史上最多產的數學家，歐拉忌日｜科學史上的今天：9/18

本文由 德州儀器 委託，泛科學企劃執行。

從 IC 之父 Jack Kilby 在德州儀器發明世上第一顆積體電路，到現在已過了 65 年，而這項科技已經成為我們的日常，並且還在不斷進步。德州儀器不僅是積體電路的先驅者，更長期投資氮化鎵 (GaN) 的電源應用，例如資料中心伺服器電源、再生能源、或是小體積的電源供應器等，開發許多獨創的電路結構。在已到來的次世代半導體浪潮中，德州儀器早已站穩了腳步，成為高壓半導體領域的領導者。

氮化鎵作為新材料的崛起，已成為充電領域的新寵，甚至打敗了傳統的矽 (Si) 基充電頭。然而，要充分發揮氮化鎵的潛力，需要量身定制相對應的策略和戰術。

何謂電路拓樸？電路設計要考量什麼？

拓樸電路是氮化鎵最好的後勤部隊，能讓它發揮 100% 的力量。但這個拓樸電路又是什麼呢？

先來談一下比較陌生的名詞「拓樸」。拓樸是幾何學中重要的概念，主要在研究物體在連續變化下時的不變性質。舉個數學家最愛的例子，就是研究如何把一個帶手把的馬克杯變成甜甜圈。這是什麼鬼題目？這就像問炭治郎什麼時候要開 5 檔，八竿子打不著吧？但對數學家來說，這個題目是可能的，因為帶手把的馬克杯和甜甜圈有個共通特徵，就是有一個洞！只要有這個共同特徵，我們確實就可以透過一系列的數學運算，將馬克杯變成甜甜圈。

舉例來說，漫威電影中班納博士變身成浩克，如果希望浩克的身上能看得出班納博士的影子，就必須用拓樸學先將班納博士的五官這些「特徵」定位好，製作成大家常看到有如網格的 3D 建模，變身成浩克時才不會整個走鐘（台語），臉部比例亂成一團。沒錯，拓樸解決的，是在兩種形狀間切換時，這些特徵與圖案的比例不會隨便亂跑，成為四不像的東西。

回到我們的氮化鎵電路，難道我們要利用拓樸學，把電路板的形狀變成一個甜甜圈或是浩克嗎?當然不是，這邊指的是用更少的元件、更低的延遲與漏電的設計，把相同功能的電路重新改寫配置。

簡單來說，電路拓樸就像是電路板上的藍圖，告訴我們如何把各種電子元件，比如電阻、電容、電感、電晶體等組織在一起，來完成我們想要的任務。

每種電路拓樸都有它的優點和適用的場合。例如，Buck轉換器可以將輸入的電壓降低，適合用在需要較低電壓的應用上。Boost轉換器則可以提升電壓，適合用在需要較高電壓的應用上。LLC轉換器具有高效率和寬輸入電壓範圍的特性，適合用在需要高效率和靈活性的應用上。PFC（Power Factor Correction）則是一種用來提高電源效率的技術，它可以使輸入電流與電壓同步，減少能量損失等等。

然而，這些都是以矽為主的拓樸電路，為了充分發揮氮化鎵百分之百的潛力，我們不能僅僅依賴傳統的電路設計方法和拓樸，而是要重新塑造！

GaN＋電路拓樸=最強？

那麼，我們要如何重新塑造才能全部發揮 GaN 的實力呢？讓我們以一種常見的電路拓樸—功率因數校正 PFC 為例。

PFC，是電路中的交通指揮，負責將電路中電流與電壓同步，以達到最佳的效率。在電訊號經過漫長電路之後，常常導致輸出的電流與電壓波形出現時間差，不再同步。我們知道功率等於電壓乘以電流，因此兩者好好配合，才能發揮最大效益，如果兩者沒有同步，就會降低整體電路的有效功率。

PFC 功率因數修正電路，現在看到在做的事情，就是讓它們好好同步，降低無謂的能量浪費。目前世界各地許多法規都直接要求在電路中加入 PFC，提升用電效率。

那麼問題來了，同樣是 PFC 電路拓樸，現在我們有兩種設計，下方的圖 1－雙升壓 PFC，跟下方圖 2－圖騰柱 PFC。

依照我們希望體積盡可能小的需求，直覺來說你要選哪一個呢？

當然是圖 2，因為他看起來比較簡單嘛。可惜的是，市面上大多矽基半導體的 PFC，都是選擇圖 1 方案。因為圖 2 方案的簡約設計，前提是關鍵的二極體必須具備低的「反向恢復時間」。

