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易經、巴別塔、通用文字——萊布尼茲研究二進位之路│《電腦簡史》數位時代(二)

張瑞棋_96
・2020/08/31 ・3364字 ・閱讀時間約 7 分鐘

計算機在何樂禮手中首度接上了電,但電力只是用來驅動繼電器進行計算,靠的是電磁鐵的機械動作,而不是電流本身。因此何樂禮的自動製表機只能算是電力驅動的機械式計算機,仍然不是電子計算機。

計算機要蛻變為現代電腦,必須擺脫機械方式,改用電流本身來做計算。而要做到這一點,首先得放棄大家習以為常的十進位,改用二進位。

本文為系列文章,上一篇請見:人口普查、打孔卡片、IBM——第一台插電的計算機│《電腦簡史》數位時代(一)

二進位早就有囉:易經八卦與培根的加密法

其實二進位的概念很早以前就有了。例如易經共有六十四卦,原本是用數字標記,但到了戰國時代,易經與陰陽思想結合,卦象逐漸改用陰陽兩種符號標記,最晚在東漢時期,就定型為目前所見的線條符號。

易經每一卦由六個「爻」相疊而成,而每一爻不是代表陽的一根長線「—」,就是代表陰的兩根短線「- -」。前三爻構成「上卦」,後三爻構成「下卦」,上下各有八卦,合起來共有 8 x 8 = 64 種變化,便能只用陰陽兩種符號標記六十四個卦象。

伏羲先天六十四卦(1701年白晉寄給萊布尼茨的圖)。圖:WIKI

雖然易經這套標記系統是二進位沒錯,但是與計算完全無關。正如英國哲學家培根 (Francis Bacon) 也曾為了解決通訊保密的問題——如何讓往返前線的書信內容不為敵軍所悉,而於 1605 年想出一套加密方式。他的方法是將每個英文字母改用五個 a 或 b 取代,例如 A=aaaaa、B=aaaab、C=aaaba。

這套規則其實完全吻合現代二進位的記法,a 相當於 0,b 相當於 1。但同樣地,這只是書寫系統,無關乎計算。率先從計算的角度思考二進位的人是與培根只差一歲,同樣是英國學者的哈里厄特 (Thomas Harriot)。

不為人知的二進位運算首創者:哈里厄特

哈里厄特是位博學家,研究領域橫跨數學、光學、天文學,乃至人類學,有許多重要發現都是他率先提出。例如他於 1602 年就在給克卜勒的信中,提到光學中的折射定律,比斯涅耳 (Willebrord Snellius) 還早二十年。1609 年 7 月,他畫下望遠鏡所見的月球表面,比伽利略早了四個月。他還於 1610 年用望遠鏡觀察到太陽黑子,三年之後伽利略才發表自己所繪的太陽黑子。然而哈里厄特大部分的論文都沒有出版,手稿散落四處,因此直到近代,歷史學家才得知這些光環原本應屬於他。

二進位的計算方式也是其中之一。哈里厄特在 1610 年開始進行一連串的「計算實驗」,用二進位、三進位、四進位、……等等不同方式做四則運算。在他的文稿中,就用 0 與 1 做為二進位制的符號,並且演示一般十進位的數字如何轉換為二進位制,以及如何加減乘除。

然而由於他從未公開發表,這份文稿內容又直到 1951 年才被學者發掘公布,因此儘管他是首創二進位運算體系之人,卻一直不為世人所知,這個光環才落在力推二進位制的萊布尼茲頭上。

彈珠與凹洞:萊布尼茲的二進位計算器

萊布尼茲於 1695 年的肖像。圖:WIKI

說起來,萊布尼茲提出二進位制也與計算器有關。

第十六章中提到萊布尼茲於 1672 年改良巴斯卡加法器,製作出兩位數乘除的計算器,但因結構問題無法擴充位數,直到二十年後發明步進滾筒,才終於完成真正實用的四則運算器。其實在發明步進滾筒之前,萊布尼茲曾經另闢蹊徑,試圖發明用二進位進行運算的機器。他在 1679 年留下的一篇手稿中,討論用彈珠與凹洞代表二進位的數字,藉由彈珠在凹洞間滾動來進行計算的可行性。

或許是製作上難以實現,萊布尼茲並未著手打造這部機器。他也沒對外發表二進位制的想法,直到 1701 年才寫成一篇論文提交「巴黎皇家科學院」(即法國科學院),卻被秘書長以「看不出二進位有何用處」為由拒絕。

萊布尼茲研究範圍廣泛,原本不以為意,沒想到兩年後他收到一封來自中國的信,赫然發現易經六十四卦的符號,讓他決定再度宣揚二進位制。而這封信的緣由,得從受到康熙皇帝重用的耶穌會傳教士南懷仁 (Ferdinand Verbiest) 說起。

欲創通用文字,必先破解中文?

