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學測數學怎麼考?分程度測驗或許是正解——《科學月刊》

科學月刊_96
・2021/03/05 ・2863字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 516 ・六年級

今(2021)年的學測數學科被評為「史上最難」。事實上,數學科每年的難易度呈現出週期性震盪,一下容易一下難的考試,不只出題者傷透腦筋,考生更是無所適從。張鎮華認為,學測作為「基本學科能力測驗」,考題不能太過艱澀;而學測也是各大學校系初步篩選的門檻,因此各校學系更不該害怕超額篩選。不同學生對於數學的學習差異不小,只用同一份試卷進行測驗可能出現各種問題,若使用分程度測驗的方式,設計 A、B 兩卷,或許能有效解決每年難易不均的問題。

108 年與 109 年的大學學科能力測驗(以下簡稱學測),數學科滿級分人數連續兩年暴增,109 年更高達 1.4 萬人,大考中心前主任張茂桂因此下台。在下台事件過後,各界猜想今年 110 學測數學科將增加難度。果不其然,今年學測數學科被高中及補教老師評為「史上最難」,預估滿級分人數將大幅下降,五標也會比去年下修 2~5 級分左右。而讓人擔心的是,今年的考題將會打擊社會組考生。

圖/Pixabay

週期震盪一年簡單一年難,考生心累累

根據歷年的學測數學科滿級分人數百分比,其中 102 年的 1.95% 與 106 年的1.41% 都是數學科困難的年度,再加上本次 110 年的難度,可以發現學測數學科的難易度呈現週期性震盪,容易之後轉難,難了之後又變容易。

一般對於以上現象的解讀是,考題容易的結果引發滿級分人數太多,造成前面志願學系的超額篩選,因此大考中心思考下次提升考題難度;反之,考題困難將使大量考生受挫,為了安定人心,大考中心思考下次降低考題難度。但考題難易並不容易掌控,出題團隊更是年年不同,單憑「比去年難」或「比去年簡單」的理念,無法掌控社會上對於難易度的期望。

從最根本來看,大考中心因應社會輿論(正確來說其實是少數人的看法),讓數學科考題在難易之間反覆,是因為他們忽略了學測的目標。根據大考中心網站所示:「學科能力測驗包括國文、英文、數學、社會、自然五考科,旨在測驗考生是否具有接受大學教育的基本學科能力,是大學校系初步篩選學生的門檻。」定位在「基本學科能力」,考題就不應該太難;「初步篩選門檻」就代表各學系不要怕超額篩選。

圖/Imgflip

大學入學考前世今生說給你聽

要討論上述的現象,需要了解現行的大學入學選才制度。大學聯合招生從民國 43 年起至 72 年期間,大學聯招採「先填志願、後考試、再分發」的辦法,報考科系分為甲(理工)、乙(文)、丙(醫農)及丁(法商)四組。到了民國 73 年,大學聯招制度做了重大改革,其一是填志願的方式改為「先考試再填志願」,再則允許跨組選考,並將乙、丁組合併為第一類組。

第二次較重大改革是從民國 83 年開始試辦,到 91 年全面正式實施的多元入學制度。除了保留傳統的考試分發(指定科目考試,簡稱指考),83 年開始試辦「推薦甄選」入學,87 年試辦「個人申請」入學。前者由學校推薦,後者由學生自行決定,但都有推薦與申請學校數額的限制。

民國 95 年,清華大學有感於學生集中來自少數高中,向教育部提出「發掘人才、縮短城鄉差距」的繁星計畫單獨招生;從 96 年實施以來,越來越多大學加入,繁星計畫遂從試辦轉為正式的入學方式;民國 100 年以後,因為推薦甄選與繁星計畫近似,遂合併為繁星推薦。隨著歷年來制度上的演變,臺灣目前的大學多元入學包括繁星推薦、個人申請與考試分發三種主要管道。最近還有一種由 104 年臺大數學系提出的「火星人計畫」所發展出來的「特殊選才」。

圖/Pixabay

數學就數學,又不是走迷宮

大家都說 109 學測的數學考題容易,筆者也花時間做了一遍,發現並不如想像中容易,還是需要用心作答才能完卷,只是大多不需要拐彎抹角,算是基本的題目。讀者可參閱 109 學測各科級分人數的百分比分布圖,會發現這份試卷是可以把學生區分開來的。

學測採用 15 級分制,平均來說每一級分應有 6~7% 人數,數學的分布大致如此,只是 15 級分的人略多,可以解讀為我國學生的數學程度不錯。套用筆者女兒的疑問:

「學生考好了老師為何要不高興?」

反觀國文科的級分百分比分布,有六成的人集中在 10~13 級分,這樣擁擠的程度,在許多學系應該更造成超額篩選的現象,不知為何大家並不關心。

109 學測數學科若造成超額篩選,也只是對前面志願的學系影響,對大部分其他學系的影響不如國文科嚴重。學測不光只是服務前面志願的學系,不能只在乎前面志願學系的抱怨,忽略其他學系的影響。

事實上,超額篩選並不是一個嚴重的問題。申請入學制度實施多年,各學系早就有一套選才機制,以學測成績為門檻的候選人進來之後,各學系應當以自己的特色機制篩選,候選人多反而是選擇增多,對學系只有好處沒有壞處。基於此觀點,我認為 109 學測數學科能真正忠實反應學測的目標,應該嘉許,前中心主任根本不應該為此下台,做正確的事情反而獲罪,並不公道。

另外我也做了 110 學測的數學題目,整體來說,算是一份靈活的好題目。但是其中有許多問題需要多方轉折,並不算基本的題目,已經超出學測設定「基本學科能力」的目標。這樣的題目相信能解除前面志願學系的超額篩選現象,但相對要付出的代價太高。對於數學能力超群的學生必然能如魚得水;不過對於大多數的學生來說,這是一份令人感到挫敗的考題,可能成為他們日後害怕數學的原因之一。

數學是一個密度極高的學科,縱使是一個簡單的式子,也代表極多的內涵,需要多方解讀才能通曉,不同的人對其吸收能力也有極大差異。為此,數學是在中學教育中,唯一從高二就要分流教學的科目。目前學測數學科用同一份試卷測驗差異性很大的一群人,本來就會造成種種問題。出得容易,分辨不出最好的那些人;出得難,則會打擊眾多學生。希望這樣的困難,在 108 課綱後,學測改考數學A、B兩卷後能得到適當的紓解。

順帶一提,與此類似的是指考的數學。現階段數學分為數學甲、乙,分程度測驗,是正確的分流測驗。可是,不知以何根據,111 年後的指考只有數學甲,沒有數學乙。這種開倒車的作法,可以預見將產生許多後遺症。據一些朋友告知,商管學群的學系現在為了設定考科,逐漸發現問題。數學甲太難不適合他們要的學生,但是又沒有數學乙,選來選去都不合適,最後只好含淚選了公民科。

在此呼籲,招聯會和教育部應該及時修正指考的數學考科,才不會釀成大錯。

延伸閱讀

  1. 109學年度學科能力測驗統計圖表
  2. 學科能力測驗統計資料
  • 〈本文選自《科學月刊》2021 年 3 月號〉
  • 科學月刊/在一個資訊不值錢的時代中,試圖緊握那知識餘溫外,也不忘科學事實和自由價值至上的科普雜誌。

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既是科學家,也是樂團鼓手!──專訪數學物理學家程之寧

研之有物│中央研究院_96
・2022/03/11 ・5978字 ・閱讀時間約 12 分鐘

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位。

  • 採訪撰文|郭雅欣、簡克志
  • 美術設計|林洵安、蔡宛潔

在學術與搖滾的多重維度上行走

還記得美劇《The Big Bang Theory》嗎?劇中常常出現的物理名詞「弦論」,是描述物理世界基本結構的理論。中央研究院「研之有物」專訪院內數學研究所程之寧研究員,她正是研究弦論的科學家,也是熱愛音樂的搖滾樂團鼓手,這種跨領域身份並不衝突,兩邊都需要創造力與紀律。由於天生斜槓的性格,讓程之寧在數學和物理領域大展身手,透過數學的深入探討,她試圖將弦論更往前推進。最近程之寧更跨足到人工智慧領域,為學界提供理論物理上的貢獻。

中研院數學所程之寧研究員,主要研究 K3 曲面(特殊的四維空間)的弦論,她發現模函數和有限對稱群之間有 23 個新的數學關聯,稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。圖/研之有物

萬有理論和難以捉摸的「月光」

世界從那裡來呢?物理世界的本質是什麼呢?回答這樣的大哉問,一直是理論物理學家所追求的目標。從牛頓力學(日常應用)、廣義相對論(探討很重的物質)到量子力學(探討很小的物質),隨著物理學不斷發展,我們似乎一步步接近答案,但至今卻還未走到終點。

舉例來說,如果有個東西很重又很小,就像「黑洞」,或是大爆炸時的宇宙,我們要怎麼用數學描述?於是科學家試圖整合廣義相對論和量子力學,找出所謂的「萬有理論」(Theory of Everything)──能完全解釋物理世界基本結構的核心理論。

