曼德博誕辰｜科學史上的今天：11/20

本文與 研華科技 合作，泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言，總能牽動整個 AI 產業的神經。然而，我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線，那如果哪天「網路斷了」，會發生什麼事？

想像你正在自駕車打個盹，系統突然警示：「網路連線中斷」，車輛開始偏離路線，而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭，開始暴走跳舞，甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎？當然不是！也因為如此，「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端，AI 就能在現場即時反應，不只更安全、低延遲，還能讓數據當場變現，不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ？

邊緣 AI，乍聽之下，好像是「孤單站在角落的人工智慧」，但事實上，它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前，像是企業、醫院、學校內部的伺服器，個人電腦，甚至手機等裝置，都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算，稱為邊緣運算；而在邊緣節點上運行 AI ，就被稱為邊緣 AI。簡單來說，就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力，「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

那麼，為什麼需要這樣做？資料放在雲端，集中管理不是更方便嗎？對，就是不好。

第一個不好是物理限制：「延遲」。
即使光速已經非常快，數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房，再把分析結果傳回來，中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回，就算只是幾十毫秒的延遲，對於需要「即刻反應」的 AI 應用，比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時，每一毫秒都攸關安全與精度，這點延遲都是無法接受的！這是物理距離與網路架構先天上的限制，無法繞過去。

第二個挑戰，是資訊科學跟工程上的考量：「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送，湧入的資料數據量就像超級大的水流，一下子就把水管塞爆！要避免流量爆炸，你就要一直擴充水管，也就是擴增頻寬，然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理，把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端，是不是就能減輕頻寬負擔，也能節省大量費用呢？

第三個挑戰：系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時，一旦網路不穩、甚至斷線，那怎麼辦？很多關鍵應用，像是公共安全監控或是重要設備的預警系統，可不能這樣「看天吃飯」啊！邊緣處理讓系統更獨立，就算暫時斷線，本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應，這在工程上是非常重要的考量。

所以你看，邊緣運算不是科學家們沒事找事做，它是順應數據特性和實際應用需求，一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇，是我們想要抓住即時數據價值，非走不可的一條路！

邊緣 AI 的實戰魅力：從工廠到倉儲，再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了，接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢？它強就強在能夠做到「深度感知（Deep Perception）」！

所謂深度感知，並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減，而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型，從原始數據裡面，去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

以研華科技為例，旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例，利用物件偵測模型，快速將工業產品中的瑕疵挑出來，而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測，因此品管上能達到一致性，減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中，檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品，替工廠節省大量人力，同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

此外，在智慧倉儲場域，研華與威剛合作，研華與威剛聯手合作，在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台，打造倉儲系統的 AMR（Autonomous Mobile Robot） 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣，AMR 不需要事先規劃好路線，靠著感測器偵測，就能輕鬆避開障礙物，識別路線，並且將貨物載到指定地點存放。

當然，還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning )，除了可以做備忘錄跟排程規劃以外，還能將實務上碰到的問題記錄下來，等到之後碰到類似的問題時，就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問，那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了？其實，對許多企業來說，內部資料往往具有高度機密性與商業價值，有些場域甚至連手機都禁止員工帶入，自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安，又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言，自行部署大型語言模型（self-hosted LLM）才是理想選擇。而這樣的應用，並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，體積僅如後背包大小，卻能輕鬆支援語言模型的運作，實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現：要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型，會不會太吃資源？這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一：如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」，又不減智慧。接下來，我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

語言模型瘦身術之一：量化（Quantization）—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限，大模型卻越來越龐大，「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像：有些畫面細節我們肉眼根本看不出來，刪掉也不影響整體感覺，卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此，只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示，什麼是浮點數？其實就是你我都熟知的小數。舉例來說，圓周率是個無窮不循環小數，唸下去就會是3.141592653…但實際運算時，我們常常用 3.14 或甚至直接用 3，也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思！ 

然而，量化並不是那麼容易的事情。而且實際上，降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時，工程師會精密調整，確保效能在可接受範圍內，達成「瘦身不減智」的目標。

模型剪枝（Model Pruning）—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型，其實就是在搭建一整套類神經網路系統，並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而，在這麼多參數中，總會有一些參數明明佔了一個位置，卻對整體模型沒有貢獻。既然如此，不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候，總會雜草叢生，但這些雜草並不是我們想要的作物，這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在，而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術，就稱為 AI 模型的模型剪枝（Model Pruning）。

