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英國的海岸線有多長？這個由波蘭裔數學家曼德博在1967年的論文中所提出，乍看之下應該去問地理學家的簡單問題，不但有個出人意表的答案，還開啟了一個全新的數學分支──碎形，它將應用在各種不同領域，挖掘出複雜表象下的共同型態。
圖片來源：wikipedia
事實上，當時大概沒有多少人同意曼德博可以稱為數學家，雖然他拿的是數學博士，但並未留在學術圈，而是選擇落腳在IBM的研究中心。除了幫工程師分析電腦通訊的雜訊問題之外，他的研究範圍看來也雜亂無章，從收入高低的分布、棉花的歷史價格，到河川氾濫的頻率、語言結構，根本就像個漫無目標的野武士。但曼德博內心覺得其中隱約還是有某種關聯，他順從直覺，繼續鑽研。
然後有一天，一切都變得有意義。雜訊頻率、收入分布、棉花價格、氾濫次數，這些看似毫無交集的歷史數據用電腦繪製出來後，竟出現驚人的共通性！它們的數字高高低低難以預測，但它們在不同尺度上都宛如自我模仿般呈現極為相似的曲折變化。以雜訊來說，無論是以每小時或是每十分鐘、每分鐘為單位，所畫出來的曲線圖看起來都毫無二致；換個說法，想像你在平板電腦上把曲線圖的某一區間放大，接著再任選一段放大……，無論在哪個階段所看到的圖形幾乎都一樣。
曼德博在1975年將具有這種特性的幾何結構命名為「碎形」。回到一開始的問題，英國的海岸線有多長？這要看你的量尺長短而定。因為海岸線也是碎形，只要量尺夠小，你就可以一直往下量，長度就會無限延長（注意：並非收斂級數喔），直到分子的尺度為止。
碎形處處可見。河流、樹枝、血管由粗到細的分歧與擴展是碎形幾何；地震、心跳、股市也是依碎形規律分布。於是地質學家、生物學家、物理學家、化學家、大型工業、金融機構都紛紛運用碎形來分析研究的對象。曼德博不但在實務面成為搖滾巨星，在學術圈，他也因為開創碎形幾何，並且另闢研究方法，利用電腦將資料視覺化以提升洞察力，而從一個不被正視的邊緣人物搖身一變成為學術研究的先驅。
本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。
