連發動戰爭也會選擇困難？幸好，數學家發明了「賽局理論」──《囚犯的兩難》上

1945 年 7 月 16 日美國時間早上五點三十分，在新墨西哥州的托立尼提沙漠內，人類史上第一顆核武器 The Gadget 引爆，爆炸溫度 7 千萬 K，三位一體核試驗宣告成功。這次爆炸不僅留下 80 公尺寬的核彈坑，徹底打開了潘朵拉之盒。

知名導演克里斯多福．諾蘭的電影「奧本海默」，用鏡頭為我們帶來奧本海默這位偉大科學家波瀾壯闊的一生，從他為人類取來核武器火種以威懾納粹，但意識到自己帶來的不是文明之光，而是毀滅之火。最後拒絕繼續參與氫彈的開發，卻捲入共產思想疑雲的政治風暴之中。

奧本海默的精彩故事，歡迎大家進電影院好好體會，但在進戲院之前，我們先來了解，這位原子彈之父，是怎麼做出原子彈的。為何曼哈頓計畫需要召集如此多的科學家，甚至招募多達 13 萬名員工來完成這項壯舉？預告片中出現的這個球體，是如何改變人類的歷史？

原子彈如何被製造？

1945 年 8 月 6 日與 8 月 9 日，兩枚原子彈小男孩與胖子分別在廣島與長崎的 550 公尺上空引爆，雖然終結了第二次世界大戰，但造成的直接與間接死傷，更震撼了全世界。

雖然兩顆笨重的原子彈重量超過 4 公噸，但真正的核燃料核心在原子彈小男孩中只占了 50 公斤，而且經過計算，實際參與反應的可能只有其中 1 公斤。另一個原子彈胖子的核心更小，只有 6.2 公斤，是個直徑約 10 公分的球體，實際參與反應的部分大約是 1.2 公斤。

根據愛因斯坦著名的質能等價公式 E=mc^2，我們可以計算出在反應中損失 1g 質量，會產生大約 90 兆焦耳的能量，相當於 2 萬噸 TNT 的能量。1g 質量換 2 萬噸 TNT，難怪不論哪個陣營都想盡快開發出這恐怖的炸彈。預告片裡面也提到，許多科學家都擔心「如果我們不現在加緊研發，被納粹先做出來了怎麼辦」，而推動了這足以毀滅人類的軍武競賽。

但是，就算有了質能等價公式，卻還是無法憑空造出原子彈。我們過去在討論核能的影片中提過，核反應要持續，需要靠連鎖反應。一個反應堆中，每吸收一個中子就會釋放一個中子，讓反應穩定進行下去，稱為臨界狀態，也是一般核能發電廠希望達到的狀態。如果吸收一個中子，卻釋放不到一個中子呢？，那就稱為次臨界。所有沒在反應的燃料棒都應該處於這個狀態。原子彈呢，當然是希望吸收一個中子，釋放出超過一個中子，讓反應快速連鎖下去，在極短時間釋放巨大能量。這個狀態稱為超臨界或是過臨界狀態。

這邊提個物理學家間的有趣討論，預告片中，由麥特戴蒙飾演的格羅夫斯少將問奧本海默，在 The Gadget 試爆的瞬間，世界有沒有可能就此毀滅，奧本海默回答「機率幾乎是零」。這件事其實是出自奧本海默與另一位物理學家康普頓的討論，他們想到，大氣中有許多氫氣、氦氣、氮氣等輕元素，核爆瞬間可能會因為高溫在大氣中引發核融合，甚至產生連鎖反應，連海水中的氫都發生爆炸，讓地球化為太陽，世界終結。奧本海默和其他科學家還實際嚴密計算，確認機率幾乎是零。

