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傳奇的「數學王子」高斯 │ 科學史上的今天:3/30

張瑞棋_96
・2015/03/30 ・1272字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 521 ・七年級

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有關高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 自小即展露數學天份的傳奇故事,我們已經耳熟能詳:三歲時一旁觀看當水泥匠工頭的老爸計算給工人的薪資時,發現計算錯誤而當場糾正;十歲時老師在課堂上出了「由 1 加到 100」的算術難題想說可以圖個清靜,沒想到高斯竟然不到一分鐘就交卷,原來他從中看出首尾一一配對相加都等於 101 的對稱性(1+100、2+99、⋯⋯),很快算出答案等於 5050。十一歲時就自己導出二項式定理的一般展開式。

要繼續研究數學嗎?將圓十七等分的轉捩點

在費迪南公爵的資助下,家境貧困的高斯得以繼續升學,鑽研高等數學,並改進牛頓、歐拉等人的證明。然而考慮到生計問題,高斯一直不確定是否要成為數學家,直到 1796 年的今天,就在屆滿 19 歲前一個月,高斯用幾何作圖,也就是只有尺和圓規,解決了自歐幾里得以來兩千年無人能解的難題:如何將圓十七等分?這項重大的突破成為一個轉捩點,讓他立定志向將一生奉獻給數學,於是,我們才有了「數學王子」高斯。

自這一天開始,高斯將研究成果記錄在一本《日誌錄》中,直到 1814 年 7 月。這本一百年後才被發現,而今稱之為《科學筆記》的日記共有 146 則記錄,包括才相隔九天的第二則:「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、一百天後的第十則:證明任何自然數最多只需用三個三角形數之和就能表示。他在前七個月就記載了超過四十則發現,完全展現了一位天才全力以赴下的創造力有多可怕。高斯第二年完成了前人無法完成的「代數基本定理」的證明作為他的博士論文,而且日後又作出另外三種不同方式的證明。1801 年,才 24 歲的高斯將幾年來研究數論的成果集結成書;霍金如此評價這本書:「在高斯完成這本劃時代鉅作《算術研究》之前,所謂數論其實只是蒐集許多孤立研究的成果。……因為高斯在《算術研究》中引進『同餘』的符號概念,這才建構出完整的數論。」

也是 1801 這一年,義大利天文學家皮亞齊發現小行星穀神星 (Ceres),不久後就因太陽遮蔽而失去它的蹤影。高斯卻能僅憑皮亞齊的三次觀測記錄,就用自己早就發明的「最小平方法」推算出它的運行軌道。後來果然在他預測的位置上發現穀神星,高斯因此更加聲名大噪,連望遠鏡都沒有的他躋身為第一流的理論天文學家。

高斯不凡的成就不勝枚舉,數學方面除了上述的貢獻之外,還發現代表常態分佈的高斯曲線、建立複數平面而賦予複數幾何上的意義、對於曲面的研究為非歐幾里得幾何奠下了基礎(最後由他的學生黎曼完成)。物理方面提出電磁學的高斯定理、與韋伯 (Wilhelm Weber) 共同發明第一台發報機並繪製第一張地球磁場圖,還發明廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

高斯的研究範圍廣泛,其中許多成就光一項就足以讓他名留千古,不過高斯晚年最想要刻在墓碑上的還是將圓十七等份的正十七邊形,只是石匠認為刻好後看起來恐怕與圓無異才作罷。高斯會有此念,除了這是他選擇人生道路的轉捩點,更是因為當年解開千古數學難題的悸動令他永難忘懷吧?!

 

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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星星知我心?——人格占卜到底有沒有搞頭
異吐司想Toasty Thoughts_96
・2021/01/26 ・3428字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 538 ・八年級

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最近在網路上看到一波針對星座的熱切討論,講得更精確點,是關於某位知名人士對「風象星座有人格瑕疵」的論述引起的風波。身為一個 AB 型天蠍座戰車心理學專業,肯定是要跳出來發表一點個人意見。

這類與人格特質有關的命理占卜,不管是血型、星座還是塔羅,在心理學界一直都是充滿討論熱度的命題。相關研究為數不少,但結果總是差強人意,或沒辦法說服另一方的支持者。但如果單從邏輯推論的角度出發,倒也有不少可以說出來引發思考的東西。

算出星盤就能知道你是個怎樣的人嗎?圖/Pixabay

這裡先不討論在占卜或這類神秘學常見的「巴南效應」(感興趣的朋友可以自行 Google,絕對能找到一卡車的文章或懶人包),我比較想討論的是人格特質本身的各種「意義」,以及我們應該用怎樣的角度看待。

(為了避免不必要的爭議,以下內容只是我的看法。如果你覺得這個論調有趣,不妨跟自己原本的想法比較;如果你覺得我說的是錯的,也歡迎提出你的看法與相應的依據。畢竟這個領域的東西至今仍未有定論,你我都有可能是錯的,又說不定我們都是對的,誰知道呢?)

