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史上最多產的數學家,歐拉忌日|科學史上的今天:9/18

張瑞棋_96
・2015/09/18 ・1047字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 545 ・八年級

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1783年的今天,76歲的歐拉與家人用完午餐後,與聖彼得堡科學院的同事討論剛發現的天王星,已失明多年的他仍能在腦中計算其運行軌道。突然間,歐拉倒地不起,幾個小時後,這位數學界仰之彌高的巨人因腦出血離開人世。法國數學家與哲學家孔多塞(Marquis de Condorcet)聞訊寫下著名的感嘆:「他停止了計算與生命」。

是的,直到此刻,史上最多產的數學家才停止計算(註)。他一生持續不間斷地以無窮的精力產出數學論文,若集結成冊可達80巨冊,相當於每年可寫出800頁;尤其難能可貴的是,其中有一半是他在1766年近乎全盲後,以驚人的記憶力與心算能力完成的。

出生於瑞士的歐拉就讀巴塞爾大學時,主修的是哲學與法律,只有在周末下午跟隨老白努利(Johann Bernoulli, 兒子丹尼爾·白努利發現白努利定律)學習數學。老白努利很快發現歐拉的數學天分,說服他父親不要再逼他當牧師,保證歐拉一定會成為偉大的數學家。

1727年,在丹尼爾·白努利的推薦下,歐拉來到聖彼得堡的俄羅斯帝國科學院任職;後因俄國持續動亂,於1741年轉往柏林的普魯士科學院。待了二十五年後,在凱薩琳女皇的重金邀請下,於1766重返聖彼得堡,一直待到過世為止。

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歐拉不但著作浩瀚,在各個領域也都留下開創性的巨大貢獻,例如函數的概念就是他率先引進的,他還發現指數函數與三角函數的關聯(稱為「歐拉公式」);他解決「過橋問題」(也就是一筆畫問題)、發現凸多邊形頂點、邊、面三者之間的數量關係,因而開創了圖論與拓樸學;數獨遊戲也是源自他的發明。在物理方面,他對流體力學、剛體運動、天文學也都做出貢獻。

如今數學不同領域幾乎都可見到以歐拉為名的常數、公式或定理,可見其影響力的深度與廣度。目前許多常用的數學符號也都是他的傑作,如函數符號f(x)、以e代表自然對數的底、以i代表虛數、以Σ表示加總,就連π代表圓周率也是自他引用之後才普及。

在所有歐拉發現的公式中,「歐拉恆等式」最為精簡,卻也最為優美:五個最基本的數學常數就這麼巧妙而不可思議地結合在一起,猶如天上最閃亮而神祕的星座。費曼譽之為「最無與倫比的數學公式」,相信這也是每個看見它的人,心中自然湧現的讚嘆。

e+1=0

註:雖然後來艾狄胥(Paul Erdős)的論文數量超越歐拉,但他很多論文都是與別人合著,若論個人的產量,歐拉還是第一。

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本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

文章難易度
張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 953 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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揭開 GaN 的力量:理解電路拓樸在設計中的重要性
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/08/31 ・2948字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文由 德州儀器 委託,泛科學企劃執行。

從 IC 之父 Jack Kilby 在德州儀器發明世上第一顆積體電路,到現在已過了 65 年,而這項科技已經成為我們的日常,並且還在不斷進步。德州儀器不僅是積體電路的先驅者,更長期投資氮化鎵 (GaN) 的電源應用,例如資料中心伺服器電源、再生能源、或是小體積的電源供應器等,開發許多獨創的電路結構。在已到來的次世代半導體浪潮中,德州儀器早已站穩了腳步,成為高壓半導體領域的領導者。

氮化鎵作為新材料的崛起,已成為充電領域的新寵,甚至打敗了傳統的矽 (Si) 基充電頭。然而,要充分發揮氮化鎵的潛力,需要量身定制相對應的策略和戰術。

何謂電路拓樸?電路設計要考量什麼?

