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曼德博誕辰|科學史上的今天:11/20

張瑞棋_96
・2015/11/20 ・931字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 530 ・七年級

英國的海岸線有多長?這個由波蘭裔數學家曼德博在1967年的論文中所提出,乍看之下應該去問地理學家的簡單問題,不但有個出人意表的答案,還開啟了一個全新的數學分支──碎形,它將應用在各種不同領域,挖掘出複雜表象下的共同型態。

圖片來源:wikipedia

事實上,當時大概沒有多少人同意曼德博可以稱為數學家,雖然他拿的是數學博士,但並未留在學術圈,而是選擇落腳在IBM的研究中心。除了幫工程師分析電腦通訊的雜訊問題之外,他的研究範圍看來也雜亂無章,從收入高低的分布、棉花的歷史價格,到河川氾濫的頻率、語言結構,根本就像個漫無目標的野武士。但曼德博內心覺得其中隱約還是有某種關聯,他順從直覺,繼續鑽研。

然後有一天,一切都變得有意義。雜訊頻率、收入分布、棉花價格、氾濫次數,這些看似毫無交集的歷史數據用電腦繪製出來後,竟出現驚人的共通性!它們的數字高高低低難以預測,但它們在不同尺度上都宛如自我模仿般呈現極為相似的曲折變化。以雜訊來說,無論是以每小時或是每十分鐘、每分鐘為單位,所畫出來的曲線圖看起來都毫無二致;換個說法,想像你在平板電腦上把曲線圖的某一區間放大,接著再任選一段放大……,無論在哪個階段所看到的圖形幾乎都一樣。

曼德博在1975年將具有這種特性的幾何結構命名為「碎形」。回到一開始的問題,英國的海岸線有多長?這要看你的量尺長短而定。因為海岸線也是碎形,只要量尺夠小,你就可以一直往下量,長度就會無限延長(注意:並非收斂級數喔),直到分子的尺度為止。

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碎形處處可見。河流、樹枝、血管由粗到細的分歧與擴展是碎形幾何;地震、心跳、股市也是依碎形規律分布。於是地質學家、生物學家、物理學家、化學家、大型工業、金融機構都紛紛運用碎形來分析研究的對象。曼德博不但在實務面成為搖滾巨星,在學術圈,他也因為開創碎形幾何,並且另闢研究方法,利用電腦將資料視覺化以提升洞察力,而從一個不被正視的邊緣人物搖身一變成為學術研究的先驅。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 1030 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

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工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

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為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

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可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

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2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

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軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

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用積木創作,進行空間的四則運算──《轉幾.轉積.轉機:吳寬瀛積木幾何創作展》臺灣在地的數學藝術展
Sharkie Lin_96
・2017/12/23 ・3888字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 499 ・六年級

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「木刻是減法,泥塑是加法,積木可以加減乘除!」– 吳寬瀛

積木是空間體操,雙手與大腦合力思考,掙脫被紙筆測驗困住的平面。以兒時熱愛的積木為素材,吳寬瀛老師在指間進行空間的四則運算,讓抽象深奧的數學化為具體可見的雕塑,排列組合出幾何造型的無限可能。

自 12 月 1 日開展的《轉幾.轉積.轉機:吳寬瀛積木幾何創作展》「轉幾.轉積.轉機」為主題,透過「平面幾何」與「立體幾何」兩種維度,呈現吳寬瀛老師充滿想像力的幾何創作,期待觀者從中感受創作的純粹與熱情,發掘數學的理性與感性。

展場設置積木體驗區,讓我們放下手機,與吳寬瀛老師一起翻「轉幾」何、玩「轉積」木,找尋屬於自己的「轉機」,喚回天真爛漫的赤子之心吧。

國內近來相當多積木展,像是奈森.薩瓦亞(Nathan Sawaya)的《潮!積木》以及西恩·肯尼(Sean Kenney)的《動物大奇積》創作,這回我要來介紹的展覽《轉幾.轉積.轉機》同樣精彩,是國內幾何雕塑家吳寬瀛老師的積木幾何創作展,也是繼上回介紹《多面自造》展後,嘉義大學委託我們策劃的第二檔數學藝術展。

這一檔我們推出可轉可翻可玩的超可愛文宣,對摺以後翻開來變成藍色「轉幾」,轉正後對摺翻轉文宣後得到黃色「轉積」,紅色「轉機」設計則是由木構作品而來,示範影片在此:

《轉幾.轉積.轉機》到底在轉什麼呢?展覽作品分成平面幾何與立體幾何兩種維度,其中立體幾何包含積木與木構作品,平面幾何包含各式對稱圖樣與多邊形,接下來我們就來介紹一些這次展覽吳寬瀛老師的TICO積木創作吧!

