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最小平方法 (Least Square)

Bridan
・2012/01/03 ・768字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 506 ・六年級

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 應用線性代數 Elementary Linear Algebra with Applications 科技圖書 Rorres / Anton毛迪
(中譯本絕版)

線性代數是每位程式設計師應該要會的數學技能,所以手邊應該要有一本這類的參考書以便隨時翻閱。

大家都知道一平面上兩點可以決定一直線,但是有三點以上且不共線時,如何找出最適直線經過這些點附近而誤差最小呢?最小平方湊合就是這個問題的解法。

已知 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) 三點座標,求通過這三點附近誤差最小之直線方程式 y = ax + b。

以陣列表示為,


當 A 為非方陣時

前一篇 GPS 座標計算問題,提到有四顆衛星資料就可以求解經緯度座標,那麼收到五顆以上衛星資料怎麼辦?同樣此法也可以求解。

後面的推導,聰明的讀者應該可以算看看。

原文來自 研發養成所 http://4rdp.blogspot.com

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Bridan
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如果讓喝醉酒的天文台助理,測量行星的軌道……—《股價、棉花與尼羅河密碼》
PanSci_96
・2016/10/26 ・1706字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 550 ・八年級

三種機率型態中,最為人熟悉的莫過於兩個世紀前崛起的鐘形分布/常態分布。打從一開始,常態分布的理論就十分有影響力且頗具爭議。確實,常態分布的發明還有一段為人津津樂道的故事,那就是法國數學家勒讓德(Adrien-Marie Legendre, 1752-1833)和史上最有名的數學家高斯之間的爭論。

十九世紀初,計算天體運行軌道是當時數學研究中走在尖端的一個領域。日新月異的望遠鏡為科學家帶來更多天體的新資訊,而牛頓的地心引力定律,更是科學家用以分析觀測數據的利器。

不過,早在十六世紀末,著名丹麥天文學家第谷.布拉赫(Tycho Brahe, 1546-1601)所處的年代,人們就知道天文觀測很容易有誤差。首先,望遠鏡本身就有瑕疵:鏡片打磨效果不佳,而且底座不平。儀器方面的誤差還可以衡量、補救,但其他方面的狀況就很難控制了,例如大氣的狀態、地球的震動,以及喝醉酒的天文台助理。諸如此類無法控制的差錯,都會嚴重影響新彗星或行星運行軌道的測量。

像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr
像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr

就跟從前多數的數學家一樣,勒讓德和高斯在專業方面的興趣相當廣泛。

阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。
阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。

在巴黎的勒讓德不但將歐幾里得著名的幾何學,重新編寫成該領域的標準教材,完成數論領域第一本專著,並且於拿破崙主政時期協助精準測量出巴黎地區的地圖。

身處德國北部漢諾瓦王國(漢諾瓦王朝曾經是好幾代的英國國王)的高斯則是個神童,工人子弟出身的他在牙牙學語之前就會算數了,十八歲便完成他第一個有名的幾何學證明。舉凡他碰過的領域,沒有一個不因而更加進步,例如質數、代數函數、無窮級數、機率及拓樸學。

身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。
身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。

高斯和同事共同設計了第一架電報機。跟勒讓德一樣,他也忙著勘測地圖。此外,高斯以極少的數據計算出數個新發現小行星的運行軌道。確實,高斯的運算速度恐怕鮮少有人比得上,他只花十個小時就計算出灶神星(Vesta)的軌道並加以驗證,換做是別人,可能要好幾天辛苦地計算、查證、核對。

這兩個人的衝突,就發生在天文學領域

1806 年,勒讓德發表一篇論文探討天體運行軌道的計算,其中包括名為「論最小平方法」(On the method of least squares)的附錄。該篇論文主要是探討常見的難題:如何用誤差重重的觀測值,計算出運行軌道或其他自然現象的正確值。

方法很簡單,首先猜測軌道的正確值,計算該值與各個觀測值相差多少——這就是誤差。然後計算誤差的平方值,將之加總起來。接著,再猜測軌道的正確值,重複先前的步驟,看看誤差平方值之總和是否比上一次小。就這樣一再重複。最小平方法可以找出最小的誤差平方值總和,它就是最接近所有觀測值的數據。

這是很有效的方法,立刻被許多人採用,時至今日更被運用在各式物理研究上,從天文學到生物學無所不包

但是,高斯沒有將勒讓德放在眼裡,在勒讓德提出該論文三年之後,他也發表類似的計算方法。勒讓德當然提出抗議。高斯向來不屑跟其他數學家爭辯,總覺得浪費時間。他沒有直接回應,只對同事表示他在十八歲時就發明這個方法了,而且已經在天文計算上用過很多次。拉普拉斯試圖居中協調,但沒有成功。

最後勒讓德和高斯兩人都被認可為最小平方法的發明人。後人企圖在高斯的手稿中尋找證明,結果雖仍有爭議,但比起勒讓德,高斯對最小平方法的了解顯然更為高段。


書封:股價、棉花與尼羅河密碼

 

