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不需要測速照相機就能抓超速?區間測速原理大解析

UniMath_96
・2018/08/17 ・3080字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 491 ・五年級
  • 郭君逸/國立台灣師範大學數學系副教授

編按:2018 年 7 月開始,新北市政府警察局配合交通部推動「速度管理」與「科技執法」政策,規劃於新北市萬里區萬里隧道首先採行區間測速執法。但什麼是區間測速?為何用 ETC 就能知道有沒有超速?讓我們透過這篇文章來一探究竟吧!

圖/pixabay

「十次車禍九次快!」為了避免民眾開快車肇生事故,台灣的高速公路上會沿路架設測速相機。開車族為了躲避測速相機,會在車上裝「反偵測雷達」;只要「反偵測雷達」偵測到測速相機發出的電波,雷達就會發出逼逼聲提醒駕駛減速。遙想當年,車上裝「反偵測雷達」違反法規,被抓到可是要罰錢呢!不過,自從2003年遭到許多民眾陳情,裝設雷達已經改為合法。但為了充實國庫民眾的安全著想,高速公路局又會再購入新型的測速相機,讓舊型的測速雷達偵測不到;然後,你知道的,駕駛人又會再更新反測速裝置,禮尚往來,上演道高一尺、魔高一丈的戲碼。

其實,在高速公路上抓超速,可以不需要這麼諜對諜,只要用上一點數學。

圖/wikipedia

大一必修的微積分都會學到一個著名的數學定理,稱為「均值定理(Mean Value Theorem)」。它是這樣講的,避免引起讀者「數學恐慌症候群」發作,定理經由翻譯年糕翻譯成馬路上的語言是:

「車子由甲地行駛至乙地,必有某一個時間點的車速會等於這段路途的平均速度。」(註:合理假設車子不會瞬間移動,引擎也無法瞬間變速,相信目前的車子都是如此。)

舉例來說,國道一號從台北到新竹差不多  70  公里,從上國道開始算,到下國道,若只花了  30  分鐘,這段路途的平均時速是「每小時  140 公里」,因此根據均值定理,一定有個時間點的時速達到  140 (公里/小時)。

如果我們可以把這個定理運用到高速公路上,來判斷駕駛有沒有超速,其實有不少好處喔!

第一、省下不斷更新測速照相機的預算

圖/wikipedia

所有的測速相機,可以改成一般相機,只要紀錄每輛車經過的時間點,算出每一段路程的平均速度,就可以知道駕駛有沒有超速。

超速警示器業者的網站資料顯示,目前全台十條國道,所有測速照相機大約有千餘台,每台價值約  150  萬到  250  萬不等,除此之外,每台每年維修費  7  萬塊 ,全部加起來,保守一點,打個五折,可以省下十幾億的設備費,每年還省下三千多萬的維修費,這個還沒把「前方有測速照相」的路標費用算進去呢!

第二、ETC 派上用場

圖/wikipedia

可能有讀者立刻會想到,即使不放「測速相機」改放「不測速相機」,這些設備也是要一大筆經費。事實上,我們已經有現成的了,那就是  ETC  的相機。在光線不足,且車子高速呼嘯而過時,能夠清楚拍下車牌,或是利用長距離感應晶片直接紀錄車輛通過的時間。目前 ETC 已經在國道全線架設,雖然剛開始時,引發了一些民怨,但不得不說,它現在帶給我們極大的便利。

第三、減少一時貪快的想法

圖/pixabay

超速的駕駛大多是看到測速相機才減速,然後相機遠離後又馬上加速,貪圖一點時間。

由於「不會測速的相機」不是測即時速度,而是算平均速度,因此,開太快其實沒有用,因為到下個相機前,超速駕駛為了不讓平均車速過快,必須減速行駛,甚至是停止才能夠降低平均時速,自然產生遏止效果。

另一角度來看,若每一站都要在心裡計算平均時速到底有沒有超過,所帶來的心理壓力不小,還不如一路遵守速限不超速來的輕鬆。

第四、人人輕鬆

圖/wikimedia

一方面,駕駛人不再需要添購高級的反偵速裝置,另一方面,交警也不用再拿著流動測速槍定點舉發。因為所有照相點都可以公開,而且目前全台三百多個  ETC  匣門,有時幾公里就有一個,也就是幾公里就可以計算一次平均速度,不會太遠,因此也沒必要額外隨機拿著流動測速槍進行舉發了。

以上優點只是筆者教完微積分後突然興起的想法,目前交通部已先在萬里隧道實施,至於後來會不會全面實行,背後可能還有很多其他的考量,是我們無法得知的。更多相關細節請參考各國使用區間測速的實際情況[註]。

不過,話說回來,未來如果有一天你收到一張超速罰單,上面不是附上違規照片,而是寫著「根據微積分均值定理,本車車速曾達到  140 (公里/小時),罰金  3000  元」,這樣你會買帳嗎?

