各個時期的人口模型

從人類的發展歷史和人口變化曲線圖中我們不難發現，人口的增長並沒有明顯的規律，它受多方面因素的影響。早期關注於人口統計的科學家受制於當時的技術和條件，並沒有現在這麼多的數據分析。他們從自身地域出發，通過觀察和推測，發展出早期的人口統計學理 論和模型，比如英國人口學家和政治經濟學家 托馬斯•馬爾薩斯 （Thomas Malthus）。他認為，如果沒有任何限制，人口將按恆定的淨增長率，以幾何級速率增長。由此可以得到一個指數級增長的人口模型。設 N( t ) 為時間 t 時的人口數，且 N ₀ 為 t = t ₀ 時的人口數，則此模型可表示為：

由定積分可得：

由原方程可得：

合併（1）式和（2）式最後得到：

由於人口淨增長率 λ 是一個常數，所以這個模型的一個特點就是人口數量翻一番所需的時間是恆定的。

馬爾薩斯的祖國英國是個島嶼國家（當時其領土還包括現在的愛爾蘭），他預測不列顛群島的人口數將以每 25 年翻一番的速度增長。後來的統計數據幾乎可以證明他是正確的——至少預測對了前 50 年（ 19 世紀英國人口增長速率減慢的一個原因是 移民 ： 1815 – 1930 年， 1140 多萬人從不列顛移出， 730 萬人從愛爾蘭移出。僅在 1853 – 1900 年，就有 467 萬人離開英格蘭和威爾士， 89 萬人離開蘇格蘭）。

不列顛群島人口數從1800年到1900年的變化

但這個模型僅在人口數量不太大的時候才適用，它沒有考慮到由於有限的生存空間和資源而引發的生存競爭問題，這種情況下人口增長率不可能恆為常數，它應與人口數量有關。

1840 年比利時數學家威爾霍斯特（Verhulst）通過改進馬爾薩斯模型，發展出了 Logistic 模型，其核心思想是：人口成長不能超過由其它地域環境所決定的某最大容量 M，用數學公式表示就是：

當人口數量較少時，這個模型仍然符合馬爾薩斯的思想，當人口無限向最大容量 M 接近時，人口增長率逐漸降低。假設初始條件 N( t ₀ ) = N ₀ , 0 < N ₀ < M，由上式我們可以得到：

不妨取美國從 1790 年到 1920 年的人口普查數據對Logistic模型進行驗證。

美國人口普查數據（1790年到1920年）

經過程序模擬，我們發現，當 M 取 225 時，可以找到最佳擬合曲線，它的預測與實際數據相一致。但再看 1920 年以後的數據，會發現預測結果與實際數據開始產生較大的偏差。

美國人口普查數據（1930年到2000年）

Logistic模型擬合曲線（M=225）

這說明，隨著時代的發展，人口數量的制約因素也在因時而變，模型所需考慮和進行修正的變量也越來越複雜。人口增長模型對於預測人口發展趨勢具有一定的積極意義，但依然存在時代侷限性。

時至現代，1975 年霍納（Hoerner）發展出了雙曲線人口模型，根據這一模型， 2025 年世界人口將達到無限，顯然也不夠準確。 1997 年卡皮察（Kapitsa）提出了一個可以描述人口從公元前 67000 年到公元 1965 年的人口增長計算公式：

其中 N 為當前人口數量， T 為當前年份， C 取值為 （ 1.86 ± 0.01 ） × 1011， T0 取值為（ 2007 ± 1 ）， τ 取值為 （42 ± 1 ）。上述模型都為線性增長模型。此外，還有基於年齡結構的離散型 Leslie模型 等等。限於篇幅，這裡就不再贅述了。總之，它們都有各自的適用條件，能描述出一定條件和環境下人口增長的趨勢，但精確度都不如下面要介紹的這種方法——人口普查。

最精確的人口統計方法：人口普查

世界上第一次真正意義上的人口普查是美國於 1790 年進行的，此後規定每十年進行一次人口普查。調查員挨家挨戶地尋訪，記錄每戶居民的人數和他們的名字。第一次人口普查對奴隸也進行了統計，但根據當時美國憲法中的 五分之三協議 （three-fifths compromise），每位黑奴只能折抵 3/5 個自由民。美洲印第安人因不參與當時美國政府的賦稅和利益分配，未被列入普查對象。美國第一次人口普查的統計數字為 390 萬。此次普查雖算不得上是成功，且仍帶有種族歧視色彩，但在它結束後，自殺率、犯罪率、宗教分佈、男女比例等社會學概念開始逐漸形成，這在經濟和政治學上具有深遠的影響。