玩轉積木!TICO積木創作作品

門格爾海綿(Menger Sponge)為立體碎形的經典代表,每一面都是謝爾賓斯基地毯,不同尺度縮放自如依舊自我相似為碎形的重要特性。下圖為吳老師親自拆解門格爾海綿,讓大家知道如何以模組化的積木堆疊方式創作。

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〈門格爾海綿〉。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

下圖左方兩件相似卻不同的碎形作品,是吳老師展覽以來首次背對背擺放在一起,方便大家在展場比較異同之處。這兩件作品的特點是只要觀看的視角改變,看到的形狀也會跟著變換,像是從作品前方會看到三角形,從作品上方則會發現原來是正方形組成的。

相較於下圖左方兩件作品的實體碎形,右方看起來像是兩個金字塔上下接在一起的作品,則是以空隙中的陰影呈現自我相似的碎形,此件幾何藝術作品以光影探討明暗、虛實、陰陽等概念;吳寬瀛老師的作品中除了強調造型本身,影子更是作品不可或缺的一部份。

碎形作品。圖片來源:轉幾‧轉積‧轉機

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金字塔-碎形系列創作。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

〈99乘法變形〉為吳寬瀛老師最近探討數與形的新創作,由四個九乘九矩陣加上最高點十乘十組合而成,其高度為兩個數字乘積後的值。我對這件作品特別有共鳴,因為吠陀方形吠陀立方兩者的數學原理皆是從九九乘法表延伸而來。

〈99乘法變形〉。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

別以為積木組出的造型就只能是方方正正的,吳老師用突破框架的想像力和特殊的連結方式,讓積木轉彎了,以下是顛覆想像的曲線系列:

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曲線系列。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

除了精彩的立體作品之外,還有一件特殊的平面作品可以讓觀眾動手操作翻玩,甚至可以讓正方形斜斜地相互卡住,讓不同大小的正方形邊長形成曲線,類似蛇形藝廊2002設計概念,有趣到難以用言語形容,還好有吳寬瀛老師親自示範的影片可看:

圖片來源:轉幾.轉積.轉機

積木創作區展場照。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

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這次展覽不只積木幾何創作,吳寬瀛老師還加碼展出木構創作如下,像是這件以〈費氏數列〉 1,1, 2, 3, 5, 8為立方體邊長的可拆解作品,除了形狀很有美感,老師也使用了質樸的材質。第一次看見這件作品的時候聯想到臺北二二八公園的紀念碑,但其實兩者並不相同。

〈費氏數列〉。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

吳寬瀛老師的作品不僅造型優美,從木構作品的卡榫、導角等小細節,都可以看出吳老師紮實的木工基礎,上一檔展覽《多面自造》的展場木工為吳老師親自操刀,2017數學年會的紀念品「有秩序的糾纏」材料包是由老師及林義強老師共同設計,再由吳老師製作。

〈砲城〉為碎形系列創作。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

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從這個角度看〈螺旋線〉,還以為漂浮在空中呢!圖片來源:轉幾.轉積.轉機

木構創作區展場照。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

這次展覽呈現了吳寬瀛老師巧妙連結數學與童趣經驗的「轉積」,以及融合結構力學與美學的「轉幾」,接下來我們就來聊聊積木是如何成為藝術家一生的「轉機」。

三歲開始玩積木成為人生轉機

圖片來源:吳寬瀛藝術工作室

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吳寬瀛,1958年出生於新竹,現居住與工作於高雄,臺灣著名幾何雕塑家。