附註

  1. 這裡的「均值定理」指的是「微分均值定理」。
  2. 目前的雷達測速其實還是測某段區間的平均時速,只是這個區間非常短,此與微積分中的瞬時速度概念相同。

註:感謝讀者[黃昭儒]和[交大應數系林得勝教授]分別來信指出,中國和英國都有使用平均速度作為取締超速的例子。

圖/wikipedia

中國:2013 年 2 月 5 日,江蘇正式啟用了高速公路全程區間測速系统。

  1. 在沪宁高速南京至常州、寧杭高速南京至溧陽兩個試點路段内,共採集超速違法行為 3.3 萬餘起,超速行駛下降了 30%。
  2. 東華大學應數系魏澤人教授也回文提醒,超速違法行爲是用取締來統計的,而這裡取締方式本身也改變了,拿兩者比較而得出的 30% 是不是還具有意義呢?
圖/wikipedia

*英國:自從 1999 年就開始採用均速取締系統 SPECS;小編靠估狗大神發現幾件有趣的事:

  1. 在英國最短的一段監測路段就是橫跨泰晤士河的倫敦塔橋 (Bridge Tower)。
  2. 因相機外觀是黃色,英國人稱之為「黃色禿鷹 yellow vultures」。
  3. SPECS 只監測單一車道,因此理論上變換車道是可以規避取締。
  4. 平均每英里的設備花費從十幾年前的百萬英鎊下降到現在剩 10 萬英鎊,還是頗為昂貴啊~
  5. 官網提到了幾個好處,包括:
    • 嚴重死傷率(KSI casualties)平均下降超過 70%
    • 平順的車速讓交通更不易阻塞
    • 減少油耗和排放更環保
    • 超速違規件數下降

其實還有許多國家也用均速取締超速,例如:荷蘭(世界上第一個運用的國家)、波蘭、義大利、比利時、奧地利、澳洲。另外也有特殊情況也可能會限制平均速度,例如:在香港港務管理系統中,貨櫃車要將貨櫃送上船之前,會先經過一個通道,這個通道規定平均速度「不能太快」,以確保每個貨櫃通過閘口偵測的時間會超過3秒,才能提供足夠充分的掃描判讀資訊,確認安全性。

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從數學、邏輯到審美,演算法的極限是何處?——《再.創世》專題

再・創世 Cybernetic_96
・2021/09/27 ・5256字 ・閱讀時間約 10 分鐘
  • 作者/魏澤人|陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中,”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響,理工與人文,在普遍認知中是二元對立的。而數學,是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中,各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰,也許還隱隱約約帶有一絲美的影子,但冷冰冰的數學公式,在許多人的求學經驗中,與美根本就是互斥的概念。

但是,懂數學的人都知道,數學是美的。甚至可以說,美是數學中不可或缺的部分。

圖/Pexels

著名的英國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy)說:”數學家的創造形式,與畫家及詩人一樣,必須是美的: 將概念(就像顏色及詞語)以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件,醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”(A Mathematician’s Apology),在數學圈外有一定的名氣,前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因,是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解,法國最偉大的數學家之一龐加萊(Henri Poincare)說:”研究自然不是因為有用,而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素(Bertrand Russell)、艾狄胥(Paul Erdos)也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美,不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗,只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家,但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員,她曾演出過白宮風雲(The West Wing),也曾在 NCIS、宅男行不行(The Big Bang Theory)及追愛總動員(How I Met Your Mother)中客串。但真正讓她出名的,是 80 末、90 初的影集兩小無猜(The Wonder Years),故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程,而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮,兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講, McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始,她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

Danica McKellar ,攝於2018。圖/WIKIPEDIA

演員什麼會與數學扯上關係呢?其實她大學就是學數學的,而且學得很好,在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此,大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文,其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年,她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ,頗受好評也很暢銷,之後也接續出版了許多書。她表示,她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」,用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外,她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明,科學、科技、STEAM(Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics)是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性,但很多情境下,美或者美化這些詞,常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝(與素顏對比)、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀,真正美之極致,往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限,平庸普通還是多數,不然,也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中,美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了,因為這句話如果成立,那在數學,也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是,數學家們感受到的美感是否真的是美?定理與證明真的可以用美或不美來形容呢?還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢?