雖然核融合與核分裂的條件不相同，這個假設放在現在可能覺得太過誇張，但這也說明要讓核反應連續下去並不簡單。

在核分裂中，要達成超臨界狀態並不容易。在理想條件下，鈾 235 每吸收一顆熱中子，會產出 2.06 個中子，吸收快中子則會產出 2.5 個中子。另一個原子彈核燃料鈽 239，則在吸收熱中子和快中子兩種不同能量的中子後，分別產出 2.1 和 3 個中子。然而實際上，中子往四面八方移動，並不是所有的中子都會被原子核捕獲。加上未濃縮的燃料中含有大量其他元素，例如鈾 238，導致燃料堆很難進入超臨界狀態，大幅降低炸彈的效果。等等，既然如此，曼哈頓計畫是怎麼克服這件事的呢？

如何讓原子彈進入超臨界狀態？

1942 年 12 月 2 日，人類史上第一個核反應堆－芝加哥 1 號堆 CP-1，在物理學家費米的主持下，初次達到臨界狀態，曼哈頓計畫成功踏出第一步，人類正式進入原子能時代。預告中一閃而過的這個結構，就是 CP-1，由 4 萬多個作為中子減速劑的石墨塊組成，裡面塞著一顆顆的鈾塊。

很難想像的是，在當時，控制臨界狀態的控制棒竟然是讓人用手抓著的，反應堆的位置還在芝加哥大學的足球場底下 (Stagg Field)。

在這之後，曼哈頓計畫進入下一個階段，洛斯阿拉莫斯國家實驗室 LANL（也就是電影預告中的小鎮）成立，奧本海默擔任首任主任，並聚集了當時幾乎所有能找到的物理、化學、工程學專家。

為了讓原子彈能順利進入超臨界狀態，科學家的第一步，就是要濃縮鈾。將天然鈾礦中佔 0.7% 的鈾 235，濃縮到將近 100%。這不簡單，首先，鈾的沸點是攝氏 4000 度，因此要先與氟反應成沸點只有攝氏 57 度的六氟化鈾，接著利用兩者質量的些微差異，使用氣體擴散法或是離心法分離。

以氣體擴散法為例，氣體通過過濾材料的能力，正比於分子量的平方根，然而六氟化鈾 235 和六氟化鈾 238 的分子量分別是 349 和 352，只差了 0.85%。實際上兩者穿越過濾膜的能力大約是 1 比上 1.003，也就是經過一次濃縮，濃度會從 0.7%，變成 0.7021%，經過 100 次濃縮，濃度才會從 0.7% 變成 0.945%，要濃縮到接近 100%，非常耗時又耗力！雖然後來還有發展熱擴散法、透過雷射游離後分離的方法，或是結合質譜儀與迴旋加速器磁鐵的電磁分離法，但不論哪個，不是技術要求極高，就是需要重複多次，有些方法還會有臨界事故的風險，選項其實也不多。

但積沙成塔，聚少成多，只要肯花時間與人力，遲早都能得到濃縮鈾。有了寶貴的濃縮鈾，和來自中子照射鈾 238 產生的鈽 239，終於，原子彈可以登場了。

原子彈如何運作的？

原子彈是如何運作的呢？我們先從「小男孩」開始說起。

原子彈小男孩採用的是槍式結構，裡面有四個重要構造：核心、起爆劑、反射體、和起動物。在炸彈尚未引爆時，含有高濃度鈾的核心會先被分為左右兩塊。爆炸時再透過起爆劑讓兩塊核心撞在一起，進入超臨界狀態。

為什麼兩塊併為一塊就會進入超臨界？這是因為在連鎖反應時，中子會不斷從核心的表面逃脫，變成無效的中子，減緩連鎖反應。對於核心這種球體來說，表面積與體積的比值，會與直徑成反比。也就是當球體越大，表面逃逸的中子對於整體的影響就越小，內部就能有更強的連鎖反應，直到臨界狀態。此時核心的質量，就稱為臨界質量。

