羅素誕辰│科學史上的今天：05/18

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

國民法官生存指南：用足夠的智識面對法庭裡的一切。

• 本文轉載自科技大觀園，原文為《用烏賊與科普的魅力，讓教室爆滿——專訪清華大學生命科學系焦傳金教授》
• 作者 / 科技大觀園特約編輯｜陳亭瑋

實驗進行中，一隻烏賊被放入透明的水族箱，其中一側被隔出了左右兩個小隔間，分別放有一隻與兩隻蝦。水族箱中烏賊看清了兩邊的活蝦後，可以自由選擇游進哪一個隔間，伸出腕足捕捉可口的食物。在烏賊游進其中一個隔間後，另一邊就會被關閉，因此每次都只能選一邊。

問題來啦，一隻蝦 v.s. 兩隻蝦，換做你是烏賊，會如何做決定呢？

這是清華大學生命科學系特聘教授焦傳金在去 (2020) 年所發表的研究成果，證實了烏賊具有「相對價值感」的概念。做為海產店、夜市小吃的盤中常客（而且還很好吃），烏賊也懂得數數，擁有「數感」，能夠分辨得出 2 比 1 來得多，一般情況下當然是選兩隻蝦啦。但經過特別訓練的烏賊，能夠「記得」一隻蝦可以代表不只一隻蝦，因此在後續實驗中，產生了烏賊覓食偏好一隻蝦，勝過了兩隻蝦的結果。

解密烏賊的決策邏輯

「實驗室的每個人，都有 T 恤上面是有墨汁的。」

談起飼養繁瑣，需要海水又每天都需要活餌，還三不五時受驚噴墨，養殖難度可說鑲金邊等級的烏賊，舉手投足間標準學者氣質，一派溫文儒雅的焦傳金，迸發出強大的熱切。他分享自己的觀察，大眾對於烏賊、章魚這類頭族類動物往往充滿好奇，也常常被用在塑造外星人、異形的形象。除此之外，在冰冷理性的實驗室，學生焦慮煩悶時也常去到「花枝房」，觀看水族箱中優游、表皮花紋瞬間變換的烏賊，療癒抒解心情。

烏賊又名花枝、墨魚，屬於頭足類軟體動物。多數人最熟悉的頭足類動物，除了餐桌上好吃的海鮮，最有名的大約就是德國奧伯豪森（Oberhausen）水族館的「章魚保羅」了。2010 年的世界盃足球賽，章魚保羅連續「成功預測」了賽事的勝利隊伍，引起了許多注目風靡。而焦傳金開始烏賊研究的起點，其實就是源自於大家的這個好奇：無脊椎動物到底能有多聰明？牠們的「聰明」擁有跟人類做決定一樣的邏輯特色嗎？

焦傳金在 2016 年的研究發表就揭露了烏賊具有「數感」，覓食找東西吃的時候，明顯看得出來烏賊會選擇數量較大的那一邊。而更有趣的是在後續實驗中，團隊讓烏賊從兩隻小蝦與一隻大蝦裡做選擇。最後實驗發現，烏賊的選擇，會跟當下的飢餓程度有很強的關聯。烏賊如果處於比較飢餓的狀態，就會鋌而走險選擇一隻大蝦，以獲得高風險高報酬；沒那麼餓的時候，則會選擇兩隻小蝦，穩健獲利。可以說，這樣的選擇邏輯，即使是人類，也無法做得更好了。

而在相對價值感的實驗中，團隊先以 0 對 1 訓練烏賊，在烏賊選擇 1 隻蝦那格的時候，當場會再額外多提供一隻活蝦，經過六次訓練，再以 1 對 2 測試烏賊會如何選擇。沒有經過訓練的烏賊主要偏好數量較多──也就是兩隻蝦那格；但曾經受訓記得「1 隻蝦不只是 1 隻」的烏賊，則對於一隻蝦那格展現了明顯的偏好，而這樣的覓食習慣改變，在經過一個小時後進行的實驗中顯示，仍然保留了下來。

什麼是「相對價值感」？焦傳金舉例：「一瓶礦泉水，如果是在沙漠中走了三天了，第一次遇到一罐礦泉水，那價值就會非常的高。」同樣的物質，在不同情境中的價值會改變，這樣的相對價值感在人類的決策中，佔有很重要的比例。而焦傳金的研究更證實了，在動物──甚至是無脊椎動物的行為中，也存在著相對價值的概念。

