提出「蝴蝶效應」──勞倫茲誕辰│科學史上的今天：05/23

本文與財團法人臺灣生活美學基金會合作。 

AI 有可能造成人們失業嗎？還是 AI 會成為個人專屬的超級助理？

隨著人工智慧技術的快速發展，AI 與人類之間的關係，成為社會大眾目前最熱烈討論的話題之一，究竟，AI 會成為人類的取代者或是協作者？決定關鍵就在於人們對 AI 的了解和運用能力，唯有人們清楚了解如何使用 AI，才能化 AI 為助力，提高自身的工作效率與生活品質。

有鑑於此，目前正於臺灣當代文化實驗場 C-LAB 展出的「2024 未來媒體藝術節」，特別將展覽主題定調為奇異點（Singularity），透過多重視角探討人工智慧與人類的共生關係。

C-LAB 策展人吳達坤進一步說明，本次展覽規劃了 4 大章節，共集結來自 9 個國家 23 組藝術家團隊的 26 件作品，帶領觀眾從了解 AI 發展歷史開始，到欣賞各種結合科技的藝術創作，再到與藝術一同探索 AI 未來發展，希望觀眾能從中感受科技如何重塑藝術的創造範式，進而更清楚未來該如何與科技共生與共創。

從歷史看未來：AI 技術發展的 3 個高峰

其中，展覽第一章「流動的錨點」邀請了自牧文化 2 名研究者李佳霖和蔡侑霖，從軟體與演算法發展、硬體發展與世界史、文化與藝術三條軸線，平行梳理 AI 技術發展過程。

藉由李佳霖和蔡侑霖長達近半年的調查研究，觀眾對 AI 發展有了清楚的輪廓。自 1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧（Artificial Intelligence））」一詞，並明確定出 AI 的任務，例如：自然語言處理、神經網路、計算學理論、隨機性與創造性等，就開啟了全球 AI 研究浪潮，至今將近 70 年的過程間，共迎來三波發展高峰。

第一波技術爆發期確立了自然語言與機器語言的轉換機制，科學家將任務文字化、建立推理規則，再換成機器語言讓機器執行，然而受到演算法及硬體資源限制，使得 AI 只能解決小問題，也因此進入了第一次發展寒冬。

之後隨著專家系統的興起，讓 AI 突破技術瓶頸，進入第二次發展高峰期。專家系統是由邏輯推理系統、資料庫、操作介面三者共載而成，由於部份應用領域的邏輯推理方式是相似的，因此只要搭載不同資料庫，就能解決各種問題，克服過去規則設定無窮盡的挑戰。此外，機器學習、類神經網路等技術也在同一時期誕生，雖然是 AI 技術上的一大創新突破，但最終同樣受到硬體限制、技術成熟度等因素影響，導致 AI 再次進入發展寒冬。

走出第二次寒冬的關鍵在於，IBM 超級電腦深藍（Deep Blue）戰勝了西洋棋世界冠軍 Garry Kasparov，加上美國學者 Geoffrey Hinton 推出了新的類神經網路算法，並使用 GPU 進行模型訓練，不只奠定了 NVIDIA 在 AI 中的地位， 自此之後的 AI 研究也大多聚焦在類神經網路上，不斷的追求創新和突破。

從現在看未來：AI 不僅是工具，也是創作者

隨著時間軸繼續向前推進，如今的 AI 技術不僅深植於類神經網路應用中，更在藝術、創意和日常生活中發揮重要作用，而「2024 未來媒體藝術節」第二章「創造力的轉變」及第三章「創作者的洞見」，便邀請各國藝術家展出運用 AI 與科技的作品。

例如，超現代映畫展出的作品《無限共作 3.0》，乃是由來自創意科技、建築師、動畫與互動媒體等不同領域的藝術家，運用 AI 和新科技共同創作的作品。「人們來到此展區，就像走進一間新科技的實驗室，」吳達坤形容，觀眾在此不僅是被動的觀察者，更是主動的參與者，可以親身感受創作方式的轉移，以及 AI 如何幫助藝術家創作。

