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情人的加分扣分,請遵守貝氏定理

賴 以威
・2014/09/11 ・3992字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 455 ・五年級

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對於渴望戀情的單身男女來說,「看人」是非常重要的技能。更精確地說,「適婚年齡+單身+其實不想單身」的人,某種程度上正是缺乏了看人的能力才會單身。

when harry met sally
Photo Credit:When Harry Met Sally

看人很困難。曖昧中的男女總在內心扮演福爾摩斯,觀察細節,然後開玩笑、但也帶著幾分認真的加分扣分。

約會遲到10分鐘扣5分;聊天聊到一半回LINE訊息扣9分;隔桌小屁孩哭哭啼啼比飛機降落還吵,她只哄了兩分鐘,小孩就變得比孫芸芸代言的高級家電還安靜,加10分;聽到我不好笑的笑話還笑,加20分(但這樣代表品味不是很好,就事論事依然得扣1分)。

笑容很可愛加30分。

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我們用簡單的加減法評量對方。只是,這種加分扣分真的正確嗎?

或許,比起算總分,我們應該翻轉思維,思考眼前這人有多少機率,會是我的理想情人。然後,再利用托馬斯·貝葉斯所發明的機率定律——貝氏定理,來計算機率。

 

貝氏定理告訴我們,每位對象都有一定的機率是理想情人。約會的每個當下,我們都能算出這組「理想情人機率」。倘若發生了新事件,再利用新事件來更新機率值。

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請想像這樣的小劇場,女主角是剛學會貝氏定理的芷帆:

某天上午,朋友傳LINE訊息問起芷帆的感情狀態,她清楚這是開場白,對方昨天才按讚了自己的臉書大頭貼照,照片裡只有一杯黑咖啡,旁邊擱了幾顆糖,就像她一樣,獨自裝滿了苦、澀、酸,唯獨與甜絕緣。

Photo Credit:f-l-e-x
Photo Credit:f-l-e-x

「我男友的好朋友剛好也單身。」

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剛好是怎樣,單身一點都不好啊。芷帆心裡嘀咕。不等芷帆回答,朋友彷彿業務介紹商品般滔滔不絕描述,身高175公分,BMI低於20,在101大樓上班,興趣是閱讀,特別是科普類書籍。遮住嘴巴像王力宏,遮住眼睛像謝霆鋒,整張臉遮住像金城武。

「為什麼遮住臉像金城武?」芷帆忍不住問

「手指像。」

朋友傳了照片。雖然不到她描述的那麼誇張,但外表是芷帆喜歡的類型,手指很修長,真的有點像金城武有的手。依據過去約會、認識異性的經驗,芷帆內心進行了一段超級電腦也無法模擬的運算,吐出一個她也不知道怎麼來的數值:

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這男的,有35%的機率是我的理想情人。

我們稱這個為先驗機率(a priori probability)。

做為理想情人的機率超過三成,芷帆決定給男孩一個機會,他叫思綸。

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交換聯絡方式後,思綸約芷帆周末在台北中山站的咖啡廳見面。那是一間浪漫的白色系咖啡廳,挑高天花板,頂樓有一整面落地窗,還有一整排的白色書架、上面放了日式雜誌以及剪修整齊的盆栽。芷帆早到十分鐘,一走上樓,發現思綸已經坐在靠窗的座位上了。

看見芷帆,思綸起身過來。

「靠窗的風景很漂亮,我就想早一點到,來等這個座位。」

芷帆清楚,這間咖啡廳沒辦法預約座位,想搶到窗邊特等席,最少得提早來半小時。她看見桌上剩一半的水瓶,還有思綸真誠的笑容,心想,他可能是一位很誠懇的好男孩,努力想讓第一次約會變得完美。

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但也可能是一位千錘百鍊的情場浪子,每一個步驟都經過精心設計。

芷帆想起前陣子學到的貝氏定理,她決定透過貝氏定理,仔細檢驗眼前的這位男生。貝氏定理問,

如果是適合芷帆的好男孩,特地早到的機率是多少?

