為什麼氣象預報老是不準？

你知道有那麼一條公式——它不僅可以表述生態系中動物族群的數量變化、城市裡人口隨時間的變遷，還與金融市場的波動、甚至是氣候變遷有所關聯？更令人驚奇的是，這個式子並不是什麼複雜的偏微分方程，它只有短短一行、就連國小學生都能代入算出。

這個看似相當簡單的式子，能推演出極其複雜的圖像；而在看似錯綜複雜的圖像背後，卻又隱藏著某種未知的神秘規律。今天這篇文章，將帶領大家透過這個簡單的函數重新認識世界。

自然界潛藏的規律

且讓我們先從自然界談起。假設一片草原上有一群斑馬生活著，我們想要知道明年、後年、甚至數十年後的數量；我們知道，這一部分取決於斑馬的出生率，還有另一部分取決於環境的負載力——假設斑馬的族群總數超過了該草地所能負荷的程度，很可能在往後導致族群的縮減，因此，負載力有點類似於一個約束條件。有了以上的資訊，我們可以嘗試用數學來描述：

這邊，x_n 代表的是「現存族群數量與最大可容納的族群數量」之比值，你可以想像成：假設這片草原此時此刻有 60 隻斑馬，而草原所能容納斑馬數量的最大值為 100 隻斑馬——一旦超過這個值，那麼便會面臨諸如饑荒等生態危機。因此，在此例子中，x₀ = 60/100 = 0.6。而假設我們想知道明年的數量，也就是 x₁，便可以帶進去推算。那麼，式子中的＂r＂又是什麼？你可以將它理解為「成長率」，但要注意的是，它的值一般是界定在 0 與 4 之間。

如果單純只看 x_n+1 = r x_n，假設 r=2，今年有 60 隻斑馬、明年有 120 斑馬、後年便會是 240 隻，這樣只會無止盡地指數增長下去；因此，當我們設定了＂(1 -  x_n)＂這個約束條件後，便可以解決這個問題——假如今年的 x_n = 1，意味著該地斑馬數量已然達到環境可負荷的最大值，便會因為饑荒等因素滅絕，隔年得到的數量便將為零。這個看似簡單、卻又多少能給生態學家建構模型的公式，稱為「單峰映射」(logistic map)，也是今天文章的主角。

這個式子不僅可套用在生態系，也可以套用在人口學：舉個例子，某城市今年有 60 萬人，該城市所能負載的最大人口為 100 萬人，而每年的成長率大概是 r = 1.5，那麼，套進公式會發現：明年的人口將為 36 萬、第三年人口將為 34.6 萬……，從而漸漸達到平衡點。如果一開始我們假定有 30 萬人，明年將會成長為 31 萬、後年成長為 32 萬，然後趨近於和前者相近的平衡點。最後，如果這個城市一開始就有 90 萬人，第二年便會因為環境負載力而銳減至 13.5 萬人，但後年、大後年之後將會隨著成長率升高而回升至約莫 33 萬人的平衡點。

而這些資訊並非憑空構思的，因為它們本身就含括在單峰映射的公式裡，用圖表呈現便一目了然，你會發現無論前幾年如何變化、最終都會回歸一個平衡點：

而這個穩定值是取決於＂r＂的，也就是說，只要 r = 1.5，無論人口數目如何變化，最終的平衡點都不會有所差異。

規律的瓦解、未知的開端

因此，我們何不來看看＂r＂會如何變化？這時，我們回到原本的假設：一個城市裡有 60 萬人口，如果改動不同的 r，演化曲線將會如何改變？

當我們將 r 值逐步增加，一切看似並無異常；當 r=2.8 時，我們發現圖形出現了週期性的振盪，但最後依舊回歸平穩。順帶一提，我們可以藉由「分枝圖」(bifurcation diagram) 來觀察 x 的穩定值與 r 的關係，在 r=0 至 2.8 之間，x 穩定值有攀升趨勢；在 r=1.5 時，根據前述的例子，x 的穩定值落在 0.33 左右，從下圖也可以直接看出：