拓樸電路是氮化鎵最好的後勤部隊,能讓它發揮 100% 的力量。但這個拓樸電路又是什麼呢?

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先來談一下比較陌生的名詞「拓樸」。拓樸是幾何學中重要的概念,主要在研究物體在連續變化下時的不變性質。舉個數學家最愛的例子,就是研究如何把一個帶手把的馬克杯變成甜甜圈。這是什麼鬼題目?這就像問炭治郎什麼時候要開 5 檔,八竿子打不著吧?但對數學家來說,這個題目是可能的,因為帶手把的馬克杯和甜甜圈有個共通特徵,就是有一個洞!只要有這個共同特徵,我們確實就可以透過一系列的數學運算,將馬克杯變成甜甜圈。

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在拓樸學中,有一個手把的馬克杯和甜甜圈是相同的。圖/wikimedia

舉例來說,漫威電影中班納博士變身成浩克,如果希望浩克的身上能看得出班納博士的影子,就必須用拓樸學先將班納博士的五官這些「特徵」定位好,製作成大家常看到有如網格的 3D 建模,變身成浩克時才不會整個走鐘(台語),臉部比例亂成一團。沒錯,拓樸解決的,是在兩種形狀間切換時,這些特徵與圖案的比例不會隨便亂跑,成為四不像的東西。

Final product image
用拓樸學先將班納博士的特徵定位好,製作成大家常看到有如網格的 3D 建模。出處:tutsplus

回到我們的氮化鎵電路,難道我們要利用拓樸學,把電路板的形狀變成一個甜甜圈或是浩克嗎?當然不是,這邊指的是用更少的元件、更低的延遲與漏電的設計,把相同功能的電路重新改寫配置。

簡單來說,電路拓樸就像是電路板上的藍圖,告訴我們如何把各種電子元件,比如電阻、電容、電感、電晶體等組織在一起,來完成我們想要的任務。

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每種電路拓樸都有它的優點和適用的場合。例如,Buck轉換器可以將輸入的電壓降低,適合用在需要較低電壓的應用上。Boost轉換器則可以提升電壓,適合用在需要較高電壓的應用上。LLC轉換器具有高效率和寬輸入電壓範圍的特性,適合用在需要高效率和靈活性的應用上。PFC(Power Factor Correction)則是一種用來提高電源效率的技術,它可以使輸入電流與電壓同步,減少能量損失等等。

Boost轉換器。出處:德州儀器
Buck轉換器。出處:德州儀器

然而,這些都是以矽為主的拓樸電路,為了充分發揮氮化鎵百分之百的潛力,我們不能僅僅依賴傳統的電路設計方法和拓樸,而是要重新塑造!

GaN+電路拓樸=最強?

那麼,我們要如何重新塑造才能全部發揮 GaN 的實力呢?讓我們以一種常見的電路拓樸—功率因數校正 PFC 為例。

PFC,是電路中的交通指揮,負責將電路中電流與電壓同步,以達到最佳的效率。在電訊號經過漫長電路之後,常常導致輸出的電流與電壓波形出現時間差,不再同步。我們知道功率等於電壓乘以電流,因此兩者好好配合,才能發揮最大效益,如果兩者沒有同步,就會降低整體電路的有效功率。

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高功率因數。出處:wikimedia
低功率因數。出處:wikimedia

PFC 功率因數修正電路,現在看到在做的事情,就是讓它們好好同步,降低無謂的能量浪費。目前世界各地許多法規都直接要求在電路中加入 PFC,提升用電效率。

那麼問題來了,同樣是 PFC 電路拓樸,現在我們有兩種設計,下方的圖 1-雙升壓 PFC,跟下方圖 2-圖騰柱 PFC。

圖 1、雙升壓 PFC。出處:德州儀器
圖 2、無橋接式圖騰柱 PFC。出處:德州儀器

依照我們希望體積盡可能小的需求,直覺來說你要選哪一個呢?