而第四章「未完的篇章」則邀請觀眾一起思考未來與 AI 共生的方式。臺灣新媒體創作團隊貳進 2ENTER 展出的作品《虛擬尋根-臺灣》，將 AI 人物化，採用與 AI 對話記錄的方法，探討網路發展的歷史和哲學，並專注於臺灣和全球兩個場景。又如國際非營利創作組織戰略技術展出的作品《無時無刻，無所不在》，則是一套協助青少年數位排毒、數位識毒的方法論，使其更清楚在面對網路資訊時，該如何識別何者為真何者為假，更自信地穿梭在數位世界裡。

透過歷史解析引起共鳴

在「2024 未來媒體藝術節」規劃的 4 大章節裡，第一章回顧 AI 發展史的內容設計，可說是臺灣近年來科技或 AI 相關展覽的一大創舉。

過去，這些展覽多半以藝術家的創作為展出重點，很少看到結合 AI 發展歷程、大眾文明演變及流行文化三大領域的展出內容，但李佳霖和蔡侑霖從大量資料中篩選出重點內容並儘可能完整呈現，讓「2024 未來媒體藝術節」觀眾可以清楚 AI 技術於不同階段的演進變化，及各發展階段背後的全球政治經濟與文化狀態，才能在接下來欣賞展區其他藝術創作時有更多共鳴。

「畢竟展區空間有限，而科技發展史的資訊量又很龐大，在評估哪些事件適合放入展區時，我們常常在心中上演拉鋸戰，」李佳霖笑著分享進行史料研究時的心路歷程。除了從技術的重要性及代表性去評估應該呈現哪些事件，還要兼顧詞條不能太長、資料量不能太多、確保內容正確性及讓觀眾有感等原則，「不過，歷史事件與展覽主題的關聯性，還是最主要的決定因素，」蔡侑霖補充指出。

舉例來說，Google 旗下人工智慧實驗室（DeepMind）開發出的 AI 軟體「AlphaFold」，可以準確預測蛋白質的 3D 立體結構，解決科學家長達 50 年都無法突破的難題，雖然是製藥或疾病學領域相當大的技術突破，但因為與本次展覽主題的關聯性較低，故最終沒有列入此次展出內容中。

除了內容篩選外，在呈現方式上，2位研究者也儘量使用淺顯易懂的方式來呈現某些較為深奧難懂的技術內容，蔡侑霖舉例說明，像某些比較艱深的 AI 概念，便改以視覺化的方式來呈現，為此上網搜尋很多與 AI 相關的影片或圖解內容，從中找尋靈感，最後製作成簡單易懂的動畫，希望幫助觀眾輕鬆快速的理解新科技。

吳達坤最後指出，「2024 未來媒體藝術節」除了展出藝術創作，也跟上國際展會發展趨勢，於展覽期間規劃共 10 幾場不同形式的活動，包括藝術家座談、講座、工作坊及專家導覽，例如：由策展人與專家進行現場導覽、邀請臺灣 AI 實驗室創辦人杜奕瑾以「人工智慧與未來藝術」為題舉辦講座，希望透過帶狀活動創造更多話題，也讓展覽效益不斷發酵，讓更多觀眾都能前來體驗由 AI 驅動的未來創新世界，展望 AI 在藝術與生活中的無限潛力。

展覽資訊：「未來媒體藝術節——奇異點」2024 Future Media FEST-Singularity 
展期 ▎2024.10.04 ( Fri. ) – 12.15 ( Sun. ) 週二至週日12:00-19:00，週一休館
地點 ▎臺灣當代文化實驗場圖書館展演空間、北草坪、聯合餐廳展演空間、通信分隊展演空間
指導單位 ▎文化部
主辦單位 ▎臺灣當代文化實驗場