我們繼續調大 r 值。正當一切看似正常發展時，詭異的事情發生了：

在此之前，一切族群的數量都是平穩的，但在 r 超過 3 左右，持續的振盪出現了，且自此「平衡點」不復存在；不僅如此，當 r 值不斷調升，顯示出來的圖像從原本 2 個值、4 個值、到更多值之間來回振盪。值得一提的是，這種「週期性振盪」的現象在生態圈與人口變化中是確實存在的，很有可能前一年數量減少、今年數量增加、明年數量又再減少。讓我們來看看對應的分枝圖：

這對應於原本從 2 個值之間的擺盪、分岔成 4 個值之間的擺盪、再分岔成 8 個值之間的擺盪……如此往復。此外，如果你留意橫軸 r 之間的間隔，會發現：當 r 愈大時，分岔的速度也愈快！

現在讓我們繼續將 r 值調升，來看看會發生什麼事：

話不多說，我們直接來看看分枝圖：

令人毛骨悚然的結果出現了！前面我們觀察到，當r提升時，系統會出現週期性的振盪，對應於分枝圖中的「分岔」，且分岔的速率會不斷增快、再增快；而在 r 超過 3.5699 時，規律的振盪、分岔將不復存在，取而代之的是一團無法預測的隨機——這就是所謂的「混沌」(chaos)。

混沌、股票市場、以及蝴蝶效應

現在讓我們看一下完整的分枝圖長什麼樣子：

換而言之，當系統的變量到一定程度時，將會變成隨機且無法預測的。以人口為例，一開始我們假設的情況很簡單，就是 60 萬人口與 r=1.5 的成長率；接著我們發現，無論人口基數如何，只要 r 維持原狀，數年、乃至於數十年後的平衡點都是相近的。然而，當r值提升後，平衡點的值便會浮動了，r=3 之後週期性的振盪便出現了、且分岔點不斷加速倍增；緊接著，我們赫然發現：

當 r 值大於 3.5699 時，系統將全然處於混沌狀態。

也就是說，即便給定初始條件，最後的人口演化將會是無法預測的。事實上，這種「混沌」、「隨機」的現象並不僅僅侷限於自然界的族群或者人口數量，它其實是隨處可見的。比如：家中水龍頭關不太緊時，水滴很自然地會落下，按理來說，鬆緊程度與水壓毫無變化的情況下，滴水的規律應該也是不變的；但如果你花一段時間觀察，會發現水滴可能一下子連續落下兩滴、一下子又只落下一滴——我們根本無法預測每一次的滴落模式。

另一個例子就是金融市場：當我們投資了固定金額的股票後，市場的波動將導致金額的浮動，就算有再好的分析師與預測模型，我們也不可能精準預測明天的投資金額會變多少。順帶一提，在金融學中描述期權的模型是「布萊克－休斯模型」(Black-Scholes model)，它便是從微觀粒子的「布朗運動」(Brownian motion) 所推導而來，其中粒子碰撞隨時間演化的隨機過程被稱為「維納過程」(Wiener process)。布萊克－休斯模型的假設之一，便是將隨時間演化的「股票價格」描述成維納過程，從而預測、消弭潛在的風險。事實上，休斯本身大學時就是主修物理學的。

而提到「混沌現象」，最經典的例子當然還是氣象學家愛德華．洛倫茲（Edward Lorenz）的那句名言：

「一隻海鷗拍動翅膀，將導致永久性的氣候變化。」

“One flap of a sea gull’s wings would be enough to alter the course of the weather forever.”

爾後，這個現象被稱為「蝴蝶效應」(Butterfly effect)，也就是說，縱然系統初始條件只有微不足道的變化，也會導致最後產生的結果大相徑庭；即使是一隻在巴西的蝴蝶拍動翅翼，周邊的氣流變化會連帶影響、擴散至大氣系統，甚至能致使一個月後的德州發生龍捲風。

這些非線性、隨機的現象在自然界無處不在，許多科學家也嘗試研究，締造了「混沌理論」(chaos theory) 的研究熱潮。一旦我們能從中梳理出一些規律，那麼，也許便能更精確地掌握「混沌」之中的資訊，這將有助於我們更精確地預測投資股票的風險、也有助於人們更準確地預測天氣的變化。

混沌背後的神秘常數

從描述族群、人口的簡單函數推演到「混沌狀態」的存在已經夠令人驚豔了，然而，不知你是否曾留意過分枝圖中、每一段分岔點之間的間隔？

如果你把我們最後得到的分岔圖放大來看，會發現在混沌狀態之前、分岔點出現的速率不斷增快；而如果你對每一個分岔點之間的間隔取比值，你會發現——每一次得到的值都會是同一個數字，這個數字大致為 4.669，它被稱為「費根鮑姆常數」(Feigenbaum constants)。