模型剪枝的效果，大概能把100變成70這樣的程度，說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助，但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型，僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手，採取更治本的方法：一開始就打造一個很小的模型，並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」，是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾（Knowledge Distillation）—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下，一位經驗豐富、見多識廣的老師傅，就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在，他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案，老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」，例如「為什麼我會這樣想？」、「其他選項的可能性有多少？」。這樣一來，小小的學徒模型，用它有限的「腦容量」，也能學到老師傅的「智慧精髓」，表現就能大幅提升！這是一種很高級的訓練技巧，跟遷移學習有關。

舉個例子，當大型語言模型在收到「晚餐：鳳梨」這組輸入時，它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯：50%，蝦球：30%，披薩：15%，汁：5%」。在知識蒸餾的過程中，它可以把這套機率表一起教給小語言模型，讓小語言模型不必透過自己訓練，也能輕鬆得到這個推理過程。如今，許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成，讓我們得以在資源有限的邊緣設備上，也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是！即使模型經過了這些科學方法的優化，變得比較「苗條」了，要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料，並且高速、即時、穩定地運作，仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說，要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型，真正放到邊緣的現場去發揮作用，就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

邊緣 AI 的強心臟：SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色！那麼，它到底厲害在哪？

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要？因為 GPU 的設計，天生就擅長做「平行計算」，這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的！

你想想看，那麼多數據要同時處理，就像要請一大堆人同時算數學一樣，GPU 就是那個最有效率的工具人！而且，有多張 GPU，代表可以同時跑更多不同的 AI 任務，或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果，在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎！

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房，有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計，體積相對緊湊，散熱空間也比較好（這對高功耗的 GPU 很重要！），部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算，進行「工程化」，讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格，背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場，系統穩定壓倒一切！你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧？這些設計確保了部署在現場的 AI 系統，能夠長時間、穩定地運作，把實驗室裡的科學成果，可靠地轉化成實際的應用價值。

台灣製造 × 在地智慧：打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能，能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署，及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析，還是其他 AI 相關的服務，都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務，讓企業在啟動 AI 專案前，大幅降低前期投入門檻，靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構，從精密製造、城市交通管理，到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全，都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是，這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示，這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果，往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI，不只是一項技術創新，更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場，就能被有效的「理解」與「利用」，是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石！

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「木刻是減法，泥塑是加法，積木可以加減乘除！」– 吳寬瀛

積木是空間體操，雙手與大腦合力思考，掙脫被紙筆測驗困住的平面。以兒時熱愛的積木為素材，吳寬瀛老師在指間進行空間的四則運算，讓抽象深奧的數學化為具體可見的雕塑，排列組合出幾何造型的無限可能。

自 12 月 1 日開展的《轉幾．轉積．轉機：吳寬瀛積木幾何創作展》「轉幾．轉積．轉機」為主題，透過「平面幾何」與「立體幾何」兩種維度，呈現吳寬瀛老師充滿想像力的幾何創作，期待觀者從中感受創作的純粹與熱情，發掘數學的理性與感性。

展場設置積木體驗區，讓我們放下手機，與吳寬瀛老師一起翻「轉幾」何、玩「轉積」木，找尋屬於自己的「轉機」，喚回天真爛漫的赤子之心吧。

國內近來相當多積木展，像是奈森．薩瓦亞（Nathan Sawaya）的《潮！積木》以及西恩·肯尼（Sean Kenney）的《動物大奇積》創作，這回我要來介紹的展覽《轉幾．轉積．轉機》同樣精彩，是國內幾何雕塑家吳寬瀛老師的積木幾何創作展，也是繼上回介紹《多面自造》展後，嘉義大學委託我們策劃的第二檔數學藝術展。

這一檔我們推出可轉可翻可玩的超可愛文宣，對摺以後翻開來變成藍色「轉幾」，轉正後對摺翻轉文宣後得到黃色「轉積」，紅色「轉機」設計則是由木構作品而來，示範影片在此：

《轉幾．轉積．轉機》到底在轉什麼呢？展覽作品分成平面幾何與立體幾何兩種維度，其中立體幾何包含積木與木構作品，平面幾何包含各式對稱圖樣與多邊形，接下來我們就來介紹一些這次展覽吳寬瀛老師的TICO積木創作吧！

