皮亞諾誕辰 │ 科學史上的今天：8/27

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位

• 採訪編輯／郭雅欣，美術編輯／林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中，以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何，顛覆了牛頓的古典時空概念，並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象，後來一一獲得驗證。

不過，在愛因斯坦建構重力方程式的過程，幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新，在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」，跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了，你真的懂幾何學嗎？

大家都聽過「一個成功的男人，背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過，一個成功的物理學家，背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功，就是一個經典的例子。2

「幾何學，不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形？怎麼會跟相對論扯上關係呢？」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」，是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎，歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何，例如：建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念，就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中，所有度量的幾何量和選取的座標無關，例如兩點間的「長度」，是存在於黎曼幾何的內在性質，而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性，後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後，便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中，空間中的質量分布會產生重力場，也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布，就能找出每一點的重力位能。

然而，如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量，立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定，推導出質量會隨著速度而改變，這意味著，當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面，另一人在等速前進的火車上，兩人看待的物體質量也會不同。

那麼，宇宙中的質量分布及重力場，不就會受到座標的不同影響了嗎？

由於在愛因斯坦發展重力理論之前，著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下，數學形式都不會改變，稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信，重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式，不會因為座標改變而不同。於是，愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似，其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言，至少在他的附近，重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布，此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣，包含了 10 個分量，速度、動量等等項目都能含括進去，才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中，質量分布是重力場（位能） 二次微分的結果，所以愛因斯坦希望能找到另一個（也必須是二階） 張量，其二次微分可以得到描述質量分佈的張量，此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙，格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說，黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關，建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此，如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量，或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我，不然我要瘋了！——愛因斯坦給格羅斯曼的信

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後，發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor)，剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式，於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表，並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的，太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點，而軌道上最靠近這個焦點的位置，就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的，軌道本身也會慢慢的旋轉，也就是近日點的位置會一點點的改變，每一次行星繞到近日點時，位置都會和上一次有些許不同，稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內，水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒，牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

https://www.youtube.com/watch?v=NXlg3nTqSnk

「當時的重力方程式雖然還沒有完整，但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事：「不過，愛因斯坦當時並沒有成功解釋，可能是……他算錯了。」

總之，愛因斯坦的方程式還未完整，旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來，雖然找到了里奇曲率張量，但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項，才能讓方程式完整。

1915 年，愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講，邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert)，在那次見面交流的過程中，希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來，希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作，並在一次信件往返中，向愛因斯坦提出可以利用變分方法及最小作用量原理，來推導出完整的重力方程式。

愛因斯坦於該年 11 月，發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式，對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰，也引起了許多討論。但可以確定的是，希爾伯特在數學上提供的協助，是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦，儘管如此，做出廣義相對論的是愛因斯坦，而非數學家！——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特，幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中，擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新，對於數學時常在物理研究提供重要協助，有怎樣的看法呢？

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色？

幾何學有點像宇宙的「法身」，這是宗教的用語，就是描述這個真正世界背後的道理，用的是數學的語言。我們看得見這個世界，但我們看不見數學語言，幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論，後來卻在真實世界找到應用，您怎麼看？

因為如此，所以我們做理論的，有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時，許多人都保持懷疑的態度，總覺得是從數學公式預測出來的，雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的，應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義？真的有這樣的東西存在呢？我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現，宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體，有些是以雙星的系統彼此繞行，才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波，後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角，您覺得宇宙是什麼樣子？

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的，無限且沒有邊界，但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球，也可以膨脹，它沒有邊界，但是有限的。

在數學上如果曲率夠大，是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率，可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以，如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布，很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中，數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色？

幾何學或數學不會只對重力有幫助，尤其是幾何學，它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛，或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助，只是生命科學的發展可能還很零散。

不過，就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究，後來才慢慢統合成馬克士威方程式，或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來，然後有人看出裡面好像有某個數學觀念，可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣，很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了，正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物，原文為〈幾何學－愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位

1854 年，兩顆丟到數學之池的石子，激起了不斷擴散的漣漪，對現代數學的發展產生巨大的影響。

一是英國數學家布爾發明布爾代數（或稱布林代數），將自亞里斯多德以降，超過兩千年歷史的邏輯學改用明確的數學符號表示，還賦予可以判定命題真假的運算規則。自此數學家們紛紛致力於建立符號化的邏輯系統，而衍生出全新的數理邏輯。

另一個則是德國數學家黎曼發表了超越平面幾何的黎曼幾何，推翻歐幾里得兩千年來無庸置疑的平行公設。自此數學家們不得不回頭檢視向來視為理所當然的基本觀念與定義。例如算術中最基本的自然數如何定義？啊不就「1、2、3、4、5、……，以此類推」？但這樣並未定義如何類推，無法保證涵蓋範圍，因此是無法被數學家接受的。

