羅巴契夫斯基誕辰｜科學史上的今天：12/1

一個不到30歲的年輕人，創建出全新的幾何體系，讓縱橫二千年的歐氏幾何從絕對真理變成特例；然後在他死後50年，還幫了愛因斯坦在物理界提出革命性的廣義相對論，將主宰二百多年的牛頓萬有引力定律踢下王位。他，就是出生於漢諾威王國的數學家黎曼。

黎曼雖然自小就展現數學的天分，但因擔任牧師的父親期望他繼承神職的衣缽，進入哥廷根大學後只能念神學與哲學。不過，「數學王子」高斯就在此任教，喜愛數學的黎曼怎能錯過！而高斯也識出黎曼這個學生非同小可，積極鼓勵他放棄神學，投身數學。或許是衝著高斯的名聲，黎曼終於獲得父親的首肯，改念最愛的數學，並在高斯的指導下完成論文，於1851年獲得博士學位。

1854年，黎曼在首次的演講中發表了顛覆歐氏幾何的黎曼幾何。雖然之前已經有俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）質疑平行公設，而提出「直線外一點可作出兩條以上平行線」的雙曲面幾何，但他仍只是以二維的觀念在雙曲面上重建歐幾里得的相關定理。黎曼才是革命性地引進拓樸的概念、定義出張量與曲率，建構出可描述空間的完整計算工具。愛因斯坦原本一直不知如何描述被扭曲的時空結構，經數學家朋友向他介紹黎曼幾何後，愛因斯坦才得以推導出重力場方程式，完成廣義相對論。

除了黎曼幾何之外，黎曼還留下很多重要的知識遺產，這從數學中有一堆以他為名的專有名詞就可看出。而他提出的黎曼猜想，不但是希爾伯特於1900年列出著名的23個世紀問題之一（希爾伯特曾表示如果他沉睡千年後醒來，第一個要問的就是黎曼猜想得到證明了嗎？），也名列克雷數學研究所懸賞百萬美元的七大問題，至今百餘年仍無人能解。

可惜黎曼這些重要的數學成就並未為改善他的經濟狀況，他一直擔任沒有薪水、只能向學生收費的講師，因此收入微薄，生活困苦，直到33歲才當上有固定收入的正教授，但身體健康早已惡化，最後不到四十歲就因肺結核不治死亡。不禁令人感嘆他若非英年早逝，不知還會作出多少重要的貢獻！

&nbsp本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

有關高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777－1855) 自小即展露數學天份的傳奇故事，我們已經耳熟能詳：三歲時一旁觀看當水泥匠工頭的老爸計算給工人的薪資時，發現計算錯誤而當場糾正；十歲時老師在課堂上出了「由 1 加到 100」的算術難題想說可以圖個清靜，沒想到高斯竟然不到一分鐘就交卷，原來他從中看出首尾一一配對相加都等於 101 的對稱性（1+100、2+99、⋯⋯），很快算出答案等於 5050。十一歲時就自己導出二項式定理的一般展開式。

要繼續研究數學嗎？將圓十七等分的轉捩點

在費迪南公爵的資助下，家境貧困的高斯得以繼續升學，鑽研高等數學，並改進牛頓、歐拉等人的證明。然而考慮到生計問題，高斯一直不確定是否要成為數學家，直到 1796 年的今天，就在屆滿 19 歲前一個月，高斯用幾何作圖，也就是只有尺和圓規，解決了自歐幾里得以來兩千年無人能解的難題：如何將圓十七等分？這項重大的突破成為一個轉捩點，讓他立定志向將一生奉獻給數學，於是，我們才有了「數學王子」高斯。

自這一天開始，高斯將研究成果記錄在一本《日誌錄》中，直到 1814 年 7 月。這本一百年後才被發現，而今稱之為《科學筆記》的日記共有 146 則記錄，包括才相隔九天的第二則：「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、一百天後的第十則：證明任何自然數最多只需用三個三角形數之和就能表示。他在前七個月就記載了超過四十則發現，完全展現了一位天才全力以赴下的創造力有多可怕。高斯第二年完成了前人無法完成的「代數基本定理」的證明作為他的博士論文，而且日後又作出另外三種不同方式的證明。1801 年，才 24 歲的高斯將幾年來研究數論的成果集結成書；霍金如此評價這本書：「在高斯完成這本劃時代鉅作《算術研究》之前，所謂數論其實只是蒐集許多孤立研究的成果。……因為高斯在《算術研究》中引進『同餘』的符號概念，這才建構出完整的數論。」

也是 1801 這一年，義大利天文學家皮亞齊發現小行星穀神星 (Ceres)，不久後就因太陽遮蔽而失去它的蹤影。高斯卻能僅憑皮亞齊的三次觀測記錄，就用自己早就發明的「最小平方法」推算出它的運行軌道。後來果然在他預測的位置上發現穀神星，高斯因此更加聲名大噪，連望遠鏡都沒有的他躋身為第一流的理論天文學家。

高斯不凡的成就不勝枚舉，數學方面除了上述的貢獻之外，還發現代表常態分佈的高斯曲線、建立複數平面而賦予複數幾何上的意義、對於曲面的研究為非歐幾里得幾何奠下了基礎（最後由他的學生黎曼完成）。物理方面提出電磁學的高斯定理、與韋伯 (Wilhelm Weber) 共同發明第一台發報機並繪製第一張地球磁場圖，還發明廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

高斯的研究範圍廣泛，其中許多成就光一項就足以讓他名留千古，不過高斯晚年最想要刻在墓碑上的還是將圓十七等份的正十七邊形，只是石匠認為刻好後看起來恐怕與圓無異才作罷。高斯會有此念，除了這是他選擇人生道路的轉捩點，更是因為當年解開千古數學難題的悸動令他永難忘懷吧？！

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。