如果是不適合芷帆的浪子,特地早到的機率是多少

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我們用A和B各自表示「芷帆的理想情人」和「特地早到占位子」這兩個事件。方才貝氏定理的這兩組提問,可以用條件機率來表示。

適合芷帆的好男孩,特地早到的機率=P(B|A)。P(B|A)的意思是,給定A事件發生的情況下,B事件發生的條件機率。

不適合芷帆的浪子,特地早到的機率=P(B|Ac)。Ac表示與A事件剛好相反的事件。

根據過往經驗,芷帆認為好男孩早到的機率很高,P(B|A)=90%。壞男孩早到的機率低一點,一方面他們得和很多人約會;另一方面,他們通常擅於言詞,早到獨自坐在那裏,不能發揮他們的強項,因此機率P(B|Ac)只有70%。

出門前的先驗機率「思綸有35%的機率很適合她」,寫成數學式子為P(A)=35%,P(Ac)=65%。現在要做的,是將先驗機率和剛才的兩組條件機率整合。

「不好意思,我去一下洗手間。」

芷帆躲進廁所,在紙巾上寫下貝氏定理的公式

情人的加分扣分,請遵守貝氏定理_Fig3

公式的左邊P(A|B)是所謂的事後機率(a posteriori probability)。意思是當發生B事件(特地早到)後,我們得到了新的觀察,因此事件A(思綸是芷帆的理想情人)的機率將隨之改變。

發生的事件越多,得到越多的觀察,就越了解對方,能得到更精確的機率估測。

這就是貝氏定理的精神。

 

芷帆按起手機計算機

情人的加分扣分,請遵守貝氏定理_Fig4

計算結果表示,發生B事件後,「思綸是適合她的好老公」的機率從35%提升6個百分點,來到41%。這組機率值,將成為下一次新事件的先驗機率。

事情往好的方向前進了。鏡子裡的芷帆露出笑容。

Photo Credit:englishsnow
Photo Credit:englishsnow

一年後,場景來到飯店的婚禮套房。晚上十點,芷帆跟思綸送客的禮服都還沒換,兩個人癱在床上。

「原來辦婚禮這麼累。」

「有經驗後,下次就輕鬆多了。」

芷帆白了他一眼,思綸故作害怕地拿領帶遮住眼睛。安靜了一會兒,思綸說

「我覺得阿,婚禮會弄得這麼忙,搞不好是老祖宗的智慧。」

「為什麼?」

「要是不累,我應該一整天都會瘋瘋癲癲,過度亢奮。」

思綸轉過來看著芷帆

「娶到妳,是我這輩子最開心的一件事。」

芷帆沒接話,雙頰泛紅。這人總是這樣,像突襲檢查的方式說浪漫話。她想起這一年來,他們相處的點點滴滴,每一次事件,芷帆都細心地用貝氏定理檢驗,達到真正的「加機率值」、「減機率值」。

當思綸求婚時,他是理想情人的機率已經超過90%,芷帆眼眶泛淚,開心地答應。

「半年前,妳想分手的時候,我以為一切都要完了。」

思綸又是突然的一句話,勾起芷帆一段回憶。

半年前的某晚,他們約好見面。到了餐廳,芷帆卻連絡不上思綸。手機沒開、LINE訊息不回,連已讀的勾勾都沒有。

「嗯?妳不是傍晚來我們公司,思綸出去見妳,回來就早退……」

說到一半,同事才意識到不對勁,但已經來不及替思綸隱瞞了。芷帆跑去思綸公寓樓下等,直到半夜,才看到思綸的車從巷口駛進來。

「她論及婚嫁的男朋友劈腿,被發現後不但沒道歉,那男的還決定跟第三者在一起……妳聽我解釋,我手機剛好沒電,她情緒又很不穩定,我決定先安慰她,晚上再跟妳解釋。」

她是思綸的前女友。

他們是學生時代的情侶,交往過五六年,相處起來像家人。雖然分手多年,但芷帆總認為,如果思綸會離開她,一定是因為那女的緣故。也因為這樣,當芷帆知道思綸竟然為了她跟自己爽約,又和她獨處到半夜。