程之寧研究的「弦論」就企圖發展成這樣一個萬有理論。弦論一如其名的「玄妙」,它設定宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。

「人類一直以來的夢想之一就是,如果能用一句話解釋所有事情,那該有多麼美好。」中研院數學所研究員程之寧說道。

程之寧的研究牽涉到數學上的「月光猜想」(Moonshine)與弦論中 K3 曲面的連結。月光猜想是存在於模函數係數與特殊群之間的數學關聯,程之寧與其研究夥伴共發現了 23 個新的關連,並稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。

基於弦論的假設,我們的世界是十維的,除了人們在日常生活中可以感知到的 3+1 維(空間+時間),還有六維是因為尺寸太小而無法用肉眼觀察的,這些看不到的維度影響著物理世界,最終也產生了我們這個物理世界所需的各種條件與特性。

綜觀程之寧的研究,橫跨了物理與數學兩個領域,她笑稱自己「天生斜槓」。在學術上,程之寧原先喜歡文學,之後卻走上數理研究的道路;在音樂上,程之寧喜愛搖滾樂,至今仍在自己的樂團裡擔任鼓手。

她如何看待自己一路走來的各種轉折?游徜在數學與物理之間,她又對這兩個領域的連結有怎樣的體會?在與「研之有物」的訪談中,程之寧侃侃而談她的經歷、想法,以及對學術研究的熱忱所在。

在弦論的設定中,宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。圖/iStock
  • 請問您是如何對數學及物理產生興趣?從何時開始?

一開始考大學時,其實我想去念中文系(笑)。不過,因為我高中是選理組,而且只念了一兩年,對文科考試比較沒把握,加上對工程科系沒興趣,最後就選擇臺大物理系就讀。

後來發生兩個轉折,第一個是我很認真的去修了大學中文系的課,結果發現真的沒有想像中容易。第二個就是我發現物理系的課還蠻有趣的,像量子力學和相對論,讓我覺得還想再多學一點、多知道一點。

我開始覺得如果念完臺大物理系就停下來,好像有一種小說沒讀完的感覺,所以就想繼續讀碩士班。那時還沒有覺得自己會走上學術研究的路,單純抱著想把故事看完的想法。

  • 後來是如何接觸到弦論?弦論是如何引起您的興趣?

後來我去荷蘭念碩士,指導教授是諾貝爾物理獎得主 Gerard ’t Hooft。他其實蠻不認同弦論,但他對於如何處理量子力學與相對論很有興趣。

當時 ’t Hooft 教授在建議我碩士題目時就說:「你也知道我不太認為弦論是一條正確的道路,不過聽說弦論最近真的在量子重力這一塊有一些成果。不如妳去讀一讀,看看是不是真的有一些東西在那裡,也可以比較一下其他量子重力理論。」

在我很認真的比較各個量子重力理論之後,就變成弦論派了(笑)。’t Hooft 教授對此也保持開放態度,他有幾個不錯的博士生後來也變成弦論學家,之後我在 Erik Verlinde 的指導下念博士時,就完全以弦論為研究主題了。

  • 研究理論物理會影響您對現實世界的理解嗎?

蠻多人會問我說,妳學了量子力學,是不是就會比較了解這個世界不是非黑即白?或問我量子力學跟宗教是不是有關?可是我覺得我分得很開,我不會去做這樣的連結,我還是活在現實裡,走路時大部分都在專注於自己不要跌倒之類的。

如果真的要講,我蠻感激我們的存在,因為我所學的東西讓我知道這是沒有必然性的。我們能這樣以一種人形的很奇怪的生物的形式存在,然後在這樣一個環境過一輩子,是機率很低的事情,而且我還蠻開心我是當人,而不是奇怪的阿米巴蟲或外星生物!有些人會從這裡連結到宗教或轉世,但我不會,我就停在這裡。

  • 來談談您的研究,伴影月光猜想與 K3 曲面弦論之間是什麼關係?

弦論中有很多的可能性,我們可以挑選特定的四維,然後假設這四維空間是個 K3 曲面。例如說,我們可以把兩個甜甜圈乘起來,在上面做特殊的奇異點,來製造出一個 K3 曲面。這個曲面有一些很有趣的對稱性。從弦論的角度來講,我們可以透過這個過程,找出一個解釋為何有伴影月光猜想的框架。

「把維度乘起來」這個概念很難想像,但這在數學上是成立的。我舉例一個我們能想像的「乘起來」:如果有一個空間是一條線,另一個空間是一個圓,乘起來就變成一個圓柱形,從一個方向剖面可以切出圓,另一個方向則切出線。而在數學上,不管幾維,能不能在紙上畫的出來,都可以這樣操作。

程之寧向「研之有物」採訪團隊解釋「把維度乘起來」的概念。圖/研之有物
  • 如何透過計算,發現捉摸不定的「月光」?