1889 年，義大利數學家皮亞諾（Giuseppe Peano, 1858－1932）發表了影響深遠的「皮亞諾公設」。他仿效布爾發明邏輯符號，只用 0 與「後繼數」這兩個概念，就簡潔地賦予自然數嚴格完整的定義。當自然數的概念建立起來，就可以以它為基礎，嚴密地定義整數、有理數、實數，現代分析學才得以展開。

皮亞諾公設若以文字表達，可以整理成下列五條：

• 0 是自然數；（當時仍把 0 當成自然數）
• 如果 a 是自然數，則 a 的後繼數也是自然數；
• 0 不是任何自然數的後繼數；
• 如果兩個自然數的後繼數相等，則這兩個自然數相等；
• 如果有一個自然數的集合 S 包含 0，同時，任一個自然數只要在 S 之中，它的後繼數也一定在 S 之中的話，則 S 包含所有自然數。

其中第五條公設可以用骨牌來比喻：有排望不見盡頭的骨牌，如果知道第一張骨牌會倒，同時其中任一張骨牌倒下也會使下一張倒下的話，那麼這列骨牌全部都會倒。這條公設首度賦予數學歸納法邏輯基礎，自此數學歸納法才成為數學證明的普遍方法；沒有它，一大堆定理就都無法成立。

皮亞諾公設的影響無遠弗屆，幾乎所有重要的數理邏輯和現代集合論的定理都直接或間接與它有關。羅素就是在 1900 年的第一屆國際哲學會議上遇見皮亞諾，得知他的傑作後才受到啟發，決心仿效皮亞諾的作法，而與懷海德花了十年時間撰寫出曠世巨著《數學原理》，試圖從頭打造一個「形式化」的數學體系。後來哥德爾以「不完備定理」粉碎羅素等人的夢想，關鍵也在於皮亞諾公設，不過這已是後話了。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 國中組專題報導類銅獎之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：陳以恩／宜蘭縣立復興國中

壹、研究動機

三國演義是一部膾炙人口的通俗小說，小說中超現實的情節固然引人入勝。但是，千古流傳的文學瑰寶若能符合科學的論述，則能更增添其可讀性。因此我們以三國演義中最被津津樂道的「孔明借箭」為例，試著找出其中的不合理處並改寫，使之能兼具理性與感性，增添其文學價值。

貳、重讀，找疑點

一、孔明這邊的謬誤

1、卻說魯肅私自撥輕快船二十隻⋯⋯候孔明調用。二十隻船，各束草千餘個，分布兩邊。

周瑜要孔明造十萬枝箭，孔明向魯肅借了二十艘船，平均每艘船約被射中五、六千枝箭。保守估計，若每艘船有五千枝箭的話，則船的左右兩側則各需要兩千五百枝。而文中說「各束草千餘個，分布兩邊」，也就是每邊的每個束草至少要被射中 2.5 枝箭，若每個束草的長寬以 150 公分×20公分計算，則船的長度至少需要20公分×1000束草＝20000公分＝200公尺。200 公尺長的船大約是將國小操場一圈拉直的距離，最有可能是孫吳的樓船（孫權五層樓高的大船）或大舡（可載三千人）。史料上並沒有記載樓船與大舡的長度，只是船的長度超過200公尺，不論航行或停靠都非常困難。而且，200 公尺的船並不屬於輕快船，這與原文魯肅撥輕快船二十隻給孔明明顯矛盾。

    2、二十隻船，用長索相連，逕望北岸進發。

另外原文中提到孔明將「二十隻船，用長索相連，逕望北岸進發」。如果孔明將20艘200公尺的船用長索相連，則船的總長度會有20×200＝4000公尺＝4公里。當時曹操的軍隊在長江北邊的烏林紮營，用 Gggole map 可算出赤壁與烏林之間的長江河道寬約 2.1 公里（這是搭汽渡渡輪的距離，並非直線距離，若是直線距離則會比2.1公里更短）。相連4公里的船，若依原文孔明的船從南邊的赤壁出發，逼近北方的烏林的曹營時，會一艘接一艘將河寬佔滿，而無法行駛。

    3、孔明教船隻頭西尾東，一帶擺開⋯⋯。孔明教把船弔回，頭東尾西，逼近水寨受箭⋯⋯。

等船（頭西尾東）右側的束草受完箭時，孔明將船調頭，改成頭東尾西，一方面是要讓船左側的束草受箭，另一方面是等到霧將散去時，可以立即順流而下。這時二十隻用長索相連的船調頭迴轉，也勢必會面臨長江河道2.1公里小於船相連的4公里的距離。一艘200公尺的船，如果要迴轉，迴旋半徑最少需要200公尺，20艘200公尺相連的船，理論上無法在2.1公里寬的河道迴轉。