2019 年時,英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”,其中的研究證據,支持一般人可能也跟數學家一樣,能感受到數學論證的美感。在其研究中發現,人們對數學的「美感」,就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似,有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判,跟與音樂、畫作美感一樣,和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的:「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說:「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家,對抽象代數有極大的貢獻,巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質,此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼,以紀念 Noether 的貢獻。此外,她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

Noether 與兄弟們的合照。圖/WIKIPEDIA

除了主觀上對於美的感受外,數學與藝術之間,也有很多直接的關聯性。以音樂來說,音律就與數學上的對數(也就是大家所認識的 \(\log\))有關。人類發展音律有很長的歷史,因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道,和弦時,不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店,聽到鐵鎚打鐵的聲音,覺得很悅耳,他走入店裡,發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6,其中 9 是 6 與 12 的算術平均,8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證,得到的結論是,弦長為一些簡單有理數比的時候,會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律,也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題,因為很容易可以發現,\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友,可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是,數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性,特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中,應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是,這個相關性會不會與能力本身無關呢?比方顯而易見,學科能力與學習音樂的條件,都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因,如種族、收入、教育背景,就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚,兩者的關聯性不但沒有消失,而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生,在盡可能排除其他因素的干擾下,他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

音樂與數學能力被證實有很高的相關性。圖/Pixabay

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜,”因為排除所有的相關影響並不容易,可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論,但這個結果讓他思考了很多,”微觀技術來說,可能在音樂中的音準、音程、節拍,可能語言認知的基礎相關,而巨觀技術上的調式與調性,可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外,還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士(Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一,費爾茲獎得主)發表的論文指出,經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部,發現數學家在評斷數學式子美感時,動用到眼額皮質外側的 A1 區域,與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯,因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比,繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說,美與數學並不是感性與理性的對立,而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說:”美即是真,真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”,而數學以及其背後的邏輯,就是人類對於”真”的具像。

評斷數學式子美感或觀察其他美感事物時,數學家大腦活耀的區域相同。圖/Pexels

可以說在知識份子階層中,數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確,像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點,人工智慧是否能創造藝術作品這個問題,至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作,可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說,就是許多線性映射與激活函數的合成函數,藉由梯度下降法,收斂到的穩定數學解。既然數學即美,那由數學建構的人工智慧,能產生美的事物,也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本,設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講,就是給電腦看一些李白的詩,希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂,希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術,已經能讓人工智慧能藉由學習,”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型,其名稱取自於同名的電影(全面啟動),當時主要是在圖片辨識任務上,取得很好的成果。2015 年時, Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型,讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後,Leon Gatys 等人用類似的方法,設計一套演算法,能將畫家的畫風轉移到照片上,典型的例子是將風景、建築照片,轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究,一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作,拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時, Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路(Generative Adversarial Network),是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究,現在的深度學習模型,在一些領域中,已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型,能生出幾可亂真的人臉。現在,在手機上,能使用 APP,將你的照片轉成迪士尼的畫風。

讓生成模型想像生氣的亞洲人老醫生(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

2021 年時, OpenAI 釋出了 CLIP 模型,這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制,來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說,如果你畫了一張畫,或者拿到一張照片,你可以利用文字”更有喜感一點,更有亞洲風味一點”,來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中,大家試出了許多像”咒語”般的技巧,比方有個著名的 “unreal engine trick”,就是當你在控制產生圖片的句子中,加入 “unreal engine” 這個詞(unreal engine 是一個遊戲引擎),常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以,但仔細一想,因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片,往往是強調其遊戲高畫質,久而久之, CLIP 看到這個詞,很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外,人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品,特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3,已經能在用戶給出簡單的指示後,產生非常複雜的文字作品,除了詩、笑話、故事外,甚至連食譜、程式碼都可以。

讓生成模型想像亞洲的小甜甜布蘭妮(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

但這些,真的算是人工智慧的創作嗎?

在 2018 年時,由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy,以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的?這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”,以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子,這個式子是生成對抗網路使用的目標函數,也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是,生成這幅圖片的程式碼,是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人(如 AICAN)認為這個連創作都算不上。

人工智慧的創作《 Edmond de Belamy 》。圖/WIKIPEDIA

所以,這幅畫到底是誰的創作?物理學家海森堡曾說,即使在沒有足夠證據的支持下,”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”,”我們會不由自主的感受到,這就是自然真相被揭露的一角”。也許,真正創作者不是人工智慧,也不是人類,我們只是自然的一部分,有幸釋放了,並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

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再・創世 Cybernetic_96
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由策展人沈伯丞籌畫之藝術計畫《再・創世 Cybernetic》,嘗試從演化控制學的理論基礎上,探討仿生學、人工智慧、嵌合體與賽伯格以及環境控制學等新知識技術所構成的未來生命圖像。
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