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公設化集合論的奧秘 (7)為何能比無限大還大?

翁 昌黎
・2014/12/17 ・2631字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 479 ・五年級

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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「聞眾生界不可思議…聞法界不可思議… 聞虛空界不可思議」—大方廣佛華嚴經

如果沒有偉大而極富想像力的數學家康托,那我們迄今為止可能還以為無限大或無窮大就是最大的集合,而且它只有一種型態,就是從1、2、3、4、5一直往下數直到無窮無盡的龐大集合。但令人疑惑的是,所有自然數的集合既然都已經是無限大了,難道還能比它更大?不錯,康托在西元1874年不但找出這個更大的集合,而且還證明了它!

要理解這個比無限大還大的神奇之物,那就要請出ZF集合論的第7個公設—冪集合公設(Axiom of Power Set):

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ZF7  X ∃Y ∀z  [z ∈ Y ∀ u (u∈z u X)]

這個公設看起來有點複雜,但我們如果引入一個關於子集合(subset)的定義就能讓問題簡化許多。以上句式中的 z X 的子集,寫成 zX ,它的定義是:∀ u (u∈z → u∈ X),恰好就是冪集合公設的後半部分。我們先按以上定義把冪集合公設改寫成比較簡單的形式:

ZF7 (1) X ∃Y ∀z  [z ∈ Y z X]

經過上面的簡化之後,冪集合公設的意思是:如果我們手頭上已經有某個 X 集合,那麼由 X 集合的所有子集合可以形成另一個新的集合 Y

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這個公設讓我們又多了一個製造集合的方法,也就是把手頭上現成集合的子集合全部抓出來,將這些子集合作為元素來形成一個新集合,這就是ZF7所要做的事情。但我們還沒解釋什麼是子集合,根據定義,如果∀ u (u∈z → u∈ X)成立,也就是凡 z 的成員都是 X 的成員的話,那 z 就是 X 的子集合。

我們用個簡單的小集合作例子就容易明白了。假設有個包含1, 2, 3三個自然數的集合當作 X = {1, 2, 3} 。那 X 的子集合是甚麼? 首先 {1, 2, 3 } 是它自己的子集合。因為在這種情況下 z = X ,所以∀ u (u∈ X → u∈ X) 顯然成立,這就相當於說在 X 裡邊的元素必定在 X 裡邊一樣的廢話。進一步觀察發現,將 X= { 1, 2, 3 } 中的成員拿掉幾個,殘留的集合都是 X 的子集合,比如說 {1}、{1, 2}和 {2, 3}等都是。將這些子集合全部蒐集起來登記在 Y 底下所形成的集合就是 X 的冪集合。在以上 X= {1, 2, 3}的例子裡:

Y = { {1, 2, 3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1}, {2}, {3}, {  } }

細心的讀者會發現裡面有個空集合,為了邏輯與數學上的嚴密性有必要解釋一下為什麼空集合也是 X 的子集合,但這麼重要的關鍵在許多數學課本裡卻提都不提。

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剛剛談到 z X 的子集合是用∀u (u∈z → u∈ X) 來定義,那我們就把空集合 {  } 放到定義中看看符不符合子集合的規定。那就是要看 ∀ u (u∈{  } → u∈ {1, 2, 3})是否為真? 因為{  }中空空如也什麼都沒有,所以條件句u∈{  } → u∈ {1, 2, 3} 的前件u∈{  }對任何 u 來說都為假,因為不存在任何集合能滿足這個條件。因此根據實質涵蘊 → 的定義,前件為假則整個條件句為真,所以∀ u  (u∈ {  } → u∈ {1, 2, 3}) 為真。既然空集合滿足子集合成立的條件,所以我們可以安心地將其納入冪集合的成員裡頭。

好了,現在我們有了製造冪集合的方法,但要它有何用呢? 它有什麼神妙之處? 粗略觀察可以發現冪集合的成員數比原來集合的成員數還多一些,X 集合有3個成員而它的羃集合 Y 有8個成員。那麼如果我們拿剛剛被無限公設所承認的,包含所有自然數的集合來製造冪集合的話會發生什麼事呢?

