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生活中的數理應用:節能、冷卻與機率思考

賴昭正_96
・2025/08/21 ・5603字 ・閱讀時間約 11 分鐘

隨著科技的快速進步及生活水準的不斷提高,人類在日常生活使用的工具越來越複雜。面對推陳出新,源源不絕的各種新式工具,要如何有效地使用它們呢?看到這麼多的廣告,又要如何判斷它們的真偽呢?

這些應用科學的工具固然帶來許多便利性,但是使用者在不了解背後科學原理的情況下,也可能發生誤解,造成一些錯誤觀念以訛傳訛,反而促成不必要的浪費。本文便是筆者以日常生活中的見聞,來探討生活用品背後的一些物理原理與數學,期望能釐清一些迷思,讓讀者能夠撥雲見日。

電熱水瓶

在「日常生活範式的轉變:從紙筆到 AI」一文裡,筆者提到了許多改變我們日常生活的現代科技,卻忘了非常重要的網路購物!事實上,除了菜市場外,筆者現在幾乎已不在任何商店買東西了。網路購物有一個很大的優點,那就是很容易比較不同品牌的商品。例如 2020 年筆者決定換個熱水瓶時,在美國最大的網路市場亞馬遜(Amazon)碰到一個問題:一般的熱水瓶(如松下)大約只要美金 100 左右,唯獨像印(Zojirushi)卻有高達美金 200 元以上的熱水瓶;仔細比較一下,唯一的大不同是後者有真空保溫的外層。一向節儉慣的筆者幾經思考後決定購買 4 公升裝的松下。

在透過提高裝貨運送速度、實施更嚴格的賣家驗證流程來應對假冒產品的擔憂後,中國大陸的「全球速賣通」(AliExpress) 似乎已重返美國市場,筆者最近兩、三年也開始敢在其網站購物了。數月前看到它廣告只要美金 150 元的像印真空保溫熱水瓶,一向喜歡佔小便宜的筆者就買了一隻,讓筆者有實際的數據來比較像印的高價是否值得。像印的規格資料謂保持在 90℃ 的平均功率是 24 瓦特;美國聖荷西市的電費是每一度(千瓦小時)0.39 美元,因此每年用在保溫的電費為

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松下的規格資料謂保持在 88℃ 的平均功率是 39 瓦特,因此每年用在保溫的電費是

即像印熱水瓶每年可節省約 51 美元的保溫費!值不值得高價買像印熱水瓶那就看讀者準備要用多久了。筆者的松下熱水瓶用了 4 年多,因此後悔當初沒有買比較貴的像印真空保溫熱水瓶了!

一般電熱水瓶均有所謂的「節能定時器功能」:因為晚上睡覺時不用熱水,所以在睡覺前將熱水瓶關掉,可以設定幾小時後,再自動加熱,讓讀者起來時立即有熱水泡茶或沖咖啡。這看起來是很方便,但真的節能嗎?

讓我們在這裡來分析一下吧。如果有科學儀器幫忙,分析將是輕而易舉;但事實上即使沒有,我們還是可以做很多有意義之分析的。我們關掉熱水瓶的電後,其溫度將類似圖一的紅線下降(註一),「最後」到達室溫。理論上「最後」應是慢慢逼近,永遠不可能達到室溫的。

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圖一: x 軸為特徵時間(相對值),y 軸為溫度。紅線為熱水瓶依據牛頓冷卻定律所畫出的降溫曲線,藍線代表熱水瓶維持保溫狀態。

但在實應上,我們可以說到達 1.5 之 x 座標時已經是室溫。而 1.5 到底是多少小時,則因電熱水瓶的設計及室溫之不同而異。如果設定的節能定時 x ≤ 1.5,那麼熱水瓶所散的熱正好由重新啟動的加熱補上,所以根本沒有節能;如果設定的 x > 1.5,則因熱水瓶在 x 1.5 後就已經不再散熱了,而沒有關掉的熱水瓶仍必須繼續保溫(圖一藍線),所以關掉熱水瓶是值得的、有節能的效果。

松下熱水瓶只有一個 6 小時的定時,筆者夏天做了一個實驗,發現 7 小時後還是室溫,所以沒用過它的「節能定時器功能」;像印松下熱水瓶在 6-12 小時間有 6 個定時。

便攜式空調

聖荷西夏天很熱的時間不長,因此筆者一直想買容易移動的「便攜式空調」(portable air conditioner),以便炎暑一過就可以收起來。以「portable air conditioner」搜尋亞馬遜網路市場,發現有價格差異很大的兩種空調:一種大約在美金 100 元以下,另一種則大約在 200 元以上。

仔細「研究」發現其差異是前者不必要往外面排熱氣,後者必須有管子通到外面以便排掉熱氣。我們知道能量不滅定律,如果用電產生的熱不往外排掉,那熱只能留在房間內,房間只會越來越熱,不可能變冷的!所以這類的「冷氣機」(圖二)只能像電扇一樣,讓你在電扇前面感到涼爽而已!

