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羅巴契夫斯基誕辰|科學史上的今天:12/1

張瑞棋_96
・2015/12/01 ・1048字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 539 ・八年級

歐幾里得的《幾何原本》是數學史上影響最深遠的經典鉅著,全書僅以五個公設就推導出各種幾何學定理。所謂公設就是不證自明的事實,自西元前三百年至十九世紀初,兩千一百年來無人質疑其真實性,頂多覺得其中第五公設(也就是平行公設)的敘述不夠簡明直觀,似乎可以從其它四個公設中推導而出。

羅巴契夫斯基。圖片來源:wikimedia

帝俄時期的數學家羅巴契夫斯基也是這麼想,但他百般嘗試後也跟前人一樣無功而返。不過他不肯就此放棄,反而轉念想道:也許根本不存在第五公設的證明。於是他採取一條截然不同的路徑:歸謬法。乾脆先假設第五公設是錯的,也就是過線外一點可作出不只一條與原來直線不相交的線;如果第五公設可由其它公設得證,那麼用這否定命題和其它公設展開推演,一定會產生邏輯矛盾;相反地,若沒有邏輯矛盾,就代表第五公設是不可證的。

沒想到羅巴契夫斯基真的推導出一個毫無矛盾的全新幾何系統;雖然也會產生一連串古怪的命題與定理,但這個系統的完備性和嚴密性與歐氏幾何毫無二致。他慎重地將它命名為「虛幾何」,如今我們則以他的姓氏稱之為「羅式幾何」,或是「雙曲幾何」,因為它適用於馬鞍狀的雙曲平面。

1826年,羅巴契夫斯基在他任職的喀山大學(Kazan University)舉行的學術會議上發表論文,與會者都不以為然而冷漠以對,畢竟他的理論不但挑戰兩千年來正確無誤的歐氏幾何,也違背平常的生活經驗。其實這些同事的反應還算客氣,當羅巴契夫斯基在六年後將更完整的論文交予科學院審查,得到的就是猛烈的抨擊與嘲諷。他最後失去教職,雙眼也逐漸失明,終於在1856年抑鬱而終。

在他死後才出版的「數學王子」高斯的通信錄中,才披露出原來高斯早就涉獵非歐幾何研究,但也因擔心引起軒然大波而不敢公開發表。他也在給朋友的信中對羅巴契夫斯基的論文時大加讚譽,卻懼於同儕壓力而未予以聲援。一直要到1868年義大利數學家貝特拉米(Eugenic Beltrami)指出非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面上實現,羅巴契夫斯基的研究才得到平反,引起學術界的深入研究。

1893年,為了紀念他百年誕辰,喀山大學在校園內為他立起全世界第一座數學家的雕像,以紀念這位「幾何學的哥白尼」。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。


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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。


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「好奇心」不只是珍貴的學習動機,還能讓孩子學得更好、記得更牢!

數感實驗室_96
・2022/05/12 ・1781字 ・閱讀時間約 3 分鐘

大家或許都有這樣的經驗:隔天要考試了,卻不管怎麼背誦依然記不得內容,反倒是平常無意間看到的有趣事情,那怕再冷僻或有些困難,卻深深印在腦海裡,就算隔了好一陣子依然記得很清楚。
就算隔了好一陣子依然記得很清楚。或者回想一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。

一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。圖/envato elements

究竟,好奇心跟學習有甚麼關聯呢?

好奇心讓你記得更清楚

戴維斯加州大學曾作過一項研究相關研究。他們邀請了一群受試者,給他們快速看過一系列題目,不用作答,只需自評對題目的「把握度」及「好奇度」。評分完畢後,實驗者將一邊進行 fMRI 掃描大腦活動,一邊觀看方才「把握度較低」的 50 餘組題目與對應解答。

全部看完後休息 20 分鐘,受試者被要求再次作答同樣、但順序調整過的題目。由於都不是選擇題,受試者完全無法猜答案。22.5 小時後,受試者被要求第二次作答。

有趣的結果發生了。

實驗結果發現,受試者20分鐘後,針對「好奇度高」的題目答對率高達 70.6%;「好奇度低」的題目答對率只有 54.1%。

22.5小時後,「好奇度高」的題目答對率依然有 45.9%;「好奇度低」的題目答對率只剩 28.1%。

好奇心讓你記得。圖/數感實驗室

與問題無關的資訊也能記得牢牢的!

不只如此,實驗裡還設計了一個很特別的橋段:在每題的【題目】與【解答】中間,隨機插入一些人臉,之後的兩次測驗中,同時請受測者辨認那些人臉照片是否有出現在原本的題目中。

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!圖/envato elements

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!

好奇度高與好奇度低的題目,各自有著 42.4% 與 38.2% 的人臉辨識正確率。換句話說,好奇心不僅能幫助記得關心的事件,還能連帶強化和事件無關資訊的記憶力。

為什麼會這樣呢?研究人員利用 fMRI 掃描,發現好奇心引發的強化記憶迴路,和外在動機啟動的區域非常相似,同樣仰賴多巴胺在神經間進行傳遞。

受試者看到他們比較好奇的題目時,會活化大腦內部一條與獎勵機制有關的途徑,增加負責大腦記憶的海馬迴活動。此時,大腦會處在能夠吸收各種資訊並記憶下來的狀態,所以即使是與問題無關的無聊資訊,也比較容易記住。

過去我們一直鼓勵探索、鼓勵孩子喜歡數學,激發學習動機。這次跟大家分享的研究,更進一步展現了「好奇心」與「喜歡」的價值。它不只是學習的起點,不只是讓孩子學習時快樂些,更是學習路上的加速器,能讓孩子學得更好、更有效率。

好奇心讓學習更快樂也更有效率!圖/envato elements

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參考資料

  • Matthias J. Gruber, Bernard D. Gelman, Charan Ranganath. States of Curiosity Modulate Hippocampus-Dependent Learning via the Dopaminergic Circuit. Neuron, 2014 DOI: 10.1016/j.neuron.2014.08.060

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/