萊布尼茲誕辰 │ 科學史上的今天：07/01

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

查爾斯．巴貝奇（Charles Babbage），1792 至 1871 年。

1843 年，一位英國數學家提出了分析機原理，這個構思將在一百零三年後由後人付諸實踐，並有了一個為大家熟知的名字——計算機（今日俗稱電腦）。很遺憾，查理斯．巴貝奇終其一生也沒能實現造出分析機的願望，但他依舊是當之無愧的計算機先驅。

直到今天，許多計算機書籍扉頁裡仍然刊載著他的照片，以表紀念。

巴貝奇發明小型差分計算機

一七九二年，巴貝奇出生於倫敦一個富有的銀行家家庭，十八歲進入著名的劍橋大學三一學院，成為牛頓的校友。後來他擔任了牛頓擔任過的「盧卡斯數學教授」職務。在進入大學之前，他就展現出極高的數學天分。

進入大學後，巴貝奇發現，當時英國人普遍接受的牛頓建立在運動基礎之上的微積分，不如萊布尼茨基於符號處理的微積分那樣便於理解和傳播。為了推廣已被歐洲大陸普遍接受的萊布尼茨的微積分，他和其他人一同創辦了英國的（數學）分析學會。

不過巴貝奇並不是一個安分的學生，他一方面顯現出超凡的智力，另一方面又不按照要求完成學業，為此他不得不轉了一個學院，才能繼續學業。在學校裡，他還對很多超自然的現象感興趣。

延伸閱讀：巴貝奇誕辰｜科學史上的今天：12/26

如果不是趕上工業革命，巴貝奇或許會尋找某個傳統的數學領域或者自然哲學領域做一輩子研究，並且留下一個巴貝奇定律或者巴貝奇定理。但是，工業革命的大背景，讓他把畢生精力和金錢都投入研究一種能夠處理資訊的機械中。

這也不奇怪，因為工業革命為資訊處理提供了思想上的依據、技術上的條件和廣闊的市場。工業革命是人類歷史上最偉大的事件。它不僅第一次讓人類從此進入可持續發展的時代，也改變了人們的思想。人類從相信神，到今天開始變得自信起來，相信這個世界是確定的、有規律的，而自己能夠發現世界上所有的規律。

早在牛頓時代，著名物理學家玻意耳（Robert Boyle）在總結牛頓等人的科學成就之後，就提出了「機械論」，也被稱為「機械思維」。

玻意耳等人（包括牛頓、哈雷等）認為，世間萬物的規律都可以用機械運動的規律來描述，包括蒸汽機和火車在內的工業革命中那些最重要的發明，都受益於機械思維。人們熱衷於用機械的方法解決問題，從精密的航海導航，到能夠奏樂的音樂盒，再到能織出各種圖案的紡織機。

既然能想到的所有規律都可以用運動規律來描述，那麼就很容易想到讓具有特殊結構的齒輪組運動來完成計算，這便是設計機械計算機的思想基礎。

其實，這種想法早在十七世紀就有人嘗試過。法國數學家帕斯卡（Blaise Pascal）發明了一種手搖計算器——雖然有時人們將它稱為最早的機械計算機，但實際上它和我們今天理解的電腦概念沒有太多相似之處，稱之為「計算器」更為恰當。

帕斯卡計算器從外觀上看有上下兩排旋鈕，每個旋鈕上都刻著○至九這十個數字。在做加減法時，只要將參加運算的兩個數字分別撥到相應的位置，然後轉動手柄，計算器裡的一組組齒輪就會轉動，完成計算。

帕斯卡計算器最初只能做加法，後來經過改良， 可以做減法和乘法， 但做不了除法。在帕斯卡之後，萊布尼茨改良了計算器。他發明了一種以他名字命名的轉輪「萊布尼茨輪」，方便實現四則運算中的進位和借位。

到了十九世紀初，經過近兩個世紀的改進，機械計算器已經能夠完成四則運算，但是計算速度很慢，精度也不夠高，而且設備造價昂貴。不過，這種計算器更大的缺陷在於，對於複雜的運算（比如對數運算和三角函數運算）都做不到。

十九世紀機械工業的發展需要進行大量的複雜計算，比如三角函數的計算、指數和對數的計算等。在微積分出現之前，完成這些函數的計算是幾乎不可能的事。

十八世紀之後，歐洲數學家用微積分找到了很多計算上述函數的近似方法，不過這些方法的計算量極大，需要很長的時間，而且當時除了數學家，一般人是完成不了那些計算的。為了便於工程師在工程中和設計時完成各種計算，數學家設計了數學用表，如此一來工程師就可以從表中直接查出計算的結果。