更令人細思極恐的是，這個「常數」並非只存在於單峰映射，所有混沌理論中有這種分岔性質的圖像，它們之間的比例都是這個常數！而目前數學界尚未能明確理解這個常數的性質，唯一可以推測的是：

費根鮑姆常數（4.669…）與混沌理論有密不可分的聯繫；該常數的出現意味著混沌現象即將發生。

在前述單峰映射的例子中，費根鮑姆常數主宰了 r=3.5699 之前的分岔規律；在 r 超過 3.5699 後，系統便徹底進入混沌狀態了。

除此之外，你或許也發現了，每個分岔的形狀都超乎尋常地相似，後一個分岔根本上就是前一個分岔的縮小版。這種特徵令人聯想到數學上的「碎形」(fractal)，也就是某些形狀放大後會是自己的本體、從而無窮延伸下去。最著名的例子就是複數平面上二次多項式迭代出來的「曼德博集合」(Mandelbrot set)。信不信由你——當我們將單峰映射的分枝圖與曼德博集合比照來看，會發現分岔點之間是有所對應關係的；也就是說，單峰映射可以視為曼德博集合的一部分！

從簡單的單峰映射公式，我們推導出了自然界族群、人口的演化模式，進一步發現了「混沌」狀態的存在；而在看似極其複雜的混沌狀態中，似乎又發現了隱藏在隨機背後的神秘規律。

混沌理論在生活中是無所不在的，時至今日，仍有不少未知的特性等著人們發掘與驗證。從生物的競爭、人口的演化、股市的浮動、亂流的成因、到氣候的變遷……這些日常事物都被混沌現象主宰著，從而使我們無法精準預測到未來的走向。然而，費根鮑姆常數的發現與幾何碎形的聯繫卻也指出了隨機背後潛藏著某些規律，這也不禁令人讚嘆自然界的美麗與神秘。

• 作者／廖子萱

蕞爾臺灣島，地跨熱帶與副熱帶季風氣候區、四面環海，縱貫的百岳更加深了氣候的複雜程度。

在這樣的地理條件下，即便當今借助氣象衛星進行天氣分析，預報仍偶見差之毫釐、失之千里。一百年前，人們對於山岳、海洋與其相生的自然現象往往常處於未知，而至今日手機隨手可得及時的氣象預報，在短短一百年間，臺灣氣象科學從無到有，蓬勃發展。這背後的功臣包括了中央氣象局、高山氣象站、地震觀測站，這些單位的前身與發展，皆與近藤久次郎有關。

近藤久次郎（Kondo Kyujiro ，1858 – 1926）是臺灣首任總督府測候所技手兼所長，也是臺北測候所所長（現中央氣象局）。 1896 至 1924 年在臺期間，近藤引領總督府測候所設立了七座地方測候所，並協調地方基層治理單位，建構氣象觀測方法和資料搜集的網絡。他更推動高山觀測方法，以進行颱風預測、推動高山與地震觀測系統的建置，為臺灣氣象科學翻開了嶄新的一頁。

臺灣近代氣象觀測的發展

臺灣近代氣象觀測發展可追溯於清朝，光緒年間的1883年，清廷聘請杜伯克博士（Dr. William Doberck）赴香港擔任首任天文司（天文台台長），並在沿海稅關和燈塔裝置觀測設備，進行氣象觀察。臺灣基隆、淡水、安平、打狗四港的稅關，以及漁翁島（澎湖）、南岬（鵝鑾鼻）也陸續在 1885 年前後，展開十餘年的氣象記錄。然而，1895 年清廷與日本簽訂馬關條約割讓臺灣，氣象觀測工作就此停擺，多數的觀測儀器與記錄更在政權交替期間散失。

日本統治臺灣之後，由於當時國際航海安全多仰賴氣象資料，在英法強權的施壓下，臺灣總督府於1896年發布第 97 號敕令，以「台灣總督府測候所官制」編制氣象觀測單位，而日本中央氣象台則選派本文主角，技手（技士）近藤久次郎來臺勘查、策劃氣象觀測站。同年，總督府也在民政局通信部海事課增設「氣象掛」一單位，統理全島氣象事務，如氣象觀測、天氣調查、颱風警報、地震檢測等工作。

