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跳脫古典數學邏輯!直覺主義的興起——《大話題:邏輯》

大家出版_96
・2023/04/08 ・1479字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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非古典邏輯:直覺主義

布勞威爾 (1881 – 1966)是最早脫離所謂「古典邏輯」系統的學者之一。他反對弗雷格和羅素將數學化約為邏輯的構想,認為數學根基於我們對某些基本數學物件(如數字和直線)的「直覺」,因此他的學說便稱為「直覺主義」。

直覺主義。圖/大話題:邏輯

惡魔論證

布勞威爾主要將焦點擺在無限集合和序列上,例如所有正數的集合和無理數(如 π 和)小數點後的數字形成的序列等等。他的論證大致如下:

我邏輯上能證明 666 這個序列一定會出現在任何無理數(如 π)的擴張裡。因為若主張 666 不在裡面,就代表 666 不出現在 π 的小數點後數字的任何地方,但這一點在數學上是無法證明的。就算世界上所有白紙都寫滿π的小數點後數字,還是有無限多的數字沒檢查到。

惡魔論證。圖/大話題:邏輯。

直覺邏輯的興起

雖然布勞威爾只想證明有些數學證明的方式和邏輯證明不同,但有些人發現他的論證也能用來證明某些數學領域的邏輯和其他數學領域不同,甚至有些人還據以建構出一套邏輯系統,並嘗試證明這套邏輯適用於所有數學領域。這套系統就叫「直覺邏輯」。

直覺邏輯系統。圖/大話題:邏輯。

直覺主義 v.s. 歸謬法

直覺邏輯有一個關鍵特點,就是不能用萊布尼茲的歸謬法。歸謬法是先假設某個數學陳述的否定為真,然後導出矛盾,進而證明該陳述為真。但要從「某事的否定為假」推導出「某事為真」就得仰賴排中律,因此在某些數學領域裡,歸謬法並不符合數學應該運作的方式,也就是從公理推導出數學語句。

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直覺邏輯與歸謬法互相對立。圖/大話題:邏輯。

直覺主義的數學熱潮

上述問題在 1930 年代引發了一波新的數學熱潮,不少學者嘗試用直覺邏輯替一些常用的基本數學陳述找到證明,也確實找到了不少。

數學系和哲學系紛紛成立,新的學術領域也隨之誕生。就連希爾伯特的方法明明是直覺邏輯的對手,也被加以改造,只使用得到認可的直覺主義程序。直到這股風潮引起了哥德爾的注意。

儘管後來學者對這場爭辯的興趣削弱了一些,但「唯有構造性證明才能確保一個陳述句為真」的基本看法至今仍然得到不少邏輯學家、數學家、科學家和哲學家支持。

許多人試著用直覺邏輯替數學陳述找證明。圖/大話題:邏輯。

處理未來陳述句的老問題

大約同一時期,波蘭數學家盧卡西維茨(1897 – 1956)1920 年提出的構想勾起了一些學者的興趣。此前十多年,這個構想從來不曾在波蘭以外的地區引起多大反應。盧卡西維茨當時想解決的,是從亞里斯多德到羅素都面對過的老問題。

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編按:「如何判斷大笨鐘一千年後會遇上大雪」這句話的真值?

未來陳述句是邏輯無法確認之事。圖/大話題:邏輯。

——本文摘自《大話題:邏輯》,2023 年 3 月,大家出版出版,未經同意請勿轉載。

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名為大家,在藝術人文中,指「大師」的作品;在生活旅遊中,指「眾人」的興趣。

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人與 AI 的關係是什麼?走進「2024 未來媒體藝術節」,透過藝術創作尋找解答
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/10/24 ・3176字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文與財團法人臺灣生活美學基金會合作。 

AI 有可能造成人們失業嗎?還是 AI 會成為個人專屬的超級助理?

隨著人工智慧技術的快速發展,AI 與人類之間的關係,成為社會大眾目前最熱烈討論的話題之一,究竟,AI 會成為人類的取代者或是協作者?決定關鍵就在於人們對 AI 的了解和運用能力,唯有人們清楚了解如何使用 AI,才能化 AI 為助力,提高自身的工作效率與生活品質。

有鑑於此,目前正於臺灣當代文化實驗場 C-LAB 展出的「2024 未來媒體藝術節」,特別將展覽主題定調為奇異點(Singularity),透過多重視角探討人工智慧與人類的共生關係。

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C-LAB 策展人吳達坤進一步說明,本次展覽規劃了 4 大章節,共集結來自 9 個國家 23 組藝術家團隊的 26 件作品,帶領觀眾從了解 AI 發展歷史開始,到欣賞各種結合科技的藝術創作,再到與藝術一同探索 AI 未來發展,希望觀眾能從中感受科技如何重塑藝術的創造範式,進而更清楚未來該如何與科技共生與共創。