為延續從3歲開始對積木的熱情而成為教師,27歲進入大學就讀,畢業於國立彰化師範大學工業教育與技術學系,後於高雄高工電腦機械製圖科任教並退休。

吳寬瀛老師的創作多元且富實驗性,小至積木雕塑大至公共藝術,皆以數學為基礎進行縝密計算,結構造型多變同時蘊含秩序之美;多年培養的身體感讓他創作時經常進入心流狀態,沉浸在與自身對話的時間。理性的數理思維與感性的創作經驗相互交融於作品中,充分體現吳寬瀛老師對數學的豐富想像與旺盛熱情。

為了這次策展,我們貼身採訪吳寬瀛老師許多次,也曾拜訪了座落在高雄大寮農田間的吳寬瀛藝術工作室,這是個連 google map 都定位不到的地方,裡頭卻藏著各式有趣的積木作品,以及從3歲開始熱愛玩積木的一顆赤子之心。

吳老師從小數學成績不好,透過玩積木知道自己空間理解力強並不因此沮喪,他為了有個穩定的工作能夠繼續玩積木,因此辭掉工作去補習班準備聯考,對當時的他來說是個很大的賭注。吳老師打趣地說,讀了這一年死書讓他變笨。

自國小三年級從新竹搬到高雄旗津,吳老師幾乎每天都過著去海邊潛水抓螃蟹和龍蝦的生活,玩水之外還可以拿去賣錢。早期的這段經歷,讓吳老師練就十分驚人的體力與意志力,因此多年來能夠不斷創作與挑戰各種類型與尺寸的幾何作品,他在五十歲之前的一日睡眠時間經常少於四小時。

吳寬瀛老師經驗豐富且規劃縝密,強大的氣場讓人非常安心,在佈展過程中他總是說「不急」,提醒大家先想好再行動,工作起來輕鬆又有效率。除此之外,吳寬瀛老師還能因應場地調整作品尺寸,自在把玩積木當場創作,根本已經達到人積合一的境界。

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經過這幾個月的相處,私底下的吳寬瀛老師其實非常幽默,與上面那張藝術家照片中的冷峻感有股奇妙的反差,像是曾經用過《人到中年還有夢,禿頭一片天》當作藝術展覽標題,有觀眾因此跑來還以為是在治禿頭呢。

創作以外,吳寬瀛老師經常帶領工作坊,以積木與木條讓孩童/成人跳脫平面紙筆計算,從遊戲中產生對數學幾何的興趣。問到與孩童互動的秘訣時,他認為這是自然而然的,在過程中除了技術的傳授之外,還要照顧到觀眾的情緒,畢竟在課堂中學生經常被迫學習。

我們策這兩檔展覽希望能讓大家掙脫紙筆測驗中的數學夢魘,因此並未強調數學實用的那一面,而是想傳達數學的本質其實就和藝術一樣,需要無限的想像力;吳寬瀛老師巧妙結合理性的數學與感性的美學於作品中,誠摯邀請大家到展場走一趟感受吳老師對數學的豐沛想像力,讓雙手與大腦合力思考,一起用積木作個空間體操。

吳寬瀛老師和他熱愛的大型索瑪立方。圖片來源:轉幾.轉積.轉機

「木刻是減法,泥塑是加法,積木可以加減乘除。」– 吳寬瀛

"Carving is subtraction and moulding is addition, while bricks can solve them all." – WU Kuan-Ying

《轉幾‧轉積‧轉機:吳寬瀛積木幾何創作展》展覽資訊

參考資料:

  1. 吳寬瀛藝術工作室粉絲頁
  2. 數學不僅擁有真, 而且擁有非凡的美–Artist 藝術家吳寬瀛 積木幾何世界
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Sharkie Lin_96
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在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com

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曼德博誕辰|科學史上的今天:11/20
張瑞棋_96
・2015/11/20 ・931字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 530 ・七年級

英國的海岸線有多長?這個由波蘭裔數學家曼德博在1967年的論文中所提出,乍看之下應該去問地理學家的簡單問題,不但有個出人意表的答案,還開啟了一個全新的數學分支──碎形,它將應用在各種不同領域,挖掘出複雜表象下的共同型態。

圖片來源:wikipedia

事實上,當時大概沒有多少人同意曼德博可以稱為數學家,雖然他拿的是數學博士,但並未留在學術圈,而是選擇落腳在IBM的研究中心。除了幫工程師分析電腦通訊的雜訊問題之外,他的研究範圍看來也雜亂無章,從收入高低的分布、棉花的歷史價格,到河川氾濫的頻率、語言結構,根本就像個漫無目標的野武士。但曼德博內心覺得其中隱約還是有某種關聯,他順從直覺,繼續鑽研。