你熱情,我冷漠?人格真的這麼說一不二嗎?

人格特質是什麼?不同流派、學說的擁戴者都有各自的說法,但是普遍來說,心理學界傾向把它視為一套「具辨識度的認知、行為與情感模式」。換言之,就是個體在特定情境中會「怎麼思考」「怎麼行動」「怎麼感受」的傾向(劃重點)。

人格特質並不是一個全有全無的開關、更沒有所謂「絕對值」存在,它只是種描述性的「比較」用語。例如,「易怒」者必須跟情緒控管能力較好的人相比才能體現「內向」者也得放在「外向」的人身邊,才能看出差異,每個人格特質都在描述你跟常模(norm)之間的差異

這也是當前社會大眾對人格特質常有的誤解。不管是「內向 vs. 外向」、「固執 vs. 隨和」,人格特質都不是像我們打遊戲點能力值,或是煮菜時往鍋子裡加調味料那樣容易量化。它更像是一段連續的「光譜」,就連你在人格測驗裡得到的任何結果都只是相對值,而非絕對值。

一張含有 文字, 室內, 控制台 的圖片

自動產生的描述
人格特質才沒有像遊戲那麼簡單,點到一個程度就會自動解鎖技能。圖/電馭叛客2077遊戲截圖

舉個實例。最常被運用在各種地方的 Big 5 人格特質模型,由開放性(openness)、嚴謹性(conscientiousness)、外向性(extroversion)、親和性(agreeableness)、情緒不穩定性(neuroticism)5種傾向構成。但是今天就算你在情緒不穩定性的測驗拿了 0 分,也只代表你比絕大多數人還要不容易情緒失控、陷入焦慮或其他負面情緒,而不是「絕對不會」有這些反應。

說得極端一點,如果今天有人「完全沒有」某種反應能力(例如完全不會生氣、不會感到恐懼,或是完全沒有攻擊性),那他反而會因為心智功能的缺損成為臨床上的「異常」。

當然,這些都是比較嚴謹的學術定義。日常的人際互動不是在寫論文,標準放得寬鬆一些也很正常。但問題就在於這個「標準」到底從何而來,又有怎樣的問題?

常態分配告訴我們的事:總會有人剛好是那五成

前面提到了人格特質是跟「常模」比較之後得出的結果,提到統計了,就再討論一個「常態分配」(normal distribution)概念吧。

「常態分配」是自然科學與社會科學常用的統計模型,也就是在面對一個實際狀況不明或無法觀測的變項時,以樣本平均數為中心去做的連續機率分佈假設。

簡而言之,只要人格測驗的樣本數大到一定程度且沒有偏斜(例如外力干擾或測量失誤)的前提下,測驗分數的分佈應該會接近下面這樣:

經標準化後的圖表,0 是平均數,σ 是標準差。圖/Wikipedia

這張常態分配圖表就是前面所說的「常模」,也是母群在我們的假設中的模樣,有 50% 的人大於等於平均值,同時也有 50% 的人小於等於平均值。

在認識常態分配代表的意義後,再來看「天蠍座就是愛記仇」、「處女座就是龜毛」、「B 型人就是散漫」、「天馬座就得會流星拳」之類帶有二元對立性質的判斷句,是否就能品嚐出一點微妙的不協調了?