你知道有那麼一條公式——它不僅可以表述生態系中動物族群的數量變化、城市裡人口隨時間的變遷，還與金融市場的波動、甚至是氣候變遷有所關聯？更令人驚奇的是，這個式子並不是什麼複雜的偏微分方程，它只有短短一行、就連國小學生都能代入算出。

這個看似相當簡單的式子，能推演出極其複雜的圖像；而在看似錯綜複雜的圖像背後，卻又隱藏著某種未知的神秘規律。今天這篇文章，將帶領大家透過這個簡單的函數重新認識世界。

自然界潛藏的規律

且讓我們先從自然界談起。假設一片草原上有一群斑馬生活著，我們想要知道明年、後年、甚至數十年後的數量；我們知道，這一部分取決於斑馬的出生率，還有另一部分取決於環境的負載力——假設斑馬的族群總數超過了該草地所能負荷的程度，很可能在往後導致族群的縮減，因此，負載力有點類似於一個約束條件。有了以上的資訊，我們可以嘗試用數學來描述：

這邊，x_n 代表的是「現存族群數量與最大可容納的族群數量」之比值，你可以想像成：假設這片草原此時此刻有 60 隻斑馬，而草原所能容納斑馬數量的最大值為 100 隻斑馬——一旦超過這個值，那麼便會面臨諸如饑荒等生態危機。因此，在此例子中，x₀ = 60/100 = 0.6。而假設我們想知道明年的數量，也就是 x₁，便可以帶進去推算。那麼，式子中的＂r＂又是什麼？你可以將它理解為「成長率」，但要注意的是，它的值一般是界定在 0 與 4 之間。

如果單純只看 x_n+1 = r x_n，假設 r=2，今年有 60 隻斑馬、明年有 120 斑馬、後年便會是 240 隻，這樣只會無止盡地指數增長下去；因此，當我們設定了＂(1 -  x_n)＂這個約束條件後，便可以解決這個問題——假如今年的 x_n = 1，意味著該地斑馬數量已然達到環境可負荷的最大值，便會因為饑荒等因素滅絕，隔年得到的數量便將為零。這個看似簡單、卻又多少能給生態學家建構模型的公式，稱為「單峰映射」(logistic map)，也是今天文章的主角。

這個式子不僅可套用在生態系，也可以套用在人口學：舉個例子，某城市今年有 60 萬人，該城市所能負載的最大人口為 100 萬人，而每年的成長率大概是 r = 1.5，那麼，套進公式會發現：明年的人口將為 36 萬、第三年人口將為 34.6 萬……，從而漸漸達到平衡點。如果一開始我們假定有 30 萬人，明年將會成長為 31 萬、後年成長為 32 萬，然後趨近於和前者相近的平衡點。最後，如果這個城市一開始就有 90 萬人，第二年便會因為環境負載力而銳減至 13.5 萬人，但後年、大後年之後將會隨著成長率升高而回升至約莫 33 萬人的平衡點。

而這些資訊並非憑空構思的，因為它們本身就含括在單峰映射的公式裡，用圖表呈現便一目了然，你會發現無論前幾年如何變化、最終都會回歸一個平衡點：

而這個穩定值是取決於＂r＂的，也就是說，只要 r = 1.5，無論人口數目如何變化，最終的平衡點都不會有所差異。

規律的瓦解、未知的開端

因此，我們何不來看看＂r＂會如何變化？這時，我們回到原本的假設：一個城市裡有 60 萬人口，如果改動不同的 r，演化曲線將會如何改變？

當我們將 r 值逐步增加，一切看似並無異常；當 r=2.8 時，我們發現圖形出現了週期性的振盪，但最後依舊回歸平穩。順帶一提，我們可以藉由「分枝圖」(bifurcation diagram) 來觀察 x 的穩定值與 r 的關係，在 r=0 至 2.8 之間，x 穩定值有攀升趨勢；在 r=1.5 時，根據前述的例子，x 的穩定值落在 0.33 左右，從下圖也可以直接看出：

