傳奇的「數學王子」高斯 │ 科學史上的今天：3/30

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

最近在網路上看到一波針對星座的熱切討論，講得更精確點，是關於某位知名人士對「風象星座有人格瑕疵」的論述引起的風波。身為一個 AB 型天蠍座戰車心理學專業，肯定是要跳出來發表一點個人意見。

這類與人格特質有關的命理占卜，不管是血型、星座還是塔羅，在心理學界一直都是充滿討論熱度的命題。相關研究為數不少，但結果總是差強人意，或沒辦法說服另一方的支持者。但如果單從邏輯推論的角度出發，倒也有不少可以說出來引發思考的東西。

這裡先不討論在占卜或這類神秘學常見的「巴南效應」（感興趣的朋友可以自行 Google，絕對能找到一卡車的文章或懶人包），我比較想討論的是人格特質本身的各種「意義」，以及我們應該用怎樣的角度看待。

（為了避免不必要的爭議，以下內容只是我的看法。如果你覺得這個論調有趣，不妨跟自己原本的想法比較；如果你覺得我說的是錯的，也歡迎提出你的看法與相應的依據。畢竟這個領域的東西至今仍未有定論，你我都有可能是錯的，又說不定我們都是對的，誰知道呢？）

你熱情，我冷漠？人格真的這麼說一不二嗎？

人格特質是什麼？不同流派、學說的擁戴者都有各自的說法，但是普遍來說，心理學界傾向把它視為一套「具辨識度的認知、行為與情感模式」。換言之，就是個體在特定情境中會「怎麼思考」、「怎麼行動」與「怎麼感受」的傾向（劃重點）。

人格特質並不是一個全有全無的開關、更沒有所謂「絕對值」存在，它只是種描述性的「比較」用語。例如，「易怒」者必須跟情緒控管能力較好的人相比才能體現「內向」者也得放在「外向」的人身邊，才能看出差異，每個人格特質都在描述你跟常模（norm）之間的差異。

這也是當前社會大眾對人格特質常有的誤解。不管是「內向 vs. 外向」、「固執 vs. 隨和」，人格特質都不是像我們打遊戲點能力值，或是煮菜時往鍋子裡加調味料那樣容易量化。它更像是一段連續的「光譜」，就連你在人格測驗裡得到的任何結果都只是相對值，而非絕對值。

舉個實例。最常被運用在各種地方的 Big 5 人格特質模型，由開放性（openness）、嚴謹性（conscientiousness）、外向性（extroversion）、親和性（agreeableness）、情緒不穩定性（neuroticism）5種傾向構成。但是今天就算你在情緒不穩定性的測驗拿了 0 分，也只代表你比絕大多數人還要不容易情緒失控、陷入焦慮或其他負面情緒，而不是「絕對不會」有這些反應。

說得極端一點，如果今天有人「完全沒有」某種反應能力（例如完全不會生氣、不會感到恐懼，或是完全沒有攻擊性），那他反而會因為心智功能的缺損成為臨床上的「異常」。

當然，這些都是比較嚴謹的學術定義。日常的人際互動不是在寫論文，標準放得寬鬆一些也很正常。但問題就在於這個「標準」到底從何而來，又有怎樣的問題？

常態分配告訴我們的事：總會有人剛好是那五成

前面提到了人格特質是跟「常模」比較之後得出的結果，提到統計了，就再討論一個「常態分配」（normal distribution）概念吧。

「常態分配」是自然科學與社會科學常用的統計模型，也就是在面對一個實際狀況不明或無法觀測的變項時，以樣本平均數為中心去做的連續機率分佈假設。

簡而言之，只要人格測驗的樣本數大到一定程度且沒有偏斜（例如外力干擾或測量失誤）的前提下，測驗分數的分佈應該會接近下面這樣：

這張常態分配圖表就是前面所說的「常模」，也是母群在我們的假設中的模樣，有 50% 的人大於等於平均值，同時也有 50% 的人小於等於平均值。

在認識常態分配代表的意義後，再來看「天蠍座就是愛記仇」、「處女座就是龜毛」、「Ｂ 型人就是散漫」、「天馬座就得會流星拳」之類帶有二元對立性質的判斷句，是否就能品嚐出一點微妙的不協調了？

