皮亞諾誕辰 │ 科學史上的今天：8/27

2015/08/27 |

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1854 年，兩顆丟到數學之池的石子，激起了不斷擴散的漣漪，對現代數學的發展產生巨大的影響。

一是英國數學家布爾發明布爾代數（或稱布林代數），將自亞里斯多德以降，超過兩千年歷史的邏輯學改用明確的數學符號表示，還賦予可以判定命題真假的運算規則。自此數學家們紛紛致力於建立符號化的邏輯系統，而衍生出全新的數理邏輯。

另一個則是德國數學家黎曼發表了超越平面幾何的黎曼幾何，推翻歐幾里得兩千年來無庸置疑的平行公設。自此數學家們不得不回頭檢視向來視為理所當然的基本觀念與定義。例如算術中最基本的自然數如何定義？啊不就「1、2、3、4、5、……，以此類推」？但這樣並未定義如何類推，無法保證涵蓋範圍，因此是無法被數學家接受的。

1889 年，義大利數學家皮亞諾（Giuseppe Peano, 1858－1932）發表了影響深遠的「皮亞諾公設」。他仿效布爾發明邏輯符號，只用 0 與「後繼數」這兩個概念，就簡潔地賦予自然數嚴格完整的定義。當自然數的概念建立起來，就可以以它為基礎，嚴密地定義整數、有理數、實數，現代分析學才得以展開。

皮亞諾公設若以文字表達，可以整理成下列五條：

0 是自然數；（當時仍把 0 當成自然數）
如果 a 是自然數，則 a 的後繼數也是自然數；
0 不是任何自然數的後繼數；
如果兩個自然數的後繼數相等，則這兩個自然數相等；
如果有一個自然數的集合 S 包含 0，同時，任一個自然數只要在 S 之中，它的後繼數也一定在 S 之中的話，則 S 包含所有自然數。

其中第五條公設可以用骨牌來比喻：有排望不見盡頭的骨牌，如果知道第一張骨牌會倒，同時其中任一張骨牌倒下也會使下一張倒下的話，那麼這列骨牌全部都會倒。這條公設首度賦予數學歸納法邏輯基礎，自此數學歸納法才成為數學證明的普遍方法；沒有它，一大堆定理就都無法成立。

皮亞諾公設的影響無遠弗屆，幾乎所有重要的數理邏輯和現代集合論的定理都直接或間接與它有關。羅素就是在 1900 年的第一屆國際哲學會議上遇見皮亞諾，得知他的傑作後才受到啟發，決心仿效皮亞諾的作法，而與懷海德花了十年時間撰寫出曠世巨著《數學原理》，試圖從頭打造一個「形式化」的數學體系。後來哥德爾以「不完備定理」粉碎羅素等人的夢想，關鍵也在於皮亞諾公設，不過這已是後話了。