當然是圖 2,因為他看起來比較簡單嘛。可惜的是,市面上大多矽基半導體的 PFC,都是選擇圖 1 方案。因為圖 2 方案的簡約設計,前提是關鍵的二極體必須具備低的「反向恢復時間」。

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所謂反向恢復時間,指的是電晶體在電源切斷的瞬間,電晶體內仍有殘留電荷,會反向放電,造成電路阻塞。而矽基半導體過長的反向恢復時間,會導致電源損耗上升。反之,氮化鎵因為反向恢復時間為零,可以完全適應高效的圖騰柱 PFC。

這邊提到的 PFC 只是氮化鎵的其中一種運用,別忘了,除了零反向恢復時間外,它還有著能承受高電壓與高溫的特性,再加上低漏電率的關鍵被動技能,在目前的半導體戰場上,可說是最強的挑戰者。未來在各種電源供應器上,應該很快都能看見它的身影。

當然,講到這邊,都僅止在題本作答。在實際的晶片設計中,各元件間的距離與電路安排,都需要經過多次的試驗和調整,才能找到最適合的電路拓樸和元件配置,而這也正是德州儀器所擅長的領域。

德州儀器設計出的電源供應器,已經遍佈全世界的重要設備中。除了提供高效的能源供應,節省下的能源,也直接減少了許多碳排。根據估計,對一個 100 MW 的資料中心來說,換上 GaN FET 之後,就算只有提升 0.8% 的效率增益,在 10 年內就能節省多達 700 萬美元的能源成本。尤其在 AI、量子電腦等科技發展蓬勃的現在,在「節流」這一塊的投資,真的非常重要!

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看到這鋰,如果你也想訓練這個「黑科技」氮化鎵,打造更強的電路、為世界的節能貢獻一份心力。或甚至像 IC 之父 Jack Kilby 那樣,發展全新的電路架構,做出足以改變世界的創舉,德州儀器歡迎所有熱血人才加入,一起來改變世界吧!

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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圓形 = 三角形?形狀之間的秘密關係——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/27 ・1427字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?

形狀百百種,可以量化嗎?

當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:

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世界上有多少形狀?圖/經濟新潮社

這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。

我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社
我們可以試著畫出一些形狀。圖/經濟新潮社

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

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決定兩個形狀是否相同的規則相當多。圖/經濟新潮社

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。

所以三角形可以等於圓形。圖/經濟新潮社




——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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製作完美可麗餅的終極物理廚技
胡中行_96
・2022/07/04 ・1882字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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《論語》〈鄉黨〉裡,關於吃飯的規定,超—級—多—!!「食不厭精,膾不厭細。食饐而餲,魚餒而肉敗,不食。色惡不食,臭惡不食。失飪不食,不時不食。割不正不食,不得其醬不食。肉雖多,不使勝食氣。唯酒無量,不及亂。沽酒市脯不食。不撤薑食,不多食。祭於公,不宿肉。祭肉不出三日,出三日,不食之矣。食不語,寢不言。雖疏食菜羹瓜祭,必齊如也。」[1]吼~這麼囉嗦,有本事自己來啊!

有些男人激不得。

  

為了吃,您願意付出多少努力?圖/Monika Grabkowska

  

物理學家 Mathieu SellierEdouard Boujo 就因為前者的妻子提出挑戰,而用電腦運算出最佳烹調模型,還在 2019 年的《物理評論流體》(Physical Review Fluids)期刊上,分享成果,造福饕客。[2, 3, 4]全文第一句話,是這麼說的:「本論文研究固化流體薄膜,受制於複雜的運動學,在固體表面的流動…」,[5, 6]意思是「我們要教大家做可麗餅。

