1

9
2

文字

分享

1
9
2

傳入歐洲的阿拉伯數字推動代數改革──《無限的力量》

PanSci_96
・2020/11/28 ・3331字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 580 ・九年級

崛起於東方的代數學

雖然微積分的確是在歐洲達到頂峰,但這支數學的根基其實是從別的地方開始的。比如說代數學,它起源於亞洲和中東地區。代數的英文名稱來自於阿拉伯文 al-jabr,原意為「修復」或「碎片重聚」,這是在平衡一道方程式並求解時所需的操作。舉例而言,在處理方程式時,我們經常將一個數字從等號的某一邊移除並加到另一邊,這便是一種先將方程式的一部分拆下再重新修復的過程。

另外,如同我們之前提過的,幾何學事實上源自於埃及。據傳,希臘的幾何學之父泰利斯(Thales)便是在埃及學到這門學問的。還有,幾何學中最著名的一個理論——「畢氏定理」實際上也不是畢達哥拉斯首先發現的;早在公元前 1800 年前的美索不達米亞泥板上就已經存在,證明巴比倫人知道這個定理的時間點比畢達哥拉斯早了至少一千年。

公元前 1800 年的巴比倫石板上,早已刻有畢氏三元數組。圖/Wikipedia

同時必須要注意的是,當我們提到古希臘時,其實是指一個遠超過雅典(Athens)和斯巴達(Sparta)的超廣大領土。在面積最遼闊的時候,它的南方邊界延伸到了埃及、西至義大利與西西里島、而東邊更是橫跨了地中海至土耳其、中東、中亞、甚至是部分的巴基斯坦與印度。畢達哥拉斯是在薩摩斯島(Samos)出生的,這是一座位於安納托利亞(Asia Minor;屬於今日的土耳其)西部海岸線之外的島嶼。阿基米德生活於敘拉古,它位在西西里島的東南方。而歐幾里得則在亞歷山大城附近活動,這是一座位於埃及尼羅河口的巨大港口,並且是當時的學術重鎮。

但在羅馬攻佔了希臘,特別是當位於亞歷山大城的圖書館被燒毀,以及西羅馬帝國隕落以後,數學研究的中心就又回到了東方。阿基米德、歐幾里得、托勒密、亞里斯多德和柏拉圖的作品都被翻譯成了阿拉伯文,並且被當時的學者和抄寫員流傳了下來。這些人同時也在過去的理論中添加了許多嶄新的想法。

代數如何興起,幾何又為何衰落?

在代數降臨前的幾個世紀,幾何學的進展就已經陷入了龜速慢爬時期。在阿基米德於公元前 212 年去世以後,似乎就沒有人能在這個領域超越他的成就。喔,抱歉,應該說「幾乎」沒有人可以超越。大約在公元 250 年,中國的幾何學者劉徽對阿基米德計算圓周率的方法做了改良。兩個世紀以後,祖沖之(公元 429 – 500 年,南北朝時代)使用劉徽的方法及一個 24,576 條邊的多邊形做計算,並在經過一段想必非常史詩級的算術處理後,成功將 π 值限制在以下的兩個數字之間:

3.1415926 < π < 3.1415927

祖沖之對 π 值的計算成功達到小數點後第六位正確。圖/pixabay

又過了五個世紀,進步再度來臨,這一次是由一位名為哈桑‧本‧海什木(Al-Hasan Ibn al-Haytham;在歐洲通常寫作 Alhazen)的人完成。他於約公元 965 年時出生在伊拉克(Iraq)的巴斯拉(Basra),在進入伊斯蘭黃金時代後,他來到開羅(Cairo)從事包括神學、哲學、天文、醫學等各式各樣的研究。在海什木的幾何著作中,他思考一種阿基米德從未想過的立體圖形,並嘗試計算它的面積。與這個發現本身同樣令人吃驚的是,關於幾何學的重大進展也就這些了,且中間竟然花了十二個世紀的時間。

