- 【科科愛看書】無論何時，只要想到數學就一個頭兩個大？那你肯定還沒看過《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》！此書從簡單加減到高深微積分，用嶄新的視角連結密碼般的數字和真實人生，循序漸進去探索數學的規律和其中令人讚嘆的美好。讓我們一起將數學砍掉重練，邁向數學偉大的航道吧！
π 數知多少？ 真有如滔滔江水，連綿不絕啊～
只要仔細測量，你便可以用實驗的方法確定 π 稍微大於 3。但是自然而然浮現了兩個問題：
- 你可否在不用任何實質測量的條件下，證明 π 是一個接近 3 的數？
- π 又是否能用一個簡單的分數或是公式來表示？
第一個問題可以經由畫一個半徑為 1 的圓來回答，這個圓的面積是 π12=π。在下圖中，我們畫出一個邊長為 2 的正方形，將這個圓完整的包在裡面。由於這個圓的面積一定小於正方形的面積，這就證明了 π<4。
另一方面，這個圓包含了一個六邊形，它的六個角平均分布在圓周上。這個內接六邊形的周長是多少呢？六邊形可以分解成 6 個三角形，每個三角形都有一個 360º/6=60º 的圓心角，而且每個三角形中有兩邊是圓的半徑（長度為 1），所以它們都是等腰三角形。根據等腰三角形定理，另外兩個角有相同的角度，所以一定都是 60º。
因此，這些三角形都是邊長為 1 的等邊三角形。於是這個六邊形的周長是 6，而它一定比圓周 2π 少一點。因此 6<2π，也就是 π>3。將這些結果放在一起，我們就會得到 3<π<4。
我們可以用具有更多個邊的多邊形來將 π 限縮在更小的區間中。舉例來說，如果我們不用正方形，而是用一個六邊形將單位圓包起來，就能證明 π<2√3=3.46……。
這個六邊形同樣可以被細分成六個等邊三角形，每一個三角形都可以再細分成兩個全等的直角三角形。如果較短的直角邊其長度為 x，那麼斜邊的長度就是 2x。根據畢氏定理，x2+1=(2x)2，我們即可解出 x=1/√3。
由此可知，這個六邊形的周長是 12/√3=4√3。而因為這個數大於這個圓的周長 2π，於是 π<2√3。（有趣的是，如果將這個圓與這個六邊形兩者的面積互相比較，我們也會得到相同的結論。）
根據這個結果，偉大的古希臘數學家阿基米德（西元前 287～212 年）進一步創造出 12、24、48 和 96 邊的內接和外切多邊形，並導出 3.14103<π<3.14271，以及一個更簡單的不等式：3 又 10/71<π<3 又 1/7
分數啊，請為我找到 π 吧！
用分數逼近 π 有很多簡單的方式，比方說：314/100=3.14、22/7=3.142857、355/113=3.14159292……。
我特別喜歡最後一個逼近式，因為它不只正確產生小數點後的前六位數，也把最初三個奇數各用上兩次：依序是兩個 1、兩個 3 和兩個 5！
當然，若能找出一個剛好等於 π 的分數會很有趣。（其中分子和分母都是整數，否則我們可以直接用 π=x/1。）不過，朗伯（Johann Heinrich Lambert）在 1768 年證明了 π 是一個無理數，也就證明了上述的嘗試徒勞無功。
或許 π 可以用某個簡單數目的平方根或立方根來表示？舉例來說，√10=3.162…已經相當接近了。
但是在 1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明了 π 不只是無理數，還是一個超越數。也就是說，π 不是任何一個整係數多項式的根。舉例來說，√2 是一個無理數，但它並不是一個超越數，因為 √2 是多項式 x2−2 的根。
雖然 π 並不能用一個分數來表示，卻能表示成無窮多個分數的總和或乘積！舉例來說，我們在第十二章會看到：π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11…)
這個公式不僅美麗，也相當驚人，但在計算 π 的眾多公式中，它並不算是非常實用的一個。算了 300 項之後，我們仍舊不會得到比 22/7 更逼近 π 的數值。下面是另一個驚人的公式，我們稱之為沃利斯公式，它以一個無窮乘積來計算 π，不過同樣需要花很長的時間來收斂。
π=4(2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9…)=4(1-1/9)(1-1/25)(1-1/49)(1-1/81)…
躺著背、坐著背、趴著背，還是 π 最好背！
由於大家都為 π 所著迷（一部分是為了測試超級電腦的速度和準確性），所以 π 曾經被算到幾兆位數。當然，其實我們並不需要這種精確度，只要知道 π 的前四十位數，你就可以測量出已知宇宙的周長，誤差不超過氫原子的半徑！
π 這個數已經發展到近乎讓人狂熱崇拜的地步了。許多人喜歡在「π 日」（3 月 14 日，用數字來呈現就是 3/14，剛好也是愛因斯坦的生日）讚頌 π。
在這一天，典型的活動可能包含展示和食用以數學為裝飾主題的派、打扮成愛因斯坦的樣子，當然也少不了 π 的記憶大賽。參賽的學生一般都可以記住 π 的幾十位數，但通常贏家都是那些記得超過一百位數的人。
對了，目前記憶 π 的世界紀錄是呂超這位中國人，他曾在 2005 年背誦出了 π 的 67,890 位數！根據《金氏世界紀錄》，呂超花了四年才記住這麼多位數，他也花了整整一天多的時間才將這些位數統統背誦出來。我們來看看 π 的前一百位數：
π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105
820974944592307816406286208998628034825342117067 …
經過這麼多年，人們早已想出一些背誦圓周率的妙方，其中之一就是創造特殊的英文句子，讓句子裡每個單字所包含的字母數代表 π 的下一位數。一些著名的例子包括：