不過，那個時代的數學用表錯誤百出，為生產和科學研究帶來了很多麻煩。而這個問題很難避免，因為手算很難保證完全不出錯。如果很多數學家分別獨立計算，還可以比對結果發現錯誤。但是巴貝奇發現，那些不同版本的數學用表都是抄來抄去，而犯的錯也都一樣。

因此，巴貝奇想設計一種機械來完成微積分的計算，然後用它來計算各種函數值，得到一份可靠的數學用表。當時他只有二十二歲。

延伸閱讀：兩艘軍艦換不到兩噸重的計算機？巴貝奇與差分機｜《電腦簡史》 齒輪時代（十八）

在隨後的十年裡，巴貝奇造出來一台有六位精度（巴貝奇最初的目標是達到八位精度）的小型差分計算機。隨後巴貝奇用它算出了好幾種函數表，用於解決航海、機械和天文方面的計算問題。

值得指出的是，巴貝奇的這次成功受益於工業革命的成就——當時機械加工的精度比瓦特時代已經高出了很多，這讓巴貝奇能夠加工出各種尺寸獨特的齒輪。

但是，當時並沒有二十世紀的精密加工技術，製造小批量特製齒輪和機械部件的成本高、難度大，這給巴貝奇後來的工作帶來了諸多不便。

不過，首次成功還是讓巴貝奇獲得了英國政府的資助，用以打造一台精度高達二十位的計算機。

幾年後，他又獲得了劍橋大學盧卡斯數學教授的職位，讓他有了穩定的收入。在此之前，他一直在花自己繼承的十萬英鎊遺產。勝利女神似乎正向他招手，但接下來的時日，他在計算機研究方面一籌莫展。

從表面上看，巴貝奇遇到的困難是因為那台差分機太複雜了，裡面有包括上萬個齒輪的二點五萬個零件，當時的加工水準根本無法製造。但更本質的原因是，巴貝奇並不真正理解計算的原理。他不懂得對於複雜的計算來說，不是要把機器做得更複雜，而是要用簡單的計算單元來實現複雜的計算。

當然，在那個年代沒有人瞭解這些。作為現代計算機基礎理論的布林代數要再等十幾年才會被提出來，而且要再過近一個世紀，才會被應用到計算技術中。

——本文摘自《資訊大歷史：人類如何消除對未知的不確定》，2022 年 6 月，漫遊者文化，未經同意請勿轉載。

• 作者／亞當．羅傑斯 
• 譯者／ 王婉卉

光譜的故事

牛頓從三稜鏡中獲得的最大體悟，並非不同色光在穿透同一介質後，折射率會有所不同。席奧多瑞克與他同時代的研究學者已經證實這點了。

就算讓單色光再穿透另一個稜鏡也不會改變，牛頓甚至不是證明這點的第一人——證明的人是十七世紀的波西米亞科學家約翰尼斯．馬克斯．馬奇（Johannes Marcus Marci）。

牛頓的獨家發現是，那些色彩是如何混合在一起。他發覺，純粹陽光的白光，其實是所有其他色光混合而成的結果，透過稜鏡的折射，才使其分散開來。或者就像牛頓所說的，光是「由形形色色的光線構成，有些光比其他光更容易折射。」我們四周充斥的光是由順序固定的「純」色構成，而這個順序就是自亞里斯多德的時代起，眾人不斷在尋找的目標。

牛頓為這個順序想出了一個非常不錯的名稱，叫做「光譜」（spectrum）。

然後，牛頓誰也沒說，就這樣返回了劍橋。他協助一位年長導師編輯光學與色彩的著作，卻沒告訴對方自己的新發現。這位導師退休後，牛頓接任了這傢伙的職務：盧卡斯數學教授（Lucasian Professor of Mathematics）榮譽職位。

牛頓這位據說上課很無聊的講師，這時才終於開始一點一滴發表自己從研究稜鏡所得出的結果。

儘管牛頓寫出的折射運算式既冰冷又毫不浪漫，卻依然有人深感崇拜。當時的皇家學會祕書是德國人亨利．歐登堡（Henry Oldenburg），工作主要是負責讓歐洲各地的研究人員能進行書信交流。（歐登堡精通荷蘭語、英語、法語、德語、義大利語、拉丁語。）