然後有一天,一切都變得有意義。雜訊頻率、收入分布、棉花價格、氾濫次數,這些看似毫無交集的歷史數據用電腦繪製出來後,竟出現驚人的共通性!它們的數字高高低低難以預測,但它們在不同尺度上都宛如自我模仿般呈現極為相似的曲折變化。以雜訊來說,無論是以每小時或是每十分鐘、每分鐘為單位,所畫出來的曲線圖看起來都毫無二致;換個說法,想像你在平板電腦上把曲線圖的某一區間放大,接著再任選一段放大……,無論在哪個階段所看到的圖形幾乎都一樣。

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曼德博在1975年將具有這種特性的幾何結構命名為「碎形」。回到一開始的問題,英國的海岸線有多長?這要看你的量尺長短而定。因為海岸線也是碎形,只要量尺夠小,你就可以一直往下量,長度就會無限延長(注意:並非收斂級數喔),直到分子的尺度為止。

碎形處處可見。河流、樹枝、血管由粗到細的分歧與擴展是碎形幾何;地震、心跳、股市也是依碎形規律分布。於是地質學家、生物學家、物理學家、化學家、大型工業、金融機構都紛紛運用碎形來分析研究的對象。曼德博不但在實務面成為搖滾巨星,在學術圈,他也因為開創碎形幾何,並且另闢研究方法,利用電腦將資料視覺化以提升洞察力,而從一個不被正視的邊緣人物搖身一變成為學術研究的先驅。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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423 篇文章 ・ 1030 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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如何測量蘇格蘭的海岸線與科羅拉多河?—《股價、棉花與尼羅河密碼》
PanSci_96
・2016/10/25 ・2563字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 547 ・八年級

碎形幾何理論中最引人注目的,恐怕是對空間的獨特看法

自歐幾里得以來,數學家一直認為「點」是零度空間,「線」屬於一度空間,「平面」屬於二度空間,而我們所熟悉的環境則是三度空間。愛因斯坦則提出了第四度空間,也就是「時間」。數學上可以繼續以此類推,舉出假想的五度、六度,甚至七度空間,雖然只是假想的理論,但是對於解決工程、經濟或物理方面的問題很有幫助。

拓樸學是數學領域裡研究「表面」的一支,提供了相當有趣的新發現。就拓樸學的觀點而言,黃瓜和橘子是一樣的,因為不需要切割黃瓜的表面就可以將它重新塑造成橘子的形狀,反之亦然。一個圓的圓周跟曲曲折折的海岸線一樣,同屬一度空間。圓周和鋸齒線都是連續的線,將鋸齒線展開、攤平再彎曲,可以形成一個圓;同樣的,將圓周拉直再加以曲折,可以形成鋸齒線——都不需要切割。

拓樸學中的莫比烏斯帶。圖 / By David Benbennick @ Wiki
拓樸學中的莫比烏斯帶。圖 / By David Benbennick @ Wiki

然而,所謂的空間,真的就如此而已嗎?

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拿一顆線球當例子。首先,以歐幾里得的觀點來看:假設這個線球的直徑是五英寸,而線的粗細遠不及一英寸。若站在很遠的地方,幾乎看不到球;根據古典幾何學,可以說它是個零度空間的點。若握在手中,這個線球則確實是三度空間中的立體物件。近一點看,會發現它其實是由一團一度空間的線所纏成的。再更近一點看,會發現這線其實也是立體的,屬於三度空間。這麼追根究柢下去,一直到在電子顯微鏡下觀察到原子,才又回到零度空間的點。那麼,這線球到底是零度空間、一度空間,還是三度空間?答案依個人觀點而異。

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線球到底是零度空間、一度空間,還是三度空間?圖 / By Anadem Chung @ flickr

就自然界中複雜的形狀而言,空間是相對的。空間的定義隨著觀察者的角度而改變。同一個物體可隸屬於不同維度的空間,看你觀測的角度與用途為何。維度不必然是整數,也可以是分數。這樣的觀點賦予古老的空間觀念一個嶄新的定義。