有時候這看似湊巧,一個數學上的函數正好就是弦論某個問題的答案。但其實並不是真的那麼巧,弦論看起來很有彈性,好像什麼都可以解釋,但它其實有非常多結構及限制。

當我在計算一個弦論理論時,它的內部結構可能原本就具有某些特定的性質,然後我再去觀察數學中,有這樣性質的函數可能就只有一兩個,只要再初步算一下,就能知道哪一個是答案。弦論學家日常的計算常常是這樣的,所以這是巧合嗎?是也不是。

  • 您曾經發現 23 個新的伴影月光猜想,您對這類題目特別有興趣嗎?

我覺得數學有兩種,有些數學家喜歡系統性的事情,就像蓋房子一樣,在數學裡建造一個很美麗、非常有系統性的結構,可以把很多事情都放入這個結構來理解。

另一種比較少數的,就是喜歡獵奇,去收集分類奇奇怪怪的特殊東西,例如有這些性質的函數在哪裡?可能你算出來就是 5 個,你也不知道為什麼。月光猜想很明顯就屬於這一類。

兩種的樂趣感覺是不一樣的,我覺得應該都很棒,但我可能是屬於偏好獵奇的這種。

  • 您的研究連結了物理上的弦論與數學上的月光猜想,您怎麼看待這兩個知識體系的互動?

弦論是一個需要很多數學理論配合的物理理論,它是一個有點繁複的框架,我們什麼都要會一些,才能看懂這個理論。當你把許多不一樣的學門的知識加起來,有時候就會在某一個學門──例如幾何──有意想不到的收穫。

弦論在數學上也扮演探索與找尋新方向的角色,讓數學家有新的發現。雖然最後數學定理的證明還是得仰賴傳統數學方法,但在這二三十年間,我們一直從弦論身上找尋數學研究的新方向或有趣的猜想,看到了弦論與數學之間的互動。

數學家有兩種,一種人喜歡建立美麗又有系統性的結構,另一種人喜歡尋找和收集奇怪特殊的數學物件(比如函數),程之寧表示自己屬於後者。圖/研之有物
  • 剛才一開始提到,您高中只念了一兩年,是因為對學校沒有興趣嗎?

其實我一直都覺得上學很無聊。我小時候臺灣教育和現在很不一樣,一班 50 幾個人,老師必須盡量軍事化管理,大家最好都一模一樣,比較好管理。我和學校一直處於互相磨合的狀況,我自認已經努力配合學校,但學校一直覺得我在反抗,這可能是一個認知上的差別。

舉例來說,我小學的時候不想睡午覺,可是老師說大家都一定要睡午覺,不睡午覺的人要罰抄課文,所以我早上到學校時就會把已經抄好的課文交給老師。我覺得我這樣做是在配合老師的規定,可是以老師的立場會覺得我在反抗,學校教育中我遇到了很多類似的情況。

還有就是不喜歡高中的升學氛圍,同學和老師好像都只有一個活著的目標,就是「考大學」。我當時無法習慣升學氛圍,感覺好像活在平行宇宙一樣。

  • 高中休學後,您去唱片行工作,可否談談當時的想法?

我國中開始聽音樂,這是我除了看書之外的重要興趣,我也很快就喜歡上了搖滾樂。高中休學的時候,我唯一的謀生技能可能就是我對音樂的各類知識吧!所以我就去了唱片行,這是唯一一個我會做又有興趣的工作,還好那時候還有很多唱片行(笑)。

  • 對音樂的熱忱,讓您與朋友共組了樂團,並擔任鼓手。您是否比較過樂團生活和學術研究之間的異同之處?

有些人覺得我這樣很跳 tone,但我自己覺得還好。音樂和學術都是我發自內心覺得好玩的東西,兩者也有相同之處,例如它們都需要創造性,也都有需要了解的框架。數學需要嚴謹的證明,音樂演奏也需要遵循結構,例如不能掉拍。

音樂領域還有一點和數學類似──玩樂團的圈子也是以男性為主。我們樂團則是只有一個男生,其他都是女生,可能我真的天生對框架有點遲鈍,玩團之後才發現:「怎麼大家都是男生?」

程之寧表示,學術界仍有許多性別不平等問題未受重視。圖/研之有物
  • 也就是說,目前數學學術圈仍是男性主導,在研究路上,您有因為性別而感受到一些衝擊或眼光嗎?您怎麼面對?