芷帆蜷著腿蹲在路燈下,站著的思綸擋住了燈光,卻擋不住她潰堤的淚水。

Photo Credit:omnia_mutantur
Photo Credit:omnia_mutantur

她不敢相信思綸會做出「與前女友獨處到半夜」這種事(我們命名為事件C)。更何況,經過半年的相處,作為理想情人(事件A),思綸的機率已經高達73%。她認為,假如是理想情人,做出事件C的機率應該非常低,了不起最多5%,因此P(C|A)=5%。但要是一個錯的對象,做出這種事情的機率應該是一半一半,P(C|AC)=50%。將這些數字套入貝氏定理

Fig3

比剛認識時,思綸是理想情人的機率30%還低。這個結果讓芷帆的心沉到谷底。她聽見自己的聲音說

「我們分手吧。」

她不給思綸任何解釋的機會,將自己封閉在家裡,回到臉書大頭貼照裡的那杯咖啡,酸、苦、澀,與甜絕緣。直到介紹的朋友約芷帆吃飯

「我覺得如果是好老公,就不會做出這種讓對方擔心的事情。」

芷帆搖搖頭說,她比誰都想原諒思綸。

但她知道她不會看人,她只能相信貝氏定理的結果。貝氏定理告訴她,思綸是理想情人的機率只有近兩成,她不應該再繼續下去。

「妳太嚴格了,那種情況下,是我也可能會這樣做。因為我相信我女朋友能理解,也會相信我不是會被背叛她的人。」

朋友的男朋友忽然插嘴,朋友點點頭。

「聽說他前女友很情緒化,要是想不開,思綸才真的會一輩子掛念著她。所以他才花那麼多時間安撫她的。」

芷帆動搖了,她又問了其他人,贊成或反對的都有,但整體下來,不如她當初預期的一面倒。因此,儘管芷帆還是認為思綸不是個好老公,才會做出這件事。但她意識到,當初預估的5%機率過低,應該還思綸個公道,修正一下。

芷帆統計眾人的反應,將P(C|A),也就是「給定思綸是理想情人,卻跟前女友獨處到半夜」的機率提高到30%。

芷帆拿出計算機。

幾秒後,芷帆重複檢查,確定式子沒有寫錯。然後,她盯著計算紙半响說不出話

Fig4

僅僅只是從5%到30%的調整,思綸是理想情人的事後機率,卻從20%提升到62%。儘管比先前的73%下降,但也只下降了11個百分點。

他們之間還是充滿著許多可能。

芷帆將計算結果抱在胸前,慶幸自己有做過這次驗算。這是她第一次發自內心地感謝貝氏定律。貝氏定律讓她有個好理由原諒思綸,讓他們能繼續下去。

芷帆這才清楚自己的感受。就算只有20%的機率思綸會是好老公,或許到最後,她也不會放棄思綸。畢竟真正完美的感情,就算只有那麼1%的機率,也值得一個人費盡一切去追求。

when harry met sally_2
Photo Credit:When Harry Met Sally

 

「我還以為妳睡著了。」

芷帆回過神來,思綸靠得很近,一張臉佔據了她全部的視線。他的手輕輕掠過她的頭髮。

「你的手指很漂亮。」芷帆握住思綸的手

「是有人說過像金城武的手指,但被這麼讚美,誰會感到開心啊。」

思綸不以為然地說著,回到方才的話題

「那時候,妳後來為什麼決定復合呢?」

「朋友勸我的。」

「哪一位朋友,今天有來嗎?妳沒跟我講,我要好好謝謝他。」

「貝葉斯。」

「啊,外國人?」

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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賭博與愛情公式:用數學擬定你的擇偶策略——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/06 ・2486字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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理解期望值,有助於分析賭場裡的大部分賭局,以及美國中西部和英國的嘉年華會中,常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法:骰子擲好運(chuck-a-luck)。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力:你從 1 到 6 挑一個號碼,莊家一次擲三顆骰子,如果三個骰子都擲出你挑的號碼,莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼,莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼,莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現,那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子,你有三次機會贏,而且,有時候你還不只贏 1 美元,最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安.李維絲(Joan Rivers)的名言(按:她的名言是:「我們能聊一聊嗎?」),問一句:「我們能算一算嗎?」(如果你寧願不算,可以跳過這一節。)不管你選哪個號碼,贏的機率顯然都一樣。不過,為了讓計算更明確易懂,假設你永遠都選 4。骰子是獨立的,三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6=1/216,你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