1896 年四月至六月間，近藤久次郎與民政局通信部海事課課長遠藤可一翻山越嶺、走訪各地，行跡遠至鵝鑾鼻。根據兩人的調查基礎，臺灣總督府先後於臺北、臺中、臺南、恆春和澎湖設置測候所（後三為 1987 年設立），近藤也在日本中央氣象台台長中村精男（Nakamura Kiyoo）的任命下擔任臺北測候所所長，開始逐步搭建全島的氣象觀測網絡。

在各地氣候觀測所選址的條件上，近藤久次郎配合日本政府在農業、工業、航海與公共衛生等發展項目的資料需求，為詳實觀測各區域氣候根據相對距離由北至南畫設臺北、臺中、臺南、恆春測候所^１ 。此外，還參考了夏季與秋季的颱風路徑設立澎湖測候所，用以觀察自香港與馬尼拉而來的颱風。

除了本島的氣象觀測，近藤還曾於1897年，帶著晴雨計、寒暖針遠赴火燒嶼（綠島）、紅頭嶼（蘭嶼）進行氣象觀測、測量山頂高度，策劃設立觀測站。而後隨著總督府逐步克服東部地區交通和電信的限制， 1900 年、1910 年臺東和花蓮測候所分別建設完成，時至 1924 年近藤久次郎卸任前，全臺共設有七座「一般測候所」。

十九世紀末的觀測所主要沿用清朝遺留的官廳或民房，屋頂簡單設有的風力與風向儀，室內則作為辦公之用。一般測候所以風力塔為主要的觀測設施、可測量風向、風速、風壓、日照和日射；辦公室外設置氣象觀測坪以測量氣溫、雨量、地面溫度等；測候所外另設有提供執勤人員進駐的官舍。

而在時間方面，位於政治中心的臺北觀測所實施 24 小時氣象觀測；其他測候則每四個小時實施觀測、每日六次，用於地區性天氣預報，並將資料匯報予臺北測候所以利發布臨時颱風警報、氣候月報和年報，進一步進行總體性的氣象分析。

擴大氣象觀測網路，發佈氣象預報歷史頁面

為了擴大氣象觀測網絡，總督府會同官廳、派出所、郵局等單位協助蒐集雨量和氣溫資料，並於 1896 年 7 月以「民通 151 號」公報始建立暴風警報通報流程，命令各官廳、海關、郵局、燈塔，將通信部海事課所轉發的暴風警報公布予地方民眾，九座燈塔更奉「總督府訓」兼任氣象觀測的任務，協助測量氣溫、氣壓、風、雲與雨量。

1897 年 9 月，近藤領導的臺北測候所開始發佈每日三次的氣象預報，並與琉球、九州南部測候所，以及徐家匯、香港、馬尼拉等地的氣象台交換氣象報告。 ^２依循著新展開的天氣觀測模式，總督府府報開設「觀象」專欄，刊登臺北測候所撰寫的天氣預報（「本島氣象天氣豫報び天氣概況及暴風警報等」），開啟了臺灣天氣預報歷史性的一頁。直到1905年，全臺各地的雨量觀測網絡已達78處，涵蓋燈塔、支廳、派岀所、學校、郵局、農業試驗所、自來水廠等單位，各處配備簡易的氣溫觀測工具以協助記錄天候狀況。

很快地，日本在臺短短10年內，近藤久次郎已為氣象觀測網打下綿密的基礎。

不只是天氣預報，開啟高山觀測與地震研究先河

1900 年，近藤久次郎附議天文學者一戶直藏提出的新高山（今玉山北峰）報告（新高山ニ關スル研究報告），近藤提到：「新高山山頂是天然絕佳的天文觀測與氣象學研究位置」，他認為高山觀測有助於天文和氣象研究，可藉由研究大氣動力上升的過程進行天氣預測，尤其臺灣每逢夏季，颱風挾帶滂沱大雨常引發災情，若能在台灣百岳中設置幾處高山觀測所，定有助於颱風警戒和天候預設。