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完美可麗餅的定義

撇開二位科學家基於品味差異,而無法達成共識的餡料不談,[2]這個研究中,可麗餅的最高境界,被定義為「厚度均勻,無孔洞,且呈現完美圓形」。[6, 7]要在自家廚房,達成此終極目標,通常會遇上難題:當麵糊在鍋底鋪開,同時也會逐漸被煮熟。如果水平放置鍋子,麵糊便在平均地觸及鍋緣之前固化。為避免這個問題,一般有兩種常見的解決辦法:第一種是用刀具迫使麵糊在鍋中散開,類似刮刀塗層的動作;另個做法則是將鍋子傾斜旋轉,令麵糊往低處流動。[6]

  

運算製作可麗餅的模型

二位科學家採用「伴隨優化」(adjoint optimisation)的數學方法,描述流體在活動容器中的運動,模擬以最小施力,鋪出最平坦的可麗餅。[7, 8]其中考慮的因素,包含:以通過鍋子圓心的縱軸為中心運動;藉重力鋪開麵糊;以及隨溫度改變濃度的麵糊與旋轉中的鍋子的互動。[3]經過一番(讓人反胃的)計算過程,他們找到最佳的做法:先快速翻動鍋子,然後在煮的過程中,緩慢旋轉。[7]

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詳細的技巧,如下:一倒入麵糊,就馬上以陡峭的角度傾斜鍋子,把液體逼到邊緣。接著,手腕輕扭,轉鍋子一圈,確保麵糊完整鋪滿底部。在轉動的時候,傾斜的角度得逐漸縮小,轉速也隨著麵糊固化而趨緩。當覆蓋動作完成,鍋子也恢復水平狀態。[4, 7, 8]

圖中,深紅處麵糊最厚,深藍則最薄。可麗餅的製作流程,由左上開始,先向下,再依序往中、右二欄進行。[7]

起初濃厚的(紅色)麵糊被推向鍋子的右上緣,把稀薄的(淺藍)剩料拋在後頭。然而隨著順時鐘的轉動,麵糊逐漸勻稱地分佈於整個鍋底。[7]

圖/參考資料 6,figure 6

  

製作鬆餅的技巧,也受到科學家的重視。來源:參考資料 9

  

做鬆餅救眼疾

科學家們之所以對餅皮類食物的製作如此著迷,是因為類似的手法不僅能生產巧克力,幫智慧型手機螢幕鍍膜,[4]還可以懸壺濟世。2016 年倫敦大學學院(University College London)在 YouTube 上,也發佈了一個看似玩物喪志的作品。全長約 5 五分鐘的影片裡,前 4 分鐘幾乎都在以嚴謹的態度,講述鬆餅(此指 pancake,而非 waffle)的製作。到了最後卻話鋒一轉,道出製餅技術與眼疾治療的關係。原來手術中控制眼睛內部液體外流的皮瓣(surgical flaps),就要倚靠類似的原理來研發。[9]

救世的精神,於是賦予了科學家一個精進廚藝的學術使命。

  

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參考資料

  1. 論語/鄉黨第十(維基文庫)
  2. Making the Perfect Crêpe (APS Physics, 2019)
  3. The hard-hitting science behind crepes and beauty pageants (Chemical & Engineering News, 2019)
  4. Using fluid dynamics to perfect crêpe cooking techniques (Phys.org, 2019)
  5. Boujo E and Sellier M. (2019) ‘Pancake making and surface coating: Optimal control of a gravity-driven liquid film’. Physical Review Fluids, 4, 064802.
  6. Boujo E and Sellier M. (2019) ‘Pancake making and surface coating: Optimal control of a gravity-driven liquid film’. arXiv
  7. Physicists Think They’ve Finally Found the Trick to Making Perfect Crepes (Science Alert, 2019)
  8. A computer model explains how to make perfectly smooth crepes (Science News, 2019)
  9. Understanding the physics of pancakes to save sight (University College Lodon on YouTube, 2016)
胡中行_96
169 篇文章 ・ 65 位粉絲
曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。