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》,早安財經文化出版。

PanSci_96
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傳奇的「數學王子」高斯 │ 科學史上的今天:3/30
張瑞棋_96
・2015/03/30 ・1272字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 521 ・七年級

有關高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 自小即展露數學天份的傳奇故事,我們已經耳熟能詳:三歲時一旁觀看當水泥匠工頭的老爸計算給工人的薪資時,發現計算錯誤而當場糾正;十歲時老師在課堂上出了「由 1 加到 100」的算術難題想說可以圖個清靜,沒想到高斯竟然不到一分鐘就交卷,原來他從中看出首尾一一配對相加都等於 101 的對稱性(1+100、2+99、⋯⋯),很快算出答案等於 5050。十一歲時就自己導出二項式定理的一般展開式。

要繼續研究數學嗎?將圓十七等分的轉捩點

在費迪南公爵的資助下,家境貧困的高斯得以繼續升學,鑽研高等數學,並改進牛頓、歐拉等人的證明。然而考慮到生計問題,高斯一直不確定是否要成為數學家,直到 1796 年的今天,就在屆滿 19 歲前一個月,高斯用幾何作圖,也就是只有尺和圓規,解決了自歐幾里得以來兩千年無人能解的難題:如何將圓十七等分?這項重大的突破成為一個轉捩點,讓他立定志向將一生奉獻給數學,於是,我們才有了「數學王子」高斯。

自這一天開始,高斯將研究成果記錄在一本《日誌錄》中,直到 1814 年 7 月。這本一百年後才被發現,而今稱之為《科學筆記》的日記共有 146 則記錄,包括才相隔九天的第二則:「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、一百天後的第十則:證明任何自然數最多只需用三個三角形數之和就能表示。他在前七個月就記載了超過四十則發現,完全展現了一位天才全力以赴下的創造力有多可怕。高斯第二年完成了前人無法完成的「代數基本定理」的證明作為他的博士論文,而且日後又作出另外三種不同方式的證明。1801 年,才 24 歲的高斯將幾年來研究數論的成果集結成書;霍金如此評價這本書:「在高斯完成這本劃時代鉅作《算術研究》之前,所謂數論其實只是蒐集許多孤立研究的成果。……因為高斯在《算術研究》中引進『同餘』的符號概念,這才建構出完整的數論。」

也是 1801 這一年,義大利天文學家皮亞齊發現小行星穀神星 (Ceres),不久後就因太陽遮蔽而失去它的蹤影。高斯卻能僅憑皮亞齊的三次觀測記錄,就用自己早就發明的「最小平方法」推算出它的運行軌道。後來果然在他預測的位置上發現穀神星,高斯因此更加聲名大噪,連望遠鏡都沒有的他躋身為第一流的理論天文學家。

高斯不凡的成就不勝枚舉,數學方面除了上述的貢獻之外,還發現代表常態分佈的高斯曲線、建立複數平面而賦予複數幾何上的意義、對於曲面的研究為非歐幾里得幾何奠下了基礎(最後由他的學生黎曼完成)。物理方面提出電磁學的高斯定理、與韋伯 (Wilhelm Weber) 共同發明第一台發報機並繪製第一張地球磁場圖,還發明廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

高斯的研究範圍廣泛,其中許多成就光一項就足以讓他名留千古,不過高斯晚年最想要刻在墓碑上的還是將圓十七等份的正十七邊形,只是石匠認為刻好後看起來恐怕與圓無異才作罷。高斯會有此念,除了這是他選擇人生道路的轉捩點,更是因為當年解開千古數學難題的悸動令他永難忘懷吧?!

 

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 623 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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天文定位
Bridan
・2012/01/19 ・472字 ・閱讀時間少於 1 分鐘 ・SR值 483 ・五年級

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position

透過天文觀測可以找出自己在地球上的經緯度,可是需要三樣東西缺一不可,觀測時間航海曆或天文曆 (可查出星體位置)、六分儀 (測量星體高度)。

現在有精準的時鐘隨時可以知道觀測時間,科技發展這麼多年,天文學家已將上百顆重要的星體計算出位置,隨時可以透過航海曆或天文曆查出來。觀測者利用六分儀之類的設備測角後,就可以計算出位置線。至少兩個星體或是有一個其它參考位置,就能求出經緯度。

圖右,有一星體對地球地心投影於 G點,在地球上A點觀測,星體極為遙遠所以虛線平行於實線,因此可得高度 θ度。圖左,以 G點為圓心可在地表得一大圓圈,觀測高度為 θ度。那麼再觀測其他星體,將會再得另外一個大圈,兩圈交點 A與 A’其中一點就是觀測者位置,通常可以經驗研判何者為真。舉例來說,假設計算後 A’落在北極附近,而你不在那裡,那麼可以排除 A’點。簡單的說,只要知道時間,然後查尋航海曆獲取天體座標,觀察天體角度 θ可得大圈半徑,就可做圖求座標

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