因為任何一個人格特質中，至少會有 50% 的人高於平均值、落入「符合描述」的區間。這 50% 的人口比例對比 12 分之 1 的星座人口分佈，很明顯是絕對「塞不下」的。（我知道每個星座的出生人口並不是那麼平均，但比例也沒有懸殊到可以把這個 50% 合理消化。）

如果我們把條件放得再寬鬆一點，把符合描述的條件改成「會有相應外顯行為」即可，那即便只算 1 個標準差以內的範圍，符合描述的人口比例也會來到驚人的 85%。

但是很顯然，這個數據並不符合我們在日常生活感受到的「現實」，一方面是因為，實際的人格特質分佈會受到時空背景、在地文化、社經發展等錯綜複雜因素的影響，例如隨著網路與智慧型裝置的出現，新生代就明顯比老一輩的人表現出更高的經驗開放性，又或者都市人口的情緒不穩定性會高過鄉村等。

另一方面，是因為我們對他人（甚至是自己）的人格評價，很多時候並不是這麼「客觀」。

不是只有天蠍座會記仇，而是天蠍座記仇才會被記住

人的大腦畢竟不是一張 Excel 報表，相比起「平均值」、「絕對值」一類的量化資訊，我們對他人的（甚至是自己）的評價更容易受到「代表性」或其他質性因素影響。

一個曾經說謊被當面拆穿的人，就算他平常都為人誠懇，你依然會在心中對這人打上「不老實」、「不可靠」的記號；一隻曾經把你手抓傷的貓，不管主人再怎麼誇獎，你還是會有「牠很兇」的陰影。特別是對不熟的人事物來說，正因為這些「偶發事件」太過突兀，反而會在心中留下深刻的印象。

這也是為什麼最廣為流傳的命理占卜，往往會是「負面內容」。因為相比起「友善」、「隨和」、「體貼」這些有助於促進人際和諧的特質，「愛紀仇」、「自我中心」、「控制欲強」等會造成衝突的「瑕疵」更具代表性，進而成為這些星座或血型的原罪。

一旦刻板印象形成，就會反過來篩選我們接觸到的刺激。戴上這副有色眼鏡後，大腦便會開始把跟框架相符的資訊保留下來，當成強化刻板印象的建材，其他不相符的資訊不是被忽略、就是以「特例」的形式保留下來。

一來一往下，「我知道不是每個 OO 座的人都這樣，但我身邊的 OO 座真的就是 XX」的偏差認知就會深深紮根在我們的腦中、再難剔除。

這些基於代表性而產生的判斷，其實都只是片面、不完整的觀測。雖然經過無數人的努力研究，我們至今也沒辦法定論——天象或血型這些自然現象是否真的存在某些超乎想像的影響？也很難設計出令人信服又符合倫理的實徵實驗；但至少在「人格特質」這個面向上，我們都不是寥寥幾個形容詞就能概括的。

每個人都有獨特之處，這些「特點」並非一成不變，就好像再鋼鐵的直男也會因為天竺鼠車車冒出粉紅色泡泡（？）。我們就像一塊未經雕琢的水晶，每個角度都能在燈光下折射出不同層次的光斑。或許正是因為這些光斑太過駁雜，才讓我們總想著用能理解的框架去解釋與限制它的變化。

把星座、血型、生命靈數等先天條件跟人格特質結合，這是人類社會無數年發展下來很「正常」的現象。不管科學也好、神秘學也罷，都只是在用自己的方式追尋那虛無縹緲的「真理」。

在大家目標一致的前提下，最怕的從來就不是歧異或討論，而是先入為主的想法，讓我們忽略了自己本有的無限可能性。因為一旦你把窗戶關死，久了可是會連外頭世界有多寬廣都全然忘掉。

參考資料：

1. Cervone, D., & Pervin, L. A. (2015). Personality: Theory and research. John Wiley & Sons.
2. Howell, D. C. (2012). Statistical methods for psychology. Cengage Learning.
3. John, O. P., & Srivastava, S. (1999). The Big Five trait taxonomy: History, measurement, and theoretical perspectives. Handbook of personality: Theory and research, 2(1999), 102-138.