從歷史看未來:AI 技術發展的 3 個高峰

其中,展覽第一章「流動的錨點」邀請了自牧文化 2 名研究者李佳霖和蔡侑霖,從軟體與演算法發展、硬體發展與世界史、文化與藝術三條軸線,平行梳理 AI 技術發展過程。

圖一、1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧」一詞

藉由李佳霖和蔡侑霖長達近半年的調查研究,觀眾對 AI 發展有了清楚的輪廓。自 1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧(Artificial Intelligence))」一詞,並明確定出 AI 的任務,例如:自然語言處理、神經網路、計算學理論、隨機性與創造性等,就開啟了全球 AI 研究浪潮,至今將近 70 年的過程間,共迎來三波發展高峰。

第一波技術爆發期確立了自然語言與機器語言的轉換機制,科學家將任務文字化、建立推理規則,再換成機器語言讓機器執行,然而受到演算法及硬體資源限制,使得 AI 只能解決小問題,也因此進入了第一次發展寒冬。

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圖二、1957-1970 年迎來 AI 第一次爆發

之後隨著專家系統的興起,讓 AI 突破技術瓶頸,進入第二次發展高峰期。專家系統是由邏輯推理系統、資料庫、操作介面三者共載而成,由於部份應用領域的邏輯推理方式是相似的,因此只要搭載不同資料庫,就能解決各種問題,克服過去規則設定無窮盡的挑戰。此外,機器學習、類神經網路等技術也在同一時期誕生,雖然是 AI 技術上的一大創新突破,但最終同樣受到硬體限制、技術成熟度等因素影響,導致 AI 再次進入發展寒冬。

走出第二次寒冬的關鍵在於,IBM 超級電腦深藍(Deep Blue)戰勝了西洋棋世界冠軍 Garry Kasparov,加上美國學者 Geoffrey Hinton 推出了新的類神經網路算法,並使用 GPU 進行模型訓練,不只奠定了 NVIDIA 在 AI 中的地位, 自此之後的 AI 研究也大多聚焦在類神經網路上,不斷的追求創新和突破。

圖三、1980 年專家系統的興起,進入第二次高峰

從現在看未來:AI 不僅是工具,也是創作者

隨著時間軸繼續向前推進,如今的 AI 技術不僅深植於類神經網路應用中,更在藝術、創意和日常生活中發揮重要作用,而「2024 未來媒體藝術節」第二章「創造力的轉變」及第三章「創作者的洞見」,便邀請各國藝術家展出運用 AI 與科技的作品。

圖四、2010 年發展至今,高性能電腦與大數據助力讓 AI 技術應用更強

例如,超現代映畫展出的作品《無限共作 3.0》,乃是由來自創意科技、建築師、動畫與互動媒體等不同領域的藝術家,運用 AI 和新科技共同創作的作品。「人們來到此展區,就像走進一間新科技的實驗室,」吳達坤形容,觀眾在此不僅是被動的觀察者,更是主動的參與者,可以親身感受創作方式的轉移,以及 AI 如何幫助藝術家創作。

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圖五、「2024 未來媒體藝術節——奇異點」展出現場,圖為超現代映畫的作品《無限共作3.0》。圖/C-LAB 提供

而第四章「未完的篇章」則邀請觀眾一起思考未來與 AI 共生的方式。臺灣新媒體創作團隊貳進 2ENTER 展出的作品《虛擬尋根-臺灣》,將 AI 人物化,採用與 AI 對話記錄的方法,探討網路發展的歷史和哲學,並專注於臺灣和全球兩個場景。又如國際非營利創作組織戰略技術展出的作品《無時無刻,無所不在》,則是一套協助青少年數位排毒、數位識毒的方法論,使其更清楚在面對網路資訊時,該如何識別何者為真何者為假,更自信地穿梭在數位世界裡。

透過歷史解析引起共鳴

在「2024 未來媒體藝術節」規劃的 4 大章節裡,第一章回顧 AI 發展史的內容設計,可說是臺灣近年來科技或 AI 相關展覽的一大創舉。

過去,這些展覽多半以藝術家的創作為展出重點,很少看到結合 AI 發展歷程、大眾文明演變及流行文化三大領域的展出內容,但李佳霖和蔡侑霖從大量資料中篩選出重點內容並儘可能完整呈現,讓「2024 未來媒體藝術節」觀眾可以清楚 AI 技術於不同階段的演進變化,及各發展階段背後的全球政治經濟與文化狀態,才能在接下來欣賞展區其他藝術創作時有更多共鳴。

