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永無止境的圓周率追尋之旅──《數學大觀念》

貓頭鷹出版社_96
・2017/03/13 ・4986字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 503 ・六年級

  • 【科科愛看書】無論何時,只要想到數學就一個頭兩個大?那你肯定還沒看過《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》!此書從簡單加減到高深微積分,用嶄新的視角連結密碼般的數字和真實人生,循序漸進去探索數學的規律和其中令人讚嘆的美好。讓我們一起將數學砍掉重練,邁向數學偉大的航道吧!

π 數知多少? 真有如滔滔江水,連綿不絕啊~

只要仔細測量,你便可以用實驗的方法確定 π 稍微大於 3。但是自然而然浮現了兩個問題:

  1. 你可否在不用任何實質測量的條件下,證明 π 是一個接近 3 的數?
  2. π 又是否能用一個簡單的分數或是公式來表示?

第一個問題可以經由畫一個半徑為 1 的圓來回答,這個圓的面積是 π12=π。在下圖中,我們畫出一個邊長為 2 的正方形,將這個圓完整的包在裡面。由於這個圓的面積一定小於正方形的面積,這就證明了 π<4。

圖/《數學大觀念

另一方面,這個圓包含了一個六邊形,它的六個角平均分布在圓周上。這個內接六邊形的周長是多少呢?六邊形可以分解成 6 個三角形,每個三角形都有一個 360º/6=60º 的圓心角,而且每個三角形中有兩邊是圓的半徑(長度為 1),所以它們都是等腰三角形。根據等腰三角形定理,另外兩個角有相同的角度,所以一定都是 60º。

因此,這些三角形都是邊長為 1 的等邊三角形。於是這個六邊形的周長是 6,而它一定比圓周 2π 少一點。因此 6<2π,也就是 π>3。將這些結果放在一起,我們就會得到 3<π<4。

我們可以用具有更多個邊的多邊形來將 π 限縮在更小的區間中。舉例來說,如果我們不用正方形,而是用一個六邊形將單位圓包起來,就能證明 π<2√3=3.46……。


這個六邊形同樣可以被細分成六個等邊三角形,每一個三角形都可以再細分成兩個全等的直角三角形。如果較短的直角邊其長度為 x,那麼斜邊的長度就是 2x。根據畢氏定理,x2+1=(2x)2,我們即可解出 x=1/√3。

由此可知,這個六邊形的周長是 12/√3=4√3。而因為這個數大於這個圓的周長 2π,於是 π<2√3。(有趣的是,如果將這個圓與這個六邊形兩者的面積互相比較,我們也會得到相同的結論。)

根據這個結果,偉大的古希臘數學家阿基米德(西元前 287~212 年)進一步創造出 12、24、48 和 96 邊的內接和外切多邊形,並導出 3.14103<π<3.14271,以及一個更簡單的不等式:3 又 10/71<π<3 又 1/7

分數啊,請為我找到 π 吧!

用分數逼近 π 有很多簡單的方式,比方說:314/100=3.14、22/7=3.142857、355/113=3.14159292……。

我特別喜歡最後一個逼近式,因為它不只正確產生小數點後的前六位數,也把最初三個奇數各用上兩次:依序是兩個 1、兩個 3 和兩個 5!

當然,若能找出一個剛好等於 π 的分數會很有趣。(其中分子和分母都是整數,否則我們可以直接用 π=x/1。)不過,朗伯(Johann Heinrich Lambert)在 1768 年證明了 π 是一個無理數,也就證明了上述的嘗試徒勞無功。

或許 π 可以用某個簡單數目的平方根或立方根來表示?舉例來說,√10=3.162…已經相當接近了。

但是在 1882年,林德曼(Ferdinand von Lindemann)證明了 π 不只是無理數,還是一個超越數。也就是說,π 不是任何一個整係數多項式的根。舉例來說,√2 是一個無理數,但它並不是一個超越數,因為 √2 是多項式 x2−2 的根。