因為任何一個人格特質中,至少會有 50% 的人高於平均值、落入「符合描述」的區間。這 50% 的人口比例對比 12 分之 1 的星座人口分佈,很明顯是絕對「塞不下」的。(我知道每個星座的出生人口並不是那麼平均,但比例也沒有懸殊到可以把這個 50% 合理消化。)

如果我們把條件放得再寬鬆一點,把符合描述的條件改成「會有相應外顯行為」即可,那即便只算 1 個標準差以內的範圍,符合描述的人口比例也會來到驚人的 85%。

但是很顯然,這個數據並不符合我們在日常生活感受到的「現實」,一方面是因為,實際的人格特質分佈會受到時空背景、在地文化、社經發展等錯綜複雜因素的影響,例如隨著網路與智慧型裝置的出現,新生代就明顯比老一輩的人表現出更高的經驗開放性,又或者都市人口的情緒不穩定性會高過鄉村等。

另一方面,是因為我們對他人(甚至是自己)的人格評價,很多時候並不是這麼「客觀」。

不是只有天蠍座會記仇,而是天蠍座記仇才會被記住

人的大腦畢竟不是一張 Excel 報表,相比起「平均值」、「絕對值」一類的量化資訊,我們對他人的(甚至是自己)的評價更容易受到「代表性」或其他質性因素影響。

一個曾經說謊被當面拆穿的人,就算他平常都為人誠懇,你依然會在心中對這人打上「不老實」、「不可靠」的記號;一隻曾經把你手抓傷的貓,不管主人再怎麼誇獎,你還是會有「牠很兇」的陰影。特別是對不熟的人事物來說,正因為這些「偶發事件」太過突兀,反而會在心中留下深刻的印象。

這也是為什麼最廣為流傳的命理占卜,往往會是「負面內容」。因為相比起「友善」、「隨和」、「體貼」這些有助於促進人際和諧的特質,「愛紀仇」、「自我中心」、「控制欲強」等會造成衝突的「瑕疵」更具代表性,進而成為這些星座或血型的原罪。

相較於正向特質,我們更容易記住負向特質並形成刻板印象。圖/Pixabay

一旦刻板印象形成,就會反過來篩選我們接觸到的刺激。戴上這副有色眼鏡後,大腦便會開始把跟框架相符的資訊保留下來,當成強化刻板印象的建材,其他不相符的資訊不是被忽略、就是以「特例」的形式保留下來。

一來一往下,「我知道不是每個 OO 座的人都這樣,但我身邊的 OO 座真的就是 XX」的偏差認知就會深深紮根在我們的腦中、再難剔除。

這些基於代表性而產生的判斷,其實都只是片面、不完整的觀測。雖然經過無數人的努力研究,我們至今也沒辦法定論——天象或血型這些自然現象是否真的存在某些超乎想像的影響?也很難設計出令人信服又符合倫理的實徵實驗;但至少在「人格特質」這個面向上,我們都不是寥寥幾個形容詞就能概括的。

每個人都有獨特之處,這些「特點」並非一成不變,就好像再鋼鐵的直男也會因為天竺鼠車車冒出粉紅色泡泡(?)。我們就像一塊未經雕琢的水晶,每個角度都能在燈光下折射出不同層次的光斑。或許正是因為這些光斑太過駁雜,才讓我們總想著用能理解的框架去解釋與限制它的變化。

每個人的獨特之處,並非是無法改變的。圖/Pixabay

把星座、血型、生命靈數等先天條件跟人格特質結合,這是人類社會無數年發展下來很「正常」的現象。不管科學也好、神秘學也罷,都只是在用自己的方式追尋那虛無縹緲的「真理」。

在大家目標一致的前提下,最怕的從來就不是歧異或討論,而是先入為主的想法,讓我們忽略了自己本有的無限可能性。因為一旦你把窗戶關死,久了可是會連外頭世界有多寬廣都全然忘掉。

參考資料:

  1. Cervone, D., & Pervin, L. A. (2015). Personality: Theory and research. John Wiley & Sons.
  2. Howell, D. C. (2012). Statistical methods for psychology. Cengage Learning.
  3. John, O. P., & Srivastava, S. (1999). The Big Five trait taxonomy: History, measurement, and theoretical perspectives. Handbook of personality: Theory and research, 2(1999), 102-138.
異吐司想Toasty Thoughts_96
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最初是想用心理學剖析日常事物,一方面「一吐思想」,另一方面借用吐司百變百搭的形象,讓心理學成為無處不在的有趣事物。基於本人雜食屬性,最後什麼都寫、什麼都分享。歡迎至臉書搜尋「異吐司想」。

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如果讓喝醉酒的天文台助理,測量行星的軌道……—《股價、棉花與尼羅河密碼》
PanSci_96
・2016/10/26 ・1706字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 550 ・八年級

