球引力卻還是非常強：只比地球表面的引力小了 3% 左右而已。

為什麼「太空」定在那裡呢？我們知道飛機是靠機翼上下空氣壓力不同上升的^[註1]，因此飛機在沒有空氣的空間是沒辦法飛行的。

航天先驅卡門 (Theodore von Kármán^[註2]) 在一國際會議中提出因為空氣太稀薄了，在海拔 100 公里處上方行駛的物體，需要一個不依賴地球大氣層產生升力的推進系統^[註3]，因此在 1960 年代，國際航空聯合會（Federation Aeronautique Internationale）將海拔 100 公里處定為太空的界限——稱為卡門線（Kármán line），粗略地標出傳統飛機無法有效飛行的高度。

7 月 11 日的「太空旅行」只到 80 公里處就轉回，因此依這一定義，不能算是「太空」旅行。但在 1960 年代初期，世界上第一位太空律師海雷（Andrew Haley）依卡門的定義，更精確地算出空間的實際邊界應該在距離地面約 84 公里處。這個高度在「中層大氣」（mesosphere）處：中層大氣是地球大氣層的最外層物理邊界，流星通常在此處燃燒，在這裡要產生升力所需的飛行速度將超過「軌道速度」（見後「為什麼在靠近地球的太空站上，也能體驗無重量感？」段落）。

這個高度也是美國空軍在 1950 年代使用的高度：飛行高度超過 80 公里的飛行員可以獲得「宇航員機翼」（astronaut wings）別針。因為在太空界限下，空間是屬於個別國家，在它的上面則屬於「公空」；做為太空科技發達的強國，美國當然欣然採用這個定義。

不見浩瀚星河，只有四分鐘的無重量感體驗

如果地球只有籃球大小，則 100 公里的高空只是在籃球表面上的 1.1 公分處而已。在這樣的「高」度是不可能俯視到漂浮在太空中的地球的，只能像汪洋大海中的小船或天空中的飛機，看到天水（陸）交接的圓弧地平線而已。

因此太空旅行不可能是為了看「風景」，應該是為了體驗「沒有重量」。可是前面不是提過那裡的地球引力還是非常強的，怎麼會沒有重量？

地球的引力（稱為「重力」）本該讓我們往地球中心落下的，但是被地板或磅秤阻擋；地板或磅秤產生了反作用力（牛頓第三運動定律），所以人體就被夾在這重力與反作用力之間，產生了「重量」的感覺。

如果將地板或磅秤拿掉，則人體將因重力的關係繼續往下掉（稱為「自由落體」），因為沒有任何阻擋下掉的反作用力，我們不會有被壓迫的感覺，造成了「無重量」感：所以「無重量」只是一種感覺，並不代表我們沒有受到重力或任何力。

地球重力所產生的加速為 9.8 m/s² ，通常簡寫為 g。在 110 秒的火箭動力往上推動時，太空人會感受到比 g 更大的加速；但太空艙一脫離火箭後，他們會立即處於自由落體狀態（即使太空艙還在往上升），突然感到失重。這時 他們可以解開座椅釦子，在機艙裡面到處「漂浮」，在一個窗口輕輕一碰就可飄到另一個窗口、喝水、擲球……等，親自體驗無重量感的一些奇奇怪怪現象。

為什麼是「漂浮」呢？想像你是在一個自由落體的電梯中，如果從口袋中拿出一個蘋果，在面前張手將它放開，蘋果會下掉嗎？當然會，因為這不正是牛頓發現萬有引力的靈感嗎？

問題是你與電梯也是以同樣的加速在下降，因此對你與電梯而言，蘋果將「漂浮」在你面前不動的（牛頓第一運動定律）！如果太空艙內沒有空氣，你輕輕地推蘋果一下，蘋果將會加速（牛頓第二運動定律），當推動力消失後即沿直線「漂浮」地做等速運動（牛頓第一運動定律）！

事實上正是這一「領悟」，使愛因斯坦將只適用於等速參考坐標的狹義相對論，成功地擴展到適用於任何參考坐標之廣義相對論（參見「愛因斯坦一生中最幸運的靈感–廣義相對論的助產士」，2021 年 3 月號科學月刊）。