1678 年(康熙十七年),來到中國已十九年,位居清廷欽天監監正的南懷仁寫信給歐洲教會,請求增派傳教士來中國。當時法國在路易十四的統治下勵精圖治,已成歐陸的霸主,但是在亞洲的勢力卻遠遠不如荷蘭、英國、葡萄牙等國。他得知南懷仁的請求後,認為這正是法國在東方擴展影響力的大好機會,於是在 1684 年選派一批耶穌會修士前往中國。

路易十四特地選任原本就有科學專長的傳教士,好讓他們能受康熙重用,並且讓他們在出發前加入法國科學院。這批傳教士帶著科學儀器與書籍於 1688 年抵達北京,其中白晉 (Joachim Bouvet) 與張誠 (Jean-François Gerbillon) 兩人被留在宮廷,為康熙講授數學與天文曆法。

1697 年,白晉以康熙特使的身分回到法國,希望招攬更多傳教士前往中國。回到巴黎沒幾個月,有人送給白晉一本剛出版的《中國新事》(Novissima Sinica),是由萊布尼茲根據白晉等人寄回法國發表的中國見聞編輯而成。

法國傳教士白晉著清朝官服。圖:WIKI

為什麼萊布尼茲這麼關心中國?原來他一心想要另創一套新的文字,可以在邏輯架構下,明確地陳述數學、科學,以及形上學的概念。而且這套文字必須像數學符號那樣,無論是講英文、法文或德文都能通用,因此必須是表意文字。

當時有一種說法是根據聖經《創世紀篇》中:「原本人類只說一種共同的語言,後來人們離開東方來到示拿地區,企圖建造高可通天的巴別塔,上帝才打亂世人的語言,讓眾人分散到各地,彼此言語不通。」的記載,主張中文就是人類最初的共同語言。

萊布尼茲深受這個說法吸引,加上中國文字看起來又是表意文字,或許了解中文造字原則有助於發明他理想中的通用文字,因此他相當關注這些傳教士從中國捎回來的第一手資料,還主動整理成冊。

易經卦象當幫手,萊布尼茲再推二進位制

白晉讀了萊布尼茲的《中國新事》後,立刻寫信給他表示讚賞,從此兩人展開書信往來,即使白晉於 1699 年返抵北京後仍未中斷。

1701 年 2月,萊布尼茲寫信給白晉討論神學時,提到自己多年前發明的二進位制,從 0 與 1 就能產生所有數字,似乎與上帝憑空創造萬物有異曲同工之妙。白晉一看馬上聯想到易經中的卦象也是由陰陽兩種符號組成,於是在 1701 年 11 月回信給萊布尼茲,告訴他中國的伏羲早在遠古時代就用二進位創造出六十四卦,並隨信附上卦象的版畫。

萊布尼茲於 1703 年 4 月收到這封信後,精神大振,立刻拿出兩年前被拒絕的那篇論文重新修改。他在論文中演示如何用 0 與 1 的二進位制做加減乘除後,花了不少篇幅引用白晉所述,指出二進位制其來有自,四千多年前中國及其科學的創建者伏羲王,就用二進位的方法標誌出蘊含中國哲學思想的六十四個卦象。

萊布尼茲還以圖解說明八卦中的「- -」與「—」若改以 0 與 1 標記,恰恰依序就是數字 0 到 7 的二進位記法。萊布尼茲進一步指出,既然伏羲據稱也是中文的發明者,那麼他在造字時必定也有運用這種數字概念。若能破解中文的造字原則,也許就能創造出他理想中,放諸四法皆準的通用表意文字。

二進位制未見立竿之效,開花結果尚待兩百餘年

 