雖然 π 並不能用一個分數來表示,卻能表示成無窮多個分數的總和或乘積!舉例來說,我們在第十二章會看到:π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11…)

這個公式不僅美麗,也相當驚人,但在計算 π 的眾多公式中,它並不算是非常實用的一個。算了 300 項之後,我們仍舊不會得到比 22/7 更逼近 π 的數值。下面是另一個驚人的公式,我們稱之為沃利斯公式,它以一個無窮乘積來計算 π,不過同樣需要花很長的時間來收斂。

π=4(2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9…)=4(1-1/9)(1-1/25)(1-1/49)(1-1/81)…

躺著背、坐著背、趴著背,還是 π 最好背!

由於大家都為 π 所著迷(一部分是為了測試超級電腦的速度和準確性),所以 π 曾經被算到幾兆位數。當然,其實我們並不需要這種精確度,只要知道 π 的前四十位數,你就可以測量出已知宇宙的周長,誤差不超過氫原子的半徑!

π 這個數已經發展到近乎讓人狂熱崇拜的地步了。許多人喜歡在「π 日」(3 月 14 日,用數字來呈現就是 3/14,剛好也是愛因斯坦的生日)讚頌 π。

It’s Pi Day~~~圖/GIPHY

在這一天,典型的活動可能包含展示和食用以數學為裝飾主題的派、打扮成愛因斯坦的樣子,當然也少不了 π 的記憶大賽。參賽的學生一般都可以記住 π 的幾十位數,但通常贏家都是那些記得超過一百位數的人。

對了,目前記憶 π 的世界紀錄是呂超這位中國人,他曾在 2005 年背誦出了 π 的 67,890 位數!根據《金氏世界紀錄》,呂超花了四年才記住這麼多位數,他也花了整整一天多的時間才將這些位數統統背誦出來。我們來看看 π 的前一百位數:

π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105
820974944592307816406286208998628034825342117067 …

經過這麼多年,人們早已想出一些背誦圓周率的妙方,其中之一就是創造特殊的英文句子,讓句子裡每個單字所包含的字母數代表 π 的下一位數。一些著名的例子包括:

「How I wish I could calculate pi.」(得到七位數:3.141592)

「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」(提供了十五位數)

記憶吐…派?圖/GIPHY
  • (譯注:而在中文裡,有人用諧音的方式將圓周率藏在詩句中,其中最著名的是〈山巔〉這首五言絕句:「一寺一壺酒,二柳舞扇舞,把酒棄舊山,惡善百世流。」連題目共得到二十一位數:3.14159265358979323846。)

最令人佩服的例子出現在 1995 年,凱斯(Mike Keith)利用愛倫坡一首鬼斧神工的打油詩〈烏鴉〉創造出記住 740 位數的方法。這首詩的標題和第一節加起來就能產生出 42 位數,其中由十個字母組成的單字對應數字 0。

Poe, E. Near a Raven(譯注:對應 3.1415,以下依此類推)
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap−the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.
“This,” I whispered quietly, “I ignore.”

凱斯隨後將這首鉅作繼續延伸,寫出一首藏有 3835 位數的詩,題為〈Cadaeic Cadenza〉。(請注意,如果你用數字 3 代替字母 C、用 1 代替 A、用 4 代替 D……,那麼「cadaeic」這個字就會變成 3141593。)這首詩的開頭取材自〈烏鴉〉,但也包含了一些數位作品評論以及模仿其他詩詞的部分,比如說卡羅(Lewis Carroll)的詩作〈無聊〉(Jabberwocky)也在其中。

凱斯在這方面最新的貢獻是出版了一本書,書名是「Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10000 Decimals.」(請注意此書標題中每個單字的字母數!)這種用字母數來記憶 π 的方法有一個很大的問題,那就是即使你能記住這些句子、詩詞和故事,要立刻判斷出每個單字有多少字母也並非一件簡單的事。

關於這點,我喜歡的說法是:「多麼希望能跟大家解釋,其實通常有更好的記憶法可用。」( 「How I wish I could elucidate to others. There are often superior mnemonics!」這句話產生出13位數。)

《Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10000 Decimals.》

來點音碼巧思,讓數字成為你朋友

要記住許多數字,我最喜歡用的方法是一種名為主要系統的音碼。在這套音碼中,每個數字都用一個或多個子音來表示。更具體地說:

1=t 或d
2=n
3=m
4=r
5=l
6=j、ch 或 sh
7=k 或硬 g 音
8=f 或 v
9=p 或 b
0=s 或 z

甚至還有人發明了幫你記住這套記憶系統的記憶法呢!我的朋友馬洛斯科維普(Tony Marloshkovips)提供了下列建議:字母 t(或發音相似的 d)中藏有一條直線;n 有兩條;m 有三條;而愛地球就別忘了環保 4R。伸出 5 根手指頭,你就會在拇指和食指之間看到 L;將 6 倒過來,看起來就很像字母 j;而兩個 7 可以組成一個K。(微軟系統)開機時按下 F8 能進入安全模式;將 9 左右或上下翻轉,就能得到 p 或 b。最後,ZO 就是 0 輸出的意思。

或者你也可以將這些子音統統照順序排好,形成TNMRLShKVPS,然後就會得到一個我(想像中的)朋友的名字:

Tony Marloshkovips

我們只要在每個相連的子音中插入母音,就能利用這套音碼讓數字變成文字。舉例來說,31 用到的子音有 m 和 t(或是 m 和 d),因此這個數字可以轉化成如下一些單字:

31 = mate, mute, mud, mad, maid, mitt, might, omit, muddy

請注意,像是「muddy」或是「mitt」這樣的單字是可以被接受的,因為 d 和 t 聽起來像是只出現一次,拼法也不會造成任何影響。此外,因為像是 h、w 和 y 這樣的子音並沒有出現在上表中,所以這些字母也能像母音一樣自由使用。因此我們可以將 31 轉化成像是「humid」或是「midway」這樣的單字。請注意,雖然同一個數字通常可以對應許多不同的單字,但是一個單字只能表示唯一的數字。

π 的前三個位數包含子音 m、t 和 r,這三位數可以轉換成如下一些單字:314 = meter, motor, metro, mutter, meteor, midyear, amateur;前五個位數 31415 可以變成「my turtle」這個詞。若再繼續延伸至 π 的前二十四位數,314159265358979323846264 就可以變成:

My turtle Pancho will, my love, pick up my new mover Ginger

然後將接下來的十七位數 33832795028841971 變成:My movie monkey plays in a favorite bucket;我很喜歡接下來的十九位數:6939937510582097494,因為它們可以對應一些較長的單字:Ship my puppy Michael to Sullivan’s backrubber;而下面十八個位數 459230781640628620 可以帶給我們這句話:A really open music video cheers Jenny F. Jones;然後再接下來的二十二位數 8998628034825342117067 則是:Have a baby fish knife so Marvin will marinate the goose chick!

於是,我們就將圓周率的前一百位數悄悄藏在這五個傻裡傻氣的句子中了!音碼對於記憶日期、電話號碼、信用卡號等長串數字都相當有用。試試看,只要稍加練習,你就能大大增強記住許多數字的能力了。

π 還是 τ?今天要算哪一道?請選擇!

π 是數學中最重要的數之一,這一點所有的數學家都會認同。但是如果你看看那些用到 π 的公式,你會發現它們大多會將 π 乘上 2。我們用希臘字母 τ(發音類似「陶」)來代表這個數。

τ = 2π

許多人相信如果我們能回到過去,就能因為用 τ 取代 π,而讓許多數學公式以及三角學中的關鍵概念變得比較簡單。在一些文章中,比如說帕萊(Bob Palais)的〈 π 是錯誤的!〉以及哈特爾(Michael Hartl)的〈 τ 的宣言〉,作者都優雅又饒富趣味地表達過這個想法。