於是， 1911 年近藤久次郎與一戶直藏率先提出「新高山觀測所設置計畫」，向總督府倡議在玉山、阿里山興建高山觀測所和天文台，間接促成玉山觀測站（1943 年始建造）與阿里山觀測站（1932年建造）的設置。

近藤久次郎除了推動高山氣象、天文與航空研究，也曾與臺北測候所同仁積極推動與地震和火山相關的研究： 1896 年，臺北臨時測候所首次藉由人體感受進行地震觀測； 1897 年正式落成的臺北測候所，引進格雷－米爾恩型地震儀（Gray-Milne Seismograph）； 1900 年，由被譽為日本地震之父的大森房吉所改良的大森式水平地震儀（Omori horizontal pendulum seismograph）以及強震儀（Strong motion seismograph）裝設於臺北測候所。

這些地震觀測儀也在 1906 年 3 月 17 日的「嘉義梅山地震」發揮了記錄地震波形與餘震數據的作用，獲得的數據使大森房吉找出梅山地震與斷層的關係，並將之命名為「梅仔坑斷層」（後更名梅山斷層）。而後，大森房吉還將研究與近藤所著的說明書刊登於報紙，傳遞地震成因與餘震的科學知識，緩解民間傳說帶來的社會不安。時至1907年，在近藤的協助推動下，全臺共有七所測候所兼做地震觀測，當時的紀錄，也成為現代地震研究珍貴的早期觀測資料。

1924 年，近藤久次郎因病去職返回日本，1926年因胃癌而逝世。 1896 至 1924 年，近藤來臺近將三十年，他在擔任總督府測候所與臺北測候所所長期間，建制氣候所與觀測網絡、編輯並彙整氣象資料；開啟暴風雨警報、颱風預測等重要的氣象預報機制；也協助推動高山氣候觀測、天文觀測與地震研究，著實是臺灣近代氣象科學研究的先河。

註解

• 註 1：然而，由於當時日本與臺灣之間並無定期班船和通訊設備可供交通和信息的傳遞，使得測候所無法如期配備氣象觀測儀器並興建正式氣候站，故先以既有房舍作為臨時氣候所。而後各地氣候所材陸續興建並增添觀測設備：臺北測候所於 1897 年 12 月 19 日遷入臺北城內南門街三丁目；臺中測候所於 1901 年 5 月 20 日遷入臺中城內藍興堡台中街；台南測候所於 1898 年 3 月 1 日遷入台南城內太平境街第 216 號官有家敷地；恆春測候所於 1901 年 11 月 24 日遷入恆春縣前街四番地；澎湖測候所於 1898 年 3 月 1 日遷入澎湖島媽公城內西町。（資料來源：中央氣象局委由財團法人成大研究發展基金會、國立成功大學單位研究之《台灣氣象建築史料調查研究》， 2001 年 2 月出版。）
• 註 2：資料參考徐明同〈台灣氣象業務簡史〉

• 作者／劉詠鯤

本文轉載自 CASE 報科學 《千變萬化的流體（三）：哥吉拉雲—流體的不穩定性》

海岸邊的雲層上緣，出現一隻隻如同哥吉拉形狀的雲；原子彈投下後，劇烈爆炸引起的蕈狀雲；土星大氣層內形狀獨特的雲帶……等。這些看似毫無相關的現象，背後其實成因都可以歸納為：流體中的不穩定性。

2020 年在青森縣的海邊，有網友分享了一張雲朵彷彿在進行「哥吉拉大遊行」的照片（圖一左上）；也有飛行員在雲層上分享過類似的照片（圖一右上）；除此之外，天文學家在土星的大氣層也觀察到相似形狀的雲層（圖一下）。這些「哥吉拉」的行動力竟然如此之高，不只在地球上出現，連土星上都有。這是否暗示它們背後其實具有相同的形成機制呢？

在＜千變萬化的流體（一）＞一文中，我們介紹了流體流動的狀態主要可以分成兩種：層流與紊流。層流狀態的流體十分穩定，它可以被視為一層一層獨立的流動來討論；相對的，紊流如同它的名字所表示，流體內部的流動較為混亂，不同層之間的流體會互相混合、影響。而決定是層流還是紊流的關鍵因素便是「不穩定性」^[1]。