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僅有兩個骰子出現 4 點的機率,會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布,我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4,有三種彼此互斥的情況:X44、4X4 或 44X,其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6=5/216,第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加,可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216,你有這樣的機率會贏得 2 美元。

圖/envato

同樣的,要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率,也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6=25/216,得到 X4X 和 XX4 的機率亦同,三者相加,得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率,因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率,我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1(或是100%)減去(1/216 +15/216 + 75/216),得出的答案是 125/216。所以,平均而言,你每玩 216 次骰子擲好運,就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來,就可以算出你贏的期望值($3×1/216)+($2×15/216)+($1×75/216)+(–$1×125/216)=$(–17/216)=–$0.08。平均來說,你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局,大概就要輸掉 8 美分。

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尋找愛情,有公式?

面對愛情,有人從感性出發,有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好,但加起來⋯⋯也不是很妙。不過,如果善用兩者,成功的機率可能還是大一些。回想舊愛,憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣,並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人,很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中,假設女主角——就叫她香桃吧(按:在希臘神話中,香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物,象徵愛與美)有理由相信,在她的「約會生涯」中,會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說,N 可能等於 2;對另一些人來說,N 也許是 200。香桃思考的問題是:到了什麼時候我就應該接受X先生,不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」?我們也假設她是一次遇見一個人,有能力判斷她遇到的人是否適合她,以及,一旦她拒絕了某個人之後,此人就永遠出局。

為了便於說明,假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士,她對這些人的排序如下:3—5—1—6—2—4。這是指,在她約過會的這 6 人中,她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名,對第二人的喜歡程度排第 5 名,最喜歡第三個人,以此類推。如果她見了第七個人,她對此人的喜歡程度超過其他人,但第三人仍穩居寶座,那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人,她就更新追求者的相對排序。她在想,到底要用什麼樣的規則擇偶,才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中,選出最好的。

圖/envato

要得出最好的策略,要善用條件機率(我們會在下一章介紹條件機率)和一點微積分,但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好,且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面,她大概需要拒絕前面的 37%,之後真命天子出現時(如果有的話),就接受。

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舉例來說,假設香桃不是太有魅力,她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設,這 4 個人與她相見的順序,是 24 種可能性中的任何一種(24=4×3×2×1)。

由於 N=4,37% 策略在這個例子中不夠清楚(無法對應到整數),而 37% 介於 25% 與 50% 之間,因此有兩套對應的最佳策略如下:

(A)拒絕第一個對象(4×25%=1),接受後來最佳的對象。

(B)拒絕前兩名追求者(4×50%=2),接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略,香桃會在 24 種可能性中的 11 種,選到最好的追求者。採取 B 策略的話,會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列,如同前述,1 代表香桃最偏好的追求者,2 代表她的次佳選擇,以此類推。因此,3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇,再來遇見第二選擇,第三次遇到最佳選擇,最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B,代表在這些情況下,採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

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1234;1243;1324;1342;1423;1432;2134(A);2143(A);2314(A, B);2341(A, B);2413(A, B);2431(A, B);3124(A);3142(A);3214(B);3241(B);3412(A, B);3421;4123(A);4132(A);4213(B);4231(B);4312(B);4321

如果香桃很有魅力,預期可以遇見 25 位追求者,那她的策略是要拒絕前 9 位追求者(25 的 37% 約為 9),接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證,但是這個表會變得很龐雜,因此,最好的策略就是接受通用證明。(不用多說,如果要找伴的人是男士而非女士,同樣的分析也成立。)如果 N 的數值很大,那麼,香桃遵循這套 37% 法則擇偶的成功率也約略是 37%。接下來的部分就比較難了:要如何和真命天子相伴相守。話說回來,這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本,其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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閱讀的大牌不侷限於單一領域, 視野寬廣,知識豐富,思考獨立。

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如何增進夫妻感情?答案比你想像中簡單——《怪咖心理學之 59 秒的練習》
azothbooks_96
・2023/06/01 ・3982字 ・閱讀時間約 8 分鐘

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怎樣才能讓夫妻的感情加溫且長長久久?研究證實,只要夫妻一起玩障礙競賽就會大有幫助! 