這個論述的「中心點」在於圓都是由半徑來定義的,當我們將圓周和半徑相比的時候,就會得到 C/r=2π = τ。有些教科書現在會標示「兼容 τ」來表示這本書同時用 π 和 τ 來寫出公式。(雖然全面改用 τ 不會是輕鬆的過程,但許多學生和老師都認為使用 τ 會比 π 更輕鬆。)觀察這項行動在未來數十年會演變成什麼樣子是相當有趣的。

τ 的支持者(他們自稱為陶幫)誠摯地相信真理站在他們那邊,但他們也能包容比較傳統的符號。如同他們所說的,陶幫絕非頑固不化。下面是 τ 的前一百位數,其中插入了一些空格,對應我們隨後會提到的記憶法。請注意,τ 的開頭是 6,接著是 28,這兩個數目都是第六章提過的「完全數」。這是個巧合嗎?當然囉!不過還算是個有趣的花絮啦。

τ = 6.283185 30717958 64769252 867665 5900576 839433 8798750
211641949 8891846 15632 812572417 99725606 9650684 234135 ⋯

2012 年,當時才十三歲的布朗(Ethan Brown)締造了一項世界紀錄。為了一個募款計畫,他背出了 τ 的 2012 位數。他也是利用音碼,但並非創造出長句,而是創造出視覺圖像。每個畫面都包括了一個主體、一個動作(結尾永遠是現在進行式的 -ing)和一個當作受詞的物體。例如 τ 的前七位數:62 831 85 就變成「An ocean vomiting a waffle」(大海吐出一塊鬆餅)。下面是他為 τ 的前一百位數所創造出來的畫面:

An ocean vomiting a waffle
A mask tugging on a bailiff
A shark chopping nylon
Fudge coaching a cello
Elbows selling a couch
Foam burying a mummy
Fog paving glass
A handout shredding a prop
FIFA beautifying the Irish
A doll shooing a minnow
A photon looking neurotic
A puppy acknowledging the sewage
A peach losing its chauffeur
Honey marrying oatmeal

為了更容易記住這些畫面,布朗採用記憶宮殿這個方法。他想像自己在學校中遊蕩,當他沿著某條走廊前進並進入一間間的教室,每間教室裡都會有三到五個主體做著一些蠢事。最後,他得到了分布在 60 個地方的 272 個圖像。花了四個月準備之後,他用了 73 分鐘背誦出那 2012 位數。

來首餘韻無窮的 π 之歌吧!

讓我們用一首讚頌 π 的樂曲來結束這一章吧。這是我根據雷斯(Larry Lesser)的模仿歌曲〈美國 π〉(American Pi)所寫的一段新歌詞(譯著:雷斯所模仿的對象是〈American Pie〉這首經典歌曲)。這首歌你應該只唱一次就好,因為 π 是不會自我重複的。

很久,很久以前,
我還記得數學課總是讓我打瞌睡。
因為我們碰上的每一個數,
不是有終點就是一直重複。
但或許這世上其實有更厲害的數

但後來我的老師說:「給你一個挑戰,
試著找出圓的面積。」
雖然我嘗試無數,
我還是找不出一個分數。

我不記得我是不是哭了,
愈是嘗試或限制範圍,
但在我心深處有個東西觸動了我
就在這一天我認識了 π!

π 啊 π,數學上的 π,
兩個十一除以七是個不錯的嘗試。
你或許希望能提出一個美好的分數
但它的小數展開永不止息,
小數展開永不止息。

π 啊 π,數學上的 π,
3.141592653589。
你或許希望能用一個美好的分數來定義它,
但是小數展開永不止息!