在小男孩中，被拆成兩半的核心各自都未達到臨界質量，直到兩塊撞在一起，才進入臨界甚至超臨界狀態。這時，旁邊以鈾為材料的反射體，則負責將溢出的中子反射回核心，進一步觸發更強烈的連鎖反應。

最後，為了讓反應在核心撞在一起的瞬間，就以最激烈的方式進行，核心通常會設有「起動物」，由鈹－9 和釙－210 組成。釙 210 會因為自然衰變，不斷產生 α 射線，鈹則會在吸收 α 射線後產生中子，作為整個連鎖反應的開頭。在原子彈爆炸前，鈹和釙會跟著分成兩半的核心分別放在兩側，隨著核心碰撞的瞬間產生反應，釋出大量中子。

但槍式構造的反應方式效率十分低下，原子彈小男孩中實際參與反應的燃料，根據事後計算，大約只有五十分之一。而且，槍式結構也無法使用連鎖反應更強的鈽作為燃料。

因此，電影中球型的內爆式原子彈就登場了。

什麼是內爆式原子彈？

胖子原子彈的燃料使用率大約是 1/5，是小男孩的十倍，這是因為它採用了內爆式結構。

回頭說一下，小男孩的槍式結構雖然效率不高，但結構簡單不易出錯，因此甚至沒有測試過就被投入實戰。

而內爆式的胖子因為容錯率低，因此前面才有三位一體試驗中原子彈 The Gadget 的試爆。

內爆式結構複雜在哪呢？在內爆式結構中，最內層一樣是用金屬層隔開的起動物鈹－9 和釙－210，外面是由鈾和鈽組成的混合氧化物核燃料 MOX，更外圈是用來反射中子的反射體。在反射體外面，占整顆炸彈體積最大的，是一般的炸藥。作用是在起爆時，將核心用力往內擠壓，將核心推向超臨界狀態，讓起動物的金屬隔層破裂，誘發中子釋放。在原子彈誘爆初期，因為外頭炸藥的擠壓，中子會在反射層內快速反彈，大大增加燃料的使用率。

在預告畫面中的球體，就是標準的內爆式原子彈。在結構正中央的圓形物體，其實是反射層，核心和起爆物都被包裹起來，在看不見的更裡頭。而外面一塊塊的多邊形結構，其實都是炸藥，負責擠壓核心，但如何在內爆時讓核心維持完美球形，不會因為壓力不均而從某側破裂，卻是一項巨大挑戰。

為了確保達到預期效果，原子彈中含有爆炸速度快與慢的兩種炸藥，透過時間差，讓反射層在壓縮核心時能維持對稱的圓形。為了解決這個艱鉅的挑戰，數學家約翰．馮紐曼發展了 ZND 模型，用來計算火藥與震波的模型，成功計算出快、慢火藥的比例與配置。沒錯，就是那位提出電腦馮紐曼架構的那位馮紐曼。

更進一步，為了達到計算的效果，32 塊炸藥需要在千萬分之一秒內同時引爆，然而當時的雷管引爆誤差可能有 1/10 秒以上。這時，另一位物理學家阿爾瓦雷茨出馬了，他開發出 EBW 式雷管，解決了問題。這種雷管允許大電流通過，但同時也需要總重量一公噸的電池和電容器才能運作。預告片這句「起爆器已充電」指的應該就是這些電池與電容。

至此，濃縮燃料、內爆式結構和啟爆裝置都就緒了，接下來的故事大家都知道了。1945 年 7 月 16 日早上五點三十分，刺眼的火球照亮整個沙漠（聽說只有費曼裸眼看了這場人類核彈首爆秀），人類在核武器的發展上已經無法停下腳步。

導演克里斯多福．諾蘭的最新大作《奧本海默》，改編自這本獲得普林斯頓獎的傳記「American prometheus The Triumph and Tragedy of J. Robert Oppenheimer 」，《奧本海默的真相與悲劇》，並冠上副標 American prometheus 美國普羅米修斯，象徵為人類取來原子之火。

