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學測數學怎麼考?分程度測驗或許是正解——《科學月刊》

科學月刊_96
・2021/03/05 ・2863字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 516 ・六年級

今(2021)年的學測數學科被評為「史上最難」。事實上,數學科每年的難易度呈現出週期性震盪,一下容易一下難的考試,不只出題者傷透腦筋,考生更是無所適從。張鎮華認為,學測作為「基本學科能力測驗」,考題不能太過艱澀;而學測也是各大學校系初步篩選的門檻,因此各校學系更不該害怕超額篩選。不同學生對於數學的學習差異不小,只用同一份試卷進行測驗可能出現各種問題,若使用分程度測驗的方式,設計 A、B 兩卷,或許能有效解決每年難易不均的問題。

108 年與 109 年的大學學科能力測驗(以下簡稱學測),數學科滿級分人數連續兩年暴增,109 年更高達 1.4 萬人,大考中心前主任張茂桂因此下台。在下台事件過後,各界猜想今年 110 學測數學科將增加難度。果不其然,今年學測數學科被高中及補教老師評為「史上最難」,預估滿級分人數將大幅下降,五標也會比去年下修 2~5 級分左右。而讓人擔心的是,今年的考題將會打擊社會組考生。

圖/Pixabay

週期震盪一年簡單一年難,考生心累累

根據歷年的學測數學科滿級分人數百分比,其中 102 年的 1.95% 與 106 年的1.41% 都是數學科困難的年度,再加上本次 110 年的難度,可以發現學測數學科的難易度呈現週期性震盪,容易之後轉難,難了之後又變容易。

一般對於以上現象的解讀是,考題容易的結果引發滿級分人數太多,造成前面志願學系的超額篩選,因此大考中心思考下次提升考題難度;反之,考題困難將使大量考生受挫,為了安定人心,大考中心思考下次降低考題難度。但考題難易並不容易掌控,出題團隊更是年年不同,單憑「比去年難」或「比去年簡單」的理念,無法掌控社會上對於難易度的期望。

從最根本來看,大考中心因應社會輿論(正確來說其實是少數人的看法),讓數學科考題在難易之間反覆,是因為他們忽略了學測的目標。根據大考中心網站所示:「學科能力測驗包括國文、英文、數學、社會、自然五考科,旨在測驗考生是否具有接受大學教育的基本學科能力,是大學校系初步篩選學生的門檻。」定位在「基本學科能力」,考題就不應該太難;「初步篩選門檻」就代表各學系不要怕超額篩選。

圖/Imgflip

大學入學考前世今生說給你聽

要討論上述的現象,需要了解現行的大學入學選才制度。大學聯合招生從民國 43 年起至 72 年期間,大學聯招採「先填志願、後考試、再分發」的辦法,報考科系分為甲(理工)、乙(文)、丙(醫農)及丁(法商)四組。到了民國 73 年,大學聯招制度做了重大改革,其一是填志願的方式改為「先考試再填志願」,再則允許跨組選考,並將乙、丁組合併為第一類組。

第二次較重大改革是從民國 83 年開始試辦,到 91 年全面正式實施的多元入學制度。除了保留傳統的考試分發(指定科目考試,簡稱指考),83 年開始試辦「推薦甄選」入學,87 年試辦「個人申請」入學。前者由學校推薦,後者由學生自行決定,但都有推薦與申請學校數額的限制。

民國 95 年,清華大學有感於學生集中來自少數高中,向教育部提出「發掘人才、縮短城鄉差距」的繁星計畫單獨招生;從 96 年實施以來,越來越多大學加入,繁星計畫遂從試辦轉為正式的入學方式;民國 100 年以後,因為推薦甄選與繁星計畫近似,遂合併為繁星推薦。隨著歷年來制度上的演變,臺灣目前的大學多元入學包括繁星推薦、個人申請與考試分發三種主要管道。最近還有一種由 104 年臺大數學系提出的「火星人計畫」所發展出來的「特殊選才」。

圖/Pixabay

數學就數學,又不是走迷宮

大家都說 109 學測的數學考題容易,筆者也花時間做了一遍,發現並不如想像中容易,還是需要用心作答才能完卷,只是大多不需要拐彎抹角,算是基本的題目。讀者可參閱 109 學測各科級分人數的百分比分布圖,會發現這份試卷是可以把學生區分開來的。

學測採用 15 級分制,平均來說每一級分應有 6~7% 人數,數學的分布大致如此,只是 15 級分的人略多,可以解讀為我國學生的數學程度不錯。套用筆者女兒的疑問:

「學生考好了老師為何要不高興?」

反觀國文科的級分百分比分布,有六成的人集中在 10~13 級分,這樣擁擠的程度,在許多學系應該更造成超額篩選的現象,不知為何大家並不關心。

109 學測數學科若造成超額篩選,也只是對前面志願的學系影響,對大部分其他學系的影響不如國文科嚴重。學測不光只是服務前面志願的學系,不能只在乎前面志願學系的抱怨,忽略其他學系的影響。