《自然科學會報》的鬥嘴故事

一六六四年，他向皇家學會創始成員的波以耳極力推銷一個可以賺錢的構想：把所有書信整合成只供訂閱的通訊刊物。

法國才剛開始出版《科學家週刊》（Journal des Sçavans），他們的編輯部也有向歐登堡邀稿。結果，歐登堡反而把先前出版的一本週刊帶到了學會的集會上，連同一份他自己想嘗試的通訊草稿或校樣——一份相似「但本質更偏向哲學」的刊物，他如此表示。

於是，《自然科學會報》（Philosophical Transactions）就這樣創刊了，可說是世上首份徹徹底底的科學期刊。一份有兩三頁，要價一先令。

歐登堡聽說了牛頓正在埋首研究的主題，於是開始不斷央求他發表成果。最後，在一六七二年二月，牛頓洋洋灑灑寫了一封長信，描述自己的研究，以為這封信會在皇家學會的集會上由人朗讀。

由於歐登堡假定，任何人寄給自己的任何內容都屬於正式公開發表，於是就把那封信的內容刊登在當月的《自然科學會報》上。這時，歐登堡已經把這份期刊改為訂閱制，而這種模式是否可行，全取決於獨家內容。

《自然科學會報》自創刊以來的七年間，發表的論文格式大多遵循波以耳樹立的範本，也就是採時序敘事。現今期刊可能會遵循的格式——緒論、假設、研究方法、實驗結果、結論——當時尚未成形。

牛頓寫的信一開始有點像做工精良的成品，提出了研究方法與概念，並表達這整個研究到底多有樂趣，他自己對研究發現又是多樂在其中。

然後，他似乎就放棄了。寫到一半，牛頓不再試圖用數學計算證明任何事，就只是寫下自己的理論，描述幾個實驗。這不是「我的彩虹之旅」。儘管如此，牛頓依然為世上有史以來的第一份科學期刊，寫下了有史以來的第一篇科學論文。內容還是關於色彩與光。

幾乎沒過多久，世上最聰明的一群人就開始酸他。虎克在信件內容發表後的一週內，就寫信給歐登堡，表示牛頓對折射性不同的看法錯了、對白光的看法錯了、對光是由什麼構成的看法也錯了。

況且無論如何，虎克說，他早就做過這些實驗了，不覺得有什麼了不起。接下來的四年間，《自然科學會報》不斷發表針對牛頓研究成果的批評，再刊登牛頓對這些批評的回應。

《光學》終於出版

最終，牛頓投降放棄。他不再跟歐登堡有所交流。虎克則在一七○三年去世，一年後，少了吹毛求疵的批評者，牛頓出版了《光學》（Opticks）。

在這本相當有分量的著作中，牛頓添加了一堆新難題。他先前就一直在思考原色的問題，但現在終於承認光譜是連續的，而這個連續光譜包含了無窮的色彩層次變化，也是色彩何以會改變、色彩順序何以會漸變的答案。

然而，牛頓也堅決主張，這個光譜具有亞里斯多德式（與煉金術）的七種色彩：他在紅、黃、綠、藍、紫羅蘭中，加上了橙與靛藍，接著將所有色彩圍成一圈，透過根本就是他虛構的非光譜紫色，把其中一端的紅色與另一端的紫羅蘭色連接起來。

以現代色彩學術語來說，他創造出一張色度圖（chromaticity diagram），試圖要量化混色的方式，似乎也呈現出色彩按順序漸變為另一種色彩。

牛頓建構的色彩順序屬於現代，有如彩虹般的漸層變化，是以自然的物理現象為基礎。不過，把色彩圍成一圈，可能是牛頓輕觸尖頂巫師帽，向鍾情於畢達哥拉斯神奇數學比例的煉金術士致意。

牛頓實際上究竟有沒有尖頂巫師帽，歷史學家對此尚未發表意見，但他無疑相當熟悉煉金術是如何看待色彩，以及色彩具有的重要性：雖然是在背地裡，但牛頓確實寫下了大量關於煉金術的內容，而且在他位於三一學院〔Trinity College〕的實驗室裡，還放置了煉金術相關的藏書，以及煉金術會用到的常見材料。

但不像典型的煉金術士，牛頓運用的是數學。他能相當精確地計算出每個色彩之間的折射率差異，色環（color circle）也依各顏色的比例，分配到長短不一的周長，意即各顏色的扇形區塊有大有小。

無可否認的是，這些比例都是主觀分配的結果，跟對應音階的神祕關聯有關，但就像之後會看到的，一般人對色彩彼此是如何互有關聯的認知，一向都很主觀。這個色環逐漸成為具體表達色彩之間幾何關係的方法。簡言之，就是所謂的色彩空間。

——摘自《全光譜》，2021 年 12 月，商業周刊。