「How I wish I could calculate pi.」（得到七位數：3.141592）
「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」（提供了十五位數）
- （譯注：而在中文裡，有人用諧音的方式將圓周率藏在詩句中，其中最著名的是〈山巔〉這首五言絕句：「一寺一壺酒，二柳舞扇舞，把酒棄舊山，惡善百世流。」連題目共得到二十一位數：3.14159265358979323846。）
最令人佩服的例子出現在 1995 年，凱斯（Mike Keith）利用愛倫坡一首鬼斧神工的打油詩〈烏鴉〉創造出記住 740 位數的方法。這首詩的標題和第一節加起來就能產生出 42 位數，其中由十個字母組成的單字對應數字 0。
Poe, E. Near a Raven（譯注：對應 3.1415，以下依此類推）
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap−the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.
“This,” I whispered quietly, “I ignore.”
凱斯隨後將這首鉅作繼續延伸，寫出一首藏有 3835 位數的詩，題為〈Cadaeic Cadenza〉。（請注意，如果你用數字 3 代替字母 C、用 1 代替 A、用 4 代替 D……，那麼「cadaeic」這個字就會變成 3141593。）這首詩的開頭取材自〈烏鴉〉，但也包含了一些數位作品評論以及模仿其他詩詞的部分，比如說卡羅（Lewis Carroll）的詩作〈無聊〉（Jabberwocky）也在其中。
凱斯在這方面最新的貢獻是出版了一本書，書名是「Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10000 Decimals.」（請注意此書標題中每個單字的字母數！）這種用字母數來記憶 π 的方法有一個很大的問題，那就是即使你能記住這些句子、詩詞和故事，要立刻判斷出每個單字有多少字母也並非一件簡單的事。
關於這點，我喜歡的說法是：「多麼希望能跟大家解釋，其實通常有更好的記憶法可用。」（ 「How I wish I could elucidate to others. There are often superior mnemonics!」這句話產生出13位數。）
來點音碼巧思，讓數字成為你朋友
要記住許多數字，我最喜歡用的方法是一種名為主要系統的音碼。在這套音碼中，每個數字都用一個或多個子音來表示。更具體地說：
1=t 或d
2=n
3=m
4=r
5=l
6=j、ch 或 sh
7=k 或硬 g 音
8=f 或 v
9=p 或 b
0=s 或 z
甚至還有人發明了幫你記住這套記憶系統的記憶法呢！我的朋友馬洛斯科維普（Tony Marloshkovips）提供了下列建議：字母 t（或發音相似的 d）中藏有一條直線；n 有兩條；m 有三條；而愛地球就別忘了環保 4R。伸出 5 根手指頭，你就會在拇指和食指之間看到 L；將 6 倒過來，看起來就很像字母 j；而兩個 7 可以組成一個K。（微軟系統）開機時按下 F8 能進入安全模式；將 9 左右或上下翻轉，就能得到 p 或 b。最後，ZO 就是 0 輸出的意思。
或者你也可以將這些子音統統照順序排好，形成TNMRLShKVPS，然後就會得到一個我（想像中的）朋友的名字：
Tony Marloshkovips
我們只要在每個相連的子音中插入母音，就能利用這套音碼讓數字變成文字。舉例來說，31 用到的子音有 m 和 t（或是 m 和 d），因此這個數字可以轉化成如下一些單字：
31 ＝ mate, mute, mud, mad, maid, mitt, might, omit, muddy
請注意，像是「muddy」或是「mitt」這樣的單字是可以被接受的，因為 d 和 t 聽起來像是只出現一次，拼法也不會造成任何影響。此外，因為像是 h、w 和 y 這樣的子音並沒有出現在上表中，所以這些字母也能像母音一樣自由使用。因此我們可以將 31 轉化成像是「humid」或是「midway」這樣的單字。請注意，雖然同一個數字通常可以對應許多不同的單字，但是一個單字只能表示唯一的數字。
π 的前三個位數包含子音 m、t 和 r，這三位數可以轉換成如下一些單字：314 ＝ meter, motor, metro, mutter, meteor, midyear, amateur；前五個位數 31415 可以變成「my turtle」這個詞。若再繼續延伸至 π 的前二十四位數，314159265358979323846264 就可以變成：
My turtle Pancho will, my love, pick up my new mover Ginger
然後將接下來的十七位數 33832795028841971 變成：My movie monkey plays in a favorite bucket；我很喜歡接下來的十九位數：6939937510582097494，因為它們可以對應一些較長的單字：Ship my puppy Michael to Sullivan’s backrubber；而下面十八個位數 459230781640628620 可以帶給我們這句話：A really open music video cheers Jenny F. Jones；然後再接下來的二十二位數 8998628034825342117067 則是：Have a baby fish knife so Marvin will marinate the goose chick!