維度不該是死板而一成不變的,而是應測量的需求而有所改變。那麼,你要怎麼測量某個東西呢?要量一條直線的長度,你可以用尺;要測量曲線,你可以用稍短的尺,順著曲線弧度一小段一小段地測量,然後將結果加總。用的尺越短,測量的結果就越準確,測得的長度也比較長(參見下面關於「碎形維度」的解說),當然過程較為繁瑣費時。隨著量尺越來越短,最後得到的結果最接近實際,我們就將此結果當做曲線的長度。

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如果遇到曲折的鋸齒線或不規則曲線,該怎麼辦?蘇格蘭的海岸線又如何測量?可以用測量員的測量鏡,測量岬角與岬角間的距離,這是較粗略的方法。也可以用極長的軟尺測量點與點之間的距離,或者用碼尺、彎腳規或顯微鏡。但這都是白費工夫。嶙峋的海岸線跟圓滑曲線不同,測量結果往往因用途而異,並沒有一個「最好」的答案。隨著地圖比例尺的大小或政治動機的不同,測量結果也不一樣。

蘇格蘭海岸線到底有多長?圖 / By Jonathan Stonehouse @ flickr
蘇格蘭海岸線到底有多長?圖 / By Jonathan Stonehouse @ flickr

將近一個世紀之前,英國心理、物理學家路易斯.理查森(Lewis Fry Richardson)就曾針對這個問題加以研究。他根據官方資料上的國界長度測量結果進行研究,發現西班牙政府測量該國與葡萄牙的邊界長度是 987 公里,而葡萄牙政府的測量結果卻多達 1214 公里。至於荷蘭跟它那面積較小、經濟能力較差的鄰居比利時,荷蘭政府測得的邊界是 380 公里,而比利時政府則聲稱有 449 公里。

那麼,東西有多長?由上述例子可以看出,這個問題沒有多大意義。解決方法之一,是將不同長度的尺所測得的結果畫成圖表。當然了,測量的結果會隨著尺的長度縮短而增加。可喜的是,測量結果幾乎是以一定的比例增加。以一條直線為例:假設用來測量的第一把尺剛好跟該直線等長,第二次用的尺比較短,正好是直線的一半,因此測量結果是尺長的兩倍,第三把尺是上一把尺的一半長,因此測量結果直線是尺的四倍長,依此類推。

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接著,測量前面提到的鋸齒狀海岸線。隨著使用的尺越來越短,我們可以觀察到不尋常的現象:

測量結果增加的幅度,要高過尺縮小的幅度。用來測量這個現象的度量衡,就叫做碎形維度(fractal dimension)。

從簡單的例子講起:一條直線的碎形維度是一,而直線正好屬於一度空間。然而,英國海岸線的碎形維度卻是 1.25。這講得通嗎?那當然!崎嶇的海岸線比一度空間的直線來得複雜,但不論海岸線多麼曲折,還不至於複雜如二度空間。

不只這樣。澳洲的海岸線沒有英格蘭西南部康瓦爾地區的那麼曲折,所以它的碎形維度只有 1.13。相形之下,平滑的南非海岸線碎形維度更低,只有 1.02,只比直線高一些。

河流是另一個很好的例子。美國地質調查局(U.S. Geological Survey)研究美國境內大型河流的路徑,發現東部的河流碎形維度大約是 1.2,西部曠野的河流則是 1.4。這項調查結果恰好符合大眾的認知——西部的科羅拉多河(Colorado River)蜿蜒曲折,而東部的查爾斯河(Charles River)較為平順。

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西部的科羅拉多河蜿蜒曲折。圖 / By K.Oliver @ flickr

再舉一例:觀察肺臟內部支氣管錯綜複雜的表面,這些表面的面積加起來足足有一個網球場那麼大,這些錯綜複雜表面的碎形維度將近三。這層薄膜非常彎曲、有很多皺褶,因此幾乎有如三度空間。

以上種種說明了什麼呢?一個新的度量工具誕生了,不是測量長度、重量、溫度或分貝,而是測量物體曲折或不規則的程度。終於,科學界有了第一個測量「不規則」形狀的工具。


書封:股價、棉花與尼羅河密碼

 

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》,早安財經出版社。

 

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