傳奇的「數學王子」高斯 │ 科學史上的今天：3/30

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

最近在網路上看到一波針對星座的熱切討論，講得更精確點，是關於某位知名人士對「風象星座有人格瑕疵」的論述引起的風波。身為一個 AB 型天蠍座戰車心理學專業，肯定是要跳出來發表一點個人意見。

這類與人格特質有關的命理占卜，不管是血型、星座還是塔羅，在心理學界一直都是充滿討論熱度的命題。相關研究為數不少，但結果總是差強人意，或沒辦法說服另一方的支持者。但如果單從邏輯推論的角度出發，倒也有不少可以說出來引發思考的東西。

這裡先不討論在占卜或這類神秘學常見的「巴南效應」（感興趣的朋友可以自行 Google，絕對能找到一卡車的文章或懶人包），我比較想討論的是人格特質本身的各種「意義」，以及我們應該用怎樣的角度看待。

（為了避免不必要的爭議，以下內容只是我的看法。如果你覺得這個論調有趣，不妨跟自己原本的想法比較；如果你覺得我說的是錯的，也歡迎提出你的看法與相應的依據。畢竟這個領域的東西至今仍未有定論，你我都有可能是錯的，又說不定我們都是對的，誰知道呢？）

你熱情，我冷漠？人格真的這麼說一不二嗎？

人格特質是什麼？不同流派、學說的擁戴者都有各自的說法，但是普遍來說，心理學界傾向把它視為一套「具辨識度的認知、行為與情感模式」。換言之，就是個體在特定情境中會「怎麼思考」、「怎麼行動」與「怎麼感受」的傾向（劃重點）。

人格特質並不是一個全有全無的開關、更沒有所謂「絕對值」存在，它只是種描述性的「比較」用語。例如，「易怒」者必須跟情緒控管能力較好的人相比才能體現「內向」者也得放在「外向」的人身邊，才能看出差異，每個人格特質都在描述你跟常模（norm）之間的差異。

這也是當前社會大眾對人格特質常有的誤解。不管是「內向 vs. 外向」、「固執 vs. 隨和」，人格特質都不是像我們打遊戲點能力值，或是煮菜時往鍋子裡加調味料那樣容易量化。它更像是一段連續的「光譜」，就連你在人格測驗裡得到的任何結果都只是相對值，而非絕對值。

舉個實例。最常被運用在各種地方的 Big 5 人格特質模型，由開放性（openness）、嚴謹性（conscientiousness）、外向性（extroversion）、親和性（agreeableness）、情緒不穩定性（neuroticism）5種傾向構成。但是今天就算你在情緒不穩定性的測驗拿了 0 分，也只代表你比絕大多數人還要不容易情緒失控、陷入焦慮或其他負面情緒，而不是「絕對不會」有這些反應。

說得極端一點，如果今天有人「完全沒有」某種反應能力（例如完全不會生氣、不會感到恐懼，或是完全沒有攻擊性），那他反而會因為心智功能的缺損成為臨床上的「異常」。

當然，這些都是比較嚴謹的學術定義。日常的人際互動不是在寫論文，標準放得寬鬆一些也很正常。但問題就在於這個「標準」到底從何而來，又有怎樣的問題？

常態分配告訴我們的事：總會有人剛好是那五成

前面提到了人格特質是跟「常模」比較之後得出的結果，提到統計了，就再討論一個「常態分配」（normal distribution）概念吧。

「常態分配」是自然科學與社會科學常用的統計模型，也就是在面對一個實際狀況不明或無法觀測的變項時，以樣本平均數為中心去做的連續機率分佈假設。

簡而言之，只要人格測驗的樣本數大到一定程度且沒有偏斜（例如外力干擾或測量失誤）的前提下，測驗分數的分佈應該會接近下面這樣：

這張常態分配圖表就是前面所說的「常模」，也是母群在我們的假設中的模樣，有 50% 的人大於等於平均值，同時也有 50% 的人小於等於平均值。

在認識常態分配代表的意義後，再來看「天蠍座就是愛記仇」、「處女座就是龜毛」、「Ｂ 型人就是散漫」、「天馬座就得會流星拳」之類帶有二元對立性質的判斷句，是否就能品嚐出一點微妙的不協調了？