圖六、「2024 未來媒體藝術節——奇異點」分成四個章節探究 AI 人工智慧時代的演變與社會議題,圖為第一章「流動的錨點」由自牧文化整理 AI 發展歷程的年表。圖/C-LAB 提供

「畢竟展區空間有限,而科技發展史的資訊量又很龐大,在評估哪些事件適合放入展區時,我們常常在心中上演拉鋸戰,」李佳霖笑著分享進行史料研究時的心路歷程。除了從技術的重要性及代表性去評估應該呈現哪些事件,還要兼顧詞條不能太長、資料量不能太多、確保內容正確性及讓觀眾有感等原則,「不過,歷史事件與展覽主題的關聯性,還是最主要的決定因素,」蔡侑霖補充指出。

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舉例來說,Google 旗下人工智慧實驗室(DeepMind)開發出的 AI 軟體「AlphaFold」,可以準確預測蛋白質的 3D 立體結構,解決科學家長達 50 年都無法突破的難題,雖然是製藥或疾病學領域相當大的技術突破,但因為與本次展覽主題的關聯性較低,故最終沒有列入此次展出內容中。

除了內容篩選外,在呈現方式上,2位研究者也儘量使用淺顯易懂的方式來呈現某些較為深奧難懂的技術內容,蔡侑霖舉例說明,像某些比較艱深的 AI 概念,便改以視覺化的方式來呈現,為此上網搜尋很多與 AI 相關的影片或圖解內容,從中找尋靈感,最後製作成簡單易懂的動畫,希望幫助觀眾輕鬆快速的理解新科技。

吳達坤最後指出,「2024 未來媒體藝術節」除了展出藝術創作,也跟上國際展會發展趨勢,於展覽期間規劃共 10 幾場不同形式的活動,包括藝術家座談、講座、工作坊及專家導覽,例如:由策展人與專家進行現場導覽、邀請臺灣 AI 實驗室創辦人杜奕瑾以「人工智慧與未來藝術」為題舉辦講座,希望透過帶狀活動創造更多話題,也讓展覽效益不斷發酵,讓更多觀眾都能前來體驗由 AI 驅動的未來創新世界,展望 AI 在藝術與生活中的無限潛力。

展覽資訊:「未來媒體藝術節——奇異點」2024 Future Media FEST-Singularity 
展期 ▎2024.10.04 ( Fri. ) – 12.15 ( Sun. ) 週二至週日12:00-19:00,週一休館
地點 ▎臺灣當代文化實驗場圖書館展演空間、北草坪、聯合餐廳展演空間、通信分隊展演空間
指導單位 ▎文化部
主辦單位 ▎臺灣當代文化實驗場

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替晶片打造數學工具的喬治.布爾(George Boole)
數感實驗室_96
・2024/06/01 ・561字 ・閱讀時間約 1 分鐘

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本文由 國立臺灣師範大學 委託,泛科學企劃執行。 

煮湯時看到調理包背面寫著「加水且加入鹽巴或味精,就大功告成了」。

這句話該怎麼解讀呢?邏輯思維好的人可能很快就能反應過來,意思是加水是必須的,鹽巴和味精至少要加一個。當然,兩者都加也行,但似乎不太健康。

你可能會說:「煮湯時誰會想那麼多?這太哲學了!」其實,19 世紀有位數學家將邏輯建立在數學而非哲學之上,他的貢獻深深影響了現代電腦的運算。他就是我們今天的主角——喬治.布爾(George Boole)。

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在工作會議中,清晰的邏輯思維能幫助我們有條理地表達觀點,並迅速理解他人的意見;程式設計中,邏輯是核心,透過布林代數和邏輯運算,電腦能根據條件執行不同的任務,在智慧家電中利用邏輯閘判斷多個輸入條件來控制輸出結果。

因此,布爾提出的這一套邏輯思維與布林代數,不僅在學術領域至關重要,更是日常生活中不可或缺的工具。

更多、更完整的內容,歡迎上數感實驗室 Numeracy Lab 的 youtube 頻道觀看完整影片,並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊!

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數感實驗室_96
76 篇文章 ・ 50 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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白馬 ≠ 馬?當陳述句變成數學邏輯等式!——《大話題:邏輯》
大家出版_96
・2023/04/07 ・2243字 ・閱讀時間約 4 分鐘

從簡單陳述句轉變為複合句——「連接詞」

大約一百年後,克律西波斯(c.280 – c.206 BC)改變了邏輯的關注焦點,從簡單的主述詞陳述句轉向「蘇格拉底是人,且芝諾也是人」之類的複合句。

這是很大的進展。當時甚至有人說「克律西波斯的邏輯就是神會用的邏輯」。我們稍後會見到,克律西波斯的邏輯也是人類使用的邏輯,只不過我們還得等兩千年才會明白這一點。

複合句使用的連接詞不同,其真假受個別句子影響的方式也不同。

出現了「且」、「和」等連接詞。圖/大話題:邏輯。

譬如「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用,也只有「不是…就是…」這個連接詞組可以這樣用:

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編按:「不是」穆罕默德到山那邊,「就是」山到穆罕默德這邊。

其後一千五百年甚至更久,克律西波斯沒有對邏輯留下多少影響。不僅因為他的作品失傳了,只留下他人的轉述,也因為亞里斯多德成了天主教會的心頭好。

「不是」;「就是」的應用。圖/大話題:邏輯。

萊布尼茲定律

接下來兩千年,邏輯學家建構出愈來愈多三段論,有些甚至前提不只兩個。這些邏輯學家就像煉金術士,拿著概念拼拼湊湊,想辦法生出有效論證。最後有一個人在這股狂熱當中想出了方法,那人就是萊布尼茲(1646 – 1716)。

萊布尼茲想到的方法是將陳述句看成代數裡的等式。等式使用等號(=)來表達式子兩邊數值相等。

例如:x2 + y2 = z2

萊布尼茲將等號帶進邏輯裡,用來指稱 a 和 b 等同。

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萊布尼茲定律的陳述句。圖/大話題:邏輯。

自此之後,這個等同式就叫做「萊布尼茲定律」。萊布尼茲將 a = b 拆成兩個不可分割的述句「a 是 b」和「b 是 a」,意思是「所有 a 都是 b」和「所有 b 都是 a」。

例如:「所有單身漢都是沒結婚的男人,且所有沒結婚的男人都是單身漢。」

若 a 和 b 等同,那麼陳述句裡的 a 就算換成 b,這個陳述句的真假顯然不會隨之改變。例如,「蘇格拉底是沒結婚的男人,沒結婚的男人是單身漢,因此蘇格拉底是單身漢」。

這個定律很重要,因為有了它,我們就能以有限多的步驟來判斷近乎無限多的句子的真值。萊布尼茲使用的步驟數是四個。

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陳述句中的等同式。圖/大話題:邏輯。

1. a = a

例:「蘇格拉底是蘇格拉底。」

2. 若 a 是 b,且 b 是 c,則 a 是 c

例:「所有人都會死,蘇格拉底是人,所以蘇格拉底會死。」

說「a 是 b」就等於說「所有 a 都是 b」。

3. a =非(非 a)

例:「如果蘇格拉底會死,則蘇格拉底不是不會死的。」

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4. a 是 b = 非 b 是非 a

例:「蘇格拉底是人,意思是如果你不是人,你就不是蘇格拉底。」

利用這四個簡單的法則,萊布尼茲就能證明所有可能出現的三段論。比起亞里斯多德的四角對當,這才是人類史上第一個真正的真理理論,因為它使用事先定下的法則,藉由代換等同的符號(同義詞)來導出結論。

非真即假的歸謬法

萊布尼茲最常用的證明方法是一個極為重要的邏輯工具,深受後世邏輯學家和哲學家喜愛。他稱呼這個方法為歸謬法。

這個工具很簡單,卻好用得驚人,自萊布尼茲發明以來便廣獲使用。我們用一個例子來講最清楚。

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檢驗「打籃球」得陳述句是否為真?圖/大話題:邏輯。

使用歸謬法時,我們先假設要檢驗的那個陳述句為真,再看它能導出哪些結論。如果導出的結論互相矛盾,我們就知道那個陳述句是假的,因為矛盾永遠為假。

歸謬法有一大好處,那就是即使我們不知道如何證明,也能判斷一個陳述句的真假;只要證明這個陳述句的否定會導出矛盾,就知道它是真的了。

歸謬法僅用真假二分,但卻沒有提出證明。圖/大話題:邏輯.

新工具

「我發明的這個工具完全使用理性,是裁決爭議的判官、解釋概念的權威、衡量可能性的天平、指引我們穿越經驗之海的指南針,是萬物的清單、思想的表格、檢視事物的顯微鏡、預測遙遠事物的望遠鏡、通用的演算法、不使詐的魔術、不空妄的計謀,也是人人都能用自己的語言閱讀,所及之處皆會帶來真宗教的經文。」

萊布尼茲致信漢諾威公爵,1679 年

不難想見,天主教會將萊布尼茲視為異端。但「思想有其必然法則」的想法卻對西方哲學家產生了深遠的影響,包括康德、黑格爾、馬克思和羅素。

萊布尼茲的思想影響到後世許多西方哲學家。圖/大話題:邏輯。

——本文摘自《大話題:邏輯》,2023 年 3 月,大家出版出版,未經同意請勿轉載。

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