文 / 翁昌黎（《孔恩vs.波普》中文譯者）
「聞眾生界不可思議…聞法界不可思議… 聞虛空界不可思議」—大方廣佛華嚴經
如果沒有偉大而極富想像力的數學家康托，那我們迄今為止可能還以為無限大或無窮大就是最大的集合，而且它只有一種型態，就是從1、2、3、4、5一直往下數直到無窮無盡的龐大集合。但令人疑惑的是，所有自然數的集合既然都已經是無限大了，難道還能比它更大？不錯，康托在西元1874年不但找出這個更大的集合，而且還證明了它！
要理解這個比無限大還大的神奇之物，那就要請出ZF集合論的第7個公設—冪集合公設(Axiom of Power Set)：
ZF7 ∀X ∃Y ∀z [z ∈ Y ↔ ∀ u (u∈z → u∈ X)]
這個公設看起來有點複雜，但我們如果引入一個關於子集合（subset）的定義就能讓問題簡化許多。以上句式中的 z 是 X 的子集，寫成 z ⊆ X ，它的定義是：∀ u (u∈z → u∈ X)，這恰好就是冪集合公設的後半部分。我們先按以上定義把冪集合公設改寫成比較簡單的形式：
ZF7 (1) ∀X ∃Y ∀z [z ∈ Y ↔ z⊆ X]
經過上面的簡化之後，冪集合公設的意思是：如果我們手頭上已經有某個 X 集合，那麼由 X 集合的所有子集合可以形成另一個新的集合 Y。
這個公設讓我們又多了一個製造集合的方法，也就是把手頭上現成集合的子集合全部抓出來，將這些子集合作為元素來形成一個新集合，這就是ZF7所要做的事情。但我們還沒解釋什麼是子集合，根據定義，如果∀ u (u∈z → u∈ X)成立，也就是凡 z 的成員都是 X 的成員的話，那 z 就是 X 的子集合。
我們用個簡單的小集合作例子就容易明白了。假設有個包含1, 2, 3三個自然數的集合當作 X = {1, 2, 3} 。那 X 的子集合是甚麼？ 首先 {1, 2, 3 } 是它自己的子集合。因為在這種情況下 z = X ，所以∀ u (u∈ X → u∈ X) 顯然成立，這就相當於說在 X 裡邊的元素必定在 X 裡邊一樣的廢話。進一步觀察發現，將 X= { 1, 2, 3 } 中的成員拿掉幾個，殘留的集合都是 X 的子集合，比如說 {1}、{1, 2}和 {2, 3}等都是。將這些子集合全部蒐集起來登記在 Y 底下所形成的集合就是 X 的冪集合。在以上 X= {1, 2, 3}的例子裡：
Y = { {1, 2, 3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1}, {2}, {3}, { } }
細心的讀者會發現裡面有個空集合，為了邏輯與數學上的嚴密性有必要解釋一下為什麼空集合也是 X 的子集合，但這麼重要的關鍵在許多數學課本裡卻提都不提。
剛剛談到 z 是 X 的子集合是用∀u (u∈z → u∈ X) 來定義，那我們就把空集合 { } 放到定義中看看符不符合子集合的規定。那就是要看 ∀ u (u∈{ } → u∈ {1, 2, 3})是否為真？ 因為{ }中空空如也什麼都沒有，所以條件句u∈{ } → u∈ {1, 2, 3} 的前件u∈{ }對任何 u 來說都為假，因為不存在任何集合能滿足這個條件。因此根據實質涵蘊 → 的定義，前件為假則整個條件句為真，所以∀ u (u∈ { } → u∈ {1, 2, 3}) 為真。既然空集合滿足子集合成立的條件，所以我們可以安心地將其納入冪集合的成員裡頭。