因為任何一個人格特質中，至少會有 50% 的人高於平均值、落入「符合描述」的區間。這 50% 的人口比例對比 12 分之 1 的星座人口分佈，很明顯是絕對「塞不下」的。（我知道每個星座的出生人口並不是那麼平均，但比例也沒有懸殊到可以把這個 50% 合理消化。）

如果我們把條件放得再寬鬆一點，把符合描述的條件改成「會有相應外顯行為」即可，那即便只算 1 個標準差以內的範圍，符合描述的人口比例也會來到驚人的 85%。

但是很顯然，這個數據並不符合我們在日常生活感受到的「現實」，一方面是因為，實際的人格特質分佈會受到時空背景、在地文化、社經發展等錯綜複雜因素的影響，例如隨著網路與智慧型裝置的出現，新生代就明顯比老一輩的人表現出更高的經驗開放性，又或者都市人口的情緒不穩定性會高過鄉村等。

另一方面，是因為我們對他人（甚至是自己）的人格評價，很多時候並不是這麼「客觀」。

不是只有天蠍座會記仇，而是天蠍座記仇才會被記住

人的大腦畢竟不是一張 Excel 報表，相比起「平均值」、「絕對值」一類的量化資訊，我們對他人的（甚至是自己）的評價更容易受到「代表性」或其他質性因素影響。

一個曾經說謊被當面拆穿的人，就算他平常都為人誠懇，你依然會在心中對這人打上「不老實」、「不可靠」的記號；一隻曾經把你手抓傷的貓，不管主人再怎麼誇獎，你還是會有「牠很兇」的陰影。特別是對不熟的人事物來說，正因為這些「偶發事件」太過突兀，反而會在心中留下深刻的印象。

這也是為什麼最廣為流傳的命理占卜，往往會是「負面內容」。因為相比起「友善」、「隨和」、「體貼」這些有助於促進人際和諧的特質，「愛紀仇」、「自我中心」、「控制欲強」等會造成衝突的「瑕疵」更具代表性，進而成為這些星座或血型的原罪。

一旦刻板印象形成，就會反過來篩選我們接觸到的刺激。戴上這副有色眼鏡後，大腦便會開始把跟框架相符的資訊保留下來，當成強化刻板印象的建材，其他不相符的資訊不是被忽略、就是以「特例」的形式保留下來。

一來一往下，「我知道不是每個 OO 座的人都這樣，但我身邊的 OO 座真的就是 XX」的偏差認知就會深深紮根在我們的腦中、再難剔除。

這些基於代表性而產生的判斷，其實都只是片面、不完整的觀測。雖然經過無數人的努力研究，我們至今也沒辦法定論——天象或血型這些自然現象是否真的存在某些超乎想像的影響？也很難設計出令人信服又符合倫理的實徵實驗；但至少在「人格特質」這個面向上，我們都不是寥寥幾個形容詞就能概括的。

每個人都有獨特之處，這些「特點」並非一成不變，就好像再鋼鐵的直男也會因為天竺鼠車車冒出粉紅色泡泡（？）。我們就像一塊未經雕琢的水晶，每個角度都能在燈光下折射出不同層次的光斑。或許正是因為這些光斑太過駁雜，才讓我們總想著用能理解的框架去解釋與限制它的變化。

把星座、血型、生命靈數等先天條件跟人格特質結合，這是人類社會無數年發展下來很「正常」的現象。不管科學也好、神秘學也罷，都只是在用自己的方式追尋那虛無縹緲的「真理」。

在大家目標一致的前提下，最怕的從來就不是歧異或討論，而是先入為主的想法，讓我們忽略了自己本有的無限可能性。因為一旦你把窗戶關死，久了可是會連外頭世界有多寬廣都全然忘掉。

1. Cervone, D., & Pervin, L. A. (2015). Personality: Theory and research. John Wiley & Sons.
2. Howell, D. C. (2012). Statistical methods for psychology. Cengage Learning.
3. John, O. P., & Srivastava, S. (1999). The Big Five trait taxonomy: History, measurement, and theoretical perspectives. Handbook of personality: Theory and research, 2(1999), 102-138.