而就在這段時間裡,代數與算術正在經歷快速且重大的發展。來自印度的數學家發明了「零」這個概念,並創造了十進制系統。另外,關於如何解方程式的代數技巧也在埃及、伊拉克、波斯和中國遍地開花。這些進展大多源自於解決真實世界中的問題,例如:遺產繼承規則、納稅評估、商業活動、計帳、利息計算、以及其它可能用到數字與方程式的主題。

別忘了,阿拉伯數字可是印度人發明的喔!圖/pixabay

代數在當時仍是用文字敘述,也因此這些問題的解決方法都被寫成類似處方箋一樣的東西,上面包含了如何一步步得到答案的文字指引。其中一本著名的教科書是由穆罕默德‧伊本‧穆薩‧花拉子米(Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi;公元 780 – 850 年)所編寫的,因此作者的姓氏被用來泛指所有透過一系列步驟達成目的的程序,也就是演算法(algorithm,即 al-Khwarizmi 的拉丁文譯名)這個字的由來。最終,貿易商和探險家把這種以文字敘述為基礎的代數、以及從印度與阿拉伯發源的十進制帶往了歐洲,與此同時,人們也開始將阿拉伯文的文獻轉譯成拉丁文。

到了文藝復興時期的歐洲,除了應用層面的探索以外,將代數學符號化的研究也開始盛行起來,並且在 1500 年代達到頂峰。於是,方程式的樣貌開始類似於我們現今看到的樣子,也就是用字母來取代數字的形式。1591 年時,法國的弗朗索瓦‧韋達(François Viète)以母音字母(如:A 和 E)來代表未知值,並用子音字母(如:B 和 G)來代表常數。而如今我們用 x、y、z 表示未知值;a、b、c 表示常數的的習慣則源自於約五十年後出現的笛卡兒。這種使用符號與字母來取代文字敘述的作法,使得方程式的推導與求解更為容易。

在算術上也有同樣重大的突破,那就是來自荷蘭的西蒙‧斯蒂文(Simon Stevin)將阿拉伯十進制數字從整數擴大運用到了小數上,並藉此成功消除了亞里斯多德思想中關於數字(即今天的整數,兩相鄰整數間沒有更小的單位存在)與大小(一種連續的數量,可以被分割成無限小的單位)之間的差異。

西蒙‧斯蒂文(Simon Stevin)對小數的運用讓算數有了重大的突破。圖/Wikipedia

在斯蒂文以前,十進制只適用於整數上,而任何小於一單位的數就用分數來表示;但在斯蒂文的新方法中,一個單位的整數可被切割成更小的單位,也就是小數。這對於今天的我們來說是理所當然的事,但在那時卻是一項革命性的想法。當整數具有可分割性,則整數、分數或無理數便可以被整合到一個被稱為「實數」的大家庭中,這給了微積分描述連續空間、時間、運動與變化一項強大而必需的工具。

此圖展示「芝諾悖論」中的「阿基里斯與烏龜」,當缺乏小數帶來的「連續性」與無限帶來的「極限」概念時,會出現跑比較快的阿基里斯永遠追不上烏龜的奇怪解釋。圖/Wikipedia

就在幾何學即將與代數合而為一的前夕,阿基米德所用的舊幾何學方法還有最後一次成功的應用:克卜勒將帶有弧度的物體(如:酒桶和甜甜圈形狀的物體)在腦中切成無限多片且無限薄的圓盤,並藉此計算它們的體積;另外,伽利略與他的學生埃萬傑利斯塔‧托里切利(Evangelista Torricelli)、博納文圖拉‧卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)也是透過將物體視為無限多條線或面的堆疊來求得面積、體積或重心。

然而,這些人在對待「無限大」或「無限小」的概念時可以說是漫不經心,因此他們的方法雖然有力且直覺,卻一點兒也不嚴謹。儘管如此,由於這些方法能比窮盡法更容易且更快速地找到答案,所以也不失為一項讓人感到興奮的進步(當然,如今我們已經知道阿基米德早就使用過這種技巧了,他在關於「方法」的論述裡早就提過相同的點子,只不過當時這些敘述被深埋在一本收藏於修道院的祈禱書之中,直到 1899 年才被人發現)。

無論如何,雖然那些新阿基米德派的做法在當時看上去相當有效,但它們卻不足以應付未來的挑戰。而符號代數此時已經蓄勢待發,與之相關的兩支強大分支,即解析幾何與微分,也已如春芽一般呼之欲出。

──本文摘自《無限的力量》,旗標出版,2020 年 09 月 09 日

數感宇宙探索課程,現正募資中!