在大約四分鐘的失重體驗後，太空艙的下降將慢慢感受到空氣的阻力，使太空人慢慢感受到最高可達六倍重力的「重量」減速，最後靠降落傘緩緩著陸。

為什麼在靠近地球的太空站上，也能體驗無重量感？

地球之萬有引力是無遠弗屆，原則上我們是逃不出其如來佛的手掌心^[註4] ，所以要使太空艙不被拉回地面，主要有兩個方法：

1. 跟地心引力硬碰硬，例如往上衝的火箭。
2. 把地心引力當作物體圓周運動的向心力，若地心引力全用在圓周運動轉彎時的向心力上，地球引力就沒辦法吸落物體。

不免俗地，必須先看一下向心力的公式，當一質量為 m 之物體做圓周運動時，會需要向心力改變運動方向。牛頓物理告訴我們，這向心力（F）的大小與圓周運動半徑（r）成反比，並與運動速度的平方成正比：

當向心力與地球引力相等時：

兩邊的 ｍ 可以對消，因此不用考慮物體質量，只要考慮該物體位於多高的位置（圓周運動半徑），就能算出物體需要以多少速度前進，才不會被地球引力吸落，而這個前進速度，我們稱為「軌道速度」。

這正是國際太空站保持在高空約 400 公里處的設計原理：它以每小時約 28,000 公里平行於地球表面的速度前進，相當於每 90 分鐘繞地球一圈，一天的空間行程大約是從地球到月球再返回的距離; 而地球在赤道的自轉速率，大約為每小時 1,700 公里。

能設計將太空站或衛星固定在空間的某一點嗎？能，但超出本文討論的範圍，只好留給讀者自己去想了。

而在太空站內，由於地心引力全被當作圓周運動的向心力，所以「無重量」不只是「感覺」，而是在太空站內的物體真的沒有重量，沒有任何淨力作用於物體上！

想體驗無重量不用跑到太空——拋物線飛行

相信任何人初次經驗到無重量感都會驚奇得張口合不起來的：杯子的水倒不出來、一根手指就可以舉起在地面上重一公噸的物體、輕輕一跳就可以創世界紀錄。

可是需要花這麼大的人力、物力去製造這環境嗎？筆者年輕時就曾在遊樂場裡享受到大約一秒鐘、記憶猶新的無重量感；而如果你不怕摔得粉身碎骨的話，從台北 101 大樓往下跳，也可享受到大約 9 秒鐘的自由落體（生命可貴，千萬不要輕易嘗試） 。

1950 年，美國德州布魯克斯空軍基地（Brooks Air Force Base）空軍航空醫學院（Air Force School of Aviation Medicine）的哈伯（Fritz & Heinz Haber）博士兄弟就提出利用「拋物線飛行」（parabolic flight）來模擬「無重力」的建議。

現在「拋物線飛行」不但已經是美國國家航空和航天局（NASA）之宇航員訓練、科學實驗、及空間設備技術測試的平台，而且已經商業化了^[註5] 。「拋物線飛行」需要經過特殊訓練的飛行員來精確地操縱及控制飛機的飛行，在此我們僅簡單的介紹其原理如下。

從穩定的高空 8 公里處平飛姿態，改成 45° 上沖姿態飛行；在這個階段，體重是正常體重的 1.8 倍。這飛行持續約 20 秒後，機組人員開始執行一種稱為「注入」（injection）的機動降低推力，並操縱飛機軌跡使其遵循一種拋物線（投擲石頭在重力作用下的自由落體）飛行。垂直載荷係數在這個階段從 1.8g 降到持續約 25 秒的零重力（0g）感。最後在拋物線的下降部分執行與進入對稱的 1.8g 退出階段，在大約 20 秒內將飛機返回到穩定的高度水平。如此重複20-30次。