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事實上比電扇好一點的都加了一個水箱,利用蒸發水會吸熱,讓你感到的風比電扇更冷一點,所以價錢比普通電扇高一點。這種電扇在乾燥的地方事實上是一雙箭雕:除了吹冷風外,同時可以增加空氣的濕度;但是在濕度很高的台灣,其結果可能讓人感到更悶、更難受。

為什麼要使用水呢?除了是最常見的物質之外,水俱有許多其它物質所沒有的性質(參見「奇妙的水分子」),例如氣化熱(一克的水蒸發成一克的氣體所需的熱)、比熱(將一克的水提高溫度一度所需的熱)等等均比其它物質高出許多,所以我們馬上將看到水也常來當冷卻劑。

前面所談到之兩種空調在外表上的不同是「往外面排熱氣的管子」,在內部構造上則是「壓縮機的有無」。壓縮機將氣態冷媒擠壓成液態時會產生大量的熱,冷氣機必須透過「熱交換」將它們丟到外面去,這就是為什麼「真正的冷氣機」需要有通到外面的排氣管。被壓縮的冷媒到了壓力較低的地方會立即透過「熱交換」吸熱膨脹成氣態的冷媒。前者「熱交換」的媒體主要是室外的空氣(為了提高效力,大冷氣機會用水),後者則是室內的空氣(見圖二)。

沒有排氣管的冷氣機

所以真正的冷氣機應該要有排氣管,但筆者在網路上逛店時卻發現有壓縮機、但沒有排氣管的冷氣機!例如有一款「HANLIN HS02 移動冷氣 行動空調」廣告謂:「商業級強勁壓縮機秒速制冷,快速降溫,讓酷暑瞬間消散;……。免排水高溫自蒸發系統,內建水箱設計,開機預設開啟,免排水冷凝水,高溫排風自動霧化」。從產品特色看來,壓縮機所產生的熱量應該是用來蒸發(霧化)「水箱」的水(見圖三)。讓我們在這裡利用能量不滅定律來看看是否可行。

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該產品的規格謂其冷氣量為 1400 瓦特,即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量。前面提到水的汽化熱很高,約為每公克 2260 焦耳;因此該機器每秒鐘能蒸發掉約 0.62 公克(1400/2260)的水。也就是說為了保持室溫不變,一小時必須蒸發掉 2230 公克(2.23 公升)的水。因此除非水箱是 24 公升大,「12 小時預約定時,可設定開關機時間,方便您的生活」是絕對不可能的!還有,這些蒸發的水氣很快就會達到飽和點、結合成液態水,釋放出其剛吸收的汽化熱到室內,不可能降低室內溫度的!在廣告中他們特別介紹了「外出露營帳篷使用方法」,相信那才是該冷氣機可以真正發揮功能的地方;而商品配件中的「排水管」應該是用來「勸」我們在室內使用吧?

所以用蒸發水來冷卻壓縮機似乎是不可行的,但因為水的比熱較空氣高多了,循環「水箱」的水來冷卻壓縮機效益應該比空氣更高(見圖三),可行嗎?

DIKE 多功能移動式瞬涼水冷氣 HLE700WT就是基於這種想法的一個產品。其廣告謂:創新「無排熱管」冰風機,採用水冷循環及高效壓縮機製冷,出風降溫至 14℃,搭配獨立除溼、送風三合一功能四季都適用!前面涼快,後面涼快,無須排熱風管免窗戶施工。…製冷前需先將水箱加水,維持水循環運作,水箱裝滿 4 公升時可持續製冷 8 到 12小 時,一整天都涼爽。因為水是熱交換媒,因此廣告特別強調「大容量水箱」,讓我們在這裡也利用能量不滅定律來看看是否可行。

廣告中沒有提到冷氣量,讓我們在這裡假設與前面那款冷氣機一樣(1400瓦特)吧,即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量,或每小時可以拿掉5040千焦耳的能量。前面提到水的比熱很高,將1公克的水提升溫度一度需4.2焦耳;因此4公升(4000克)的水從30°C提升到100°C 水滾前可以拿掉1176千焦耳(4.2 x 4000 x 70)的熱,也就是說僅能夠拿掉冷氣機0.23小時的壓縮熱能(1176/5040)!