文章難易度
所有討論 1
PanSci_96
989 篇文章 ・ 695 位粉絲
PanSci的編輯部帳號,會發自產內容跟各種消息喔。


2

6
3

文字

分享

2
6
3

既是科學家,也是樂團鼓手!──專訪數學物理學家程之寧

研之有物│中央研究院_96
・2022/03/11 ・5978字 ・閱讀時間約 12 分鐘

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位。

  • 採訪撰文|郭雅欣、簡克志
  • 美術設計|林洵安、蔡宛潔

在學術與搖滾的多重維度上行走

還記得美劇《The Big Bang Theory》嗎?劇中常常出現的物理名詞「弦論」,是描述物理世界基本結構的理論。中央研究院「研之有物」專訪院內數學研究所程之寧研究員,她正是研究弦論的科學家,也是熱愛音樂的搖滾樂團鼓手,這種跨領域身份並不衝突,兩邊都需要創造力與紀律。由於天生斜槓的性格,讓程之寧在數學和物理領域大展身手,透過數學的深入探討,她試圖將弦論更往前推進。最近程之寧更跨足到人工智慧領域,為學界提供理論物理上的貢獻。

中研院數學所程之寧研究員,主要研究 K3 曲面(特殊的四維空間)的弦論,她發現模函數和有限對稱群之間有 23 個新的數學關聯,稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。圖/研之有物

萬有理論和難以捉摸的「月光」

世界從那裡來呢?物理世界的本質是什麼呢?回答這樣的大哉問,一直是理論物理學家所追求的目標。從牛頓力學(日常應用)、廣義相對論(探討很重的物質)到量子力學(探討很小的物質),隨著物理學不斷發展,我們似乎一步步接近答案,但至今卻還未走到終點。

舉例來說,如果有個東西很重又很小,就像「黑洞」,或是大爆炸時的宇宙,我們要怎麼用數學描述?於是科學家試圖整合廣義相對論和量子力學,找出所謂的「萬有理論」(Theory of Everything)──能完全解釋物理世界基本結構的核心理論。

程之寧研究的「弦論」就企圖發展成這樣一個萬有理論。弦論一如其名的「玄妙」,它設定宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。

「人類一直以來的夢想之一就是,如果能用一句話解釋所有事情,那該有多麼美好。」中研院數學所研究員程之寧說道。

程之寧的研究牽涉到數學上的「月光猜想」(Moonshine)與弦論中 K3 曲面的連結。月光猜想是存在於模函數係數與特殊群之間的數學關聯,程之寧與其研究夥伴共發現了 23 個新的關連,並稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。

基於弦論的假設,我們的世界是十維的,除了人們在日常生活中可以感知到的 3+1 維(空間+時間),還有六維是因為尺寸太小而無法用肉眼觀察的,這些看不到的維度影響著物理世界,最終也產生了我們這個物理世界所需的各種條件與特性。

綜觀程之寧的研究,橫跨了物理與數學兩個領域,她笑稱自己「天生斜槓」。在學術上,程之寧原先喜歡文學,之後卻走上數理研究的道路;在音樂上,程之寧喜愛搖滾樂,至今仍在自己的樂團裡擔任鼓手。

她如何看待自己一路走來的各種轉折?游徜在數學與物理之間,她又對這兩個領域的連結有怎樣的體會?在與「研之有物」的訪談中,程之寧侃侃而談她的經歷、想法,以及對學術研究的熱忱所在。

在弦論的設定中,宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。圖/iStock
  • 請問您是如何對數學及物理產生興趣?從何時開始?