玩轉積木！TICO積木創作作品

門格爾海綿（Menger Sponge）為立體碎形的經典代表，每一面都是謝爾賓斯基地毯，不同尺度縮放自如依舊自我相似為碎形的重要特性。下圖為吳老師親自拆解門格爾海綿，讓大家知道如何以模組化的積木堆疊方式創作。

下圖左方兩件相似卻不同的碎形作品，是吳老師展覽以來首次背對背擺放在一起，方便大家在展場比較異同之處。這兩件作品的特點是只要觀看的視角改變，看到的形狀也會跟著變換，像是從作品前方會看到三角形，從作品上方則會發現原來是正方形組成的。

相較於下圖左方兩件作品的實體碎形，右方看起來像是兩個金字塔上下接在一起的作品，則是以空隙中的陰影呈現自我相似的碎形，此件幾何藝術作品以光影探討明暗、虛實、陰陽等概念；吳寬瀛老師的作品中除了強調造型本身，影子更是作品不可或缺的一部份。

〈99乘法變形〉為吳寬瀛老師最近探討數與形的新創作，由四個九乘九矩陣加上最高點十乘十組合而成，其高度為兩個數字乘積後的值。我對這件作品特別有共鳴，因為吠陀方形與吠陀立方兩者的數學原理皆是從九九乘法表延伸而來。

別以為積木組出的造型就只能是方方正正的，吳老師用突破框架的想像力和特殊的連結方式，讓積木轉彎了，以下是顛覆想像的曲線系列：

除了精彩的立體作品之外，還有一件特殊的平面作品可以讓觀眾動手操作翻玩，甚至可以讓正方形斜斜地相互卡住，讓不同大小的正方形邊長形成曲線，類似蛇形藝廊2002設計概念，有趣到難以用言語形容，還好有吳寬瀛老師親自示範的影片可看：

這次展覽不只積木幾何創作，吳寬瀛老師還加碼展出木構創作如下，像是這件以〈費氏數列〉 1，1， 2， 3， 5， 8為立方體邊長的可拆解作品，除了形狀很有美感，老師也使用了質樸的材質。第一次看見這件作品的時候聯想到臺北二二八公園的紀念碑，但其實兩者並不相同。

吳寬瀛老師的作品不僅造型優美，從木構作品的卡榫、導角等小細節，都可以看出吳老師紮實的木工基礎，上一檔展覽《多面自造》的展場木工為吳老師親自操刀，2017數學年會的紀念品「有秩序的糾纏」材料包是由老師及林義強老師共同設計，再由吳老師製作。

這次展覽呈現了吳寬瀛老師巧妙連結數學與童趣經驗的「轉積」，以及融合結構力學與美學的「轉幾」，接下來我們就來聊聊積木是如何成為藝術家一生的「轉機」。

三歲開始玩積木成為人生轉機

吳寬瀛，1958年出生於新竹，現居住與工作於高雄，臺灣著名幾何雕塑家。

為延續從3歲開始對積木的熱情而成為教師，27歲進入大學就讀，畢業於國立彰化師範大學工業教育與技術學系，後於高雄高工電腦機械製圖科任教並退休。

吳寬瀛老師的創作多元且富實驗性，小至積木雕塑大至公共藝術，皆以數學為基礎進行縝密計算，結構造型多變同時蘊含秩序之美；多年培養的身體感讓他創作時經常進入心流狀態，沉浸在與自身對話的時間。理性的數理思維與感性的創作經驗相互交融於作品中，充分體現吳寬瀛老師對數學的豐富想像與旺盛熱情。

為了這次策展，我們貼身採訪吳寬瀛老師許多次，也曾拜訪了座落在高雄大寮農田間的吳寬瀛藝術工作室，這是個連 google map 都定位不到的地方，裡頭卻藏著各式有趣的積木作品，以及從3歲開始熱愛玩積木的一顆赤子之心。

吳老師從小數學成績不好，透過玩積木知道自己空間理解力強並不因此沮喪，他為了有個穩定的工作能夠繼續玩積木，因此辭掉工作去補習班準備聯考，對當時的他來說是個很大的賭注。吳老師打趣地說，讀了這一年死書讓他變笨。