好了，現在我們有了製造冪集合的方法，但要它有何用呢？ 它有什麼神妙之處？ 粗略觀察可以發現冪集合的成員數比原來集合的成員數還多一些，X 集合有3個成員而它的羃集合 Y 有8個成員。那麼如果我們拿剛剛被無限公設所承認的，包含所有自然數的集合來製造冪集合的話會發生什麼事呢？
在有限集合的情況下，冪集合 Y 的成員數鐵定比原來集合 X 的成員數還多。直覺似乎告訴我們，既然所有自然數所形成的集合其成員數量已經是無限大，那麼它的冪集合成員數量頂多也是無限大，因為不可能有比無限大更大的數量了。照理說兩者的成員數目應該一樣多才對，照這麼說的話那麼ZF7並沒有提供比ZF6更新鮮的東西。
但在羅素詭論的歷史教訓下，我們在數學領域還是對直覺適度存疑比較妥當。還是按照這個假設來做個實驗，看看 X 集合的冪集合 Y 所擁有的成員數目是否跟 X 集合一樣多。方法是這樣的：假設 Y 的成員和自然數的無限集合一樣多，那它的每個成員必然可以跟自然數對上號，那表示我們可以把它們 ( X 所有的子集合) 用S1, S2, S3,…, Sn,… 來編號排列，其中每個Sk (k=1, 2, 3…)都是 X 的子集合。可以用下表來說明：
現在來解釋一下這個表的意義。因為我們是把整個自然數集合拿來選取子集合，所以凡是被選進某個子集合的自然數就打上1，沒選上的就打 0，這樣每個子集合就可以用由 0, 1所形成的無窮序列來表示，每個序列都被標上序號。我們發現將這個子集合序列的對角線連起來會形成一個獨特的0, 1串列，比如在我們以上的例子裡，對角線串列是用紅色數目字表示的 001000101 …。我們利用這個串列來做個改裝，將其中凡是出現 0 的地方都改成1，凡是出現1的地方都改成 0，這樣就得到一個新的串列（上表藍字部分）S = 110111010…。
這個串列S有一個奇妙的特性，那就是它居然不落在無窮序列 Sk(k=1, 2, 3… ) 裡面！為什麼呢？ 仔細觀看S的變化可以發現，它的第一個數字與S1 不同，所以S不是S1，第二個數字與S2 不同，所以S也不是S2，第三個數字與S3 不同…，也就是說S不可能出現在 Sk(k=1, 2, 3…) 這個無窮序列裡。
聰明的你可能會說，沒關係，把這個不合群的S重新放到Sk裡不就得了！反正Sk是個無窮序列，多一個不多，少一個不少，這樣以上的難題就解決了。先別高興太早，當你把這個S放進無窮序列之後，我們依然可以如法泡製，用同樣方法畫出一條新的對角線，然後得出一個新的0, 1串列，再將其中的 0轉成1，1再轉成0，於是又得到一個新串列S’。新串列S’ 仍然不在新形成的Sk裡，正所謂魔高一尺道高一丈上有政策下有對策，永遠會出現漏網之魚。
但這隻咬破魚網的小魚S意味著什麼呢？ 千萬別小看它，它意味著全體自然數的集合還不夠大，自然數的無限集合無法窮盡由它所形成的冪集合，偉大的知識革命就在那條魚出現之處完成了。它意味自然數冪集合的成員數目居然比自然數的數目還要多！這是個革命性的發現，利用神奇的對角線論證，康托證明了存在著比全體自然數集合—所謂的可數無限（countable infinity）集合還要大的不可數無限（uncountable infinity）集合。跟這個發現相比，哥倫布所謂的發現新大陸簡直就像扮家家酒。
無限公設ZF6送給我們第一個無限集合，但它只是可數的無限。ZF7帶給我們製造冪集合的方法，把ZF6的無限集合當成原料，利用ZF7這台神奇數學機器居然成功提煉出超乎想像的不可數無限集合，並將我們的數學知識帶到一個前所未有的嶄新世界。
正直的周老師
911090
楊樂多