一開始考大學時,其實我想去念中文系(笑)。不過,因為我高中是選理組,而且只念了一兩年,對文科考試比較沒把握,加上對工程科系沒興趣,最後就選擇臺大物理系就讀。

後來發生兩個轉折,第一個是我很認真的去修了大學中文系的課,結果發現真的沒有想像中容易。第二個就是我發現物理系的課還蠻有趣的,像量子力學和相對論,讓我覺得還想再多學一點、多知道一點。

我開始覺得如果念完臺大物理系就停下來,好像有一種小說沒讀完的感覺,所以就想繼續讀碩士班。那時還沒有覺得自己會走上學術研究的路,單純抱著想把故事看完的想法。

  • 後來是如何接觸到弦論?弦論是如何引起您的興趣?

後來我去荷蘭念碩士,指導教授是諾貝爾物理獎得主 Gerard ’t Hooft。他其實蠻不認同弦論,但他對於如何處理量子力學與相對論很有興趣。

當時 ’t Hooft 教授在建議我碩士題目時就說:「你也知道我不太認為弦論是一條正確的道路,不過聽說弦論最近真的在量子重力這一塊有一些成果。不如妳去讀一讀,看看是不是真的有一些東西在那裡,也可以比較一下其他量子重力理論。」

在我很認真的比較各個量子重力理論之後,就變成弦論派了(笑)。’t Hooft 教授對此也保持開放態度,他有幾個不錯的博士生後來也變成弦論學家,之後我在 Erik Verlinde 的指導下念博士時,就完全以弦論為研究主題了。

  • 研究理論物理會影響您對現實世界的理解嗎?

蠻多人會問我說,妳學了量子力學,是不是就會比較了解這個世界不是非黑即白?或問我量子力學跟宗教是不是有關?可是我覺得我分得很開,我不會去做這樣的連結,我還是活在現實裡,走路時大部分都在專注於自己不要跌倒之類的。

如果真的要講,我蠻感激我們的存在,因為我所學的東西讓我知道這是沒有必然性的。我們能這樣以一種人形的很奇怪的生物的形式存在,然後在這樣一個環境過一輩子,是機率很低的事情,而且我還蠻開心我是當人,而不是奇怪的阿米巴蟲或外星生物!有些人會從這裡連結到宗教或轉世,但我不會,我就停在這裡。

  • 來談談您的研究,伴影月光猜想與 K3 曲面弦論之間是什麼關係?

弦論中有很多的可能性,我們可以挑選特定的四維,然後假設這四維空間是個 K3 曲面。例如說,我們可以把兩個甜甜圈乘起來,在上面做特殊的奇異點,來製造出一個 K3 曲面。這個曲面有一些很有趣的對稱性。從弦論的角度來講,我們可以透過這個過程,找出一個解釋為何有伴影月光猜想的框架。

「把維度乘起來」這個概念很難想像,但這在數學上是成立的。我舉例一個我們能想像的「乘起來」:如果有一個空間是一條線,另一個空間是一個圓,乘起來就變成一個圓柱形,從一個方向剖面可以切出圓,另一個方向則切出線。而在數學上,不管幾維,能不能在紙上畫的出來,都可以這樣操作。

程之寧向「研之有物」採訪團隊解釋「把維度乘起來」的概念。圖/研之有物
  • 如何透過計算,發現捉摸不定的「月光」?

有時候這看似湊巧,一個數學上的函數正好就是弦論某個問題的答案。但其實並不是真的那麼巧,弦論看起來很有彈性,好像什麼都可以解釋,但它其實有非常多結構及限制。

當我在計算一個弦論理論時,它的內部結構可能原本就具有某些特定的性質,然後我再去觀察數學中,有這樣性質的函數可能就只有一兩個,只要再初步算一下,就能知道哪一個是答案。弦論學家日常的計算常常是這樣的,所以這是巧合嗎?是也不是。

  • 您曾經發現 23 個新的伴影月光猜想,您對這類題目特別有興趣嗎?