在有限集合的情況下,冪集合 Y 的成員數鐵定比原來集合 X 的成員數還多。直覺似乎告訴我們既然所有自然數所形成的集合其成員數量已經是無限大那麼它的冪集合成員數量頂多也是無限大,因為不可能有比無限大更大的數量了。照理說兩者的成員數目應該一樣多才對,照這麼說的話那麼ZF7並沒有提供比ZF6更新鮮的東西。

但在羅素詭論的歷史教訓下,我們在數學領域還是對直覺適度存疑比較妥當。還是按照這個假設來做個實驗,看看 X 集合的冪集合 Y 所擁有的成員數目是否跟 X 集合一樣多。方法是這樣的:假設 Y 的成員和自然數的無限集合一樣多,那它的每個成員必然可以跟自然數對上號,那表示我們可以把它們 ( X 所有的子集合) 用S1, S2, S3,…, Sn,… 來編號排列,其中每個Sk (k=1, 2, 3…)都是 X 的子集合。可以用下表來說明:

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未命名

現在來解釋一下這個表的意義。因為我們是把整個自然數集合拿來選取子集合,所以凡是被選進某個子集合的自然數就打上1,沒選上的就打 0,這樣每個子集合就可以用由 0, 1所形成的無窮序列來表示,每個序列都被標上序號。我們發現將這個子集合序列的對角線連起來會形成一個獨特的0, 1串列,比如在我們以上的例子裡,對角線串列是用紅色數目字表示的 001000101 …。我們利用這個串列來做個改裝,將其中凡是出現 0 的地方都改成1,凡是出現1的地方都改成 0,這樣就得到一個新的串列(上表藍字部分)S = 110111010…。

這個串列S有一個奇妙的特性,那就是它居然不落在無窮序列 Sk(k=1, 2, 3…  ) 裡面!為什麼呢? 仔細觀看S的變化可以發現它的第一個數字與S1 不同,所以S不是S1第二個數字與S2 不同,所以S也不是S2第三個數字與S3 不同…,也就是說S不可能出現在 Sk(k=1, 2, 3…) 這個無窮序列裡。

聰明的你可能會說,沒關係,把這個不合群的S重新放到Sk裡不就得了!反正Sk是個無窮序列,多一個不多,少一個不少,這樣以上的難題就解決了。先別高興太早,當你把這個S放進無窮序列之後,我們依然可以如法泡製,用同樣方法畫出一條新的對角線,然後得出一個新的0, 1串列,再將其中的 0轉成11再轉成0,於是又得到一個新串列S’。新串列S’ 仍然不在新形成的Sk裡,正所謂魔高一尺道高一丈上有政策下有對策,永遠會出現漏網之魚。

但這隻咬破魚網的小魚S意味著什麼呢? 千萬別小看它,它意味著全體自然數的集合還不夠大,自然數的無限集合無法窮盡由它所形成的冪集合,偉大的知識革命就在那條魚出現之處完成了。它意味自然數冪集合的成員數目居然比自然數的數目還要多!這是個革命性的發現,利用神奇的對角線論證,康托證明了存在著比全體自然數集合—所謂的可數無限(countable infinity)集合還要大的不可數無限(uncountable infinity)集合。跟這個發現相比哥倫布所謂的發現新大陸簡直就像扮家家酒。

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無限公設ZF6送給我們第一個無限集合,但它只是可數的無限。ZF7帶給我們製造冪集合的方法,把ZF6的無限集合當成原料,利用ZF7這台神奇數學機器居然成功提煉出超乎想像的不可數無限集合,並將我們的數學知識帶到一個前所未有的嶄新世界。

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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上網也要有「技術」!從言論、隱私到國安,你我都該懂的界線
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/18 ・2366字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

以為鍵盤俠天下無敵?小心一個不留神就觸法!人們常忽略「網路並非法外之地」這個重要事實。不只現實生活中的法律同樣適用於網路空間,隨著科技發展,更多應網路特性而生的法律規範也相繼出現。從基本的言論自由到隱私權保護,從智慧財產權到國家安全,法律體系正全面性地回應數位時代的種種挑戰。

在臺灣,網路上的言論自由權利源自《憲法》第 11 條的明確規定:「人民有言論、講學、著作及出版之自由。」釋字第 509 號則指出,「國家應給予最大限度之維護,俾其實現自我、溝通意見、追求真理及監督各種政治或社會活動之功能得以發揮。」網路快速傳播的特性放大了言論的影響力,而大法官的解釋將言論自由的邊際刻畫得更明確,這在數位時代裡顯得格外重要。