所謂反向恢復時間，指的是電晶體在電源切斷的瞬間，電晶體內仍有殘留電荷，會反向放電，造成電路阻塞。而矽基半導體過長的反向恢復時間，會導致電源損耗上升。反之，氮化鎵因為反向恢復時間為零，可以完全適應高效的圖騰柱 PFC。

這邊提到的 PFC 只是氮化鎵的其中一種運用，別忘了，除了零反向恢復時間外，它還有著能承受高電壓與高溫的特性，再加上低漏電率的關鍵被動技能，在目前的半導體戰場上，可說是最強的挑戰者。未來在各種電源供應器上，應該很快都能看見它的身影。

當然，講到這邊，都僅止在題本作答。在實際的晶片設計中，各元件間的距離與電路安排，都需要經過多次的試驗和調整，才能找到最適合的電路拓樸和元件配置，而這也正是德州儀器所擅長的領域。

德州儀器設計出的電源供應器，已經遍佈全世界的重要設備中。除了提供高效的能源供應，節省下的能源，也直接減少了許多碳排。根據估計，對一個 100 MW 的資料中心來說，換上 GaN FET 之後，就算只有提升 0.8% 的效率增益，在 10 年內就能節省多達 700 萬美元的能源成本。尤其在 AI、量子電腦等科技發展蓬勃的現在，在「節流」這一塊的投資，真的非常重要！

看到這鋰，如果你也想訓練這個「黑科技」氮化鎵，打造更強的電路、為世界的節能貢獻一份心力。或甚至像 IC 之父 Jack Kilby 那樣，發展全新的電路架構，做出足以改變世界的創舉，德州儀器歡迎所有熱血人才加入，一起來改變世界吧！

1783年的今天，76歲的歐拉與家人用完午餐後，與聖彼得堡科學院的同事討論剛發現的天王星，已失明多年的他仍能在腦中計算其運行軌道。突然間，歐拉倒地不起，幾個小時後，這位數學界仰之彌高的巨人因腦出血離開人世。法國數學家與哲學家孔多塞（Marquis de Condorcet）聞訊寫下著名的感嘆：「他停止了計算與生命」。

是的，直到此刻，史上最多產的數學家才停止計算（註）。他一生持續不間斷地以無窮的精力產出數學論文，若集結成冊可達80巨冊，相當於每年可寫出800頁；尤其難能可貴的是，其中有一半是他在1766年近乎全盲後，以驚人的記憶力與心算能力完成的。

出生於瑞士的歐拉就讀巴塞爾大學時，主修的是哲學與法律，只有在周末下午跟隨老白努利（Johann Bernoulli, 兒子丹尼爾·白努利發現白努利定律）學習數學。老白努利很快發現歐拉的數學天分，說服他父親不要再逼他當牧師，保證歐拉一定會成為偉大的數學家。

1727年，在丹尼爾·白努利的推薦下，歐拉來到聖彼得堡的俄羅斯帝國科學院任職；後因俄國持續動亂，於1741年轉往柏林的普魯士科學院。待了二十五年後，在凱薩琳女皇的重金邀請下，於1766重返聖彼得堡，一直待到過世為止。

歐拉不但著作浩瀚，在各個領域也都留下開創性的巨大貢獻，例如函數的概念就是他率先引進的，他還發現指數函數與三角函數的關聯（稱為「歐拉公式」）；他解決「過橋問題」（也就是一筆畫問題）、發現凸多邊形頂點、邊、面三者之間的數量關係，因而開創了圖論與拓樸學；數獨遊戲也是源自他的發明。在物理方面，他對流體力學、剛體運動、天文學也都做出貢獻。

如今數學不同領域幾乎都可見到以歐拉為名的常數、公式或定理，可見其影響力的深度與廣度。目前許多常用的數學符號也都是他的傑作，如函數符號f(x)、以e代表自然對數的底、以i代表虛數、以Σ表示加總，就連π代表圓周率也是自他引用之後才普及。

在所有歐拉發現的公式中，「歐拉恆等式」最為精簡，卻也最為優美：五個最基本的數學常數就這麼巧妙而不可思議地結合在一起，猶如天上最閃亮而神祕的星座。費曼譽之為「最無與倫比的數學公式」，相信這也是每個看見它的人，心中自然湧現的讚嘆。

e^iπ＋1＝0

註：雖然後來艾狄胥（Paul Erdős）的論文數量超越歐拉，但他很多論文都是與別人合著，若論個人的產量，歐拉還是第一。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？

形狀百百種，可以量化嗎？

當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：

這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

《論語》〈鄉黨〉裡，關於吃飯的規定，超—級—多—！！「食不厭精，膾不厭細。食饐而餲，魚餒而肉敗，不食。色惡不食，臭惡不食。失飪不食，不時不食。割不正不食，不得其醬不食。肉雖多，不使勝食氣。唯酒無量，不及亂。沽酒市脯不食。不撤薑食，不多食。祭於公，不宿肉。祭肉不出三日，出三日，不食之矣。食不語，寢不言。雖疏食菜羹瓜祭，必齊如也。」^[1]吼～這麼囉嗦，有本事自己來啊！