    4、比及曹軍寨內報知曹操時，這裏船輕水急，已放回二十餘里。

三國時代的一里約為406.8公尺，二十里約為20×406.8公尺＝8136公尺＝8.136公里。

也就是說，當寨內報知曹操時，孔明的船隊已經行駛了8.1公里。這裏的疑點為，若每艘船已經載重5000隻箭，依照60磅拉力的弓，每磅8到10格令（1 grain 格令＝0.065 gram 克）的拉力計算，每隻箭的重量約為：

60×10×0.065＝39公克，5000隻箭的重量為39×5000＝195000公克＝195公斤。

而船上30名士兵，每人重量約為50公斤，共重30×50＝1500公斤。再加上束草左右各千，每個長150公分，寬20公分，重量250公克，共2000個的束草重量為：

2000×250＝500000公克＝500公斤。

保守估計，船在受箭之後重量約為：箭5000隻195公斤，士兵30名1500公斤，2000個束草500公斤，合計共重2195公斤。每艘至少載重2195公斤的船，再加上長度200公尺的體積，無法船輕水急，放回二十餘里，讓曹操無法追趕。

二、曹操那邊的謬誤

毛玠、于禁怕南軍搶入水寨，已差弓弩手在寨前放箭；少頃，旱寨內弓弩手亦到（張遼、徐晃帶弓弩軍三千），約一萬餘人，盡皆向江中放箭：箭如雨發。⋯⋯卻說曹操平白折了十五六萬箭，心中氣悶。

剛開始毛玠、于禁害怕孔明登陸，已經帶了7000名士兵朝孔明的船隻射箭，不久張遼、徐晃又帶3000名弓箭手來助陣。也就是說，曹軍到齊時，約有一萬名的弓箭手。最後原文提到曹操共損失十五六萬隻箭。如果毛玠、于禁帶領的7000名弓箭手，在張遼、徐晃未到達前，每個人發射了3隻箭，需時1分鐘（拿箭直接射出，無須瞄準，因為濃霧中看不見標的物，每隻箭約20秒鐘。）而張遼，徐晃與3000名弓箭手，在五更時（半夜凌晨三點到五點）接到命令，以最快速度整裝就定位，粗估約十分鐘，則7000×3×10＝210000。這時毛玠、于禁所帶領的弓箭手已射出了二十一萬隻箭，如果只以一半的時間攻擊，一半的時間休息，也需要10.5萬隻箭。等到張遼，徐晃到齊之後，加上3000名弓箭手，如果此時恰巧剛好孔明已經調頭迴轉，另外一波萬人齊射，也只花了十分鐘，10000×10×3＝300000，依舊以一半的時間攻擊，一半的時間休息計算，最少也需要15萬隻箭。105000+150000＝2550000。因此，依原文所描述的情節，最保守估計曹操至少已經損失了25.5萬隻箭，非十五六萬隻箭。

參、改寫

三國演義雖是通俗小說，但若讓情節的鋪陳與敘事的邏輯合乎常理，則能使小說更具說服力，在不失想像與創作的前提下，搭配史實與科學讓小說更有價值是改寫初衷與動力。

一、孔明這邊的改寫

為了讓故事流暢不突兀，並搭配末段「船輕水急，放回二十餘里」，因此魯肅私撥給孔明的「輕快船」是必要的，比較合理的做法是改寫船隻的長度。畢竟製造長達200公尺的船隻，即使在擅長水戰的孫吳也絕非易事（目前世界最長的船是諾克‧耐維斯號，長458公尺）。

根據史料記載，當時的輕快船有：蒙衝（中型，外型狹長，水的阻力小，速度快，機動性強，可防禦敵人的箭矢）、舟可（中小型，船行快速，往來如非鷗）、及赤馬（小型，集體作戰，配合其他戰船攻擊）。因此合理的推論以蒙衝最適合。如果船隻過小，收集到十萬隻箭會有困難，而且船隻的數量勢必大量增加。一旦船隻增加太多，或船身太過龐大，就顯得不合常理，因為孔明是私自向魯肅借船，不被周瑜知道。因此根據史料及情節，輕快船的長度為20公尺，船數維持20艘，每艘船受箭量仍為10000÷20＝5000，所以左右兩側一樣各是2500隻箭。因此每側只需各束草百個，每個束草高150公分、寬20公分，100個束草，20×100＝2000公分，總寬度為20公尺，符合情節與史料的描述。