在描述天氣系統為甚麼難以預測時，常常會提到「蝴蝶效應」這個小故事：位在大西洋的颶風，其成因可能只是在亞馬遜森林裡面一隻蝴蝶煽動了翅膀，這個初始的小擾動，隨著時間演變，最終形成尺度龐大的結構。不穩定性在流體中扮演的角色也十分相似。起初流體內部隨機的產生十分微小的擾動，若整個流體的不穩定性足夠大，微小的擾動便有機會繼續成長，直到對整個流體都造成影響。流體中具有各式各樣的不穩定性，在本篇文章中，我們將會介紹與哥吉拉雲還有蕈狀雲有關的兩種不穩定性：克耳文-亥姆霍茲不穩定性以及瑞利-泰勒不穩定性。

克耳文-亥姆霍茲不穩定性：哥吉拉雲

這個不穩定性得名於兩位對此現象進行研究的物理學家：發明絕對溫標的克耳文爵士，以及對聲學共振系統做出系統性研究的亥姆霍茲（在＜香檳聲音哪裡來？＞一文中，他曾經登場過）。這個不穩定性發生的條件是：兩層流體之間具有相對速度。

請搭配圖二，讓我們一起來理解這個不穩定性是如何產生哥吉拉雲的。假設有兩層流體，分別向左與向右運動。當它們彼此完美平行時，一切無事，如圖二（a）。但這個狀態其實並不穩定，任何的擾動，都可能會破壞這個完美狀態。例如，流體中形成了如圖二（b）的擾動，接下來流體的運動會如何變化呢？

對於淺藍流體來說，A 點的體積較原本略小，因此流動速度較大，如同澆花時，將水管捏住（管徑縮小），水可以噴得更遠。此外，流速較快也會使得 A 點的壓力減小；但對於紅色流體來說，A 點的壓力反而會增大。如此會導致流體內部的壓力分佈形成圖二（c）。兩種流體之間的壓力差，會進一步使擾動長大，如圖二（d）。最後，由於流體本身橫向的速度，使擾動在橫向上出現變形，如圖二（e）。如此一來，哥吉拉形狀是不是就出現了呢？

瑞利-泰勒不穩定性：核爆蘑菇雲

接下來，讓我們來看另一種在生活中沒那麼常見，但是看過就很難忘記的不穩定性現象：核爆產生的蘑菇雲。這種現象的成因，是來自於瑞利-泰勒不穩定性，它會發生於密度較大的流體壓在密度小的流體之上時。核彈爆發會在極短時間內釋放出極大熱量，將爆炸中心的空氣瞬間加溫。我們知道，氣體的溫度越高，密度越低，因此在爆炸中心，會瞬間形成大量的低密度空氣。

讓我們用簡單的模型來看看，這種不穩定性是如何造成蘑菇雲的。圖三（a）中有兩種流體，密度較高的在上，此時整個流體系統處於不穩定態，只要有一點擾動 ，如圖三（b） ，不穩定性就會使擾動擴大。由於密度差異，重力使得密度小的流體上升，密度大的下降，使不穩定度振幅逐漸增大。此外，由於壓力差與密度差的方向並不平行，會導致流體的邊界形成渦旋，如圖三（c）。以上這些效應疊加在一起後^[2]，流體邊界處便會逐漸形成如蘑菇狀的特徵，如圖三（d）。

以上兩種流體不穩定性，其實在我們生活中也存在，例如：點燃的線香。由於線香燃燒處的溫度上升，空氣密度下降，此時就滿足瑞利-泰勒不穩定性的條件；當熱空氣上升時，和兩側靜止的空氣有一相對速度，也滿足了克爾文-亥姆霍茲不穩定性條件。只是由於規模較小，發生速度較快，肉眼未必可以清楚的看到如前文中提到的明顯特徵。儘管如此，各位讀者在了解這些不穩定性之後，若是試著觀察看看生活中的各種流體，也許也能找到隱藏起來的「蕈狀雲」喔！

註解

[1] 更詳盡的說明可以參考 CASE＜上下顛倒漂浮船＞一文
[2] 實際上，形成蘑菇狀構造還與流體在三維條件下的非線性效應有關，數學模型較為複雜，此處只是簡單概述其成因。

參考資料

1. Kelvin–Helmholtz instability
2. Rayleigh–Taylor instability
3. “Single mode hydrodynamic instabilities” draft from Hideaki Takabe.