皮亞諾誕辰 │ 科學史上的今天：8/27

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位

• 採訪編輯／郭雅欣，美術編輯／林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中，以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何，顛覆了牛頓的古典時空概念，並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象，後來一一獲得驗證。

不過，在愛因斯坦建構重力方程式的過程，幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新，在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」，跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了，你真的懂幾何學嗎？

大家都聽過「一個成功的男人，背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過，一個成功的物理學家，背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功，就是一個經典的例子。2

「幾何學，不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形？怎麼會跟相對論扯上關係呢？」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」，是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎，歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何，例如：建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念，就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中，所有度量的幾何量和選取的座標無關，例如兩點間的「長度」，是存在於黎曼幾何的內在性質，而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性，後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後，便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中，空間中的質量分布會產生重力場，也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布，就能找出每一點的重力位能。

然而，如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量，立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定，推導出質量會隨著速度而改變，這意味著，當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面，另一人在等速前進的火車上，兩人看待的物體質量也會不同。

那麼，宇宙中的質量分布及重力場，不就會受到座標的不同影響了嗎？

由於在愛因斯坦發展重力理論之前，著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下，數學形式都不會改變，稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信，重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式，不會因為座標改變而不同。於是，愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似，其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言，至少在他的附近，重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布，此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣，包含了 10 個分量，速度、動量等等項目都能含括進去，才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中，質量分布是重力場（位能） 二次微分的結果，所以愛因斯坦希望能找到另一個（也必須是二階） 張量，其二次微分可以得到描述質量分佈的張量，此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙，格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說，黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關，建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此，如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量，或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我，不然我要瘋了！——愛因斯坦給格羅斯曼的信

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後，發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor)，剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式，於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表，並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的，太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點，而軌道上最靠近這個焦點的位置，就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的，軌道本身也會慢慢的旋轉，也就是近日點的位置會一點點的改變，每一次行星繞到近日點時，位置都會和上一次有些許不同，稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內，水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒，牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

https://www.youtube.com/watch?v=NXlg3nTqSnk

「當時的重力方程式雖然還沒有完整，但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事：「不過，愛因斯坦當時並沒有成功解釋，可能是……他算錯了。」

總之，愛因斯坦的方程式還未完整，旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來，雖然找到了里奇曲率張量，但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項，才能讓方程式完整。

1915 年，愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講，邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert)，在那次見面交流的過程中，希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來，希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作，並在一次信件往返中，向愛因斯坦提出可以利用變分方法及最小作用量原理，來推導出完整的重力方程式。

愛因斯坦於該年 11 月，發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式，對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰，也引起了許多討論。但可以確定的是，希爾伯特在數學上提供的協助，是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦，儘管如此，做出廣義相對論的是愛因斯坦，而非數學家！——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特，幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中，擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新，對於數學時常在物理研究提供重要協助，有怎樣的看法呢？

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色？

幾何學有點像宇宙的「法身」，這是宗教的用語，就是描述這個真正世界背後的道理，用的是數學的語言。我們看得見這個世界，但我們看不見數學語言，幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論，後來卻在真實世界找到應用，您怎麼看？

因為如此，所以我們做理論的，有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時，許多人都保持懷疑的態度，總覺得是從數學公式預測出來的，雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的，應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義？真的有這樣的東西存在呢？我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現，宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體，有些是以雙星的系統彼此繞行，才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波，後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角，您覺得宇宙是什麼樣子？

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的，無限且沒有邊界，但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球，也可以膨脹，它沒有邊界，但是有限的。

在數學上如果曲率夠大，是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率，可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以，如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布，很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中，數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色？

幾何學或數學不會只對重力有幫助，尤其是幾何學，它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛，或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助，只是生命科學的發展可能還很零散。

不過，就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究，後來才慢慢統合成馬克士威方程式，或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來，然後有人看出裡面好像有某個數學觀念，可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣，很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了，正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物，原文為〈幾何學－愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位