神經科學的聖杯：大腦

像這樣的研究，其實也是科學家認識神經系統、大腦運作的起點。

談及神經科學研究最終的「聖杯」人類的大腦，焦傳金眼神發亮。焦傳金做為神經科學家，研究主題無論是烏賊的價值判斷、軟絲的視覺溝通密碼，抑或視神經科學的研究，都圍繞著神經科學的核心探索：大腦是如何運作的？

「所有東西以物質論來說，都是一樣的，但為什麼生物、動物會這麼不一樣？」焦傳金一句話道出了生命世界最大的謎團，也是最引人入勝之處。

討論到以章魚做實驗的可能性，焦傳金興致勃勃，表示如果有機會，會希望探索神經系統發達的章魚是否真的具有「意識」。他也說明，相較於底棲性、身體內有硬質骨板的烏賊，章魚的活動範圍更加廣泛，實驗錄影紀錄較為困難，而且章魚僅有口器「牙齒」的部分有硬質結構，全身皆為肌肉，逃脫能力極為高強。

像章魚、烏賊這類頭足類動物，為什麼會發展出如此複雜的神經系統？一般認為，動物會演化出複雜的神經系統，可能與社會行為有關，無論是爾虞我詐的社會關係、各種合縱連橫、選擇策略獲得優勢，都需要複雜的決策能力。但除了軟絲有社會性，會藉由改變表皮花紋顏色彼此溝通；同樣屬於頭足類的烏賊與章魚都屬於獨居的動物，只有在繁殖期會與同族有交流。

較常見的推測認為，相較於其他有殼的軟體動物，頭足類沒有外殼保護，身體充滿蛋白質非常「好吃」，生存演化出現的生存之道，就是發展出複雜的行為策略，包括偽裝、噴墨、噴射推進，以避免被捕食，而複雜的神經系統，也是由此而來。焦傳金也特別說明，這個問題在科學上很難驗證，很可能最終都不會出現標準答案。

但焦傳金認為，科學的趣味與意義，就隱藏在這個試圖解答疑問的過程中。

對於大自然與科學的探索，多數的基礎研究起初獲得解答的時候，也都不具應用性，更像是一種心靈層面的滿足感：「做基礎科學，是一種探索真理的過程。你有一個問題，這個問題可以做實驗來回答，那晚上就可以安心睡覺。」

如何將科學帶給一般大眾

對焦傳金而言，這樣的滿足感，不應該侷限於科學家、研究者，更應該有機會讓所有的人都有機會一睹為快。焦傳金表示，當然不需要每個人都很懂科學，但提升國民素養，科普就是最好的方式。此外，科學家如果只專注自己的領域中，就只能影響同領域的同行。但科普將資訊分享給一般的社會大眾，成功的話可以影響的範圍就會很大，是很愉快的事情。

清華大學的「當代認知神經科學：腦與心智」，焦傳金透過淺顯易懂的比喻與連結，成為清大最受歡迎的通識課程。焦傳金分享，從事科普最大難處在於，要做到淺顯易懂卻又引人入勝。而其中最需要的，就是需要豐富的想像力，找到適合的語言，將艱深的科學發現轉換成大家可以聽得懂的比喻，使用日常生活的連結、慣用的用字用詞，讓聽眾接收並且理解。科普成功與否的關鍵之一，在於需要「有趣好玩」，因為通常科學內容並非對於大眾直接「有用」的，所以需要加入可以引發大家的興趣的元素。而最大的難處還在於，知識含量「含金度」高的時候，通常就不容易理解、也不容易產生趣味。該如何讓知識含量不減，又增加趣味，箇中取捨就像場拔河。

此外，「熱情」也是進行科普活動需要加入的元素。焦傳金解釋，透過鏡像神經元的作用，情緒會互相感染，如果講者選擇自己喜歡的題目講得很嗨，就可以吸引別人的注意力。一定要說服自己，是真的喜歡才去講，懷著溫度，就可以影響他人。