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彩券選擇題

美國有許多州聯合起來的「百萬大獎」(Mega Millions):玩家可以從兩個獨立的數字池中挑選六個數字——從 1 到 70 中的五個不同數字(白球)和從 1 到 25 中的一個數字(金色百萬富翁球)。學過排列組合的讀者應該可以算出其得獎或然率是 302,575,350 之一(註二)。

美國的人口約為 335 百萬,估計絕對不會有半數以上的人買,所以其設計是每次有人中獎的機會不大,獎金下移累積,因此三不五時會出現一個大獎來製造大新聞。例如有一次大獎是 12.2 億美元,而每張「百萬大獎」券才 2 元;這麼高的「益本比」確實是相當吸引人,因此到處出現大排長龍購買,讀者會加入行列嗎?

數學及經濟學上有一稱為「預期價值」(expected value)——隨機變數可能的值,乘上其機率的總和——來幫助我們決定是否值得投資。例如假設拋硬幣正面的或然率為 2/3,反面的或然率為 1/3 ;如果擲出正面,您輸掉 $6,反面您贏得 $10;您賭嗎?這遊戲的「預期價值」為:

即平均而言,每次玩此遊戲大約會輸掉 $0.67,所以不值得玩。我們就用這個方法來看看是否值得去排長龍買「百萬大獎」吧。因為一定要買才能中獎,所以嚴格說來,在這裡不能用「預期價值」。但因為中獎幾率可以說是零,所以在這裡假設沒必要買,只是去選號碼,沒中獎時才交$2.00:

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也就是說即使每次都是大獎,我們每次只要去排隊選號就可以得到$2.00。筆者雖然退休了,沒什麼大事可做,還是不會浪費時間去排隊購買的;當然,如果是因為愛國,那就另當別論了!

但是如果有 $302,575,350 將所有的組合都買下來,那不是一定可以中獎得到 $12.2 億嗎?筆者謹在此建議「泛科學」讀者成立「美國愛國獎券基金會」,募款 $302,575,350 讓我們一起發財吧(註三)!

除了投資及愛國獎券外,「預期價值」在日常生活中事實上還有一個非常有用的地方:那就是決定考試選擇題的策略。早在 1977 年當筆者還不知道什麼是投資時,就已經用常識分析了這個問題:

現行(大學入學分科測驗)倒扣的計算方法(如五選一,答對 1 分,答錯扣 0.25 分),任何只要具備簡單或然率知識的人均能算出:如果考生「完全瞎猜」,則得分數與倒扣分數剛好互相抵消。

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上面這種稱為「邁可生倒扣公式」的預期價值是

在這種倒扣方法下,最佳戰略應該如何決定?顯然地,如果在五個答案中,我已經知道一個或一個以上的答案是錯的,那我應該答,因為得分的或然率已高於倒扣分的或然率:

但是如果我很不幸地「完完全全不知」呢?那因為答了也不吃虧,所以也應該答!!!總而言之,不管怎麼樣,每題都應該答!記住,每題都應該答!

「倒扣」的記分方法原有遏止考生投機的用意,可是根據上面的分析,邁可生倒扣公式不僅達不到遏止投機的目的,反而會助長之;所以,如果要避免考生猜題,倒扣比例應該提高。現在讀者應該不難算出:如果倒扣為 0.30 分,那麼邁可生倒扣公式之預期價值便變成 -0.04,就不值得瞎猜了!

結論

像印牌熱水瓶使用真空保溫,散熱率較低,也因之價格較高,但長期使用下來還是值得的。熱水瓶的「節能定時器功能」是否節能得看環境及定時長短。

「真正的冷氣機」一定要具有能「往外面排熱氣的管子」,否則因為能量不滅的關係,所有的熱只能留在室內,或許可以讓站在出風口處的人感到冷風或冷氣,但是絕對不可能使室溫下降的。事實上根本不需要分析,簡單的邏輯告訴我們:不拿熱到外面的任何機器都不可能讓室內冷下來的!筆者最後還是買了一款定價高一點、體積大很多、有管子通往外面、不怎麼方便的「便攜式空調」(註四),其冷氣量高達 4100 瓦特,為「HANLIN HS02 移動冷氣」的3倍!

美國之「百萬大獎」的「益本比」雖然可以上十億,但投資報酬率(預期價值)似乎太低,不值得浪費時間排隊去買的。如果考試選擇題採用的是「邁可生倒扣公式」,那即是完全不知道答案,也應該每題都要回答!