為了體驗無重量，值得飛出卡門線嗎？

美金萬元不到就可以「拋物線飛行」，體會無重力經驗，但卻已有 600 人預訂 25 萬美金去做 80 公里太空旅遊^[註6]。你說這不是財富和特權的粗俗展示是什麼？當然，那是他們「辛苦賺來」的錢，他們要怎麼用我們無話可說；只是在高喊減碳^[註7]及貧富不均的全球危機中，億萬富翁們卻在花大錢將自己送入太空尋找樂趣，似乎有點……

有「不以為然」想法的人似乎不只是筆者；事實上或許由於「心中有愧」，全世界最有錢的、此次太空旅遊公司之一的大老闆、亞馬遜公司創辦人貝索斯（Jeff Besos）在出發前宣布將捐贈 2 億美元給史密森學會（Smithsonian Institution）——這是自 1846 年史密森 (James Smithson) 創辦該巨大之博物館、教育、和研究綜合體以來的最大單筆捐贈；而這次太空旅遊拍賣一座位所得的 2000 萬美金也全部捐給慈善機構。

據 Treehugger 網路上的一篇文章「太空旅遊的碳足跡有多少？」（ What Is the Carbon Footprint of Space Tourism? ）分析，雖然這些太空旅遊每次會製造 60 到 80 公噸的碳足跡^[註8]，就其本身來看，這事實上並不算多：因為一架從芝加哥飛往香港的 777-200 飛機就輸出 351 公噸的碳足跡，每天還飛行多次！

但不要忘了後者承載約 300 人飛行 1.3 萬公里。該文最後結論說：但與這些富豪之私人飛機整年在多個住宅間飛來飛去，可能都微不足道；所以我們不是需要更少的火箭和更少的太空旅遊，而是需要更少的億萬富翁。不知讀者同意與否？

註解

• 註 1：空氣流動越快的地方，壓力越小［伯努利定律（Bernoulli’s Law），為一應用於流體的能量不滅定律］。機翼的設計就是使其上下的空氣流速不同。
• 註 2：匈牙利出生 ，在第一次世界大戰前後的幾年裡，參與直升機的早期設計等工作；1930 年，卡門移居美國，成為二戰期間火箭和超音速飛行的專家。1944 年，卡門和他的同事在加州建立了噴氣推進實驗室（Jet Propulsion Laboratory），為現在是美國宇航局的傑出實驗室。
• 註 3：火箭推進器靠的是動量不滅定律，所以可以在沒有空氣的地方飛翔。
• 註 4：實際上當然不是這樣。在「 霍金和黑洞：霍金一生的追尋讓我們知道了哪些事？」一文裡，筆者用簡單的能量不滅定律，導出要脫離地心引力的最小速度；在沒有空氣的阻力下，其值為每小時 40,284 公里。當然，在實際操作上我們並不一定要一下子提供這麼大的速度；我們可以分段加速，慢慢將太空推出地心引力之外。不知道讀者是否在這裡看出一個邏輯上難以理解的地方（參見「從圓周率與無理數，談數學也有其無法理解、不精確、和不確定性）」：地心引力與距離的平方成反比，所以地心引力可以趨近於零，但不會等於零（即永遠逃脫不了地心引力）。
• 註 5： 有興趣的讀者可以上網到「零重力公司」（Zero-Gravity Corporation）登記（美金 7500 元加稅）。
• 註 6： 現在已是 45 萬元美金起跳。
• 註 7： 聯合國氣候變遷小組（IPCC）7 月 9 日由 234 位科學家撰寫的 3000 多頁報告指出，地球暖化速度比科學家先前觀察到的還要快，全球均溫很可能在大約十年內就升高攝氏 1.5 度，突破巴黎協定的升溫幅度限制。
• 註 8： 貝索斯的火箭燃料是使用液態氫和液態氧，不會直接產生二氧化碳；因此氫正越來越多地被推廣作為應對氣候變化的一種方式。但絕大多數氫氣（96%）來自化石燃料，特別是來自甲烷及煤的氣化，其提煉時所產生的熱及溫室氣體其實不亞於其它燃料 [這情況很像不考慮發電可能造成更大的污染，而盲目地發展電動汽車一樣，詳見「我愛科學」（華騰文化有限公司，2017年12月出版）]。