本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

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貓頭鷹出版社_96
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貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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強核力與弱核力理論核心:非阿貝爾理論——《撞出上帝的粒子》
貓頭鷹出版社_96
・2023/01/28 ・1733字 ・閱讀時間約 3 分鐘

非阿貝爾理論

量子色動力學與弱核力理論有個更為奇特的性質,兩者都是「非阿貝爾理論」 (non-Abeliantheories)。非阿貝爾的意思是強核力與弱核力理論核心(參見【科學解釋 6】)的對稱群代數是不可交換的。簡單來說就是「A 乘 B」不等於「B 乘 A」。

一般人的常識會告訴你,如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣,你用計算機怎麼試答案都不變。一個袋子裝三塊錢、兩個袋子總共是六塊錢;一個袋子裝兩塊錢,三個袋子總共還是六塊錢。

如果隨便拿兩個數字 A 和 B,用 A 乘 B 的結果永遠會和用 B 乘 A 一樣。圖/pixabay

這件事對數字永遠都成立,是千真萬確的事實。然而,我們有個很好的方法能定義出一套數學架構,其中的 AB 不等於 BA。實際上,數學家已經鑽研這個領域很多年了。

條條大路通數學

或許更驚人的是,物理學家竟然也在許多地方應用這套數學,因為某些和物理學相關的事物也是 AB 不等於 BA。矩陣就是我們表示這些東西的一種方式。現在我在倫敦大學學院為新生上的數學方法課就有介紹矩陣力學。以前我的學校制定了一套「新數學」的課綱,所以我在年僅十五歲的時候就多少認識一點矩陣了。

數學的一個矩陣是一群按照行列排列整齊的數字。把兩個矩陣 A 和 B 相乘,會得到另一個矩陣 C,方法是把對應的列和行上面的數字依序相乘。

這種矩陣聽起來可能不像某部電影裡面那掌控一切、創造虛擬實境的超級電腦一樣迷人,卻有用的多。這部電影的角色身穿黑色皮衣,還有出現著名的慢動作躲子彈鏡頭

慢動作躲子彈鏡頭。圖/giphy

我來舉個例子。

你可以用一個矩陣來描述你移動某個物體的結果。相乘的順序(AB 或 BA)在這個例子有明顯的區別。物體先在原地轉九十度再向前直直走十公尺,和先走十公尺再轉九十度,兩種移動方式最後的終點顯然不會相同。假設矩陣B代表旋轉,矩陣 A 代表直行,那麼合在一起的「旋轉後直行」就是矩陣(C = AB);這和「直行後旋轉」的矩陣(D = BA)必定不會相同。C 不等於 D,所以 AB 不等於 BA。要是 AB 和 BA 永遠相同,我們就沒辦法用矩陣來描述這類的移動過程了。正是因為矩陣的乘法不可交換―非阿貝爾,這個工具才會如此有用。

數學和真實世界密不可分

在狄拉克試圖要找出能描述高速電子的量子力學方程式時,矩陣被證實是他所需要的工具。實際上,電子有某項特性讓狄拉克不得不使用矩陣來表示它,這項特性與他描述電子自旋的語言同出一轍;所有原子的行為和元素周期表的規律,都與自旋有深刻的關聯。除此之外,這個性質也啟發狄拉克去預測有反物質的存在。

數學和真實世界之間似乎有緊密的關係,這讓我讚嘆不已。優秀的研究要能解決問題、也要能提出好的問題。而問題永遠比解答還要多,為了研究我們要付出許多的時間和金錢,因此大家得做出抉擇。數學是威力極大的工具,能幫助科學家檢查實驗數據、並從結果當中尋找最有趣的新實驗方向。就算有些方法和結論,好比矩陣及反物質,看起來可是相當古怪的。

秉持著這份精神,我要在繼續討論希格斯粒子搜索實驗之前,先繞個路來講微中子,最後這回要介紹的是一個很重要的真實結果。2012 年 3 月 7 日,中國的大亞灣核反應爐微中子實驗(DayaBay Reactor Neutrino Experiment)發表了最新的研究成果。

One of the Daya Bay detectors.圖/wikipedia

他們的實驗結果不但對標準模型影響重大,也會決定粒子物理學未來的研究走向。如果你只想要繼續讀希格斯粒子的故事,大可跳過這一段沒關係,下一節再見。但是微中子的粉絲可千萬別錯過精彩好戲了!

——本文摘自《撞出上帝的粒子:深入史上最大實驗現場》,2022 年 12 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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