附註

(註一)只要透過基本微積分就可以導出來。熱水瓶的溫度(T)下降速率應該正比於散熱係數(σ)及裡外溫差(T-To):

式中的 To 為室外溫度,解得

式中的 Tw 為熱水瓶的設定溫度(即 t=0 時的溫度)。


(註二)選一「白球」的方法有 C(70, 5) ,選五「金色百萬富翁球」的方法有 C(25, 1) , 所以選一「白球」及五「金色球」的方法有:


(註三)筆者尚不知如何買下所有的 302,575,350 組合,請讀者提供高見。


(註四)事實上是冷暖兩用機:圖三中的室內、室外互換即成暖氣機。當暖氣機用時,因為要從室外拿熱進來,其效率比一般只在室內用電加熱的「純電熱器」高(2.7:1)。

延伸閱讀

  • 「奇妙的水分子」,科學月刊,1979年1月。
  • 「聯考與選擇題」,科學月刊,1977年8月。
  • 「日常生活中的物理與化學」,科學月刊,2010年12月。
  • 日常生活範式的轉變:從紙筆到 AI」,泛科學,2023/03/08。
  • 我愛科學》,華騰文化有限公司,2017年12月出版;內含「奇妙的水分子」、「聯考與選擇題」、「日常生活中的物理與化學」。
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文章難易度

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賴昭正_96
50 篇文章 ・ 61 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此獲有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪,IBM顧問研究化學家退休 。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲它轉載我的科學月刊上的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」。

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洗澡水忽冷忽熱、煮湯常常忘記關火,你還被這些問題困擾嗎?超實用家電讓你一用就回不去了!
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/06/19 ・2796字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 莊頭北 委託,泛科學企劃執行。

瓦斯熱水器怎麼調,才能省錢又不會忽冷忽熱

瓦斯熱水器是家庭必備設備之一,有了它,我們可以享受舒適的洗澡體驗。但是,要如何調節熱水器,才能不浪費瓦斯,並且節省能源呢?

熱水器出現忽冷忽熱的情況,可能有幾種原因。首先,水壓不足或不穩定,會使水流大小不一,出現忽冷忽熱的現象。其次,使用方式不當也可能是原因之一,若在調整水溫時來回調整,冷水會增加、熱水減少,水壓也會跟著降低,進而造成忽冷忽熱的現象。建議的使用方式為一開始將水龍頭轉至最左邊,並直接從熱水器上將溫度調整為合適的溫度。

家中熱水器又開始忽冷忽熱嗎? 圖/envato.elements

第三,距離過遠也可能導致忽冷忽熱的情況,若進水的距離拉長,運送管道也要拉長,此時就要注意熱水器的進水開關,若開關沒有開到最大,就有可能會使水量不夠、水壓不足,導致水溫忽冷忽熱。

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若以上情形都不是,則還有一種可能是熱水器入水口堵塞所造成,建議這部分可找專業人士協助疏通處理。

而這些種種情況發生時,都會在你來回反覆調整熱水器溫度的過程中,浪費掉許多時間、水量以及瓦斯消耗,帳單金額也就不斷的增厚了。

為了節省瓦斯,減少瓦斯費用的浪費,現在你不需要在浴室跟水龍頭間奮鬥,或者在陽台跟浴室之間來回檢查跟調整啦!因為有莊頭北瓦斯熱水器 TH-7169E。

eco 數位精算科技,自動偵測入水溫度,精準控制出水溫度,不論冬夏四季都舒適恆溫,讓你忘記什麼叫忽冷忽熱,控制水溫也控制水量,讓瓦斯費、水費不再浪費,不僅節能又省錢!再搭配含銅量 99.9% 的無氧銅水箱,導熱性極佳,燃燒效率近乎完美。

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莊頭北知識長謝哲青:「熱水器的效能,不只決定你在浴室等熱水的時間,也關乎你的瓦斯帳單。」莊頭北瓦斯熱水器 TH-7169E,一次幫你解決兩個問題。

圖/莊頭北

油煙對身體的危害,不低於一台大卡車的廢氣

你知道嗎?煮飯時的油煙會釋放出各種有害的物質,這些物質對人體健康造成的傷害不容小覷。

高溫加熱後產生的油煙成分非常複雜,主要有醛、酮、酯、烴、脂肪酸、醇、芳香族化合物、雜環化合物等,其中包括多種如多環芳香烴、揮發性亞硝胺、異環胺類等已知致癌物。這些氣體會直接進入人體呼吸系統,長時間吸入可能導致肺部纖維化,與高致癌風險。

除了油煙之外,食材在與食用油進行高溫處理的過程中,也會因熱分解及汽化膨脹冷卻等反應,生成大量懸浮微粒,也就是我們在空汙新聞常聽到的 PM2.5 與 PM10。舉例來說,一般在炒菜時所生成的 PM2.5,平均濃度高達 424 μg/m,PM10 平均 475 μg/m。早就超過法規標準的 5-15倍。更別提炸魚時產生的 PM2.5 平均濃度更是高達 1265 μg/m,PM10 則達到 1269 μg/m。

