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曼德博誕辰|科學史上的今天:11/20

張瑞棋_96
・2015/11/20 ・931字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 530 ・七年級

英國的海岸線有多長?這個由波蘭裔數學家曼德博在1967年的論文中所提出,乍看之下應該去問地理學家的簡單問題,不但有個出人意表的答案,還開啟了一個全新的數學分支──碎形,它將應用在各種不同領域,挖掘出複雜表象下的共同型態。

圖片來源:wikipedia

事實上,當時大概沒有多少人同意曼德博可以稱為數學家,雖然他拿的是數學博士,但並未留在學術圈,而是選擇落腳在IBM的研究中心。除了幫工程師分析電腦通訊的雜訊問題之外,他的研究範圍看來也雜亂無章,從收入高低的分布、棉花的歷史價格,到河川氾濫的頻率、語言結構,根本就像個漫無目標的野武士。但曼德博內心覺得其中隱約還是有某種關聯,他順從直覺,繼續鑽研。

然後有一天,一切都變得有意義。雜訊頻率、收入分布、棉花價格、氾濫次數,這些看似毫無交集的歷史數據用電腦繪製出來後,竟出現驚人的共通性!它們的數字高高低低難以預測,但它們在不同尺度上都宛如自我模仿般呈現極為相似的曲折變化。以雜訊來說,無論是以每小時或是每十分鐘、每分鐘為單位,所畫出來的曲線圖看起來都毫無二致;換個說法,想像你在平板電腦上把曲線圖的某一區間放大,接著再任選一段放大……,無論在哪個階段所看到的圖形幾乎都一樣。

曼德博在1975年將具有這種特性的幾何結構命名為「碎形」。回到一開始的問題,英國的海岸線有多長?這要看你的量尺長短而定。因為海岸線也是碎形,只要量尺夠小,你就可以一直往下量,長度就會無限延長(注意:並非收斂級數喔),直到分子的尺度為止。

碎形處處可見。河流、樹枝、血管由粗到細的分歧與擴展是碎形幾何;地震、心跳、股市也是依碎形規律分布。於是地質學家、生物學家、物理學家、化學家、大型工業、金融機構都紛紛運用碎形來分析研究的對象。曼德博不但在實務面成為搖滾巨星,在學術圈,他也因為開創碎形幾何,並且另闢研究方法,利用電腦將資料視覺化以提升洞察力,而從一個不被正視的邊緣人物搖身一變成為學術研究的先驅。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。


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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 478 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。


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「好奇心」不只是珍貴的學習動機,還能讓孩子學得更好、記得更牢!

數感實驗室_96
・2022/05/12 ・1781字 ・閱讀時間約 3 分鐘

大家或許都有這樣的經驗:隔天要考試了,卻不管怎麼背誦依然記不得內容,反倒是平常無意間看到的有趣事情,那怕再冷僻或有些困難,卻深深印在腦海裡,就算隔了好一陣子依然記得很清楚。
就算隔了好一陣子依然記得很清楚。或者回想一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。

一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。圖/envato elements

究竟,好奇心跟學習有甚麼關聯呢?

好奇心讓你記得更清楚

戴維斯加州大學曾作過一項研究相關研究。他們邀請了一群受試者,給他們快速看過一系列題目,不用作答,只需自評對題目的「把握度」及「好奇度」。評分完畢後,實驗者將一邊進行 fMRI 掃描大腦活動,一邊觀看方才「把握度較低」的 50 餘組題目與對應解答。

全部看完後休息 20 分鐘,受試者被要求再次作答同樣、但順序調整過的題目。由於都不是選擇題,受試者完全無法猜答案。22.5 小時後,受試者被要求第二次作答。

有趣的結果發生了。

實驗結果發現,受試者20分鐘後,針對「好奇度高」的題目答對率高達 70.6%;「好奇度低」的題目答對率只有 54.1%。

22.5小時後,「好奇度高」的題目答對率依然有 45.9%;「好奇度低」的題目答對率只剩 28.1%。

好奇心讓你記得。圖/數感實驗室

與問題無關的資訊也能記得牢牢的!

不只如此,實驗裡還設計了一個很特別的橋段:在每題的【題目】與【解答】中間,隨機插入一些人臉,之後的兩次測驗中,同時請受測者辨認那些人臉照片是否有出現在原本的題目中。

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!圖/envato elements

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!

好奇度高與好奇度低的題目,各自有著 42.4% 與 38.2% 的人臉辨識正確率。換句話說,好奇心不僅能幫助記得關心的事件,還能連帶強化和事件無關資訊的記憶力。

為什麼會這樣呢?研究人員利用 fMRI 掃描,發現好奇心引發的強化記憶迴路,和外在動機啟動的區域非常相似,同樣仰賴多巴胺在神經間進行傳遞。

受試者看到他們比較好奇的題目時,會活化大腦內部一條與獎勵機制有關的途徑,增加負責大腦記憶的海馬迴活動。此時,大腦會處在能夠吸收各種資訊並記憶下來的狀態,所以即使是與問題無關的無聊資訊,也比較容易記住。

過去我們一直鼓勵探索、鼓勵孩子喜歡數學,激發學習動機。這次跟大家分享的研究,更進一步展現了「好奇心」與「喜歡」的價值。它不只是學習的起點,不只是讓孩子學習時快樂些,更是學習路上的加速器,能讓孩子學得更好、更有效率。

好奇心讓學習更快樂也更有效率!圖/envato elements

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參考資料

  • Matthias J. Gruber, Bernard D. Gelman, Charan Ranganath. States of Curiosity Modulate Hippocampus-Dependent Learning via the Dopaminergic Circuit. Neuron, 2014 DOI: 10.1016/j.neuron.2014.08.060

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/