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三種機率型態中,最為人熟悉的莫過於兩個世紀前崛起的鐘形分布/常態分布。打從一開始,常態分布的理論就十分有影響力且頗具爭議。確實,常態分布的發明還有一段為人津津樂道的故事,那就是法國數學家勒讓德(Adrien-Marie Legendre, 1752-1833)和史上最有名的數學家高斯之間的爭論。

十九世紀初,計算天體運行軌道是當時數學研究中走在尖端的一個領域。日新月異的望遠鏡為科學家帶來更多天體的新資訊,而牛頓的地心引力定律,更是科學家用以分析觀測數據的利器。

不過,早在十六世紀末,著名丹麥天文學家第谷.布拉赫(Tycho Brahe, 1546-1601)所處的年代,人們就知道天文觀測很容易有誤差。首先,望遠鏡本身就有瑕疵:鏡片打磨效果不佳,而且底座不平。儀器方面的誤差還可以衡量、補救,但其他方面的狀況就很難控制了,例如大氣的狀態、地球的震動,以及喝醉酒的天文台助理。諸如此類無法控制的差錯,都會嚴重影響新彗星或行星運行軌道的測量。

像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr
像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr

就跟從前多數的數學家一樣,勒讓德和高斯在專業方面的興趣相當廣泛。

阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。
阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。

在巴黎的勒讓德不但將歐幾里得著名的幾何學,重新編寫成該領域的標準教材,完成數論領域第一本專著,並且於拿破崙主政時期協助精準測量出巴黎地區的地圖。

身處德國北部漢諾瓦王國(漢諾瓦王朝曾經是好幾代的英國國王)的高斯則是個神童,工人子弟出身的他在牙牙學語之前就會算數了,十八歲便完成他第一個有名的幾何學證明。舉凡他碰過的領域,沒有一個不因而更加進步,例如質數、代數函數、無窮級數、機率及拓樸學。

身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。
身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。

高斯和同事共同設計了第一架電報機。跟勒讓德一樣,他也忙著勘測地圖。此外,高斯以極少的數據計算出數個新發現小行星的運行軌道。確實,高斯的運算速度恐怕鮮少有人比得上,他只花十個小時就計算出灶神星(Vesta)的軌道並加以驗證,換做是別人,可能要好幾天辛苦地計算、查證、核對。

這兩個人的衝突,就發生在天文學領域

1806 年,勒讓德發表一篇論文探討天體運行軌道的計算,其中包括名為「論最小平方法」(On the method of least squares)的附錄。該篇論文主要是探討常見的難題:如何用誤差重重的觀測值,計算出運行軌道或其他自然現象的正確值。

方法很簡單,首先猜測軌道的正確值,計算該值與各個觀測值相差多少——這就是誤差。然後計算誤差的平方值,將之加總起來。接著,再猜測軌道的正確值,重複先前的步驟,看看誤差平方值之總和是否比上一次小。就這樣一再重複。最小平方法可以找出最小的誤差平方值總和,它就是最接近所有觀測值的數據。

這是很有效的方法,立刻被許多人採用,時至今日更被運用在各式物理研究上,從天文學到生物學無所不包

但是,高斯沒有將勒讓德放在眼裡,在勒讓德提出該論文三年之後,他也發表類似的計算方法。勒讓德當然提出抗議。高斯向來不屑跟其他數學家爭辯,總覺得浪費時間。他沒有直接回應,只對同事表示他在十八歲時就發明這個方法了,而且已經在天文計算上用過很多次。拉普拉斯試圖居中協調,但沒有成功。

最後勒讓德和高斯兩人都被認可為最小平方法的發明人。後人企圖在高斯的手稿中尋找證明,結果雖仍有爭議,但比起勒讓德,高斯對最小平方法的了解顯然更為高段。


書封:股價、棉花與尼羅河密碼

 

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》,早安財經文化出版。

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張瑞棋:我想呈現科學家榮耀的背後,和常人無異的一面
梁晏慈
・2016/03/31 ・2235字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 517 ・六年級