網路與社群媒體的快速傳播,放大了言論的影響力。圖/unsplash

網路上的性、暴力與未成年保護

顯然言論自由並非是毫無限制,2023 年 11 月的一起案件就展現其中一種界線的樣貌。當時,一名 36 歲男子將他和網友在網咖的性愛影片上傳至推特,還寫下「《網咖包廂實戰計 1》我跟某公司 OL 戰鬥」等文字。這段影片一經發布,當事女子立即採取法律行動。最終,法院依其以網際網路「供人觀覽猥褻影像」的罪名,判處該名男子拘役 30 日,得易科罰金。這個判決清楚說明了,即便在虛擬空間,散布猥褻影像仍須承擔實質的法律責任。

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特別是在保護未成年人方面,法律的規範更加嚴格。《刑法》第 235 條明文禁止散布、播送或販賣猥褻物品,無論形式是圖文、聲音還是影像。而《兒童及少年性剝削防制條例》第 36 條更進一步禁止任何形式的兒童色情製品被製造、散布和持有。2019年彰化縣曾層發生過這樣一起案件:一名陳姓中年男子將9歲女童帶往居所,不僅強迫她觀看色情影片,還對她進行猥褻行為,甚至將過程上傳至 Google 雲端。儘管他後來試圖以資助女童就學表達悔意,法院仍以加重強制猥褻等罪,判處他 4 年 4 個月有期徒刑。

不實言論的散布同樣可能觸犯法律。2021 年 9 月爆發的「台大狼師案」就是一個警示。一名女大生在網路上指控教師誘騙她發生關係並傳染性病,幾個月後又指控對方對她進行強制性行為。當她提出告訴時,檢方卻查無性侵事實,加上她反覆的說詞,不僅性侵告訴失敗,還因誹謗罪反被加重判刑。

當駭客、間諜都轉戰網路戰場

2013 年,一名退役空軍上校赴陸經商時被情治單位吸收,返台後透過人脈網絡發展組織、刺探軍事機密,並以空殼公司掩護非法報酬,這個情報網持續運作了 8 年之久。

在涉及國家安全的議題上,法律的態度更是嚴厲。根據《國家安全法》第 2 條的規定,任何人都不得為境外敵對勢力及其控制的組織、機構進行資助、主持、操縱、指揮或發展組織,更不能洩漏、交付或傳遞公務機密,違反者將面臨嚴厲的刑事處罰。《刑法》規定,意圖破壞國體、竊據國土,或以非法方法變更國憲、顛覆政府者,處7年以上有期徒刑,首謀更要判處無期徒刑。

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抄襲與轉貼的邊界在哪裡?

在智慧財產權的保護上,臺灣也經歷了數位時代的轉變。台灣第一個網路著作權相關判決,就發生在傳統出版與數位平台的碰撞之中。南方社區文化網路負責人陳豐偉等三人在中山大學 BBS 上發表的文章,未經同意就被《光碟月刊》收錄在隨刊光碟中發行。三人向台北地檢署提告後,《光碟月刊》發行人兼總經理黃俊義被判處七個月有期徒刑,緩刑三年。這個判決為數位時代的著作權保護樹立了重要典範。

臺灣首例網路著作權案判決,為數位時代智慧財產權保護樹立典範。圖/envato

近年來,影音平台的著作權爭議更趨複雜。2022 年,知名 YouTube 頻道「觸電網」就因為片商車庫娛樂檢舉七十多支未經授權的影片,導致經營 12 年的頻道被迫下架。車庫娛樂透過律師聲明,這是針對「未經合法授權影音內容」的標準處理,並表明將追究民事與刑事責任。

受害了怎麼辦?申訴管道報你知

當我們在網路上的權利受到侵害時,可以根據侵害類型尋求不同的救濟管道。最基本的言論自由權利受到侵犯時,可以先向社群平台提出檢舉。若遇到更嚴重的情況,如散布猥褻影像、非法性私密影片等,除了平台檢舉外,還可以向警方提告,或是尋求衛福部「性影像處理中心」的協助。