我們繼續調大 r 值。正當一切看似正常發展時，詭異的事情發生了：

在此之前，一切族群的數量都是平穩的，但在 r 超過 3 左右，持續的振盪出現了，且自此「平衡點」不復存在；不僅如此，當 r 值不斷調升，顯示出來的圖像從原本 2 個值、4 個值、到更多值之間來回振盪。值得一提的是，這種「週期性振盪」的現象在生態圈與人口變化中是確實存在的，很有可能前一年數量減少、今年數量增加、明年數量又再減少。讓我們來看看對應的分枝圖：

這對應於原本從 2 個值之間的擺盪、分岔成 4 個值之間的擺盪、再分岔成 8 個值之間的擺盪……如此往復。此外，如果你留意橫軸 r 之間的間隔，會發現：當 r 愈大時，分岔的速度也愈快！

現在讓我們繼續將 r 值調升，來看看會發生什麼事：

話不多說，我們直接來看看分枝圖：

令人毛骨悚然的結果出現了！前面我們觀察到，當r提升時，系統會出現週期性的振盪，對應於分枝圖中的「分岔」，且分岔的速率會不斷增快、再增快；而在 r 超過 3.5699 時，規律的振盪、分岔將不復存在，取而代之的是一團無法預測的隨機——這就是所謂的「混沌」(chaos)。

混沌、股票市場、以及蝴蝶效應

現在讓我們看一下完整的分枝圖長什麼樣子：

換而言之，當系統的變量到一定程度時，將會變成隨機且無法預測的。以人口為例，一開始我們假設的情況很簡單，就是 60 萬人口與 r=1.5 的成長率；接著我們發現，無論人口基數如何，只要 r 維持原狀，數年、乃至於數十年後的平衡點都是相近的。然而，當r值提升後，平衡點的值便會浮動了，r=3 之後週期性的振盪便出現了、且分岔點不斷加速倍增；緊接著，我們赫然發現：

當 r 值大於 3.5699 時，系統將全然處於混沌狀態。

也就是說，即便給定初始條件，最後的人口演化將會是無法預測的。事實上，這種「混沌」、「隨機」的現象並不僅僅侷限於自然界的族群或者人口數量，它其實是隨處可見的。比如：家中水龍頭關不太緊時，水滴很自然地會落下，按理來說，鬆緊程度與水壓毫無變化的情況下，滴水的規律應該也是不變的；但如果你花一段時間觀察，會發現水滴可能一下子連續落下兩滴、一下子又只落下一滴——我們根本無法預測每一次的滴落模式。

另一個例子就是金融市場：當我們投資了固定金額的股票後，市場的波動將導致金額的浮動，就算有再好的分析師與預測模型，我們也不可能精準預測明天的投資金額會變多少。順帶一提，在金融學中描述期權的模型是「布萊克－休斯模型」(Black-Scholes model)，它便是從微觀粒子的「布朗運動」(Brownian motion) 所推導而來，其中粒子碰撞隨時間演化的隨機過程被稱為「維納過程」(Wiener process)。布萊克－休斯模型的假設之一，便是將隨時間演化的「股票價格」描述成維納過程，從而預測、消弭潛在的風險。事實上，休斯本身大學時就是主修物理學的。

而提到「混沌現象」，最經典的例子當然還是氣象學家愛德華．洛倫茲（Edward Lorenz）的那句名言：

「一隻海鷗拍動翅膀，將導致永久性的氣候變化。」

“One flap of a sea gull’s wings would be enough to alter the course of the weather forever.”