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「以古為鏡,可以知興替。」如果能在過去、現在兩點拉出一條直線的話,未來的趨勢也有機會在我們掌握之中;當我們遇到困難時可以透過過往的經驗,幫助我們下判斷。這就是歷史的重要性!同樣的,歷史的脈絡可以幫助我們學習科學,而且還有機會發現科學家並不是我們想像中的神聖不可侵。2015 年 12 月 22 日在胖地台北,泛科學的專欄作者張瑞棋帶著《科學史上的今天》,和我們分享科學家背後鮮為人知的小故事。

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「從小到大,科學家在我們心中非常偉大,無論是哥白尼的日心說,或者證明地心引力作用一樣的伽利略。這些科學家閃耀著光芒,直到越讀越多書後才發現,光芒的背後其實存在著陰影。這些科學家們的陰影來自信仰權威以及性別。」

信仰

普遍認為哥白尼的日心說之所以不被認可,是因為宗教的打壓。然而另一種觀點是由於哥白尼認為上帝創造的宇宙應該存在著完美對稱的幾何關係,也就是軌道應該是圓形的!但這會和他觀察到的天文現象不吻合,因此與其說日心說的發表示因為教會的壓力,其實哥白尼本身的執迷才是造成學說延宕的原因。又比如提出滅絕說的居唯葉,他認為物種會因為某些災難而滅絕,另一方面在創世後仍物種繼續被創造。由於他深信聖經的創世論,甚至抨擊達爾文的演化論,導致演化論的發展備受阻礙。

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讓我們一起來聽聽科學家背後鮮為人知的故事吧!

權威

除了信仰外,有時候科學家利用自身權威、堅持己見,抑制別派學說,亦會影響科學的發展。你能想像西元十六世紀,醫生們拿著的解剖經典是出自於西元二世紀的蓋倫,且內容漏洞百出嗎?蓋倫是根據其動物解剖的經驗來推斷人體的內部構造,當然和人體的構造有很大的出入。但許多人不改抵抗權威,使得錯誤流傳千年。直到維薩留斯的出現,人體的結構才終於被了解。維薩留斯憑藉著大量的人體解剖經驗,推翻了多年來的理論,加上他有美術的長才,得以將知識快速的更新、傳播。

另一個為人所知的例子是牛頓萊布尼茲。在微積分發展上,英國推崇地位較高的牛頓提出的流數,而非萊布尼茲的微積分,這導致英國的數學研究落後其他歐陸國家。最後一個權威造成的悲劇,讓許多產婦賠上了性命。十九世紀,醫生塞默維斯發現由醫院接生的產婦死亡率遠遠高出了由助產士接生的。他推測原因是醫學系的學生在解剖完大體後沒有清潔,而將細菌帶給產婦。然而其他高傲的醫生們認為:醫生怎麼可能害人呢?而摒棄了塞默維斯的想法。

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性別

女性在科學界受到的打壓也不少:在代數領域有傑出成就的埃米諾特,竟因其性別而無法擔任大學教授;華生看了羅莎琳.佛蘭克林的 DNA  X 光繞射圖片,終於發現了 DNA 的雙螺旋結構,並以此得到了諾貝爾獎。雖然華生得獎的時候佛蘭克林已過世,然而我們可以想像,在當時的社會氛圍下,即便她在世,女性科學家的得獎機率仍然很低;發現脈衝星的喬瑟琳貝爾其成就在天文界有目共睹,然而諾貝爾物理獎的獎座是被指導教授赫維許拿走;吳健雄透過實驗證實宇稱不守恆,但最後是理論學家楊振寧及李政道是拿到了諾貝爾物理獎。

有些時候科學家對抗的不是來自外界的輿論、權威,反對的力量反而是來自科學界:牛頓打壓虎克及萊布尼茲;愛迪生堅持使用直流電系統,並利用交流電椅製造世人對交流電的恐懼,藉此反對特斯拉的交流電系統;發明氫彈的泰勒對前主管歐本海默落井下石,聲稱歐本海默對美國不忠……

我想呈現的不只是科學家的榮耀,還有其與常人無異的一面

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跟著《科學史上的今天》的腳步,我們可以發現科學家或許只在智力上比一般人高超,但其品性仍和常人一樣:他們也會忌妒、也會排擠別人、也會為了得到權力耍手段。如果大家能用平等的角度認識科學家,去了解理論後的時代背景,那學科學就不再只是背公式和定理,而是和一段段生命故事相遇的奇幻旅程。

 

梁晏慈
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梁晏慈,台灣大學化學系研究所。 喜歡聽故事、說故事,還有貓。