實驗證明:墜入愛河可能比想像中簡單

一九八○年代末期,麻州克拉克大學(Clark University)的詹姆斯‧萊爾德(James Laird)與同仁刊登廣告,招募自願者參與一項罕見的實驗,探討第六感有沒有可能存在。他們安排互不相識的男女同時抵達實驗室,經歷一段特別的流程。研究人員解釋,兩位受測者做心電感應測試以前,必須先做默契培養練習。研究人員請受測者花點時間凝視對方的眼睛,然後再把他們帶到不同的房間,讓其中一人看幾張簡單的照片,請另一人用感應的方式猜測那些照片的性質。

研究結束後,萊爾德觀察他的資料,發現沒有證據顯示心電感應力。他覺得失望嗎?一點也不。事實上,這個研究和心電感應無關,所謂的心電感應測試只是一個幌子,他們的目的是想做愛情心理研究。

心電感應測驗只是一個幌子,實際上是為了研究人們的「愛情心理」。 圖/envato

很多人認為墜入愛河是很複雜的事,視外表、個性、默契、機會等複雜的因素混合而定。不過,萊爾德有另一番看法,他懷疑這種獨特神祕的感覺可能很直接了當,或許有可能用幾個小心安排的時間點製造出來。他的假設很簡單,從日常生活即可明顯看出,相愛的人會花不少時間凝視彼此的雙眼。萊爾德想知道反過來是否也成立:讓兩人彼此凝視一會兒,是不是也有可能產生愛意?

一般而言,盯著陌生人瞧,頂多讓人覺得很怪或不禮貌,所以萊爾德必須編出可信的理由,讓人可以彼此凝視更久,所以他才會想出用心電感應測試做為幌子。受測者在不知情下凝視彼此的雙眼,那行為看起來就像他們覺得彼此有魅力一樣,萊爾德覺得這樣就足以激發愛意了。

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假心電感應測試結束後,萊爾德請所有受測者評估他們對實驗伙伴有多少愛戀的感覺。驚人的是,資料證明萊爾德想得沒錯,受測者果然對新認識的伙伴有好感,覺得對方有吸引力。

這研究變成了解感情心理的一種創新方式。根據這種觀點, 不僅我們的想法與感覺會影響我們的行動,我們行動的方式也會反過來影響我們的想法與感覺。

萊爾德發現長時間凝視對方,也有機率增加彼此好感度。 圖/envato

增加新奇感,可以增加對彼此的吸引力

萊爾德不是唯一探索如何用這種方式幫助研究人員更了解人心運作的人,紐約州立大學石溪分校的艾隆與同仁做的另一個研究顯示,同樣的方法也可以讓夫妻變得更親近。感情的發展一開始通常充滿興奮,愛戀的雙方都很享受和新伙伴一起體驗生活的新鮮感。

但是快轉二十年後,往往會出現全然不同的情況,雙方都很熟悉彼此,生活變得平淡無奇。同樣的餐廳、同樣的度假地點、同樣的交談。雖然熟悉感令人放心,也讓人覺得無聊,不太可能讓人再像以往一樣怦然心動。

艾隆心想,如果凝視彼此的雙眼可以讓人產生愛意,讓老夫老妻這麼做,是不是也能讓他們感受到戀愛時期的興奮感,幫他們重燃愛火。也就是說,打破一成不變的婚姻生活,做點新奇好玩的事,也可以讓他們覺得彼此更有吸引嗎?在最初的實驗中,艾隆刊登報紙廣告,徵求夫妻參與實驗,探討「影響婚姻關係的因素」。

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如何增加生活新奇感?一起玩障礙賽就好!