爾後，這個現象被稱為「蝴蝶效應」(Butterfly effect)，也就是說，縱然系統初始條件只有微不足道的變化，也會導致最後產生的結果大相徑庭；即使是一隻在巴西的蝴蝶拍動翅翼，周邊的氣流變化會連帶影響、擴散至大氣系統，甚至能致使一個月後的德州發生龍捲風。

這些非線性、隨機的現象在自然界無處不在，許多科學家也嘗試研究，締造了「混沌理論」(chaos theory) 的研究熱潮。一旦我們能從中梳理出一些規律，那麼，也許便能更精確地掌握「混沌」之中的資訊，這將有助於我們更精確地預測投資股票的風險、也有助於人們更準確地預測天氣的變化。

混沌背後的神秘常數

從描述族群、人口的簡單函數推演到「混沌狀態」的存在已經夠令人驚豔了，然而，不知你是否曾留意過分枝圖中、每一段分岔點之間的間隔？

如果你把我們最後得到的分岔圖放大來看，會發現在混沌狀態之前、分岔點出現的速率不斷增快；而如果你對每一個分岔點之間的間隔取比值，你會發現——每一次得到的值都會是同一個數字，這個數字大致為 4.669，它被稱為「費根鮑姆常數」(Feigenbaum constants)。

更令人細思極恐的是，這個「常數」並非只存在於單峰映射，所有混沌理論中有這種分岔性質的圖像，它們之間的比例都是這個常數！而目前數學界尚未能明確理解這個常數的性質，唯一可以推測的是：

費根鮑姆常數（4.669…）與混沌理論有密不可分的聯繫；該常數的出現意味著混沌現象即將發生。

在前述單峰映射的例子中，費根鮑姆常數主宰了 r=3.5699 之前的分岔規律；在 r 超過 3.5699 後，系統便徹底進入混沌狀態了。

除此之外，你或許也發現了，每個分岔的形狀都超乎尋常地相似，後一個分岔根本上就是前一個分岔的縮小版。這種特徵令人聯想到數學上的「碎形」(fractal)，也就是某些形狀放大後會是自己的本體、從而無窮延伸下去。最著名的例子就是複數平面上二次多項式迭代出來的「曼德博集合」(Mandelbrot set)。信不信由你——當我們將單峰映射的分枝圖與曼德博集合比照來看，會發現分岔點之間是有所對應關係的；也就是說，單峰映射可以視為曼德博集合的一部分！

從簡單的單峰映射公式，我們推導出了自然界族群、人口的演化模式，進一步發現了「混沌」狀態的存在；而在看似極其複雜的混沌狀態中，似乎又發現了隱藏在隨機背後的神秘規律。

混沌理論在生活中是無所不在的，時至今日，仍有不少未知的特性等著人們發掘與驗證。從生物的競爭、人口的演化、股市的浮動、亂流的成因、到氣候的變遷……這些日常事物都被混沌現象主宰著，從而使我們無法精準預測到未來的走向。然而，費根鮑姆常數的發現與幾何碎形的聯繫卻也指出了隨機背後潛藏著某些規律，這也不禁令人讚嘆自然界的美麗與神秘。

1961 年的一個冬日，麻省理工學院校園罩著一層薄霧，氣象學家勞倫茲（Edward Norton Lorenz, 1917－2008）在他的研究室看著窗外的天空。低低的雲層緩緩移動，他看到的卻是背後推動的氣流；在他眼中，它們化成一段段線條與數字，就像角落裡那臺電腦正在做的‧‧‧‧。

當然，這臺靠真空管運作、記憶容量有限的機器不可能模擬真實的大氣，但自小對天氣的變幻莫測感到著迷的勞倫茲還是期望能捕捉到變化的形態，為天氣預報更找出更科學的方法，而不是依賴預報員的經驗與直覺。