煮飯時產生的油煙,對身體的危害比你想像中大。圖/envato.elements

因為這些懸浮微粒的體積非常小,飄浮在空氣中的時間更長,一旦吸入人體,容易入侵肺部甚至人體循環之中。進一步影響我們的健康,提高罹患心血管、呼吸系統相關的疾病之外,甚至也會增加罹患失智症的風險。最近的研究中也表明,PM2.5 的汙染並沒有所謂的「安全範圍」。

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莊頭北知識長謝哲青:「煮飯時產生的空氣問題,隱藏著許多我們想不到的危害,抽油煙機的吸力效果至關重要。」但你不需要擔心,因為有莊頭北 Turbo 歐化排油煙機。

增壓馬達加大吸力,快速排除廚房油煙外,延遲關機設定,幫你清除殘留油煙。特殊專利不鏽鋼油網,超弧 R 0.8 的進煙孔設計,讓油煙順著弧度更快速通過,展現對細微工藝的要求,強化排煙效果。除此之外,內部孔洞的微內縮濾油孔錯位設計,代替傳統的集油杯,油汙零滴落,又美又好清。

又不小心忘記關火嗎?人一次可以記住幾件事情?

隨著現代生活節奏的加快和資訊量的增加,人們需要處理的事情變得越來越多。如果不用 TO DO LIST 的話,一個人可以記住幾件事情?

大腦保存的暫時性記憶,被稱為「工作記憶 (Working memory)」,也有人統稱為「短期記憶(Short-term memory)」。它就像大腦中的小黑板一樣,能記的空間很少、上面寫的東西也都是臨時性的,需要不斷的更新才能處理一直進來的新資訊,像是交談內容,或者是閱讀到的資訊等等。一般普遍認為人類短期記憶的容量是 7 ± 2 個單位。

此外,注意力也會影響人們的記憶能力。當人們一次處理多個事情時,他們的注意力會分散,這可能會導致他們忘記一些重要的事情。尤其是在廚房裡燉湯或燉肉的時候,在等待時間轉身去處理其他事情,就很容易因為注意力轉移導致忘記關火。東西煮過頭不要緊,不小心還會引起火災。

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萬一不小心忘記關火,後果不堪設想。圖/envato.elements

莊頭北知識長謝哲青:「人的專注力與記憶力都有限,特別是在廚房時,一旦疏忽就有可能發生危險,瓦斯爐的安全性非常重要。」

現在你不需要再辛苦記憶,因為有莊頭北 TG-8323G 雙控安全定時大面板檯面爐,烹煮定時關火加上 30 分鐘預防性關火設計,幫你守護家庭用火安全。同時爐台以銅鋁合金爐頭與耐熱 500 度烤漆塗覆銅齒蓋組成,配備防漏湯盤跟齒蓋凸簷,具備設計感上更加耐用、不易髒。

「百年堅持,一如初心」

從熱水器到瓦斯爐,細節之處都可以看到莊頭北傳承百年的職人態度。材料上扎實的用料,配合成熟、細微的工藝技術,才能持續以最穩定的品質持續研發,提供耐用耐操,安全有保障的產品。

不僅品質上的保證,莊頭北更時刻思考顧客需求,從生活中的問題出發,設計出多種讓消費者生活能更安心、舒適的產品,是值得人信賴的台灣老字號家電品牌。

參考資料:

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

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  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

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結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

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對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

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——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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真的需要開冷氣?空調的發明與代價——《跳出溫度舒適圈》
商周出版_96
・2022/10/30 ・5465字 ・閱讀時間約 11 分鐘

  • 作者 / 林子平
美術館內的藝術品。圖/跳出溫度舒適圈

我隨著一排長長的隊伍,進入一個幾乎密閉,只能容納不到十五人的小房間。裡面燈光昏暗,人們站在一張筆記本大小的圖紙前,屏氣凝神地端詳。

在英國國家美術館(National Gallery)內,一個偌大展廳中隔出的狹小空間裡,展示著達文西早期珍貴的鉛筆手稿。為了避免破壞手稿,得要用一種特殊的光線照射,泛黃的紙張上才能浮現依稀模糊的字跡及線條。

「欸,光線這麼弱我看不清楚啦!」一旁的小兒子輕聲地跟我說,我費盡唇舌向他說明,這種年代久遠的作品,很容易受到紫外線及溫溼度的影響而毀損,需要細心呵護。「你看牆上那個溫溼度計,」我向他說,「從我們進來到現在,這個數值始終維持不變喔,這是一個精確控制的恆溫恆溼空間,來保護珍貴的藝術品。」