在面對網路霸凌、不實言論時,可以向台灣事實查核中心、MyGoPen 等組織求助,協助澄清真相。若發現有害兒少身心健康的不當內容,則可以向 iWIN 網路內容防護機構提出申訴。這個由國家通訊傳播委員會支持的組織,會在受理後進行查核、轉介業者改善或依法處理。

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智慧財產權的侵害在網路時代極為常見,就像「觸電網」遭片商檢舉下架的案例。這類情況可以透過平台既有的著作權保護機制處理,情節嚴重者也可以提起民事訴訟要求賠償。若發現可疑的廣告或不公平交易行為,則可以向公平交易委員會檢舉;若是特定領域的違規內容,則應該向各該主管機關反映,例如藥品廣告歸衛福部管轄、證券期貨廣告則由金管會負責。

網路時代的法律規範正不斷演進,從個人隱私到國家安全,從言論自由到智慧財產權,每個面向都在尋求數位環境下的最佳平衡點。作為網路使用者,我們必須理解並遵守這些法律界線,同時也要懂得運用各種救濟管道保護自身權益。唯有每個人都清楚了解並遵守這些規範,才能共同營造一個更安全、更有序的網路環境。

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當心網路陷阱!從媒體識讀、防詐騙到個資保護的安全守則
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/17 ・3006字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

網路已成為現代人生活中不可或缺的一部分,可伴隨著便利而來的,還有層出不窮的風險與威脅。從充斥網路的惡假害訊息,到日益精進的詐騙手法,再到個人隱私的安全隱憂,這些都是我們每天必須面對的潛在危機。2023 年網路購物詐欺案件達 4,600 起,較前一年多出 41%。這樣的數據背後,正反映出我們對網路安全意識的迫切需求⋯⋯

「第一手快訊」背後的騙局真相

在深入探討網路世界的風險之前,我們必須先理解「錯誤訊息」和「假訊息」的本質差異。錯誤訊息通常源於時效性考量下的查證不足或作業疏漏,屬於非刻意造假的不實資訊。相較之下,假訊息則帶有「惡、假、害」的特性,是出於惡意、虛偽假造且意圖造成危害的資訊。

2018 年的關西機場事件就是一個鮮明的例子。當時,燕子颱風重創日本關西機場,數千旅客受困其中。中國媒體隨即大肆宣傳他們的大使館如何派車前往營救中國旅客,這則未經證實的消息從微博開始蔓延,很快就擴散到各個內容農場。更令人遺憾的是,這則假訊息最終導致當時的外交部駐大阪辦事處處長蘇啟誠,因不堪輿論壓力而選擇結束生命。

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同年,另一則「5G 會抑制人體免疫系統」的不實訊息在網路上廣為流傳。這則訊息聲稱 5G 技術會影響人體免疫力、導致更容易感染疾病。儘管科學家多次出面澄清這完全是毫無根據的說法,但仍有許多人選擇相信並持續轉發。類似的例子還有 2018 年 2 月底 3 月初,因量販業者不當行銷與造謠漲價,加上媒體跟進報導,而導致民眾瘋狂搶購衛生紙的「安屎之亂」。這些案例都說明了假訊息對社會秩序的巨大衝擊。

提升媒體識讀能力,對抗錯假訊息

面對如此猖獗的假訊息,我們首要之務就是提升媒體識讀能力。每當接觸到訊息時,都應先評估發布該消息的媒體背景,包括其成立時間、背後所有者以及過往的報導記錄。知名度高、歷史悠久的主流媒體通常較為可靠,但仍然不能完全放下戒心。如果某則消息只出現在不知名的網站或社群媒體帳號上,而主流媒體卻未有相關報導,就更要多加留意了。

提升媒體識讀能力,檢視媒體背景,警惕來源不明的訊息。圖/envato

在實際的資訊查證過程中,我們還需要特別關注作者的身分背景。一篇可信的報導通常會具名,而且作者往往是該領域的資深記者或專家。我們可以搜索作者的其他作品,了解他們的專業背景和過往信譽。相對地,匿名或難以查證作者背景的文章,就需要更謹慎對待。同時,也要追溯消息的原始來源,確認報導是否明確指出消息從何而來,是一手資料還是二手轉述。留意發布日期也很重要,以免落入被重新包裝的舊聞陷阱。