自願受測者到達實驗室時,他們就請每對夫妻做一份有關婚姻關係的問卷,並隨機把他們分成兩組。之後研究人員搬開所有桌椅,鋪上健身房用的墊子,開始做下一階段的研究。

研究人員給其中一半的夫妻一卷魔鬼氈,告訴他們即將參與一個比較奇怪的遊戲。如果那對夫妻一聽到說明就雙眼為之一亮,會心相視,研究人員就馬上拿走魔鬼氈,請他們離開。至於留下來的人,研究人員用魔鬼氈把一人的右手腕和配偶的左手腕綁在一起,也把他們的左右腳踝綁在一起。

研究人員忍住哼唱萊諾‧李奇〈Stuck On You〉(譯註:直譯是「黏上你」,亦即「戀上你」)一曲的衝動,在房間的中央放一個一米高的泡棉障礙,給每對夫妻一個大枕頭。每對夫妻都必須趴在地上,爬過障礙,到房間的另一端,再轉頭爬回障礙,再次跨過它,回到起點。

為了讓過程更有趣,他們必須隨時把枕頭夾在兩人身體之間(不准用手掌、手臂或牙齒),必須在六十秒內完成。為了不讓任一組失望,研究人員請受測者都拿下手錶(「我們不希望手錶在混亂中刮傷了」),假裝每個人都在限定時間內完成任務。

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他們叫另一組的夫妻做比較平常的事,給其中一人一顆球, 請他趴下來,把球滾到房間中央,讓他的配偶在房間的另一邊觀看。球滾到中央時,兩人再交換角色,由另一人把球滾回起點。

研究人員假設多數夫妻不會有很多機會一起爬過泡棉障礙, 所以那經驗應該滿新奇有趣的,那是給他們機會一起達成目標,並從罕見的新觀點觀看彼此。概念上來說,這就像他們初次見面時,比較令人興奮的經驗。相反的,另一組是對照組,他們做的事情比較平凡無奇,也沒有合作效果。

實驗結束後,他們請所有夫妻填寫幾份問卷(其中包括一份名稱很不浪漫的問卷〈浪漫愛情徵狀核對表〉),評估的項目包括配偶讓他們「心動」與「滿心歡喜」的程度。誠如預期,爬過大型泡棉障礙的夫妻對彼此的愛意比完成滾球任務的夫妻還深。只花幾分鐘一起做新奇有趣的活動,似乎產生了意想不到的效果。

一個新奇的體驗(障礙賽),就可以幫助夫妻加深感情。圖/envato

在上述結果的鼓勵下,艾隆與研究團隊又重複了一次實驗, 不過這次他們是以不同的方式衡量婚姻的滿意度。研究結束時, 研究人員拍下每對夫妻閒聊下次假期規畫或如何裝修家裡的影片,然後請另一組研究人員觀察影片,仔細計算影片裡夫妻任一人反對對方的次數。結果顯示,綁魔鬼氈的夫妻做出較多的正面評論。

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艾隆的研究再次證明,我們的行為會大幅影響我們的思考與感覺。就像凝視陌生人可以讓雙方互相產生吸引力一樣,進行和熱戀時期有關的活動,也可以幫人重新點燃過去的熱情。

根據這個研究,想要常保感情的熱度,可能只要靠一卷魔鬼氈、一大塊泡棉障礙和開放的心胸就夠了。

同場加映:了解對方想要什麼

最近我做了一次大規模的網路調查,探討浪漫舉動的心理。我和作家瑞秋‧阿姆斯壯(Rachael Armstrong)合作設計一份問卷,裡面列了許多不同的浪漫敘述,例如「另一半辛苦工作一天後,幫他放滿一盆溫熱的洗澡水」、「對方感到冷時,脫下自己的外套幫他披上」、「突然帶另一半去某個刺激的地方共度週末」。

那份調查總共吸引一千五百多位來自英美的網友完成問卷,研究結果有助於透露浪漫背後不為人知的心理。女人常抱怨男人不夠浪漫,但調查結果也確認她們的懷疑嗎? 

我們請女性閱讀那份清單,指出他們的伴侶多常做那些浪漫舉動,結果頗令人失望。55% 的女性表示,她們辛苦工作一天回家後,另一半從來沒幫她們放過洗澡水。45% 表示她們覺得冷時,另一半從來沒脫下外套讓她們禦寒。53% 表示另一半從來沒有突然帶她們去度意外的週末。這些客觀的數據證實了長久以來女性覺得男性不夠浪漫的抱怨,但是這些失望數據可能是什麼因素造成的? 