三種機率型態中，最為人熟悉的莫過於兩個世紀前崛起的鐘形分布／常態分布。打從一開始，常態分布的理論就十分有影響力且頗具爭議。確實，常態分布的發明還有一段為人津津樂道的故事，那就是法國數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre, 1752-1833）和史上最有名的數學家高斯之間的爭論。

十九世紀初，計算天體運行軌道是當時數學研究中走在尖端的一個領域。日新月異的望遠鏡為科學家帶來更多天體的新資訊，而牛頓的地心引力定律，更是科學家用以分析觀測數據的利器。

不過，早在十六世紀末，著名丹麥天文學家第谷．布拉赫（Tycho Brahe, 1546-1601）所處的年代，人們就知道天文觀測很容易有誤差。首先，望遠鏡本身就有瑕疵：鏡片打磨效果不佳，而且底座不平。儀器方面的誤差還可以衡量、補救，但其他方面的狀況就很難控制了，例如大氣的狀態、地球的震動，以及喝醉酒的天文台助理。諸如此類無法控制的差錯，都會嚴重影響新彗星或行星運行軌道的測量。

就跟從前多數的數學家一樣，勒讓德和高斯在專業方面的興趣相當廣泛。

在巴黎的勒讓德不但將歐幾里得著名的幾何學，重新編寫成該領域的標準教材，完成數論領域第一本專著，並且於拿破崙主政時期協助精準測量出巴黎地區的地圖。

身處德國北部漢諾瓦王國（漢諾瓦王朝曾經是好幾代的英國國王）的高斯則是個神童，工人子弟出身的他在牙牙學語之前就會算數了，十八歲便完成他第一個有名的幾何學證明。舉凡他碰過的領域，沒有一個不因而更加進步，例如質數、代數函數、無窮級數、機率及拓樸學。

高斯和同事共同設計了第一架電報機。跟勒讓德一樣，他也忙著勘測地圖。此外，高斯以極少的數據計算出數個新發現小行星的運行軌道。確實，高斯的運算速度恐怕鮮少有人比得上，他只花十個小時就計算出灶神星（Vesta）的軌道並加以驗證，換做是別人，可能要好幾天辛苦地計算、查證、核對。

這兩個人的衝突，就發生在天文學領域。

1806 年，勒讓德發表一篇論文探討天體運行軌道的計算，其中包括名為「論最小平方法」（On the method of least squares）的附錄。該篇論文主要是探討常見的難題：如何用誤差重重的觀測值，計算出運行軌道或其他自然現象的正確值。

方法很簡單，首先猜測軌道的正確值，計算該值與各個觀測值相差多少——這就是誤差。然後計算誤差的平方值，將之加總起來。接著，再猜測軌道的正確值，重複先前的步驟，看看誤差平方值之總和是否比上一次小。就這樣一再重複。最小平方法可以找出最小的誤差平方值總和，它就是最接近所有觀測值的數據。

這是很有效的方法，立刻被許多人採用，時至今日更被運用在各式物理研究上，從天文學到生物學無所不包。

但是，高斯沒有將勒讓德放在眼裡，在勒讓德提出該論文三年之後，他也發表類似的計算方法。勒讓德當然提出抗議。高斯向來不屑跟其他數學家爭辯，總覺得浪費時間。他沒有直接回應，只對同事表示他在十八歲時就發明這個方法了，而且已經在天文計算上用過很多次。拉普拉斯試圖居中協調，但沒有成功。

最後勒讓德和高斯兩人都被認可為最小平方法的發明人。後人企圖在高斯的手稿中尋找證明，結果雖仍有爭議，但比起勒讓德，高斯對最小平方法的了解顯然更為高段。

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》，早安財經文化出版。