印表機不斷吐出他的程式運算出來的數字，每個數字都代表某個時間點的天氣，然後這個數值會再自動輸入程式，用來計算下一刻的天氣，如此一直遞迴下去。突然機器停了下來，一定又是電腦裏哪顆真空管燒壞了！勞倫茲無奈地修好電腦後，看著紙條上長長的數列，實在不想從頭再來，於是他從中間選了個數字當作初始值輸入電腦，讓程式去跑，然後下樓去喝杯咖啡放鬆一下。

一小時後他回來檢查紙條，赫然發現第二次跑出來的結果竟然與原來的數列截然不同！同樣的程式、同樣的輸入值，照說應該完全複製之前的結果啊？勞倫茲再三檢查後終於發現問題所在：紙條上印出來的數字──也就是他剛剛輸入的──只到小數點後三位，而電腦記憶體貯存的卻是到後六位。但何以不到千分之一的誤差竟會迅速造成南轅北轍的結果？這就像兩次瞄準角度只差0.5度，子彈卻一次向前飛、一次向後飛，簡直不可思議！

結果勞倫茲這個無心的發現開啟了一門全新的科學──混沌（Chaos）。這是一種衍生自簡單的規則，但對於初始條件極為敏感，以致差之毫釐卻失之千里的系統；表象看似不斷自我摹仿卻又永不重覆。除了天氣，洋流也是屬於混沌，還有生態、心跳、血管，就連人為的股市都是；事實上原子以上，宇宙以下的人類尺度充斥著混沌現象，難怪有人視之為繼相對論與量子力學之後的第三次革命。

勞倫茲鑽研兩年後所發表的先驅性論文至今仍是所有混沌理論論文中被引用次數最多的。而他在 1979 年的研討會上所用的譬喻：「一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀，會在德州引起龍捲風嗎？」，更是讓「蝴蝶效應」成為混沌的代名詞，滲入大眾文化歷久不衰，人人不管懂不懂都能琅琅上口。這也是勞倫茲始料未及的蝴蝶效應吧？

資料來源

• 《混沌》，天下出版社
• http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Norton_Lorenz

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

1993 年科幻經典電影《侏羅紀公園》（Jurassic Park）爆紅，炒熱了許多科學話題，例如基因工程、恐龍 DNA 的取得，還有暴龍的奔跑速度、以及恐龍是否為恆溫動物和有視覺行為等等。片中雖然只是簡單一提，卻已引起世人矚目的是，黑衣神經質數學家所解說的「蝴蝶效應」，說什麼一隻蝴蝶在北京拍動翅膀，可能在地球另一端的紐約掀起風暴。

這就是混沌理論的蝴蝶效應，指在一個動態系統中，初始條件下微小的變化能帶動整個系統的長期的巨大的連鎖反應。後來在 2004 年上映的一部科幻電影就是《蝴蝶效應》（The Butterfly Effect），影片裡原先看似無關緊要的小變化，到最後可能會導致起初無法預期的後果。

要知道混沌理論是啥咪碗糕嗎？《混沌：不測風雲的背後》（Chaos: Making a New Science）是本必讀經典好書。《混沌》是天下文化的第一本科普書，也是台灣第一本科普暢銷書。這本好書開啟了科學人文系列科普的的濫觴，間接造就了科普書的黃金時代。

《混沌》的原文版在 1987 年出版，四年後臺灣出版了繁體中文版，今年再出第三版，轉眼就過了 25 年，我也從高中生歷經大學生、研究生、博士後到新進助理教授。雖然在這廿幾年來，混沌理論有了新發展，可是這本 25 年前出版的《混沌》，迄今仍是理解這門學問的誕生不可式缺的必讀讀物，是歷久不衰的經典。

雖然已經過了廿幾年了，我還忘不了當初在馬來西亞，一個高中生在書展中邂逅這本書的感動。在馬來西亞的一個小鎮，沒有像樣的書店，我們只有在中華商會辦的小書展中，才偶爾能找到新出版的好書。想當年，我們在馬來西亞吃頓飯，只要台幣十幾塊，一本台灣出版的新書，要我們至少廿幾頓飯的飯錢（想像一下要一個台灣高中生花一千多塊錢買本科普書吧）。