在另一部份的調查中,我們請男性受訪者閱讀浪漫清單,用一到十來評分他們做任一舉動時,女性覺得有多浪漫。我們也請女性受訪者用一到十評分,如果另一半做任一浪漫舉動時,她們覺得有多浪漫。結果顯示,連最簡單的舉動男性都會大幅低估它的浪漫程度。

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例如,只有 11% 的男性覺得「告訴她,她是你見過最棒的女人」非常浪漫,但有 25% 的女性覺得那很浪漫。同樣的,只有 8% 的男性覺得「女人辛苦工作一天後,幫她放洗澡水」很浪漫,但有 22% 的女性覺得那很浪漫。幾乎每一項浪漫舉動都得出同樣的結果,這顯示男性不願做浪漫的舉動可能不是因為懶惰或不體貼,而是因為他們低估了女性對浪漫舉動的觀感。

那份調查的結果也透露了女性覺得最浪漫與最不浪漫的舉動,剛好可以為有心求愛的男性提供一點指南。以下列出十大浪漫舉動,以及認為那舉動非常浪漫(給十分)的女性比率: 

1. 蒙上她的眼,給她一個驚喜(40%)。
2. 突然帶她到某個地方共度意外週末(40%)。
3. 為她寫首歌或寫一首詩(28%)。
4. 告訴她,她是你遇過最棒的女人(25%)。
5. 她辛苦工作一天後,幫她放洗澡水(22%)。
6. 傳給她一則浪漫簡訊或電子郵件,或在家裡留一張浪漫的紙條(22%)。
7. 幫她準備床前早餐(22%)。
8. 她感到冷時,脫下外套幫她披上(18%)。
9. 送一大束花或一盒巧克力到她上班的地方(16%)。
10. 幫她把最愛的音樂編集在一起(12%)。

有趣的是,有逃離現實與意外驚喜的舉動最受女性青睞,之後是反映體貼的舉動,明顯偏物質享樂的舉動則殿後。科學證明,關於浪漫,最重要的或許是心意。

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——本文摘自《怪咖心理學之 59 秒的練習,靠表情、姿勢和小動作,輕鬆翻轉工作與人生!、社區裡的用藥悲劇與重生》,2023 年 4 月,漫遊者文化出版,未經同意請勿轉載。

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鑑識故事系列:Lucia de Berk 值班死幾人?荷蘭護理冤案
胡中行_96
・2023/02/27 ・2983字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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前言:本文為鑑識系列中,罕見提及統計學的故事。不過,繁複的計算過程全部省略,僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

護理人員 Lucia de Berk。圖/Carole Edrich on Wikimedia Commons(CC BY-SA 3.0)

荷蘭護理人員 Lucia de Berk,長年於海牙茱莉安娜兒童醫院(Juliana Kinderziekenhuis)的 1 個病房,與紅十字醫院(Rode Kruis Ziekenhuis)的 2 個病房工作。2001 年 12 月,她因謀殺罪嫌被捕。[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因,發現是中毒身亡;後來連帶調查 1997 至 2001 年間,幾家醫院可能的謀殺案件,於是找上了她。[2]在法庭上,司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念,證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說,就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法,叫做超幾何分佈(又稱「超幾何分配」;hypergeometric distribution)。[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中,隨機抽取樣本,不再放回的情形。例如:袋子裝有 N 顆球,其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球,不特別挑選的話,紅球碰巧被抓到的機率為 X。[3, 4]以此類推,在此案被調查的時間範圍內,病房總共有 N 個班次,其中 Lucia de Berk 值了 L 班,而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排,則她正好出現在事故班次的機率為 X。[1]公式介紹。[4]

此處實際帶入數據後得到的答案,說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一(X = 1 / 3.42 x 108)的機率,會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此,法庭認定她的頻繁出現(> 1 / 3.42 x 108),絕非巧合。[1, 2, 5, 6]2003 年,Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂,[2]被判終身監禁。[5]