萊布尼茲於 1703 年所著之《論只使用符號0和1的二進位算術》。圖:WIKI

這篇題為《論只使用符號 0 和 1 的二進位算術,兼論其用途及它賦予遠古中國伏羲圖的意義》(Explanation Of Binary Arithmetic, Which Uses Only The Characters 0 And 1, With Some Remarks On Its Usefulness, And On The Light It Throws On The Ancient Chinese Figures Of Fuxi) 終於在 1705 年出版的《1703 年皇家科學院年鑑》發表。

然而這篇論文並未引起大太的迴響,因為二進位制在當時的確看不出有何用處,用來計算並不會比傳統的十進位制方便,而想要藉此創造什麼通用表意文字又太遙不可及。還要再過兩百多年,現代電腦的相關技術就緒後,人們才會發現二進位制的神奇妙用。

回頭來看,萊布尼茲宛如預言未來的先知,只因受限於時代的技術隔閡,只能用當時的字句吐出類比的隱喻。他所設想的二進位計算機,正是現代的數位電腦,只不過象徵數字的不是滾動的彈珠,而是流動的電子。他想像中的通用表意文字在某種程度上也算實現了,只不過並非由人類使用,而是全世界的電腦與各式電子產品間的通用語言;而且無需再另創文字,0 與 1 本身就是字母。

不過二進位制只是現代電腦的基本要件之一,在技術就緒之前,還差一塊重要的拼圖……。

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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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災難片成真!?小行星「貝努」行蹤飄忽,撞地球的機率有多大?

EASY天文地科小站_96
・2021/09/19 ・2765字 ・閱讀時間約 5 分鐘
  • 文/陳子翔(現就讀師大地球科學系, EASY 天文地科團隊創辦者)

知名物理學家史蒂芬.霍金(Stephen Hawking)認為,小行星撞擊是宇宙中高等智慧生命最大的威脅之一。而回首地球的過去,六千五百萬年前的白堊紀末期,造成恐龍消失的生物大滅絕,也肇因於一顆直徑約十公里的小行星撞擊。那麼,我們應該擔心小行星帶來如同災難片場景的巨大浩劫嗎,人類又能為這件事做什麼準備呢?

我們該擔心哪些小行星,小行星撞擊能被預測嗎?

太陽系中的小行星不可勝數,但並非所有小行星都對於地球有潛在的危害。那麼,哪些小行星是應該注意的呢?

我們可以簡單從兩個條件,篩選出對地球有潛在威脅的小行星:第一是小行星的軌道,第二則是小行星的大小。如果一個天體的運行軌道與地球的運行軌道沒有交會,那也就不需要擔心它會部會撞到地球了。而直徑越大的小行星,撞擊地球產生的災害就會越大,例如一顆直徑 10 公尺的小行星墜落能造成小範圍的建築物受損,而直徑 50 公尺的小行星撞擊,其威力則足以摧毀整座大型城市。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Chelyabinsk_meteor_event_consequences_in_Drama_Theatre.jpg/1024px-Chelyabinsk_meteor_event_consequences_in_Drama_Theatre.jpg
2013 年俄羅斯車里亞賓斯克小行星墜落事件,隕石在空中爆炸的震波震碎大片玻璃。圖/Nikita Plekhanov

過去天文學家透過遍布世界的天文台,不斷在夜空中尋找近地小天體,並持續監測它們的動向。而透過觀測資料推算其軌道,就可以算出這些危險的小鄰居未來與地球發生「車禍」的機率有多大,而這篇文章的主角「貝努」,就是一顆被認為有較大機會撞擊地球,因此被重點關注的對象。

貝努撞地球會是未來的災難嗎?

貝努在 1999 年被發現,是一顆直徑約 500 公尺的小行星,它以橢圓軌道繞行太陽,公轉週期大約 437 天。由於貝努的軌道與地球相當接近,它每隔幾年就會接近地球一次,而本世紀貝努最接近我們的時刻將會發生在西元 2060 年,不過別擔心,該年貝努與地球最接近時,距離預計也還有七十萬公里,大約是地球至月球距離的兩倍,撞擊風險微乎其微。

綠色為地球軌道,藍色為貝努軌道。圖/University of Arizona

然而天文學家真正關注,撞擊風險較大的接近事件則會發生在下一個世紀。根據目前的軌道計算,貝努在西元 2135 年和 2182 年的兩次接近,會有較大的撞擊風險。說到這裡可能許多讀者會覺得,既然我們都活不到那個時候,何必去操心那些根本遇不到的事情呢?