記得當年在峇株巴轄的中華商會的小書展，展出了天下文化科學人文的其他書籍，我幾乎放學有空就去逛。逛了幾次，存夠了錢想買本書，也只買得起一本，那就是《混沌》了。後來還是有空就去書展，天天翻其他書，可是翻來翻去，還是買不起其他書了。《混沌》是我第一本科普書，有陣子也是唯一一本吧。

一個高中生，怎麼可能懂得和混沌理論有關的高深數學？更何況我的數學還不太好，一個馬來西亞小鎮成績不太好的高中生，能有多少科學素養？

然而，《混沌》這本書，最神奇之處就在於，作者葛雷易克（James Gleick）的寫作功力實在太深厚了，《混沌》就是讓我看得津津有味。我很慶幸，第一本讀的科普書是《混沌》，讓我對科學的世界，嚮往得不得了，所以願意歷經艱辛投身科學事業。

過了十幾年，我終於到了美國深造，在唸博士班時，在狀況外就選修了門「族群生物的數學模式」課，一開始就被微分方程等嚇到了，撐到學期中，老師連混沌方程式都端上來了，當時才知道混沌理論在生態學上有廣泛的應用。簡單來說，許多生物族群在數量上的變動，有些條件些微的改變，會造成很巨大的不同結果，也是典型的非線性系統。

《混沌》這本好書，裡頭並沒有太多嚇人的數學方程式，在飛機上讀，不會像賓州大學經濟學教授因為在機上寫微積分，被乘客誤認為那些難以辨認的文字是恐怖活動暗號，被安檢人員約談而導致班機延誤。因為書中沒有多少奇怪的數學符號，不過倒是有很多碎形幾何的有趣圖案，如果那也能被誤認，那就乖乖上報宣傳一下《混沌》這本開啟科普書黃金時代的好書吧。

《混沌》主要要談的，其實是一群科學家的故事。

這群科學家，大多深居簡出，埋首在實驗室裡進行研究，意外發現了許多非線性系統的現象。在典範轉移前，他們的發現未必被科學社群認可，有些甚至被誤認為異端邪說。例如最早期在應用計算機時，非線性系統中初始條件微小的改變造成很不一樣的結果，大部分科學家都可能認為是程式有誤吧，只有少數敏銳的科學家鍥而不捨、排除萬難地對異例追根究底，才發現混沌的有趣世界，然後才產生了典範轉移，改變了我們對世界的認識。

天有不測風雲，難道預測天氣比把人送上月球難嗎？

過去科學家一直以為只要收集到了足夠多的數據，就能精準地預測，可是混沌理論讓我們瞭解到原來參數的微小差異，就有天翻地覆的結果。除了大氣科學，混沌理論也廣泛地應用在許多自然學科中，包括數學、生物學、資訊科學、經濟學、工程學、金融學、哲學、物理學、政治學、人口學、心理學和機器人學等等。

除了著名的蝴蝶效應，混沌理論中，另一個能讓門外漢著迷的是，《混沌》書中彩頁的曼德博集合。那是一門所謂的「碎形幾何」，其定義是：「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」，看起來很抽象吧？簡單來說，就是自然界中，有些東西有精巧的形狀，可是仔細瞧瞧，那些形狀是一直重複的，例如雪花。

「碎形幾何」革命性地讓我們對許多生物現象有了進一步的理解，例如蕨類植物的葉子，還有我們身體裡的血管、神經、氣管、腎小管等等的構造，都有其「碎形幾何」的道理在。

我的一項主要研究工作，是探討羽毛多樣性的遺傳基礎，羽毛也是個碎形構造，有羽軸加羽支，羽支和小羽支又重複相似結構，小羽毛和羽小鉤又再重複。血管、神經、氣管、腎小管、羽毛的碎形構造，讓有限的基因就能控制這些器官複雜的網路，計多基因也可以一再被用在構建不同器官上。