「藝術品?」兒子滿臉狐疑地問:「臥室的冷氣機不就是控制在固定的溫度嗎?上次我搭隔壁三叔公的車子,前後左右的四個座位還可以設定不同的溫度呢!」

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他咧著嘴笑著說,「那我們也算是珍貴的藝術品吧!」

空調的發明不是為了人,會涼也只是副作用

空調一開始並不是為了人而設計的,和美術館的那個小房間一樣,當時也是為了紙張,而設計出全球第一個空調系統。

1902 年,一間位於紐約的印刷工廠,正經歷著前所未有的炎熱潮溼夏季。雜誌出版在即,卻因溼度太高使得紙張扭曲變形,油墨無法精準地印在紙上,公司便聘請了一位工程師來解決這個問題。

這位年輕工程師開利(Willis Carrier)發明出一個系統,讓冷卻的氨水在封閉的金屬盤管上持續循環,當空氣被風扇抽入而接觸到低溫盤管時,空氣中的水分就會凝結在極低溫的盤管上,並排出室外,使空氣的溼度降低。

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就像是我們把一杯手搖冰飲放在桌面,過了一會兒,杯子外緣就會布滿凝結的水滴一樣,開利就是應用這個簡單的降溫除溼原理,成功地解決工廠內溼度過高的問題。

水氣凝結使空氣中的溼度降低。圖/envato.elements

然而,他發明的這個空調系統有個副作用:會使空氣變冷。就像是一個很小的房間內如果放了上千杯冰飲,而且持續用電風扇吹,室內氣溫當然會略微下降。

從這一刻起,他滿腦子思考著如何利用這個副作用幫他創造商機。他把服務的對象從「紙」變成「人」,開始四處推銷他的產品。商場、劇院、車廂、辦公室開始設置空調,成為工作及娛樂場所中的奢侈品。他更刻意把空調產品跟創造更好的工作效率、更高品質的服務、可以帶來更高收益等價值連結在一起,讓業主願意花錢來採購他設計的空調。

但開利並不以此自滿。在 1929 年的一次演講中,他這麼說:「夏季的空調和冷卻可能會成為一種必需品,而不是奢侈品。我們必須終結這個無法降溫,讓人們不舒適的黑暗時代。」聽來像是蝙蝠俠在《蝙蝠俠:黑暗騎士》中對邪惡小丑的宣戰。

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後來,在 1940 年代的報紙上,出現了史上第一則窗型空調廣告,標語是這麼下的:「你為什麼要再忍受?這台冷氣機以前所未見的低價讓你涼爽舒適!」這宣告了空調即將走入一般的住宅─由生活的奢侈品,成為了必需品。

吹冷氣要付出什麼代價?

經濟學家認為洗衣機的發明,可以讓婦女從繁重的家務勞動中解脫,間接提高婦女在家庭和社會的地位,也增加了在外工作的機會。那空調呢?新加坡前總理李光耀在接受記者詢問新加坡成功的因素,是這麼回答的:「空調對我們新加坡來說是最重要的發明,也許是歷史上指標性的發明之一。它使熱帶地區的發展成為可能,改變了文明的本質。」[註 1]

空調和洗衣機一樣,成了居家生活必需品。不過一個家庭大概只需要一台洗衣機,但空調則可能隨著房間面積及數量的增加,設置的數量愈來愈多。

空調能帶給人們涼爽與舒適,這有什麼問題呢?

第一個問題是耗電。家庭中每種電器都可依據它的「功率」和「使用時間」來推估它的耗電量。功率以瓦(W)為單位,數值愈大表示這項電器愈耗電。使用時間則以小時(h)為單位,用愈久則總耗電量就愈多[註 2]

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一般家電使用的特性是,功率小的使用時間長,功率大的使用時間短。例如較省電的電風扇(23 瓦),日光燈管(28 瓦)的使用時間就很長。而只要是涉及溫度改變的電器都會比較耗電,例如吹風機(1,000 瓦)或電鍋(700 瓦),不過,因為使用時間不長,對於住家的總耗電量影響其實不大。

空調是非常特殊的一項電器:不但功率高,使用時間又長。以一般家庭 4 坪大的主臥房來推估,冷氣機的功率約是 500 瓦,如果你睡眠 8 小時都開啟,再考量冷氣並不是所有時段都是全力運轉,就以 6 小時計算好了,耗電量就是 3 度,與吹電風扇 8 小時的用電量(0.5 度)相比,耗電量就差了 6 倍。

第二個問題是排熱。能量不滅定律告訴我們,能量既不會憑空產生,也不會憑空消失,它只會從一種形式轉化為另一種形式。空調這部機械,也不過就是把室內的能量搬運到戶外而已。室內有多涼,戶外就會有多熱。

如果台北市全部的住宅同時開啟空調,就相當於同時有300萬支的吹風機往外排熱[註 3],如此一來,都市能不熱嗎?