現如今，聯合國通過綜合各國的統計數據，便可知曉世界人口變化的詳細情況。比如1963年世界人口增長率曾經達到過一次峰值： 2.2%， 2009 年這一數值降至 1.1%， 2011年將有1.35億人出生，同時有5700萬人死亡，淨增長人口為7800萬。

為什麼2011年10月31號是「第70億人口日」

聯合國經濟及社會理事會是聯合國的六個主要部門之一。其下屬機構人口司成立於 1946 年，從 50 年代初開始負責世界人口的統計和預測工作。他們每兩年發佈一份世界人口前景（World Population Prospects）報告。這份報告綜合了最新的人口普查、人口調查、人口登記冊及從其它來源獲得的數據。人口預測結果（包括此次的「第 70 億人口日」）就來源於這份報告。但是由於各種統計數據並不完美——即使目前世界上最好的人口普查報告也有著至少 1% 到 2% 的誤差，所以「2011年10月31號」這個日期實際上有著相當高的不確定性，它只是個象徵日期而已。假設中國、印度和印尼這三個國家的人口統計誤差為 2%，那麼世界人口總數將上下浮動約 5600 萬。當然人口司也會通過一些方法儘量減少誤差，再考慮到有些國家人口算得過多，而另一些國家人口算得過少，也會出現兩者正好可以「中和」的情況。即便如此，對於世界人口數量的預測在全球範圍內仍至少存在 1% 的誤差。如果就按 1% 的誤差來計算的話， 70 億人口的到來時間則以 10 月 31 日這個日期為基準 上下浮動 6 個月 。

因此在海量的數據和不可避免的誤差面前，誰也不能精確地說出 70 億人口日到底會哪天到來。另外，大批來源於發展中國家的人口統計學數據都相當糟糕，也許誤差還會比我們想像中的更大。

未來人口數量預測

1929 年美國人口統計學家 Warren Thompson 曾提出過一個 人口轉變模型 （Demographic Transition）用於預測人口未來增長趨勢。但由於這個模型是基於西方國家幾百年高質量的人口統計學數據建立起來的，缺乏發展中國家的數據，且忽略了欠發達地區諸如愛滋病等一些現實情況的影響，所以此模型僅對目前的發達國家適用。

人口轉變模型（其中 1, 2, 3, 4, 5 分別代表人口發展的五個階段）（圖像來源：維基百科）

聯合國人口司基於現有統計數據，假設世界人口數量每年仍會呈指數級增長。同時他們每年也還會對人口數量重新進行分析和預測並修正最終結果。最新的人口未來數量 預測結果 如下表所示：

世界人口數量未來預測

結語：人口問題是個永恆的話題

兩千多前的韓非子在《五蠹》中寫道「今人有五子不為多，子又有五子，大父未死而有二十五孫」，這是古人表現出的對人口過剩的一種擔憂。到今天，關於人口增長的模型已經非常複雜，涉及人類學、人口統計學、歷史和社會學、群體遺傳學、流行病學等多個領域。

另一方面，當初馬爾薩斯認為的制約人口增長的重要因素——食物不足問題，也漸漸地被解決了。但重要的是，現在的我們正面臨著很嚴肅的人口控制問題。「第70億人口日」的意義其實是為了喚醒我們全人類對自身生存環境的危機意識。同時我們也不能忘記，人類並不是地球上的唯一居民。這些問題，正是我們應該思考的。

編輯註：在「最精確的人口統計方法：人口普查」一節中，本文原先闡述了一些人口普查的歷史。但是它在表述上有一些歧義，為保證嚴謹性，我們把它刪除了。感謝 Ent 的提醒。

主要參考資料：

[1] 維基百科詞條（英文）：World population, Malthusian growth model, Censu,Three-fifths compromise, Demographic transition

[2] 維基百科詞條（中文）：多峇巨災理論，人口普查

[3] 人口成長模型 翁秉仁，台灣大學

[4] Reverend Thomas Robert Malthus – An Exponentialst View

[5] ME 406 Logistic Model for US Population

[6] The phenomenological theory of word population growth(Sergei P Kapitza Paper from Physics-Uspekhi 39(1) 57-71(1996))