多接觸海洋，就是關懷海洋議題的起點

說到以科普影響他人，近年來海洋議題越來越受到關注，焦傳金也在課程中讓學生實際計算「海洋酸化」（Ocean acidification）的案例，探討海洋議題。

他說明，近年來大家越來越重視溫室氣體排放造成的全球暖化議題，也開始瞭解到升溫攝氏 1 到 2 度對於世界的影響極為巨大，但另一個同步發生卻容易遭忽視的主題，則是二氧化碳溶入造成的海洋酸化。在過去 200 年間，海洋的 pH 值降低了 0.1 到 0.2，數字上看來變化不大，但實際上，pH 值代表著氫離子濃度的對數關係，實際上如果 pH 值由 8.1 降到 8，在氫離子濃度上就有了超過 25%的改變，勢必會影響許多海洋生物像是珊瑚、貝類的鈣化作用，現在已經出現生物外殼骨架脆化與變薄的情況，對許多生物的生存造成很大的影響。

除此之外，塑膠微粒也是較受忽視的海洋議題。隨著大眾開始關注海洋廢棄物，近年來有越來越多研究顯示，塑膠材料進到海洋中後，經沖刷撞擊成為微粒，會由海洋循環進入大氣、進到循環中再被帶到陸地。如美國的國家公園自然野地中，已經有許多地方，可以找到這些塑膠微粒，塑膠微粒勢必將由冷門的海洋議題，逐漸進到我們的視野中。

談及海洋議題，當然也不能不聊聊，近期在臺灣引發諸多論戰的大潭藻礁保護與天然氣第三接受站的爭議。焦傳金畢業自中山大學海洋生物科技暨資源學系，由海洋研究的相關背景，他表示自己自然比較傾向讓藻礁能受保護，但也主張世事並無絕對，保育也不應只能與臺灣的用電需求、經濟發展硬碰硬二者不相容。臺灣該如何由其中走出平衡之路，將有賴於全體齊心協力的智慧。

對於藻礁議題讓台灣輿論充滿紛擾，焦傳金態度樂觀：「大家總算知道什麼是藻礁了，從海洋教育的角度來講，如果因此而更認識海洋環境、關心海洋環境，引發大家對這件事情的關注，還是有正面意義的。」台灣四面環海，但受限於過去的管制因素，大家對於海洋是較為陌生的。他也期待，有越來越多人投入海洋的活動，增加與海洋的接觸，發揮台灣作為海洋國家的優勢。

• 作者／古倫姆斯 (David Robert Grimes) ；譯者／楊玉齡

矛盾非常寶貴，因為它們警示我們有些事情不準確了。不過，我們在「忽略矛盾對我們造成的損傷」方面，老練得驚人。

這是一個充滿電磁波的世界

想想看，我們被一整群看不見的光線所包圍的這件事實。我們的眼睛只能感知極少量的電磁波譜，但是電磁波譜概括了我們所有知道的顏色、以及所有我們能看見的景象。

電磁輻射瀰漫在一切事物上，從照亮我們世界的可見光，到廣播媒體賴以傳播全世界的無線電波，到革新解剖影像和癌症治療的 X 光。

在這個無線通信時代，我們的電話和路由器都借助微波輻射之便，以驚人的快速度，將差不多是整個人類知識的寶庫，傳送到我們指尖。

但是，在一個行動電話與 Wi-Fi 愈來愈無所不在的世界，我們是否有理由擔心自己的身體健康？

Wi-Fi 會危害我們的健康嗎？

上網快速掃描一下，可能讓人覺得確實如此。很多網站活靈活現的表示，手機會大大增加罹患腦癌的風險。另外一些人則堅稱我們的手機和路由器正在把我們「煮熟」。

某些健康諮詢機構強調 Wi-Fi 的危險，提供了套裝產品，以降低看不見、摸不著的輻射暴露，當然他們為此而收取了看得見、摸得著的鈔票。

另外還有一些人斷言，射頻（無線電頻率）輻射的危險被電信巨頭和手機製造商給隱瞞了，有個人在 2017 年成功控訴加州衛生局，強制他們發布行動電話輻射暴露的指導方針。

讓人不安的電磁波評估報告

但是這類聲明最普遍的來源是《電磁波風險評估報告》（BioInitiative Report），它最早是在 2007 年於網路上發表，引起媒體界大轟動，後來在 2012 年更新。