自國小三年級從新竹搬到高雄旗津，吳老師幾乎每天都過著去海邊潛水抓螃蟹和龍蝦的生活，玩水之外還可以拿去賣錢。早期的這段經歷，讓吳老師練就十分驚人的體力與意志力，因此多年來能夠不斷創作與挑戰各種類型與尺寸的幾何作品，他在五十歲之前的一日睡眠時間經常少於四小時。

吳寬瀛老師經驗豐富且規劃縝密，強大的氣場讓人非常安心，在佈展過程中他總是說「不急」，提醒大家先想好再行動，工作起來輕鬆又有效率。除此之外，吳寬瀛老師還能因應場地調整作品尺寸，自在把玩積木當場創作，根本已經達到人積合一的境界。

經過這幾個月的相處，私底下的吳寬瀛老師其實非常幽默，與上面那張藝術家照片中的冷峻感有股奇妙的反差，像是曾經用過《人到中年還有夢，禿頭一片天》當作藝術展覽標題，有觀眾因此跑來還以為是在治禿頭呢。

創作以外，吳寬瀛老師經常帶領工作坊，以積木與木條讓孩童／成人跳脫平面紙筆計算，從遊戲中產生對數學幾何的興趣。問到與孩童互動的秘訣時，他認為這是自然而然的，在過程中除了技術的傳授之外，還要照顧到觀眾的情緒，畢竟在課堂中學生經常被迫學習。

我們策這兩檔展覽希望能讓大家掙脫紙筆測驗中的數學夢魘，因此並未強調數學實用的那一面，而是想傳達數學的本質其實就和藝術一樣，需要無限的想像力；吳寬瀛老師巧妙結合理性的數學與感性的美學於作品中，誠摯邀請大家到展場走一趟感受吳老師對數學的豐沛想像力，讓雙手與大腦合力思考，一起用積木作個空間體操。

「木刻是減法，泥塑是加法，積木可以加減乘除。」– 吳寬瀛

＂Carving is subtraction and moulding is addition, while bricks can solve them all.＂ – WU Kuan-Ying

《轉幾‧轉積‧轉機：吳寬瀛積木幾何創作展》展覽資訊

• 地點：國立嘉義大學蘭潭校區圖書資訊館（嘉義市東區學府路300號）
• 展期：2017/12/1─12/29 週一至週六 09:00 ~ 17:00 週日 14:00 ~ 17:00
• 交通：http://120.113.174.203/TMS2017/index.php/traffic/
• 臉書粉絲頁：轉幾．轉積．轉機：吳寬瀛積木幾何創作展
  
• 策展人：余歡庭、林家妤
  
• 聯絡人：國立嘉義大學應用數學系嚴志弘主任

參考資料：

1. 吳寬瀛藝術工作室粉絲頁
2. 數學不僅擁有真, 而且擁有非凡的美–Artist 藝術家吳寬瀛 積木幾何世界

碎形幾何理論中最引人注目的，恐怕是對空間的獨特看法。

自歐幾里得以來，數學家一直認為「點」是零度空間，「線」屬於一度空間，「平面」屬於二度空間，而我們所熟悉的環境則是三度空間。愛因斯坦則提出了第四度空間，也就是「時間」。數學上可以繼續以此類推，舉出假想的五度、六度，甚至七度空間，雖然只是假想的理論，但是對於解決工程、經濟或物理方面的問題很有幫助。

拓樸學是數學領域裡研究「表面」的一支，提供了相當有趣的新發現。就拓樸學的觀點而言，黃瓜和橘子是一樣的，因為不需要切割黃瓜的表面就可以將它重新塑造成橘子的形狀，反之亦然。一個圓的圓周跟曲曲折折的海岸線一樣，同屬一度空間。圓周和鋸齒線都是連續的線，將鋸齒線展開、攤平再彎曲，可以形成一個圓；同樣的，將圓周拉直再加以曲折，可以形成鋸齒線——都不需要切割。

然而，所謂的空間，真的就如此而已嗎？

拿一顆線球當例子。首先，以歐幾里得的觀點來看：假設這個線球的直徑是五英寸，而線的粗細遠不及一英寸。若站在很遠的地方，幾乎看不到球；根據古典幾何學，可以說它是個零度空間的點。若握在手中，這個線球則確實是三度空間中的立體物件。近一點看，會發現它其實是由一團一度空間的線所纏成的。再更近一點看，會發現這線其實也是立體的，屬於三度空間。這麼追根究柢下去，一直到在電子顯微鏡下觀察到原子，才又回到零度空間的點。那麼，這線球到底是零度空間、一度空間，還是三度空間？答案依個人觀點而異。