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博物館的藝術品都需要調控溫度來保存,人們同樣也追求活在舒適的溫度裡。然而冷氣最初卻不是為了人類而發明......
現代家家戶戶都裝設冷氣。圖/envato.elements

更嚴重的是,這是一種惡性循環。隨著戶外氣溫上升,人們使用空調的時間愈長,室內冷卻的需求愈大,空調的排熱量就愈多,導致戶外氣溫又再度上升。這個循環也導致用電量增加、戶外舒適性惡化、都市熱島效應等問題,形成一連串的連鎖效應。

裝設冷氣前先評估一下效益

開利發明空調的那年,也是愛因斯坦發表狹義相對論的年代。

炎炎夏日中,對大部分的人而言,空調帶來的價值應該比 E=mc2 來得重要許多。空調是一個劃時代的偉大發明,讓我們能在高溫的氣候環境下享受舒適的室內氣溫,但你有時也會擔心用電、排熱對環境的衝擊,以及長時間待在冷氣房內對於健康的影響。

讓我們先仔細回想一下空調的發展歷程,一開始是為了重要物品及機具的乾燥及冷卻,而後轉變成公共空間的價值創造,最後則走入住宅成為民生必需品。

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因此,在我們裝設冷氣前,得先思考目的是什麼,以及評估可能帶來的效益及問題。

在一些公共空間,像車站開放的等候大廳、挑高空間,辦公室的等候區、茶水間、走廊,或是住宅大樓一樓的門廳、住家內開放式的廚房餐廳等。只要不是人會長時間待著的地方,或是具開放性、有流動的人潮,都應謹慎思考空調裝置的必要性。

這類的空間因為具有開放性,冷氣容易溢散,也很難確實規範使用者開關門窗的動作,開冷氣的降溫效果不彰。如果這些空間建築外殼又設計得不好,例如玻璃面太大、開窗方向不對、缺乏良好的遮陽的話,那更是能源殺手。

大廳等開放空間應謹慎思考裝設冷氣的必要性。圖/envato.elements

這類空間一旦裝了空調,人們就會想要開啟使用,導致過度耗電。我們不妨先預留安裝設備的可能性,等到確實有需求的時候,可以採用局部空調的方式,把冷氣吹到人會停留比較久的地方,例如車站的剪票口及候車室。這就像是在看書時只需要使用小檯燈做局部照明,不需要開啟天花板上大量的背景照明一樣。

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開啟空調前你該確認的三件事

人不是藝術品,不需要精確控制的恆溫恆溼空間。人體原本就有自動調適氣候的能力,我們可以試試用前面幾個小節所談的方式取代長時使用冷氣,也許有助於解決這些矛盾焦慮。在你按下冷氣搖控器上的啟動按鈕之前,我要提醒你該確認三件事。

第一,你是「想要」,還是「需要」吹冷氣呢?

當室內的高溫已經超出人體所能負荷的狀態,你當然需要開啟冷氣。如果在盛夏時,室內窗戶已經打開,卻還是一直維持在 30℃ 以上,你又必須停留一段時間,或是你已經大量流汗覺得不舒適,那就有開冷氣的必要。

不過,有時室內不是很高溫,但會讓你「想要」吹冷氣,只因為你期待室內比戶外再涼一點[註 4]。這個狀況常出現在春天及秋天的時候,為了要使室內氣溫低於戶外氣溫,你得設定很低的氣溫才能滿足期待,造成不必要的空調能源浪費。如果是這種狀況,你應該先開個風扇坐一會兒,也許就會逐漸適應室內的氣溫。

第二,目前室內和戶外的氣溫如何呢?