這份報告號稱是由一群研究人員及公共衛生專家所做的研究，它直白的結論毫無模糊空間：射頻輻射正造成無數健康方面的影響，包括大量增加的癌症風險。

拋掉手機之前，修但幾勒！

不過，先別急著甩掉手機和拔下牆角的路由器電纜，《電磁波風險評估報告》的說法與現有大量科學數據明顯相反。

世界衛生組織宣稱：「因使用手機而對人體造成的不良影響，尚無證明。」英國癌症研究中心指出，到目前為止，證據「顯示手機不太可能會增加腦瘤或其他種類癌症的風險」。

如果手機會造成癌症，我們應該會看到癌症病例驟增，以回應過去這二十年來的手機用量大增。但是根據大型流行病學研究，這個現象並沒有出現。

到目前為止的證據，明顯有違「使用手機導致罹癌風險增加」的假說，那麼這些混淆是從何而來呢？

輻射不等於放射性！

很不幸，部分來自於「輻射」（radiation）這個字眼的含糊。這個遭到深深誤解的概念，令人產生陰森的「放射性」（radioactivity）聯想。

這樣的結合很不幸，因為輻射不過是指「能量在某種媒介或空間中的傳送」。就電磁輻射來說，是指一批電磁波以光速移動。電磁波譜是所有可能存在的電磁輻射頻率的範圍，而能量則與頻率成正比。

雖然我們只能看見電磁波譜裡以「可見光」形式存在的一小部分，但是我們可以把電磁波譜想成一系列具有不同能量的光粒子（光子）。

水能載舟，亦能煮粥的「游離輻射」

其中某些光子的能量非常充足，可以把原子裡的電子轟出去，打破化學鍵。這使得它們有能力導致 DNA 受損，而 DNA 受損通常是癌症的一個先決條件。能量大到足以解放電子的光，稱為「游離輻射」（ionising radiation），而且確實有害我們的健康。

但是就算高能量電磁輻射這項看似負面的特性，也具有正面的結果，可以用來增進我們的福祉，例如 X 光在放射療法中可以殺死癌細胞。

不過，單單這項事實，就足以令人們不安，想到一個滿合理的問題：如果 X 光這種電磁輻射可以用來摧毀細胞，大量使用無線通訊是否會引發 DNA 受損，並最終導致癌症？

所以說，手機也是游離輻射嗎？

這種擔憂是可以理解的，但這主要是因為不瞭解電磁波譜究竟大得多麼不可思議。現代通訊工具諸如 Wi-Fi 和手機網路，都是完全位於微波端的範圍，頻率介於300兆赫到300千兆赫之間，因此屬於低能量光子。

我們不妨做一個通盤比較，鑑於能量最低的可見光的光子（波長約 700 奈米，而 1 奈米等於十億分之一公尺）攜帶的能量，大約為最高能量的微波光子（波長 0.1 公分）的一千四百三十倍。

手機和路由器的微波輻射顯然是非游離的，完全無法造成 DNA 損傷。也因此，我們沒有看到癌症發生率隨著微波輻射而增加，其實一點都不令人驚訝，因為微波輻射根本不夠強大，比可見光（燈光、日光）還弱，無法造成癌症必需的細胞損傷。

這些危言聳聽從哪裏來？

就最基本的條件來說，《電磁波風險評估報告》犯了一個極為根本的邏輯錯誤。

為了要支撐他們的危言聳聽，他們選擇已知的高頻游離輻射的有害衝擊，然後表達成彷彿這些衝擊也適用於非游離射頻電磁輻射。他們辯稱：

• 前提一：所有射頻輻射都屬於電磁輻射
• 前提二：某些電磁輻射可能導致癌症
• 結　論：因此，射頻輻射會導致癌症

這是「中詞不周延謬誤」（fallacy of the undistributed middle）的典型範例，當三段論裡的「中詞」（也就是在兩個前提中都有出現，但是沒有出現在結論中的名詞）沒有被賦予「明確分布」時，像是「全部」或「全無」，就會出現這種形式謬誤。