有。那感覺很明顯,日復一日地要去面對,尤其是年紀還比較輕、還必須每一天去證明自己的能力的時候,特別有感。

我遇到時的反應就是,在心裡暗罵一句髒話,然後繼續做我要做的事。我不會想改變別人的想法,感覺那是浪費時間,就算環境給我的阻礙是這樣,我還是繼續去做該做的事。

可是有些事情沒那麼簡單,現在我也當過老師,有時候會看到年輕女生在學術界因為性別而被欺負,或遭到不公平待遇、甚至騷擾。

對此我感到心痛,覺得為何我們學術領域還是這樣的狀況?甚至為什麼性騷擾至今還是一個議題?可以確定的是,學術界許多性別不平等問題未受到重視。

  • 您現在已經有傑出的研究成果,還會因為性別而遭受質疑嗎?

我現在比較會遇到一個狀況反而是來自學生的質疑。我在荷蘭阿姆斯特丹大學教書時,有時候學生會因為我是女教授,而且我的外表在許多歐洲人眼中看起來就像小妹妹,所以比較容易去挑我的毛病。

在課堂上,下面坐的可能都是男學生,只有一兩個女學生,那個氣氛就會變得很奇怪。例如說偶爾會聽到學生評論我的身材或樣貌。

我有和其他一些在歐洲或美國的女性教授聊過這樣的問題,似乎不少人都有類似的不太愉快的經驗。感覺不是很好。

  • 看到您最近的研究和人工智慧(AI)有關,為何會想往這個方向發展?

我有兩個動機。一個就是我真的想深入了解人工智慧。我也可以像普羅大眾,看看 AI 下圍棋,讚嘆「哇!好厲害!」這樣就好,可是我覺得我一定可以真的去理解它,這可能就是數學家的自大吧!

另一方面,我知道對科學研究來說,未來 AI 將會是一個非常重要的工具。這是「在職訓練」的概念,我可能會用到這個新工具,或以後我可能會需要教這樣的課,因為學生是下一代的科學家。因為這些原因,我覺得我需要去訓練自己使用新的工具。在我的領域裡,也有一些有趣的、還沒被解答的科學問題,是 AI 有可能幫得上忙的,我看到了一些潛力。

  • 弦論和 AI 感覺差距很大,AI 也可以應用到弦論的研究嗎?

乍看之下,弦論的確比較抽象,也不像其他許多實驗會產生大量數據。但其實弦論有大量的可能性,我認為使用 AI 來在這些巨量的可能性當中搜尋特別有趣的理論,是一個有潛力能夠加深我們對弦論理解的新的研究方法。

而且 AI 的應用絕不僅限於巨量資料。如果是面對一些比較新的挑戰,在沒有現成的演算法可以用的情形之下,可以自己做出需要的功能嗎?這過程我覺得也非常很有趣,而且應該是會有成果的一條路。這種不是那麼顯而易見的事情,我覺得很有挑戰性,也蠻好玩的。

除了用 AI 來幫助物理跟數學的研究之外,我也試著物理研究當做靈感來源,找出新的 AI 的可能性,我覺得這也是一個很有趣的研究方向。我現在有和 AI 的學者合作,嘗試做出一些創新的演算法,真的還蠻有趣的。

  • AI 對您而言是全新的領域,您如何面對跨領域遇到的門檻?

一開始會覺得真的要去碰這個新的領域嗎?其實現在也還是偶爾會有這樣的懷疑。我在弦論領域可能已經是專家,但去了一個新的領域,我學得不會比二十歲的人快,要怎麼去跟人家競爭?是不是在浪費時間?

但也會想,與其想這麼多,不如先做再說。到目前為止我做了兩年多,感覺還蠻好的,我有學到東西,也有做出小小的貢獻。

其實我還蠻感激有這樣的學習機會。對我來說當科學家最大的好處就是,去搞懂一個新的東西就是工作的一部分。當科學家雖然蠻辛苦,但就結果論來說,我還蠻開心能當一位科學家!

延伸閱讀

  1. Moonshine Master Toys With String Theory | Quanta Magazine
  2. Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow | Quanta Magazine
  3. 林正洪教授演講 一 怪物與月光(Monster and Moonshine),《數學傳播》

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研之有物,取諧音自「言之有物」,出處為《周易·家人》:「君子以言有物而行有恆」。探索具體研究案例、直擊研究員生活,成為串聯您與中研院的橋梁,通往博大精深的知識世界。 網頁:研之有物 臉書:研之有物@Facebook