「碎形幾何」除了重複性，還有其他有趣現象，例如維度可以非正數，還可以有分數，例如 1.2618 等等，創造「碎形」一詞的數學家本華．曼德博（Benoît B. Mandelbrot, 1924-2010）在 1967 年的經典論文〈英國的海岸線有多長？〉現在還有人提出來讓學生思考討論。

混沌理論當然不只是有蝴蝶效應和碎形幾何，還有許許多多有趣的現象和模型。《混沌》把混沌理論的發展過程，用很平易近人的方式為大眾述說。據說有些非理工科系出身的朋友，對科學發展過程的認識就是來自這本《混沌》。

如果你當年跟我一樣拜讀過《混沌》，現在是個好時機再拜讀一次，重溫多年前神遊探索科學新邊疆的熱情，如果你沒有讀過《混沌》，也還是歡迎來讀這本經典，體驗科學家探索未知世界的樂趣。

本文原刊登於故事「說書 Speaking Of Books」。

1961 年的一個冬日，麻省理工學院校園罩著一層薄霧，氣象學家勞倫茲（Edward Norton Lorenz, 1917－2008）在他的研究室看著窗外的天空。低低的雲層緩緩移動，他看到的卻是背後推動的氣流；在他眼中，它們化成一段段線條與數字，就像角落裡那臺電腦正在做的‧‧‧‧。

當然，這臺靠真空管運作、記憶容量有限的機器不可能模擬真實的大氣，但自小對天氣的變幻莫測感到著迷的勞倫茲還是期望能捕捉到變化的形態，為天氣預報更找出更科學的方法，而不是依賴預報員的經驗與直覺。

印表機不斷吐出他的程式運算出來的數字，每個數字都代表某個時間點的天氣，然後這個數值會再自動輸入程式，用來計算下一刻的天氣，如此一直遞迴下去。突然機器停了下來，一定又是電腦裏哪顆真空管燒壞了！勞倫茲無奈地修好電腦後，看著紙條上長長的數列，實在不想從頭再來，於是他從中間選了個數字當作初始值輸入電腦，讓程式去跑，然後下樓去喝杯咖啡放鬆一下。

一小時後他回來檢查紙條，赫然發現第二次跑出來的結果竟然與原來的數列截然不同！同樣的程式、同樣的輸入值，照說應該完全複製之前的結果啊？勞倫茲再三檢查後終於發現問題所在：紙條上印出來的數字──也就是他剛剛輸入的──只到小數點後三位，而電腦記憶體貯存的卻是到後六位。但何以不到千分之一的誤差竟會迅速造成南轅北轍的結果？這就像兩次瞄準角度只差0.5度，子彈卻一次向前飛、一次向後飛，簡直不可思議！

結果勞倫茲這個無心的發現開啟了一門全新的科學──混沌（Chaos）。這是一種衍生自簡單的規則，但對於初始條件極為敏感，以致差之毫釐卻失之千里的系統；表象看似不斷自我摹仿卻又永不重覆。除了天氣，洋流也是屬於混沌，還有生態、心跳、血管，就連人為的股市都是；事實上原子以上，宇宙以下的人類尺度充斥著混沌現象，難怪有人視之為繼相對論與量子力學之後的第三次革命。

勞倫茲鑽研兩年後所發表的先驅性論文至今仍是所有混沌理論論文中被引用次數最多的。而他在 1979 年的研討會上所用的譬喻：「一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀，會在德州引起龍捲風嗎？」，更是讓「蝴蝶效應」成為混沌的代名詞，滲入大眾文化歷久不衰，人人不管懂不懂都能琅琅上口。這也是勞倫茲始料未及的蝴蝶效應吧？

資料來源

• 《混沌》，天下出版社
• http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Norton_Lorenz

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。