茱利安納兒童醫院(Juliana Kinderziekenhuis)外觀。圖/Joris on Wikimedia Commons(CC BY-SA 3.0)
紅十字醫院(Rode Kruis Ziekenhuis)已於 2021 年關閉。圖/1Veertje on Wikimedia Commons(CC BY-SA 4.0)。

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師,以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授,都覺得事有蹊蹺。[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄,並指出部份醫療事故的類型和事發時間,與判決所用的數據對不起來因為後者大半仰賴記憶,他們甚至發現有些遭指控的班次,Lucia de Berk 其實不在現場。然而,光是這些校正,還不足以推翻判決。[1, 7]

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所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學(Universiteit Leiden)統計學榮譽教授 Richard Gill,也伸出援手。[2]在協助此案的多年後,他的團隊發表了一篇論文,解釋不該使用超幾何分佈的理由,例如:[1]

  1. 護理人員不可互換:所有受訪醫師都說,護理人員可以相互替換;但是護理人員覺得,他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異,他們對病患的影響也不同。[1]
  2. 醫療事故通報機率:既然每個護理人員都有自己的個性,他們判定某事件為醫療事故,並且通報醫師的機率也不一樣。[1]畢竟醫院的通報規定是一回事;符合標準與否,都由護理人員判斷。比方說,有個病患每次緊張,血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒,再登記第二次測量的正常結果即可。不過,難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報,分明給病房添亂。
  3. 班次與季節事故率:夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師;季節性的特定病例增減;以及病患的生理時鐘等,都會影響出事的機率。[1]
  4. 護理排班並不平均:護理人員的班次安排,理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班,接著是幾個小夜班之類的,[1]比較方便調整作息。此外,護理人員的資歷和個性,通常也會被納入考量。[1]以免某個班次全是資深人員;但另個班次緊急事故發生時,卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下,如果單看某個時期的班表,每個人所輪到的各類班次總數,應該不會完全相同。
  5. 出院政策曾經改變:茱莉安娜兒童醫院在案發期間,曾經針對確定救不活的小病患,是否該在家中或病房離世,做過政策上的調整。帳面上來說,算在病房裡的事故量絕對會有變化。[1]

總之,太多因素會影響護理排班,或是干擾醫療事故的通報率,因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是,Henk Elffers 在計算過程中,分開處理 3 個病房的機率,然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調,這樣會造成在多處上班的護理人員,比只為一處服務者,看起來有較高的嫌疑。[1]

帕松分佈

因應這種情境,Richard Gill 教授建議採用帕松分佈(又譯「布阿松分配」;Poisson distribution),[1]一種描述特定時間內,事件發生率的統計模型。[8]有別於先前的計算方法,在這裡事故傾向(accident proneness),以及整體排班狀況等變因,都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度;後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等,也適用於 Lucia de Berk 的案子。[1](深入瞭解公式計算(p. 4 – 6)。[1, 8]

雖然此模型的細節複雜,統計學家得大費周章解釋給法官聽,但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據,這個計算最後的答案是 0.0206161,意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率,會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據,機率更高達 9 分之 1。[1, 9]換句話說,她單純是倒楣出現在那裡,就被當作連續殺人犯。[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果,顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而,最不合理的,是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說,怎能不忠於病歷或驗屍報告?Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時,表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊,被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。[2]他們發現原本被視為受害者的病患,根本都喪命於自然死因。[2, 6]

在各方人士的協助下,Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。[6]她曾於 2008 年,被允許在家等候重審結果。[1]但直到 2010 年 4 月,司法才還她清白。[7]Ton Derksen 認為,在荷蘭像這樣誤判的案件,約佔總判決數的 4 至 11%,也就是每年 1,000 人左右。不過,2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡,只有 5 個上訴到最高法院,而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。[10]

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Lucia de Berk 冤案改編電影的海報。圖/電影《Lucia de B.》(2014) on IMDB

  

參考資料

  1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
  2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
  3. 超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所(Accessed on 03 FEB 2023)
  4. 李柏堅(06 FEB 2015)「超幾何分配CUSTCourses on YouTube.
  5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
  6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
  7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
  8. 李伯堅(04 FEB 2015)「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
  9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
  10. One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.
胡中行_96
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曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。