左右兩側各100個束草，每側受箭2500隻，2500÷100＝25，也就是每個束草可受箭25隻。以每個高150公分、寬20公分，150×20＝3000，面積3000平方公分的束草，受箭25隻，平均每隻箭的面積為3000÷25＝120平方公分。也就是一隻箭能夠有半張A4紙的範圍。

因此應將原文「二十隻船，各束草千餘個，分布兩邊」，改寫為「二十隻船，各束草百餘個，分布兩邊」。

此外，20艘20公尺的輕便船相連，長度400公尺，加上迴旋半徑為800公尺，即使烏林與赤壁的寬度不超過2.1公里，孔明的船要在長江調頭迴轉也輕而易舉，合於常理。

最後，若要符合船輕水急，放回二十餘里，各船原三十餘人，士兵人數必須減少，一來減輕船的重量，再者因船的長度縮減，士兵的數量也勢必縮減。合理的推算：

每船約20人，若不作戰，每側只需10人負責行駛。士兵每人50公斤，20人重20×50＝1000公斤，弓箭每隻39公克，5000隻弓箭重5000×39＝195000公克＝195公斤，束草每個250公克，200個束草重量200×250＝50000公克＝50公斤。

受箭之後，每艘船20名士兵，5000隻弓箭，200個束草，共重1245公斤，比起原文2195公斤整整少了950公斤，符合船輕水急的定義。

二、曹操這邊的改寫

原文弓箭手有1萬名，而孔明20艘20公尺相連的輕快船長只有400公尺，若弓箭手體寬50公分，布滿400公尺的江面，約800名弓箭手，若以涵蓋1.5倍的船身600公尺計算，則可有1200弓箭手。若採取一人蹲姿，一人站姿交錯的方式射箭，600公尺的江面，推算最多可以站滿2400名弓箭手。

    因此原文：毛玠、于禁怕南軍搶入水寨，已差弓弩手在寨前放箭；少頃，旱寨內弓弩手亦到（張遼、徐晃帶弓弩軍三千），約一萬餘人。應改為：張遼、徐晃帶弓弩軍一千，加上毛玠、于禁約兩千餘人。

而這也符合曹操損失十五、六萬隻箭的描述，以2400名弓箭手射出16萬隻箭來計算160000÷2400＝66.66，每名弓箭手平均約射出66至67隻箭。以每人每分鐘3隻箭的速度，需時66÷2＝22分鐘，而張遼，徐晃未趕到水寨前，只有約1千名弓箭手，攻擊時間約可延長一半，22×1.5＝33。也就是說從毛玠、于禁領兵射擊到張遼、徐晃趕到，到攻擊結束至少花了33分鐘，加上休息、補給弓箭的時間共約40～60分鐘，這也符合孔明將船調頭迴轉的時間。

三、原文重新改寫如下^[1]

瑜曰：「先生之言，甚合愚意。但今軍中正缺箭用，敢煩先生監造十萬枝箭，以為應敵之具。此係公事，先生幸勿推卸。」

孔明曰：「今日已不及，來日起造。至第三日，可差五百小軍至江邊搬箭。」

孔明曰：「『望子敬借我二十隻船，各束草百餘個，分布兩邊』。第三日包管有十萬枝箭。」

卻說魯肅私自撥輕快船二十隻，各船三十餘人，並束布幔等物，盡皆齊備，候孔明調用。

至第三日四更時分，遂命將二十隻船，用長索相連，逕望北岸進發。當夜五更時候，船已近曹操水寨。孔明教船隻頭西尾東，一帶擺開，就船上擂鼓吶喊。

操傳令曰：「重霧迷江，彼軍忽至，必有埋伏，切不可輕動。可撥水軍弓弩手亂箭射之。」又差人往旱寨喚張遼、徐晃帶弓弩軍一千，火速到江邊助射。

    比及號令到來，毛玠、于禁怕南軍搶入水寨，已差弓弩手在寨前放箭；少頃，旱寨內弓弩手亦到張遼、徐晃帶弓弩軍一千，加上毛玠、于禁約兩千餘人，盡皆向江中放箭：箭如雨發。

孔明教把船弔回，頭東尾西，逼近水寨受箭，一面擂鼓吶喊。待至日高霧散，孔明令收船急回。二十隻船兩邊束草上，排滿箭枝。

卻說曹操平白折了十五六萬隻箭，心中氣悶。

肆、結論

想像乃奠基於事實之上，用數學邏輯考據通俗小說，並予以重新改寫，讓原本已經膾炙人口的小說，能在不失想像又符合邏輯推演的情境下，兼具科學理性與文學感性，更增添其價值。

伍、參考資料

[1] 改寫自羅貫中著，三國演義，桂冠圖書出版，1992年再版，頁405～409。

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