就自然界中複雜的形狀而言，空間是相對的。空間的定義隨著觀察者的角度而改變。同一個物體可隸屬於不同維度的空間，看你觀測的角度與用途為何。維度不必然是整數，也可以是分數。這樣的觀點賦予古老的空間觀念一個嶄新的定義。

維度不該是死板而一成不變的，而是應測量的需求而有所改變。那麼，你要怎麼測量某個東西呢？要量一條直線的長度，你可以用尺；要測量曲線，你可以用稍短的尺，順著曲線弧度一小段一小段地測量，然後將結果加總。用的尺越短，測量的結果就越準確，測得的長度也比較長（參見下面關於「碎形維度」的解說），當然過程較為繁瑣費時。隨著量尺越來越短，最後得到的結果最接近實際，我們就將此結果當做曲線的長度。

如果遇到曲折的鋸齒線或不規則曲線，該怎麼辦？蘇格蘭的海岸線又如何測量？可以用測量員的測量鏡，測量岬角與岬角間的距離，這是較粗略的方法。也可以用極長的軟尺測量點與點之間的距離，或者用碼尺、彎腳規或顯微鏡。但這都是白費工夫。嶙峋的海岸線跟圓滑曲線不同，測量結果往往因用途而異，並沒有一個「最好」的答案。隨著地圖比例尺的大小或政治動機的不同，測量結果也不一樣。

將近一個世紀之前，英國心理、物理學家路易斯．理查森（Lewis Fry Richardson）就曾針對這個問題加以研究。他根據官方資料上的國界長度測量結果進行研究，發現西班牙政府測量該國與葡萄牙的邊界長度是 987 公里，而葡萄牙政府的測量結果卻多達 1214 公里。至於荷蘭跟它那面積較小、經濟能力較差的鄰居比利時，荷蘭政府測得的邊界是 380 公里，而比利時政府則聲稱有 449 公里。

那麼，東西有多長？由上述例子可以看出，這個問題沒有多大意義。解決方法之一，是將不同長度的尺所測得的結果畫成圖表。當然了，測量的結果會隨著尺的長度縮短而增加。可喜的是，測量結果幾乎是以一定的比例增加。以一條直線為例：假設用來測量的第一把尺剛好跟該直線等長，第二次用的尺比較短，正好是直線的一半，因此測量結果是尺長的兩倍，第三把尺是上一把尺的一半長，因此測量結果直線是尺的四倍長，依此類推。

接著，測量前面提到的鋸齒狀海岸線。隨著使用的尺越來越短，我們可以觀察到不尋常的現象：

測量結果增加的幅度，要高過尺縮小的幅度。用來測量這個現象的度量衡，就叫做碎形維度（fractal dimension）。

從簡單的例子講起：一條直線的碎形維度是一，而直線正好屬於一度空間。然而，英國海岸線的碎形維度卻是 1.25。這講得通嗎？那當然！崎嶇的海岸線比一度空間的直線來得複雜，但不論海岸線多麼曲折，還不至於複雜如二度空間。

不只這樣。澳洲的海岸線沒有英格蘭西南部康瓦爾地區的那麼曲折，所以它的碎形維度只有 1.13。相形之下，平滑的南非海岸線碎形維度更低，只有 1.02，只比直線高一些。

河流是另一個很好的例子。美國地質調查局（U.S. Geological Survey）研究美國境內大型河流的路徑，發現東部的河流碎形維度大約是 1.2，西部曠野的河流則是 1.4。這項調查結果恰好符合大眾的認知——西部的科羅拉多河（Colorado River）蜿蜒曲折，而東部的查爾斯河（Charles River）較為平順。

再舉一例：觀察肺臟內部支氣管錯綜複雜的表面，這些表面的面積加起來足足有一個網球場那麼大，這些錯綜複雜表面的碎形維度將近三。這層薄膜非常彎曲、有很多皺褶，因此幾乎有如三度空間。

以上種種說明了什麼呢？一個新的度量工具誕生了，不是測量長度、重量、溫度或分貝，而是測量物體曲折或不規則的程度。終於，科學界有了第一個測量「不規則」形狀的工具。

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》，早安財經出版社。