於是，我們就將圓周率的前一百位數悄悄藏在這五個傻裡傻氣的句子中了！音碼對於記憶日期、電話號碼、信用卡號等長串數字都相當有用。試試看，只要稍加練習，你就能大大增強記住許多數字的能力了。
π 還是 τ？今天要算哪一道？請選擇！
π 是數學中最重要的數之一，這一點所有的數學家都會認同。但是如果你看看那些用到 π 的公式，你會發現它們大多會將 π 乘上 2。我們用希臘字母 τ（發音類似「陶」）來代表這個數。
τ ＝ 2π
許多人相信如果我們能回到過去，就能因為用 τ 取代 π，而讓許多數學公式以及三角學中的關鍵概念變得比較簡單。在一些文章中，比如說帕萊（Bob Palais）的〈 π 是錯誤的！〉以及哈特爾（Michael Hartl）的〈 τ 的宣言〉，作者都優雅又饒富趣味地表達過這個想法。
這個論述的「中心點」在於圓都是由半徑來定義的，當我們將圓周和半徑相比的時候，就會得到 C/r=2π = τ。有些教科書現在會標示「兼容 τ」來表示這本書同時用 π 和 τ 來寫出公式。（雖然全面改用 τ 不會是輕鬆的過程，但許多學生和老師都認為使用 τ 會比 π 更輕鬆。）觀察這項行動在未來數十年會演變成什麼樣子是相當有趣的。
τ 的支持者（他們自稱為陶幫）誠摯地相信真理站在他們那邊，但他們也能包容比較傳統的符號。如同他們所說的，陶幫絕非頑固不化。下面是 τ 的前一百位數，其中插入了一些空格，對應我們隨後會提到的記憶法。請注意，τ 的開頭是 6，接著是 28，這兩個數目都是第六章提過的「完全數」。這是個巧合嗎？當然囉！不過還算是個有趣的花絮啦。
τ ＝ 6.283185 30717958 64769252 867665 5900576 839433 8798750
211641949 8891846 15632 812572417 99725606 9650684 234135 ⋯
2012 年，當時才十三歲的布朗（Ethan Brown）締造了一項世界紀錄。為了一個募款計畫，他背出了 τ 的 2012 位數。他也是利用音碼，但並非創造出長句，而是創造出視覺圖像。每個畫面都包括了一個主體、一個動作（結尾永遠是現在進行式的 -ing）和一個當作受詞的物體。例如 τ 的前七位數：62 831 85 就變成「An ocean vomiting a waffle」（大海吐出一塊鬆餅）。下面是他為 τ 的前一百位數所創造出來的畫面：
An ocean vomiting a waffle
A mask tugging on a bailiff
A shark chopping nylon
Fudge coaching a cello
Elbows selling a couch
Foam burying a mummy
Fog paving glass
A handout shredding a prop
FIFA beautifying the Irish
A doll shooing a minnow
A photon looking neurotic
A puppy acknowledging the sewage
A peach losing its chauffeur
Honey marrying oatmeal
為了更容易記住這些畫面，布朗採用記憶宮殿這個方法。他想像自己在學校中遊蕩，當他沿著某條走廊前進並進入一間間的教室，每間教室裡都會有三到五個主體做著一些蠢事。最後，他得到了分布在 60 個地方的 272 個圖像。花了四個月準備之後，他用了 73 分鐘背誦出那 2012 位數。
來首餘韻無窮的 π 之歌吧！
讓我們用一首讚頌 π 的樂曲來結束這一章吧。這是我根據雷斯（Larry Lesser）的模仿歌曲〈美國 π〉（American Pi）所寫的一段新歌詞（譯著：雷斯所模仿的對象是〈American Pie〉這首經典歌曲）。這首歌你應該只唱一次就好，因為 π 是不會自我重複的。
很久，很久以前，
我還記得數學課總是讓我打瞌睡。
因為我們碰上的每一個數，
不是有終點就是一直重複。
但或許這世上其實有更厲害的數
但後來我的老師說：「給你一個挑戰，
試著找出圓的面積。」
雖然我嘗試無數，
我還是找不出一個分數。
我不記得我是不是哭了，
愈是嘗試或限制範圍，
但在我心深處有個東西觸動了我
就在這一天我認識了 π！
π 啊 π，數學上的 π，
兩個十一除以七是個不錯的嘗試。
你或許希望能提出一個美好的分數
但它的小數展開永不止息，
小數展開永不止息。
π 啊 π，數學上的 π，
3.141592653589。
你或許希望能用一個美好的分數來定義它，
但是小數展開永不止息！
本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。