事實上,超額篩選並不是一個嚴重的問題。申請入學制度實施多年,各學系早就有一套選才機制,以學測成績為門檻的候選人進來之後,各學系應當以自己的特色機制篩選,候選人多反而是選擇增多,對學系只有好處沒有壞處。基於此觀點,我認為 109 學測數學科能真正忠實反應學測的目標,應該嘉許,前中心主任根本不應該為此下台,做正確的事情反而獲罪,並不公道。

另外我也做了 110 學測的數學題目,整體來說,算是一份靈活的好題目。但是其中有許多問題需要多方轉折,並不算基本的題目,已經超出學測設定「基本學科能力」的目標。這樣的題目相信能解除前面志願學系的超額篩選現象,但相對要付出的代價太高。對於數學能力超群的學生必然能如魚得水;不過對於大多數的學生來說,這是一份令人感到挫敗的考題,可能成為他們日後害怕數學的原因之一。

數學是一個密度極高的學科,縱使是一個簡單的式子,也代表極多的內涵,需要多方解讀才能通曉,不同的人對其吸收能力也有極大差異。為此,數學是在中學教育中,唯一從高二就要分流教學的科目。目前學測數學科用同一份試卷測驗差異性很大的一群人,本來就會造成種種問題。出得容易,分辨不出最好的那些人;出得難,則會打擊眾多學生。希望這樣的困難,在 108 課綱後,學測改考數學A、B兩卷後能得到適當的紓解。

順帶一提,與此類似的是指考的數學。現階段數學分為數學甲、乙,分程度測驗,是正確的分流測驗。可是,不知以何根據,111 年後的指考只有數學甲,沒有數學乙。這種開倒車的作法,可以預見將產生許多後遺症。據一些朋友告知,商管學群的學系現在為了設定考科,逐漸發現問題。數學甲太難不適合他們要的學生,但是又沒有數學乙,選來選去都不合適,最後只好含淚選了公民科。

在此呼籲,招聯會和教育部應該及時修正指考的數學考科,才不會釀成大錯。

延伸閱讀

  1. 109學年度學科能力測驗統計圖表
  2. 學科能力測驗統計資料
  • 〈本文選自《科學月刊》2021 年 3 月號〉
  • 科學月刊/在一個資訊不值錢的時代中,試圖緊握那知識餘溫外,也不忘科學事實和自由價值至上的科普雜誌。
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【成語科學】運籌帷幄:古人不用筆算數學?一隻小竹棍居然可以開三次方根、解方程式!
張之傑_96
・2023/07/28 ・1261字 ・閱讀時間約 2 分鐘

劉邦(漢高祖)打敗項羽,取得天下,建立漢朝。一天舉行盛大宴會,他問群臣:「我為什麼會勝?項羽為什麼會敗?」群臣都說劉邦善於用人,項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是,司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中,決勝於千里之外,吾不如子房。

帷幄,指營帳子房,是張良的字籌,指算籌,是古時的運算工具。這段話的意思是說,張良在營帳中運用算籌計算,就能決勝千里之外,這方面我(劉邦)不如張良。因此,這個成語的原意是在營帳中策劃謀略,後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄,劉備哪有三分天下的機會!

在里長的運籌帷幄下,為社區更新取得有利的條件。

不用筆,那用什麼?

成語的出典說了,句子也造了,接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學,都是用筆在紙上運算,也就是筆算。古人呢?古人從來不用筆算,而是使用工具運算。元代以前使用算籌,元代以後使用算盤

算盤一直使用到 1980 年代,小朋友家裡可能還有。至於算籌,只有少數博物館裡才能看到。

國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。圖/wikipedia

其實算籌只是一根根小竹棍,外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍,中國古代的數學曾經輝煌一時,就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住,計算能力受到限制。凡是算盤能算的,算籌一定能算。反過來,算籌所能算的,算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的,算籌可作各種運算,數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰,元代以後不進反退,到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡,繫在腰上,運算時取出,在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除,還能開平方、開立方,甚至解高次方程等高中才學得到的數學!關於算袋,有個小故事,傳說秦皇島東巡時,把算袋扔到海裡,變成了烏賊,所以烏賊又稱算袋魚。

十四世紀朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」,紀錄宋代展出的「楊輝三角形」,就是我們現在所說的「巴斯卡三角形」。圖中一根根長條物就是當時用來計算的「算籌」。楊輝三角形的產生也顯見宋代數學已經發展出高次多項式的乘法。圖/wikipedia

數學家用算籌運算時,有時擺弄得極快,不要說外行人,連內行人的眼睛幾乎都跟不上,所以古人用「運籌如飛」來形容。因此,用算籌運算,運算過程不會留下記錄,一陣擺弄之後,最後得出答案。這對一般才質的人來說,學起來的確有點困難。

張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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