這優惠好得太誇張?談網路詐騙與個資安全

除了假訊息的威脅,網路詐騙同樣令人憂心。從最基本的網路釣魚到複雜的身分盜用,詐騙手法不斷推陳出新。就拿網路釣魚來說,犯罪者通常會偽裝成合法機構的人員,透過電子郵件、電話或簡訊聯繫目標,企圖誘使當事人提供個人身分、銀行和信用卡詳細資料以及密碼等敏感資訊。這些資訊一旦落入歹徒手中,很可能被用來進行身分盜用和造成經濟損失。

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網路詐騙手法不斷進化,釣魚詐騙便常以偽裝合法機構誘取敏感資訊。圖/envato

資安業者趨勢科技的調查就發現,中國駭客組織「Earth Lusca」在 2023 年 12 月至隔年 1 月期間,利用談論兩岸地緣政治議題的文件,發起了一連串的網路釣魚攻擊。這些看似專業的政治分析文件,實際上是在臺灣總統大選投票日的兩天前才建立的誘餌,目的就是為了竊取資訊,企圖影響國家的政治情勢。

網路詐騙還有一些更常見的特徵。首先是那些好到令人難以置信的優惠,像是「中獎得到 iPhone 或其他奢侈品」的訊息。其次是製造緊迫感,這是詐騙集團最常用的策略之一,他們會要求受害者必須在極短時間內作出回應。此外,不尋常的寄件者與可疑的附件也都是警訊,一不小心可能就會點到含有勒索軟體或其他惡意程式的連結。

在個人隱私保護方面,社群媒體的普及更是帶來了新的挑戰。2020 年,一個發生在澳洲的案例就很具有警示意義。當時的澳洲前總理艾伯特在 Instagram 上分享了自己的登機證照片,結果一位網路安全服務公司主管僅憑這張圖片,就成功取得了艾伯特的電話與護照號碼等個人資料。雖然這位駭客最終選擇善意提醒而非惡意使用這些資訊,但這個事件仍然引發了對於在社群媒體上分享個人資訊安全性的廣泛討論。

安全防護一把罩!更新裝置、慎用 Wi-Fi、強化密碼管理

為了確保網路使用的安全,我們必須建立完整的防護網。首先是確保裝置和軟體都及時更新到最新版本,包括作業系統、瀏覽器、外掛程式和各類應用程式等。許多網路攻擊都是利用系統或軟體的既有弱點入侵,而這些更新往往包含了對已知安全漏洞的修補。

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在使用公共 Wi-Fi 時也要特別當心。許多公共 Wi-Fi 缺乏適當的加密和身分驗證機制,讓不法分子有機可乘,能夠輕易地攔截使用者的網路流量,竊取帳號密碼、信用卡資訊等敏感數據。因此,在咖啡廳、機場、車站等公共場所,都應該避免使用不明的免費 Wi-Fi 處理重要事務或進行線上購物。如果必須連上公用 Wi-Fi,也要記得停用裝置的檔案共享功能。

使用公共 Wi-Fi 時,避免處理敏感事務,因可能存在數據被攔截與盜取的風險。圖/envato

密碼管理同樣至關重要。我們應該為不同的帳戶設置獨特且具有高強度的密碼,結合大小寫字母、數字和符號,創造出難以被猜測的組合。密碼長度通常建議在 8~12 個字元之間,且要避免使用個人資訊相關的詞彙,如姓名、生日或電話號碼。定期更換密碼也是必要的,建議每 3~6 個月更換一次。研究顯示,在網路犯罪的受害者中,高達八成的案例都與密碼強度不足有關。

最後,我們還要特別注意社群媒體上的隱私設定。許多人在初次設定後就不再關心,但實際上我們都必須定期檢查並調整這些設定,確保自己清楚瞭解「誰可以查看你的貼文」。同時,也要謹慎管理好友名單,適時移除一些不再聯繫或根本不認識的人。在安裝新的應用程式時,也要仔細審視其要求的權限,只給予必要的存取權限。

提升網路安全基於習慣培養。辨識假訊息的特徵、防範詐騙的警覺心、保護個人隱私的方法⋯⋯每一個環節都不容忽視。唯有這樣,我們才能在享受網路帶來便利的同時,也確保自身的安全!

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

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具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

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我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

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無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

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如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

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無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

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無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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