那麼,讓我們想像一個情境:

如果今天天文學家突然發現了一顆與貝努一樣大的小行星,並算出它將在一年後撞上地球,那身為這個星球上「最有智慧的物種」,我們能怎麼應對呢?

很遺憾的:我們很可能對於撞擊束手無策。當前人類並沒有任何成熟的技術,能夠在這麼短的時間內改變小行星的軌道。這時候人們可能就會希望前人早點望向星空,調查小行星,好讓人們能夠有多一百年的時間準備應對的方法了!

小行星軌道計算不就是簡單的牛頓力學,為什麼算不準?

那麼貝努在未來 100〜200 年到底會不會撞擊地球呢?其實天文學家也說不太準,只能給出大概的機率而已,而且時間越久,預測的不確定性就越大。

你也許會想,天體的運行軌道不就只是簡單的牛頓力學,三百年前的人就已經掌握得很好了,在電腦科技發達的現代怎們會算不準呢?確實,如果要算地球與火星在 100 年後的相對位置,那電腦還能輕鬆算出相當精確的答案,但如果是計算小行星 100 年後的位置,事情就變得棘手多了……

由於小行星的質量很小,就算是相對微小的引力干擾還是足以改變其運行方向,而混沌理論(Chaos theory)告訴我們,任何微小的初始條件差異,都能造成結果極大的不同。因此要對小行星軌道做長期預測,就不能只考慮太陽的引力,而是必須把行星等其他天體的引力也納入計算,才能獲得比較準確的結果。尤其是當這些小行星與地球擦肩而過時,即使只有幾百公尺的位置偏差,受到的引力也會有相當的不同,使得小行星的未來軌跡出現巨大的差異。

而更令天文學家們頭痛的是,有些問題甚至不是萬有引力能夠解決的,其中一個因子就是「亞爾科夫斯基效應」(Yarkovsky Effect)。這個效應是這樣的:當陽光照在自轉中的小行星上,陽光會加熱小行星的受光面,而被加熱的這一面轉向背光面時,釋放的熱能會像是小小的火箭引擎一樣推動小行星。這個作用的推力非常小,但長期下來還是足以對質量很小的天體造成軌跡變化,也讓軌道預測多了很大的不確定性。

亞爾科夫斯基效應的動畫。影片/NASA

OSIRIS-REx 任務揭露貝努的神秘面紗,也讓軌道推估更精確

為了更深入了解貝努,NASA 在 2016 年發射 OSIRIS-REx 探測器探查這顆小行星。OSIRIS-REx 主要的任務包括從貝努表面採取樣本並送回地球分析、對整顆小行星做完整的調查,以及評估各種影響貝努運行軌道的因子,改善貝努軌道的預測模型,評估將來的撞擊風險。

在軌道分析方面,OSIRIS-REx 一方面能在環繞貝努的過程中緊盯貝努的「一舉一動」,讓天文學家透過精確的觀測結果反推貝努的軌道特性。另一方面,要評估亞爾科夫斯基效應對小行星軌道的影響,也需要考量小行星的地形地貌、反照率等等因素,因此 OSIRIS-REx 的各項觀測資料,也有助於建立更精確的軌道預測模型。

OSIRIS-REx 探測器。圖/University of Arizona/NASA Goddard Space Flight Center

目前 OSIRIS-REx 的任務還沒有結束,但是在取得更準確的軌道預測模型與撞擊風險評估上,已經有了初步的成果。根據這次任務提供的觀測資料,天文學家將預測貝努未來軌道的時間極限,從原本的西元 2200 年延長至 2300 年。而西元2300年之前,貝努撞上地球的機率大約是 0.057% (1/1750),最危險的一次接近則會發生在西元 2182 年

「知己知彼,百戰不殆」。面對像貝努這樣的危險鄰居,唯有盡可能認識它的一切,才越能夠掌握其未來的動向,進而在將來思考要如何面對小行星的撞擊的風險。另外,目前 OSIRIS-REx 也正在返航地球的旅途上,期待 2023 年 OSIRIS-REx 能順利的帶著貝努的樣本回到地球,帶給我們更多有關小行星的重要資訊!

參考資料

EASY天文地科小站_96
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EASY 是由一群熱愛地科的學生於2017年創立的團隊,目前主要由研究生與大學生組成。我們透過創作圖文專欄、文章以及舉辦實體活動,分享天文、太空與地球科學的大小事
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