碎形幾何理論中最引人注目的，恐怕是對空間的獨特看法。
自歐幾里得以來，數學家一直認為「點」是零度空間，「線」屬於一度空間，「平面」屬於二度空間，而我們所熟悉的環境則是三度空間。愛因斯坦則提出了第四度空間，也就是「時間」。數學上可以繼續以此類推，舉出假想的五度、六度，甚至七度空間，雖然只是假想的理論，但是對於解決工程、經濟或物理方面的問題很有幫助。
拓樸學是數學領域裡研究「表面」的一支，提供了相當有趣的新發現。就拓樸學的觀點而言，黃瓜和橘子是一樣的，因為不需要切割黃瓜的表面就可以將它重新塑造成橘子的形狀，反之亦然。一個圓的圓周跟曲曲折折的海岸線一樣，同屬一度空間。圓周和鋸齒線都是連續的線，將鋸齒線展開、攤平再彎曲，可以形成一個圓；同樣的，將圓周拉直再加以曲折，可以形成鋸齒線——都不需要切割。
然而，所謂的空間，真的就如此而已嗎？
拿一顆線球當例子。首先，以歐幾里得的觀點來看：假設這個線球的直徑是五英寸，而線的粗細遠不及一英寸。若站在很遠的地方，幾乎看不到球；根據古典幾何學，可以說它是個零度空間的點。若握在手中，這個線球則確實是三度空間中的立體物件。近一點看，會發現它其實是由一團一度空間的線所纏成的。再更近一點看，會發現這線其實也是立體的，屬於三度空間。這麼追根究柢下去，一直到在電子顯微鏡下觀察到原子，才又回到零度空間的點。那麼，這線球到底是零度空間、一度空間，還是三度空間？答案依個人觀點而異。
就自然界中複雜的形狀而言，空間是相對的。空間的定義隨著觀察者的角度而改變。同一個物體可隸屬於不同維度的空間，看你觀測的角度與用途為何。維度不必然是整數，也可以是分數。這樣的觀點賦予古老的空間觀念一個嶄新的定義。
維度不該是死板而一成不變的，而是應測量的需求而有所改變。那麼，你要怎麼測量某個東西呢？要量一條直線的長度，你可以用尺；要測量曲線，你可以用稍短的尺，順著曲線弧度一小段一小段地測量，然後將結果加總。用的尺越短，測量的結果就越準確，測得的長度也比較長（參見下面關於「碎形維度」的解說），當然過程較為繁瑣費時。隨著量尺越來越短，最後得到的結果最接近實際，我們就將此結果當做曲線的長度。
如果遇到曲折的鋸齒線或不規則曲線，該怎麼辦？蘇格蘭的海岸線又如何測量？可以用測量員的測量鏡，測量岬角與岬角間的距離，這是較粗略的方法。也可以用極長的軟尺測量點與點之間的距離，或者用碼尺、彎腳規或顯微鏡。但這都是白費工夫。嶙峋的海岸線跟圓滑曲線不同，測量結果往往因用途而異，並沒有一個「最好」的答案。隨著地圖比例尺的大小或政治動機的不同，測量結果也不一樣。
將近一個世紀之前，英國心理、物理學家路易斯．理查森（Lewis Fry Richardson）就曾針對這個問題加以研究。他根據官方資料上的國界長度測量結果進行研究，發現西班牙政府測量該國與葡萄牙的邊界長度是 987 公里，而葡萄牙政府的測量結果卻多達 1214 公里。至於荷蘭跟它那面積較小、經濟能力較差的鄰居比利時，荷蘭政府測得的邊界是 380 公里，而比利時政府則聲稱有 449 公里。
那麼，東西有多長？由上述例子可以看出，這個問題沒有多大意義。解決方法之一，是將不同長度的尺所測得的結果畫成圖表。當然了，測量的結果會隨著尺的長度縮短而增加。可喜的是，測量結果幾乎是以一定的比例增加。以一條直線為例：假設用來測量的第一把尺剛好跟該直線等長，第二次用的尺比較短，正好是直線的一半，因此測量結果是尺長的兩倍，第三把尺是上一把尺的一半長，因此測量結果直線是尺的四倍長，依此類推。
接著，測量前面提到的鋸齒狀海岸線。隨著使用的尺越來越短，我們可以觀察到不尋常的現象：
測量結果增加的幅度，要高過尺縮小的幅度。用來測量這個現象的度量衡，就叫做碎形維度（fractal dimension）。
從簡單的例子講起：一條直線的碎形維度是一，而直線正好屬於一度空間。然而，英國海岸線的碎形維度卻是 1.25。這講得通嗎？那當然！崎嶇的海岸線比一度空間的直線來得複雜，但不論海岸線多麼曲折，還不至於複雜如二度空間。
不只這樣。澳洲的海岸線沒有英格蘭西南部康瓦爾地區的那麼曲折，所以它的碎形維度只有 1.13。相形之下，平滑的南非海岸線碎形維度更低，只有 1.02，只比直線高一些。
河流是另一個很好的例子。美國地質調查局（U.S. Geological Survey）研究美國境內大型河流的路徑，發現東部的河流碎形維度大約是 1.2，西部曠野的河流則是 1.4。這項調查結果恰好符合大眾的認知——西部的科羅拉多河（Colorado River）蜿蜒曲折，而東部的查爾斯河（Charles River）較為平順。
再舉一例：觀察肺臟內部支氣管錯綜複雜的表面，這些表面的面積加起來足足有一個網球場那麼大，這些錯綜複雜表面的碎形維度將近三。這層薄膜非常彎曲、有很多皺褶，因此幾乎有如三度空間。
以上種種說明了什麼呢？一個新的度量工具誕生了，不是測量長度、重量、溫度或分貝，而是測量物體曲折或不規則的程度。終於，科學界有了第一個測量「不規則」形狀的工具。
本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》，早安財經出版社。
