文／張明強副教授｜國立中興大學物理系
2016 年 10 月 4 日，諾貝爾物理獎頒給美國華盛頓大學的 David J. Thouless , 布朗大學的 J. Michael Kosterlitz 和普林斯頓大學的 Duncan M. Haldane，三位得獎人均為英國出身。得獎的理由是「拓樸相變和拓樸物質的理論研究發現。（For theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter） 」
拓樸性質起源於數學的研究，也就是在幾何學之外，研究物體被連續變化（比如說延展或彎曲），在不撕開或黏合或挖洞的狀況下，如何從一種幾何形狀變成另外一種幾何形狀的研究。
舉例來說一顆球和一個四方體拓樸性質一樣，可以想像球體不斷的變化之後，就可以變成四方體；而中間有一個洞的甜甜圈，拓樸性質和咖啡杯拓樸性質一樣，因為經過連續變化，甜甜圈可以變成有一個洞把手的咖啡杯。
本來拓樸學和物理學關連並不大，直到 Thouless 和 Kosterlitz 開始研究二維古典系統的二階相變，事情才開始變化。在他們的研究之前，一般人對二階相變的了解，都是來自於金寺堡－藍道定理（Ginzburg-Laudau Theorem）。我們可以考慮一個磁性系統，鐵磁的產生是要有所有小磁鐵磁場指向同一個方向，而順磁性的相態來自於小磁鐵磁場的方向都不一樣，平均起來磁性就為零，我們稱這種小磁鐵磁場都指向同一方向為「對稱性破缺 （Symmetry breaking）」。金寺堡－藍道定理完全奠基於對稱性破缺。而二維古典系統，基本上在有溫度的情形下，因為熱漲落 （thermal fluctuation）非常強大，所以沒法形成對稱性破缺，因此大家的認定是不會有相變的存在。
這樣的情形也可以由物理量的相關性（correlation）來理解。同樣考慮磁性系統，我們可以考慮相距離很遠的小磁鐵（也稱為自旋）彼此間的相關性，相關性可以理解為當我改變一個自旋，另一個（遠距離）自旋跟著改變的量。我們發現三維鐵磁性（也就是有對稱性破缺）的相態中，兩個距離相當遠的自旋量相關性是一個常數。但在二維磁性系統裡，遠距離自旋相關性會慢慢接近零。且慢，接近零有兩種接近的方式，一種是多項式的接近零，一種是指數的接近零，多項式的接近零（比如說 r-2） 比指數的接近零（比如說 e-r） 要來的慢許多，因此這裡面暗藏著玄機。
Kosterlitz 和 Thouless 發現，非常低溫的時候，是多項式的接近零。遠距離鐵磁的相關性是多項式的接近零。然後慢慢增高溫度，系統會產生渦漩，而且不是一個一個產生，每次產生都成對，而且方向相反。我們稱為正渦漩或反渦漩，見圖一。正反渦漩會成對出現成對，剛開始出現不會影響鐵磁的相關性，但溫度越高，渦漩越來越多，溫度高到一個程度，渦漩不再成對出現，而是單獨出現，且渦漩改變遠距離鐵磁的相關性，從多項式變成指數接近零。這樣的相變，並不會有對稱性破缺，而是相關性的改變，我們稱為「KT 相變」，圖 1 顯示的就是這樣的相變圖。
渦漩其實就是一種拓樸態，就像颱風一樣，渦漩有一個很像颱風眼的構造，此種構造就是類似甜甜圈的洞，我們稱為奇點，見圖中放大區域。Thouless 和 Kosterlitz 是第一位利用拓樸性質來解釋相變。 後來發現不管在一為或二維系統，比如說超流體相變，KT 相變非常重要。也解釋很多低維度系統相變得產生，改變人們對相變的了解。
拓樸物質其實不容易發現，「量子整數霍爾效應」和「分數霍爾效應」在八零年代一一被發現，而且獲頒諾貝爾物理獎。Thouless 也持續對拓樸態有進一步的了解，尤其是量子霍爾效應的解釋。Thouless 藉由對於拓樸學的了解，將量子霍爾效應跟所謂的「陳省生數」（Chern Number）連結起來。陳省生數可以類比為幾何體有多少個洞，而電子的導電率正比於陳省生數，也就是洞的數目，見圖 2。由此增進對拓樸物理學的深層了解，因此他獲頒此次諾貝爾物理獎一半的獎金。
量子整數和分數霍爾效應這兩種物質都需要磁場形成藍道層。Ducan Haldane 在八零年代提出思考一個問題，就是能不能不用均勻磁場，保持移動對稱性來形成霍爾效應。他提出一個簡單的模型，就是在六角蜂巢模型中技巧加入次近鄰的作用力，如圖 3，破壞時間反轉對稱性 (time reversal symmetry) ，就可以不用加均勻磁場產生陳省生數等於一或負一的霍爾效應。
Haldane 另一個重要的貢獻，是發現一維系統的磁性拓樸系統。低維度系統，尤其是低維度的量子系統，量子效應要比三維系統來得大。Haldane 首先意識到，一維的磁性系統，由於量子漲落（quantum fluctuation）或是量子糾纏（quantum entanglement）非常大，因此產生奇特的現象。因此他開始提出自旋量為一的一維磁性系統，發現這個系統具有拓樸性質，稱為 Haldane 相態。這是第一個用理論提出的拓樸材質，而且馬上被實驗驗證。這種拓樸材質非常穩定，具有某些對稱性，也就是說一些雜訊只要不破壞這種對稱性，並不會改變拓樸性質，因此我們稱為這樣的相態是「對稱性保護的拓樸相態 （Symmetry protected topological phases） 」。
這就是拓樸相態的重要性。量子電腦需要用到量子訊息，可惜的是，量子訊息常常因為雜訊一下子就不見，因此我們如果要用到很多量子位元，保持量子訊息很重要。拓樸態，舉例來說，像是一個有洞的物質，而這些洞可以拿來作為量子位元。舉例來說，我們有一個麵團做的甜甜圈，我們的手可以去改變甜甜圈的形狀，但只要不把洞黏起來，或是打另一個洞，不管我們怎麼捏，一個洞還是保持在那。我們可以想像，雜訊就好像我們的手亂捏，會改變甜甜圈的樣子，但洞永遠在那，也就是拓樸性質永遠不變，這樣的拓樸材質非常適合來當做量子電腦的量子位元。
墊基於這三位物理學家的研究基礎，在最近的十多年，大量的拓樸物質在實驗上被製造與發現，比如說拓樸絕緣體（Topological Insulators），拓樸超導體（Topological superconductors）， 和外爾半導體（Weyl Semimetal）。這些新的奇異拓樸物質的發現，大大延展人類可能的科技發展，增加量子電腦的可能性，因此獲頒諾貝爾物理學獎的殊榮。
本文摘自《物理雙月刊》38 卷 12 月號 ，更多文章請見物理雙月刊網站。
