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最小平方法 (Least Square)

Bridan
・2012/01/03 ・768字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 506 ・六年級

 應用線性代數 Elementary Linear Algebra with Applications 科技圖書 Rorres / Anton毛迪
(中譯本絕版)

線性代數是每位程式設計師應該要會的數學技能,所以手邊應該要有一本這類的參考書以便隨時翻閱。

大家都知道一平面上兩點可以決定一直線,但是有三點以上且不共線時,如何找出最適直線經過這些點附近而誤差最小呢?最小平方湊合就是這個問題的解法。

已知 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) 三點座標,求通過這三點附近誤差最小之直線方程式 y = ax + b。

以陣列表示為,

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當 A 為非方陣時

前一篇 GPS 座標計算問題,提到有四顆衛星資料就可以求解經緯度座標,那麼收到五顆以上衛星資料怎麼辦?同樣此法也可以求解。

後面的推導,聰明的讀者應該可以算看看。

原文來自 研發養成所 http://4rdp.blogspot.com

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Bridan
7 篇文章 ・ 1 位粉絲
資深的電子產品研發人員,興趣廣泛,喜愛閱讀以及研究新奇事物。 為研發養成所部落格版主 https://4rdp.blogspot.tw/

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ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

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工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

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為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

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可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

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2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

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軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

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如果讓喝醉酒的天文台助理,測量行星的軌道……—《股價、棉花與尼羅河密碼》
PanSci_96
・2016/10/26 ・1706字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 550 ・八年級

三種機率型態中,最為人熟悉的莫過於兩個世紀前崛起的鐘形分布/常態分布。打從一開始,常態分布的理論就十分有影響力且頗具爭議。確實,常態分布的發明還有一段為人津津樂道的故事,那就是法國數學家勒讓德(Adrien-Marie Legendre, 1752-1833)和史上最有名的數學家高斯之間的爭論。

十九世紀初,計算天體運行軌道是當時數學研究中走在尖端的一個領域。日新月異的望遠鏡為科學家帶來更多天體的新資訊,而牛頓的地心引力定律,更是科學家用以分析觀測數據的利器。

不過,早在十六世紀末,著名丹麥天文學家第谷.布拉赫(Tycho Brahe, 1546-1601)所處的年代,人們就知道天文觀測很容易有誤差。首先,望遠鏡本身就有瑕疵:鏡片打磨效果不佳,而且底座不平。儀器方面的誤差還可以衡量、補救,但其他方面的狀況就很難控制了,例如大氣的狀態、地球的震動,以及喝醉酒的天文台助理。諸如此類無法控制的差錯,都會嚴重影響新彗星或行星運行軌道的測量。

像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr
像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr

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就跟從前多數的數學家一樣,勒讓德和高斯在專業方面的興趣相當廣泛。

阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。
阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。

在巴黎的勒讓德不但將歐幾里得著名的幾何學,重新編寫成該領域的標準教材,完成數論領域第一本專著,並且於拿破崙主政時期協助精準測量出巴黎地區的地圖。

身處德國北部漢諾瓦王國(漢諾瓦王朝曾經是好幾代的英國國王)的高斯則是個神童,工人子弟出身的他在牙牙學語之前就會算數了,十八歲便完成他第一個有名的幾何學證明。舉凡他碰過的領域,沒有一個不因而更加進步,例如質數、代數函數、無窮級數、機率及拓樸學。

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身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。
身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。

高斯和同事共同設計了第一架電報機。跟勒讓德一樣,他也忙著勘測地圖。此外,高斯以極少的數據計算出數個新發現小行星的運行軌道。確實,高斯的運算速度恐怕鮮少有人比得上,他只花十個小時就計算出灶神星(Vesta)的軌道並加以驗證,換做是別人,可能要好幾天辛苦地計算、查證、核對。

這兩個人的衝突,就發生在天文學領域

1806 年,勒讓德發表一篇論文探討天體運行軌道的計算,其中包括名為「論最小平方法」(On the method of least squares)的附錄。該篇論文主要是探討常見的難題:如何用誤差重重的觀測值,計算出運行軌道或其他自然現象的正確值。

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方法很簡單,首先猜測軌道的正確值,計算該值與各個觀測值相差多少——這就是誤差。然後計算誤差的平方值,將之加總起來。接著,再猜測軌道的正確值,重複先前的步驟,看看誤差平方值之總和是否比上一次小。就這樣一再重複。最小平方法可以找出最小的誤差平方值總和,它就是最接近所有觀測值的數據。