三種機率型態中，最為人熟悉的莫過於兩個世紀前崛起的鐘形分布／常態分布。打從一開始，常態分布的理論就十分有影響力且頗具爭議。確實，常態分布的發明還有一段為人津津樂道的故事，那就是法國數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre, 1752-1833）和史上最有名的數學家高斯之間的爭論。

十九世紀初，計算天體運行軌道是當時數學研究中走在尖端的一個領域。日新月異的望遠鏡為科學家帶來更多天體的新資訊，而牛頓的地心引力定律，更是科學家用以分析觀測數據的利器。

不過，早在十六世紀末，著名丹麥天文學家第谷．布拉赫（Tycho Brahe, 1546-1601）所處的年代，人們就知道天文觀測很容易有誤差。首先，望遠鏡本身就有瑕疵：鏡片打磨效果不佳，而且底座不平。儀器方面的誤差還可以衡量、補救，但其他方面的狀況就很難控制了，例如大氣的狀態、地球的震動，以及喝醉酒的天文台助理。諸如此類無法控制的差錯，都會嚴重影響新彗星或行星運行軌道的測量。

就跟從前多數的數學家一樣，勒讓德和高斯在專業方面的興趣相當廣泛。

在巴黎的勒讓德不但將歐幾里得著名的幾何學，重新編寫成該領域的標準教材，完成數論領域第一本專著，並且於拿破崙主政時期協助精準測量出巴黎地區的地圖。

身處德國北部漢諾瓦王國（漢諾瓦王朝曾經是好幾代的英國國王）的高斯則是個神童，工人子弟出身的他在牙牙學語之前就會算數了，十八歲便完成他第一個有名的幾何學證明。舉凡他碰過的領域，沒有一個不因而更加進步，例如質數、代數函數、無窮級數、機率及拓樸學。

高斯和同事共同設計了第一架電報機。跟勒讓德一樣，他也忙著勘測地圖。此外，高斯以極少的數據計算出數個新發現小行星的運行軌道。確實，高斯的運算速度恐怕鮮少有人比得上，他只花十個小時就計算出灶神星（Vesta）的軌道並加以驗證，換做是別人，可能要好幾天辛苦地計算、查證、核對。

這兩個人的衝突，就發生在天文學領域。

1806 年，勒讓德發表一篇論文探討天體運行軌道的計算，其中包括名為「論最小平方法」（On the method of least squares）的附錄。該篇論文主要是探討常見的難題：如何用誤差重重的觀測值，計算出運行軌道或其他自然現象的正確值。

方法很簡單，首先猜測軌道的正確值，計算該值與各個觀測值相差多少——這就是誤差。然後計算誤差的平方值，將之加總起來。接著，再猜測軌道的正確值，重複先前的步驟，看看誤差平方值之總和是否比上一次小。就這樣一再重複。最小平方法可以找出最小的誤差平方值總和，它就是最接近所有觀測值的數據。

這是很有效的方法，立刻被許多人採用，時至今日更被運用在各式物理研究上，從天文學到生物學無所不包。

但是，高斯沒有將勒讓德放在眼裡，在勒讓德提出該論文三年之後，他也發表類似的計算方法。勒讓德當然提出抗議。高斯向來不屑跟其他數學家爭辯，總覺得浪費時間。他沒有直接回應，只對同事表示他在十八歲時就發明這個方法了，而且已經在天文計算上用過很多次。拉普拉斯試圖居中協調，但沒有成功。

最後勒讓德和高斯兩人都被認可為最小平方法的發明人。後人企圖在高斯的手稿中尋找證明，結果雖仍有爭議，但比起勒讓德，高斯對最小平方法的了解顯然更為高段。

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》，早安財經文化出版。