在這裡，我們曉得「某些」電磁輻射可能造成癌症，但那不是一種明確分布。從這個邏輯中得出的結論，自然就是無效的。

電磁風暴一波未平，一波又起

2017 年，一篇發表在很有名望的期刊上的論文宣稱，射頻電磁輻射不只和癌症有關，也和自閉症有關。這篇論文落到了我桌上，也落到了心理學家畢夏普（Dorothy Bishop）的桌上。

畢夏普除了是寫作高手之外，也是英國皇家學會院士，她的學術專業主要在於發展性語言障礙。這篇論文所宣稱的自閉症關聯，令她驚呆了，而我對論文裡的生理學主張的看法也是如此。這些悲慘的想像究竟源自何處？當然是《電磁波風險評估報告》啦。

事實上，這篇令人厭惡的論文的首席作者，正是那篇報告的共同主編賽吉（Cindy Sage）。賽吉並不具備學術相關背景，但是她經營了一家專門「致力於減少射頻暴露」的顧問公司。耐人尋味的是，這項事實並未載明於利益衝突聲明中。

——本文摘自泛科學2020年9月選書《反智：不願說理的人是偏執》，2020 年 7月 月，天下文化。

國民法官生存指南：用足夠的智識面對法庭裡的一切。

1961 年 9 月，高齡 89 歲的羅素爵士（Bertrand Russell, 1872－1970）因煽動公民不服從以達成反核武訴求而遭到起訴，法官好心提供他免於牢獄之災的機會──只要他承諾從此奉公守法。羅素悍然拒絕，昂首入獄坐監七天。

在牢中的羅素應會想起近半世紀前，他也遭逢類似的情境。1914 年，第一次世界大戰爆發，他因反對戰爭而鼓吹青年不要從軍，結果他任教的劍橋大學三一學院給他兩條路：繳交一百英鎊罰金，否則捲鋪蓋走路。他當然不受威脅。四年後他又因反戰言論而被判刑六個月，他甘之如飴，在獄中完成《數學哲學導論》，以較易懂的方式介紹他與老師懷海德（Alfred Whitehead）合寫的《數學原理》。

這三大卷的巨著可是他與老師懷海德為了建構出真正完備的數學體系，自1900年起，花了十年光陰從地基開始一磚一瓦築成的心血結晶啊！為什麼要如此大費周章？因為舊有的數學體系已搖搖欲墜，一些所謂「不證自明」的公設根本經不起考驗（例如歐氏幾何中的平行公設）；甚至當代大師康托爾等人企圖打造為數學根基的集合論，也被他的「理髮師悖論」（又稱「羅素悖論」）戳出漏洞。因此他才決定回歸邏輯，把數學建立在無懈可擊的邏輯推理上，這也是為什麼花 362 頁證明 1+1=2 是必要的。

然而他的《數學原理》竟成了粉碎聖杯美夢的墊腳石。25 歲的哥德爾受到這本著作的啟發（他會是世上唯一讀完它的人嗎？）於 1931 年提出「不完備定理」，證明不存在同時具有一致性與完備性的系統，他們這一代的努力都只是徒勞！

枉費他創建分析哲學，將哲學問題全面改用嚴謹的邏輯與數學描述，以避免語意上的誤解。更加諷刺的是，他原本寄予厚望的得意門生維根斯坦，後來竟背棄他以邏輯符號取代文字敘述的主張，反而認為世界根本是由語言塑造的。

但他已習慣命運的嘲弄了。崇尚邏輯思考的他，一生竟要籠罩在家族的精神病史陰影下，深恐自己也會遺傳此病。當他年老慶幸自己安然逃過一劫，孰知長子仍難逃精神分裂的宿命。

縱然人生充滿無奈，羅素仍堅守理性主義、自由精神與人道主義。他於 1950 年以《西方哲學史》一書獲頒諾貝爾文學獎，以表揚他「以多元且深具意義的著作捍衛人性與思想自由」；頒獎辭中形容他「在人類知識與數理邏輯方面，他的研究成果可以媲美牛頓在力學方面的成就。」

身為二十世紀最重要的思想巨擘之一，羅素也以行動積極參與公共事務，包括投入教育工作、主張裁減核武、宣揚反戰理念、鼓吹和平主義。死前兩天，他還發表聲明譴責以色列的擴張行動。羅素在宗教上是不可知論者，因此死後依其遺願沒有舉行宗教儀式，骨灰灑於山際。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。