有些男人激不得。

物理學家 Mathieu Sellier 與 Edouard Boujo 就因為前者的妻子提出挑戰，而用電腦運算出最佳烹調模型，還在 2019 年的《物理評論流體》（Physical Review Fluids）期刊上，分享成果，造福饕客。^{[2, 3, 4]}全文第一句話，是這麼說的：「本論文研究固化流體薄膜，受制於複雜的運動學，在固體表面的流動…」，^{[5, 6]}意思是「我們要教大家做可麗餅。」

完美可麗餅的定義

撇開二位科學家基於品味差異，而無法達成共識的餡料不談，^[2]這個研究中，可麗餅的最高境界，被定義為「厚度均勻，無孔洞，且呈現完美圓形」。^{[6, 7]}要在自家廚房，達成此終極目標，通常會遇上難題：當麵糊在鍋底鋪開，同時也會逐漸被煮熟。如果水平放置鍋子，麵糊便在平均地觸及鍋緣之前固化。為避免這個問題，一般有兩種常見的解決辦法：第一種是用刀具迫使麵糊在鍋中散開，類似刮刀塗層的動作；另個做法則是將鍋子傾斜旋轉，令麵糊往低處流動。^[6]

運算製作可麗餅的模型

二位科學家採用「伴隨優化」（adjoint optimisation）的數學方法，描述流體在活動容器中的運動，模擬以最小施力，鋪出最平坦的可麗餅。^{[7, 8]}其中考慮的因素，包含：以通過鍋子圓心的縱軸為中心運動；藉重力鋪開麵糊；以及隨溫度改變濃度的麵糊與旋轉中的鍋子的互動。^[3]經過一番（讓人反胃的）計算過程，他們找到最佳的做法：先快速翻動鍋子，然後在煮的過程中，緩慢旋轉。^[7]

詳細的技巧，如下：一倒入麵糊，就馬上以陡峭的角度傾斜鍋子，把液體逼到邊緣。接著，手腕輕扭，轉鍋子一圈，確保麵糊完整鋪滿底部。在轉動的時候，傾斜的角度得逐漸縮小，轉速也隨著麵糊固化而趨緩。當覆蓋動作完成，鍋子也恢復水平狀態。^{[4, 7, 8]}

圖中，深紅處麵糊最厚，深藍則最薄。可麗餅的製作流程，由左上開始，先向下，再依序往中、右二欄進行。^[7]

起初濃厚的（紅色）麵糊被推向鍋子的右上緣，把稀薄的（淺藍）剩料拋在後頭。然而隨著順時鐘的轉動，麵糊逐漸勻稱地分佈於整個鍋底。^[7]

_{圖／參考資料 6，figure 6}

做鬆餅救眼疾

科學家們之所以對餅皮類食物的製作如此著迷，是因為類似的手法不僅能生產巧克力，幫智慧型手機螢幕鍍膜，^[4]還可以懸壺濟世。2016 年倫敦大學學院（University College London）在 YouTube 上，也發佈了一個看似玩物喪志的作品。全長約 5 五分鐘的影片裡，前 4 分鐘幾乎都在以嚴謹的態度，講述鬆餅（此指 pancake，而非 waffle）的製作。到了最後卻話鋒一轉，道出製餅技術與眼疾治療的關係。原來手術中控制眼睛內部液體外流的皮瓣（surgical flaps），就要倚靠類似的原理來研發。^[9]

救世的精神，於是賦予了科學家一個精進廚藝的學術使命。

1. 論語/鄉黨第十（維基文庫）
2. Making the Perfect Crêpe (APS Physics, 2019)
3. The hard-hitting science behind crepes and beauty pageants (Chemical & Engineering News, 2019)
4. Using fluid dynamics to perfect crêpe cooking techniques (Phys.org, 2019)
5. Boujo E and Sellier M. (2019) ‘Pancake making and surface coating: Optimal control of a gravity-driven liquid film’. Physical Review Fluids, 4, 064802.
6. Boujo E and Sellier M. (2019) ‘Pancake making and surface coating: Optimal control of a gravity-driven liquid film’. arXiv
7. Physicists Think They’ve Finally Found the Trick to Making Perfect Crepes (Science Alert, 2019)
8. A computer model explains how to make perfectly smooth crepes (Science News, 2019)
9. Understanding the physics of pancakes to save sight (University College Lodon on YouTube, 2016)