人對熱舒適的感受並不可靠。因為它夾雜著生理(例如剛運動完或靜坐)以及心理(例如經驗及期待)的影響,光是憑冷熱感覺決定要不要開冷氣,也許不太可靠。

相信溫度計吧,最好是擺在靠近你的位置,讓它真實地呈現目前的氣溫[註 5]。如果都還在 29、30℃ 以內,其實吹個風扇都還能讓你在舒適範圍,未必要開冷氣。

戶外的氣溫也很重要,打開窗戶感受一下吧。如果你感覺戶外氣溫比較低,也還算舒適,代表你不需要開冷氣,應該開窗,讓涼爽的氣流進入室內,帶走室內空氣及牆面、家具表面上的一些熱量。如果你發現戶外氣溫已高於室內,而且室內氣溫也高出舒適範圍,那就是關窗開冷氣的時機了。

適時打開窗戶感受一下外面的溫度。圖/envato.elements

第三,開冷氣時,設定適合溫度、搭配風扇。

參考能源局及台電的一些宣導對策,將空調溫度設定在 27℃ 左右,搭配電風扇使用,也許還能再調高1℃,仍可以大致滿足人體對熱舒適的需求。

在住家要開冷氣時,為了確保空氣品質,記得略開一個小縫,5 到 10 公分就好。這樣就有可能達到 3-5 倍左右的換氣量,室內氣溫也不會明顯增加,是能兼顧節能及健康的策略[註 6]

開冷氣前,記得確認這三件事,想清楚,再按下冷氣搖控器上的開關按鍵。

另外,在公共空間覺得太冷時,你可以勇敢地向管理者表達:「現在氣溫會不會太低啊,有點冷呢。」既表達了使用者對於熱舒適性的看法,也提醒管理者多加留意室內氣溫是否適當。

即使開冷氣,也要確保舒適健康,拒絕低溫勒索。

消暑涼方 12:開冷氣前,先開窗並適應室溫。開啟後,要設定適中溫度並配合風扇,窗戶略開一個小縫,能增加換氣確保空氣品質。

註釋

  • 註 1: 在一次受訪中李光耀表示,沒有空調時人們只能在涼爽的清晨或黃昏時分工作,他提到,他成為總理後做的第一件事,就是在公務員工作的大樓裡安裝空調,這是提高公共效率的關鍵。話雖如此,依照我自己的經驗,新加坡在許多車站、門廳、學校、餐廳仍是以自然通風為主,辦公室的空調溫度也不會設定得很低—如果和香港相比。香港一位建築系教授告訴我,香港全年最冷的地方就是夏天的辦公室內!
  • 註 2: 以功率 1,000 瓦(1kW,常稱「瓩」,這字得念「千瓦」,注音輸入法打不出來,還好我念大一的時候學會用倉頡)的吹風機為例,它使用 1 小時的電量是 1 瓩時(kWh),也就是電費單上會看到的 1 度電,依台灣現行的電價,大概是 2.5-3.5 元左右。當然你吹風機不會使用這麼久,如果使用 6 分鐘(即 0.1 小時),大概就用了 0.1 度電。
  • 註 3: 依洪國安博士空調實務經驗,並參閱知名品牌的空調耗電資料,以前面提到的那間主臥室配置的空調瓦數當基準的話,4 坪大的主臥房,大概配置 500 瓦空調,每坪因空調而排出的熱量大概是 125 瓦。依戶政資訊統計,台北市 105 萬戶,每戶 44.9 坪計算,假設有一半的空間設置空調,則全台北住宅的空調容量為 2,946,563 kW,如果同時開啟,相當於 2,946,563 支的吹風機往外吹。
  • 註 4: 這是一場在你心中悄然進行,關於「經驗」及「期待」熱舒適的內心戲。你也許有這樣的經驗,一進家門,你覺得室內氣溫比戶外高,就馬上開了冷氣。結果待了一會兒發現不會涼,才發現冷氣的搖控器是預設 27℃,而室內原本的氣溫比 27℃ 還低,你得再把設定溫度調低一點,冷風才會吹出來。這是因為身處台灣長期高溫的經驗,你期待有涼爽的感受,也預期室內應該要比戶外低溫。當這個期待落空,你就會想再降低氣溫—即使當時還算舒適。
  • 註 5: 冷氣機上的溫度,通常顯示的是空調回風的氣溫;搖控器上的溫度,顯示的是你想設定的室內氣溫,也就是壓縮機停止的溫度,這兩者都不是真正的室內氣溫。
  • 註 6: 依成功大學建築學系潘振宇老師的實測經驗,當室內空調溫度設定為 27℃,在夏季,如果窗戶密閉,只有門縫的間隙風時,換氣次數大概只有 0.1 到 0.5 次;如果窗戶開一個 5 到 10 公分寬的小縫,則入風口面積約有 75 公分乘以 10 公分左右,出風靠門下縫 120 公分乘以 1.5 公分,經估算換氣量可達到 4 倍多。此時室內氣溫只略微上升約 0.4-0.7℃,在確保室內換氣情況下,也不致於影響室內舒適及用電。

——本文摘自《跳出溫度舒適圈》,2022 年 9 月,商周出版,未經同意請勿轉載。

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