我覺得數學有兩種,有些數學家喜歡系統性的事情,就像蓋房子一樣,在數學裡建造一個很美麗、非常有系統性的結構,可以把很多事情都放入這個結構來理解。

另一種比較少數的,就是喜歡獵奇,去收集分類奇奇怪怪的特殊東西,例如有這些性質的函數在哪裡?可能你算出來就是 5 個,你也不知道為什麼。月光猜想很明顯就屬於這一類。

兩種的樂趣感覺是不一樣的,我覺得應該都很棒,但我可能是屬於偏好獵奇的這種。

  • 您的研究連結了物理上的弦論與數學上的月光猜想,您怎麼看待這兩個知識體系的互動?

弦論是一個需要很多數學理論配合的物理理論,它是一個有點繁複的框架,我們什麼都要會一些,才能看懂這個理論。當你把許多不一樣的學門的知識加起來,有時候就會在某一個學門──例如幾何──有意想不到的收穫。

弦論在數學上也扮演探索與找尋新方向的角色,讓數學家有新的發現。雖然最後數學定理的證明還是得仰賴傳統數學方法,但在這二三十年間,我們一直從弦論身上找尋數學研究的新方向或有趣的猜想,看到了弦論與數學之間的互動。

數學家有兩種,一種人喜歡建立美麗又有系統性的結構,另一種人喜歡尋找和收集奇怪特殊的數學物件(比如函數),程之寧表示自己屬於後者。圖/研之有物
  • 剛才一開始提到,您高中只念了一兩年,是因為對學校沒有興趣嗎?

其實我一直都覺得上學很無聊。我小時候臺灣教育和現在很不一樣,一班 50 幾個人,老師必須盡量軍事化管理,大家最好都一模一樣,比較好管理。我和學校一直處於互相磨合的狀況,我自認已經努力配合學校,但學校一直覺得我在反抗,這可能是一個認知上的差別。

舉例來說,我小學的時候不想睡午覺,可是老師說大家都一定要睡午覺,不睡午覺的人要罰抄課文,所以我早上到學校時就會把已經抄好的課文交給老師。我覺得我這樣做是在配合老師的規定,可是以老師的立場會覺得我在反抗,學校教育中我遇到了很多類似的情況。

還有就是不喜歡高中的升學氛圍,同學和老師好像都只有一個活著的目標,就是「考大學」。我當時無法習慣升學氛圍,感覺好像活在平行宇宙一樣。

  • 高中休學後,您去唱片行工作,可否談談當時的想法?

我國中開始聽音樂,這是我除了看書之外的重要興趣,我也很快就喜歡上了搖滾樂。高中休學的時候,我唯一的謀生技能可能就是我對音樂的各類知識吧!所以我就去了唱片行,這是唯一一個我會做又有興趣的工作,還好那時候還有很多唱片行(笑)。

  • 對音樂的熱忱,讓您與朋友共組了樂團,並擔任鼓手。您是否比較過樂團生活和學術研究之間的異同之處?

有些人覺得我這樣很跳 tone,但我自己覺得還好。音樂和學術都是我發自內心覺得好玩的東西,兩者也有相同之處,例如它們都需要創造性,也都有需要了解的框架。數學需要嚴謹的證明,音樂演奏也需要遵循結構,例如不能掉拍。

音樂領域還有一點和數學類似──玩樂團的圈子也是以男性為主。我們樂團則是只有一個男生,其他都是女生,可能我真的天生對框架有點遲鈍,玩團之後才發現:「怎麼大家都是男生?」

程之寧表示,學術界仍有許多性別不平等問題未受重視。圖/研之有物
  • 也就是說,目前數學學術圈仍是男性主導,在研究路上,您有因為性別而感受到一些衝擊或眼光嗎?您怎麼面對?

有。那感覺很明顯,日復一日地要去面對,尤其是年紀還比較輕、還必須每一天去證明自己的能力的時候,特別有感。

我遇到時的反應就是,在心裡暗罵一句髒話,然後繼續做我要做的事。我不會想改變別人的想法,感覺那是浪費時間,就算環境給我的阻礙是這樣,我還是繼續去做該做的事。

可是有些事情沒那麼簡單,現在我也當過老師,有時候會看到年輕女生在學術界因為性別而被欺負,或遭到不公平待遇、甚至騷擾。

對此我感到心痛,覺得為何我們學術領域還是這樣的狀況?甚至為什麼性騷擾至今還是一個議題?可以確定的是,學術界許多性別不平等問題未受到重視。

  • 您現在已經有傑出的研究成果,還會因為性別而遭受質疑嗎?