這是很有效的方法,立刻被許多人採用,時至今日更被運用在各式物理研究上,從天文學到生物學無所不包

但是,高斯沒有將勒讓德放在眼裡,在勒讓德提出該論文三年之後,他也發表類似的計算方法。勒讓德當然提出抗議。高斯向來不屑跟其他數學家爭辯,總覺得浪費時間。他沒有直接回應,只對同事表示他在十八歲時就發明這個方法了,而且已經在天文計算上用過很多次。拉普拉斯試圖居中協調,但沒有成功。

最後勒讓德和高斯兩人都被認可為最小平方法的發明人。後人企圖在高斯的手稿中尋找證明,結果雖仍有爭議,但比起勒讓德,高斯對最小平方法的了解顯然更為高段。

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書封:股價、棉花與尼羅河密碼

 

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》,早安財經文化出版。

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傳奇的「數學王子」高斯 │ 科學史上的今天:3/30
張瑞棋_96
・2015/03/30 ・1272字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 521 ・七年級

有關高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 自小即展露數學天份的傳奇故事,我們已經耳熟能詳:三歲時一旁觀看當水泥匠工頭的老爸計算給工人的薪資時,發現計算錯誤而當場糾正;十歲時老師在課堂上出了「由 1 加到 100」的算術難題想說可以圖個清靜,沒想到高斯竟然不到一分鐘就交卷,原來他從中看出首尾一一配對相加都等於 101 的對稱性(1+100、2+99、⋯⋯),很快算出答案等於 5050。十一歲時就自己導出二項式定理的一般展開式。

要繼續研究數學嗎?將圓十七等分的轉捩點

在費迪南公爵的資助下,家境貧困的高斯得以繼續升學,鑽研高等數學,並改進牛頓、歐拉等人的證明。然而考慮到生計問題,高斯一直不確定是否要成為數學家,直到 1796 年的今天,就在屆滿 19 歲前一個月,高斯用幾何作圖,也就是只有尺和圓規,解決了自歐幾里得以來兩千年無人能解的難題:如何將圓十七等分?這項重大的突破成為一個轉捩點,讓他立定志向將一生奉獻給數學,於是,我們才有了「數學王子」高斯。

自這一天開始,高斯將研究成果記錄在一本《日誌錄》中,直到 1814 年 7 月。這本一百年後才被發現,而今稱之為《科學筆記》的日記共有 146 則記錄,包括才相隔九天的第二則:「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、一百天後的第十則:證明任何自然數最多只需用三個三角形數之和就能表示。他在前七個月就記載了超過四十則發現,完全展現了一位天才全力以赴下的創造力有多可怕。高斯第二年完成了前人無法完成的「代數基本定理」的證明作為他的博士論文,而且日後又作出另外三種不同方式的證明。1801 年,才 24 歲的高斯將幾年來研究數論的成果集結成書;霍金如此評價這本書:「在高斯完成這本劃時代鉅作《算術研究》之前,所謂數論其實只是蒐集許多孤立研究的成果。……因為高斯在《算術研究》中引進『同餘』的符號概念,這才建構出完整的數論。」

也是 1801 這一年,義大利天文學家皮亞齊發現小行星穀神星 (Ceres),不久後就因太陽遮蔽而失去它的蹤影。高斯卻能僅憑皮亞齊的三次觀測記錄,就用自己早就發明的「最小平方法」推算出它的運行軌道。後來果然在他預測的位置上發現穀神星,高斯因此更加聲名大噪,連望遠鏡都沒有的他躋身為第一流的理論天文學家。

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高斯不凡的成就不勝枚舉,數學方面除了上述的貢獻之外,還發現代表常態分佈的高斯曲線、建立複數平面而賦予複數幾何上的意義、對於曲面的研究為非歐幾里得幾何奠下了基礎(最後由他的學生黎曼完成)。物理方面提出電磁學的高斯定理、與韋伯 (Wilhelm Weber) 共同發明第一台發報機並繪製第一張地球磁場圖,還發明廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

高斯的研究範圍廣泛,其中許多成就光一項就足以讓他名留千古,不過高斯晚年最想要刻在墓碑上的還是將圓十七等份的正十七邊形,只是石匠認為刻好後看起來恐怕與圓無異才作罷。高斯會有此念,除了這是他選擇人生道路的轉捩點,更是因為當年解開千古數學難題的悸動令他永難忘懷吧?!

 

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 1030 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。