三位一體核試驗成功的 20 年後，奧本海默回憶到：「我們知道世界自此就不再一樣了。有的人笑，有的人哭，但大部分人沉默無言。我想起了印度教古典《薄伽梵譚》中，毗濕奴對阿周那王子所說：『我現在成了死神，世界的毀滅者。』我想，我們大家都多多少少是這樣想的。」

兩顆原子彈在日本被投下的隔年，奧本海默拒絕參與第四次核試驗，也拒絕杜魯門總統邀請的氫彈計畫。從此，這位原子彈之父人生出現重大轉變。小勞勃道尼飾演的原子能委員會主席，路易斯．史特勞斯，也將為奧本海默的人生帶來許多風雨。

電影原作書籍的兩位作者 Kai Bird 和 Martin J. Sherwin，雖然不是奧本海默的好友，但兩位都是歷史學家，也是政治、核武和冷戰的研究專家。書中從奧本海默小時候的成長與求學開始、講到他參與曼哈頓計畫與擔任洛斯阿拉莫斯國家實驗室主任、成為原子彈之父、受到政治迫害，最後獲得平反，鉅細靡遺地介紹了他的一生與心境變化。整本書花了 25 年完成，蒐集了成千上萬份收藏於美國國會圖書館，來自奧本海默的文件、以及 FBI 超過 25 年累積了數千頁的監控紀錄、還採訪了將近一百位熟悉奧本海默的密友、親戚與同事。光是聽以上的說明，就已經能想像其豐富又崎嶇的生活歷程了。

關於這些科學家之間的互動與理念的碰撞，我們就等著進電影院，看諾蘭大師如何透過鏡頭，介紹這段人類的重要歷史吧！

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合作與私利的權衡：囚徒困境

最廣為人知的賽局理論悖論是囚徒困境，這個賽局由加拿大數學家塔克所命名。塔克教授的囚徒困境賽局就像是好萊塢的犯罪劇情片，有人提供認罪協商給兩名嫌疑犯去供出對方。這個賽局說明了為共同利益而採取聯合行動十分困難，因為人們往往追求私利。

囚徒困境賽局中的誘因屢見不鮮，很適合拿來分析許多領域的問題。從經濟學中公司的競爭，到社會學中的社會規範，到心理學中的決策，到生物學中動物競爭稀缺資源，再到資訊工程中電腦系統競爭頻寬。

阿倫和阿班因為合夥偷車而被捕。警方懷疑他們還涉嫌一起肇事逃逸案件，但沒有足夠的證據起訴他們。兩人被帶到不同的房間分開偵訊。

阿倫和阿班都有兩個可能的行動：保持沉默或認罪。因此，賽局中總共有四種結果。

阿倫沉默，阿班沉默。阿倫認罪，阿班沉默。阿倫沉默，阿班認罪。阿倫認罪，阿班認罪。

我們可以用策略型式表達這個囚徒困境。支付矩陣中，列代表阿倫的可能行動，欄代表阿班的可能行動。我們在行與列的相交處填入每位參與者的報酬，在本例中也就是他們各自的刑期。