我現在比較會遇到一個狀況反而是來自學生的質疑。我在荷蘭阿姆斯特丹大學教書時,有時候學生會因為我是女教授,而且我的外表在許多歐洲人眼中看起來就像小妹妹,所以比較容易去挑我的毛病。

在課堂上,下面坐的可能都是男學生,只有一兩個女學生,那個氣氛就會變得很奇怪。例如說偶爾會聽到學生評論我的身材或樣貌。

我有和其他一些在歐洲或美國的女性教授聊過這樣的問題,似乎不少人都有類似的不太愉快的經驗。感覺不是很好。

  • 看到您最近的研究和人工智慧(AI)有關,為何會想往這個方向發展?

我有兩個動機。一個就是我真的想深入了解人工智慧。我也可以像普羅大眾,看看 AI 下圍棋,讚嘆「哇!好厲害!」這樣就好,可是我覺得我一定可以真的去理解它,這可能就是數學家的自大吧!

另一方面,我知道對科學研究來說,未來 AI 將會是一個非常重要的工具。這是「在職訓練」的概念,我可能會用到這個新工具,或以後我可能會需要教這樣的課,因為學生是下一代的科學家。因為這些原因,我覺得我需要去訓練自己使用新的工具。在我的領域裡,也有一些有趣的、還沒被解答的科學問題,是 AI 有可能幫得上忙的,我看到了一些潛力。

  • 弦論和 AI 感覺差距很大,AI 也可以應用到弦論的研究嗎?

乍看之下,弦論的確比較抽象,也不像其他許多實驗會產生大量數據。但其實弦論有大量的可能性,我認為使用 AI 來在這些巨量的可能性當中搜尋特別有趣的理論,是一個有潛力能夠加深我們對弦論理解的新的研究方法。

而且 AI 的應用絕不僅限於巨量資料。如果是面對一些比較新的挑戰,在沒有現成的演算法可以用的情形之下,可以自己做出需要的功能嗎?這過程我覺得也非常很有趣,而且應該是會有成果的一條路。這種不是那麼顯而易見的事情,我覺得很有挑戰性,也蠻好玩的。

除了用 AI 來幫助物理跟數學的研究之外,我也試著物理研究當做靈感來源,找出新的 AI 的可能性,我覺得這也是一個很有趣的研究方向。我現在有和 AI 的學者合作,嘗試做出一些創新的演算法,真的還蠻有趣的。

  • AI 對您而言是全新的領域,您如何面對跨領域遇到的門檻?

一開始會覺得真的要去碰這個新的領域嗎?其實現在也還是偶爾會有這樣的懷疑。我在弦論領域可能已經是專家,但去了一個新的領域,我學得不會比二十歲的人快,要怎麼去跟人家競爭?是不是在浪費時間?

但也會想,與其想這麼多,不如先做再說。到目前為止我做了兩年多,感覺還蠻好的,我有學到東西,也有做出小小的貢獻。

其實我還蠻感激有這樣的學習機會。對我來說當科學家最大的好處就是,去搞懂一個新的東西就是工作的一部分。當科學家雖然蠻辛苦,但就結果論來說,我還蠻開心能當一位科學家!

延伸閱讀

  1. Moonshine Master Toys With String Theory | Quanta Magazine
  2. Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow | Quanta Magazine
  3. 林正洪教授演講 一 怪物與月光(Monster and Moonshine),《數學傳播》

數感宇宙探索課程,現正募資中!

文章難易度
所有討論 2
研之有物│中央研究院_96
10 篇文章 ・ 8 位粉絲
研之有物,取諧音自「言之有物」,出處為《周易·家人》:「君子以言有物而行有恆」。探索具體研究案例、直擊研究員生活,成為串聯您與中研院的橋梁,通往博大精深的知識世界。 網頁:研之有物 臉書:研之有物@Facebook