如果兩人都沉默，兩人都將因偷車而服刑一年。這當然不好，所以報酬是負值（阿倫：-1，阿班：-1）。如果兩人都認罪，兩人都要服刑十年（阿倫：-10，阿班：-10）。

囚徒都知道這個支付矩陣，也都知道彼此面對相同的矩陣。

合作或私利考量下的「最佳解」不同

這是一個同步賽局：即使並非字面意義上的同步，但由於兩人身處不同的偵訊室，做決定時也不知道對方的選擇，因此可以視為同步。

請注意，以策略型式表現賽局，並不意味著我們指出了可能會發生什麼事。我們只是列出所有可能結果，無論合理與否，並且把每個結果中參與者的報酬記下來。

現在，寫下囚徒困境賽局的策略型式後，我們可以嘗試分析可能發生的結果。

很明顯，如果阿倫和阿班可以共同做決定，兩人會選擇一起沉默，只需要坐牢一年。

但這並非均衡的結果。對阿倫來說，「認罪」的策略絕對優於「沉默」：不管他預期阿班會怎麼做，他的最佳回應都是認罪。

同樣地，不管阿班預期阿倫會怎麼做，阿班的最佳回應都是認罪。

在囚徒困境中，納許均衡是兩名參與者都認罪。這個結果的標準寫法是：

｛ 認罪，認罪 ｝

前者是橫列參與者（阿倫）的行動選擇，後者是直欄參與者（阿班）的行動選擇。在均衡中，雙方都要坐牢十年。

這屬於柏雷多效率嗎？

一個有趣的問題是，囚徒困境賽局中的納許均衡是否為柏雷多效率？這個資源分配效率的概念是以義大利經濟學家柏雷多（1848 – 1923）來命名。如果再也沒有其他可能的結果可以使至少一人變得更好，但沒有任何人變糟，這樣的結果就是柏雷多效率。

囚徒困境賽局中的納許均衡並非柏雷多效率，因為如果兩人都沉默，每個囚徒都可以變得更好。這也就是「囚徒困境」名稱的由來。

不過，在多數的賽局中，納許均衡就是柏雷多效率。例如在前面電影檔期的賽局中，沒有其他的結果能使雙方以不損及對方的方式獲得更高利益。

——本文摘自《大話題：賽局理論》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

什麼是「賽局理論」？

賽局理論是在研究策略性互動。策略性互動也是很多桌遊的關鍵元素，賽局理論因此得名。你的決策影響別人的行動，反之亦然。賽局理論的不少術語直接取自這類遊戲。我們把決策者稱為「參與者」（player）。參與者做決定後，就採取了行動（move）。

運用模型簡化複雜世界

真實世界的策略性互動可能非常複雜。例如在人際互動中，不僅行動，包括我們的表情、聲調和肢體語言都會影響他人。

在與他人往來時，人們展現不同的經歷與觀點。這樣無以計數的變化會使得情況異常複雜，也很難分析。

藉由稱為「模型」的簡化結構，我們可以大幅縮減複雜的程度。模型雖然簡單且容易分析，但仍然捕捉了真實世界問題的某些重要特徵。選用適當的簡單模型，可以有效幫助大家學習真實世界的複雜問題。

西洋棋可以幫助我們瞭解這些變化會讓參與（及預測）賽局變得多麼複雜。西洋棋的規則明確，雖然每一步棋的選項有限，但整體棋局的複雜度令人生畏。不過比起許多人類的基本互動，西洋棋其實簡單多了！

高手過招容易和局！

像西洋棋之類的桌遊有個特性：玩家愈熟練，就容易產生平手的結局。我們如何解釋這種現象？

因為西洋棋太複雜，難以全面分析，以下我們用簡單的井字遊戲來說明一個重要特性。西洋棋和井字遊戲都有明確的勝負規則。玩家輪流落子，且可以下的地方有限。

井字遊戲無法表現西洋棋中的許多特性。但由於兩者有些共同特徵，因此井字遊戲可以幫助人們瞭解高手對陣為什麼容易產生和局。

被簡化的世界縮影：「賽局」

賽局理論的首要關注並非西洋棋之類的桌遊，而是要增進我們對人際、對企業間、對國家間、對生物間……等互動行為的瞭解。原因是，真實的問題可能過於複雜且難以充分掌握。

因此，在賽局理論中我們創造了非常簡化的模型，稱之為「賽局」。創造有用的模型既是科學，也是藝術。

好的模型夠簡單，讓人能充分瞭解驅動參與者的誘因。同時，模型必須能夠捕捉真實世界的重要元素，以富有開創性的洞察力與判斷力決定哪些元素最為相關。

——本文摘自《大話題：賽局理論》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。