皮亞諾誕辰 │ 科學史上的今天：8/27

本文與 PAMO車禍線上律師 合作，泛科學企劃執行

走在台灣的街頭，你是否發現馬路變得越來越「急躁」？滿街穿梭的外送員、分秒必爭的多元計程車，為了拚單量與獎金，每個人都在跟時間賽跑 。與此同時，拜經濟發展所賜，路上的豪車也變多了 。

這場關於速度與金錢的博弈，讓車禍不再只是一場意外，更是一場複雜的經濟算計。PAMO 車禍線上律師施尚宏律師在接受《思想實驗室 video podcast》訪談時指出，我們正處於一個交通生態的轉折點，當「把車當生財工具」的職業駕駛，撞上了「將車視為珍貴資產」的豪車車主，傳統的理賠邏輯往往會失靈 。

在「停工即停薪」（有跑才有錢，沒跑就沒收入）的零工經濟時代，如果運氣不好遇上車禍，我們該如何證明自己的時間價值？又該如何在保險無法覆蓋的灰色地帶中全身而退？

薪資證明的難題：零工經濟者的「隱形損失」

過去處理車禍理賠，邏輯相對單純：拿出公司的薪資單或扣繳憑單，計算這幾個月的平均薪資，就能算出因傷停工的「薪資損失」。

但在零工經濟時代，這套邏輯卡關了！施尚宏律師指出，許多外送員、自由接案者或是工地打工者，他們的收入往往是領現金，或者分散在多個不同的 App 平台中 。更麻煩的是，零工經濟的特性是「高度變動」，上個月可能拚了 7 萬，這個月休息可能只有 0 元，導致「平均收入」難以定義 。

這時候，律師的角色就不只是法條的背誦者，更像是一名「翻譯」。

施律師解釋「PAMO車禍線上律師的工作是把外送員口中零散的『跑單損失』，轉譯成法官或保險公司聽得懂的法律語言。」 這包括將不同平台（如 Uber、台灣大車隊）的流水帳整合，或是找出過往的接單紀錄來證明當事人的「勞動能力」。即使當下沒有收入（例如學生開學期間），只要能證明過往的接單能力與紀錄，在談判桌上就有籌碼要求合理的「勞動力減損賠償 」。

300 萬張罰單背後的僥倖：你的直覺，正在害死你

根據警政署統計，台灣交通違規的第一名常年是「違規停車」，一年可以開出約 300 萬張罰單 。這龐大的數字背後，藏著兩個台灣駕駛人最容易誤判的「直覺陷阱」。

陷阱 A：我在紅線違停，人還在車上，沒撞到也要負責？ 許多人認為：「我人就在車上，車子也沒動，甚至是熄火狀態。結果一台機車為了閃避我，自己操作不當摔倒了，這關我什麼事？」

施律師警告，這是一個致命的陷阱。「人在車上」或「車子沒動」在法律上並不是免死金牌 。法律看重的是「因果關係」。只要你的違停行為阻礙了視線或壓縮了車道，導致後方車輛必須閃避而發生事故，你就可能必須背負民事賠償責任，甚至揹上「過失傷害」的刑責 。 

數據會說話： 台灣每年約有 700 件車禍是直接因違規停車導致的 。這 300 萬張罰單背後的僥倖心態，其巨大的代價可能是人命。

陷阱 B：變換車道沒擦撞，對方自己嚇到摔車也算我的？ 另一個常年霸榜的肇事原因是「變換車道不當」 。如果你切換車道時，後方騎士因為嚇到而摔車，但你感覺車身「沒震動、沒碰撞」，能不能直接開走？

答案是：絕對不行。

施律師強調，車禍不以「碰撞」為前提 。只要你的駕駛行為與對方的事故有因果關係，你若直接離開現場，在法律上就構成了「肇事逃逸」。這是一條公訴罪，後果遠比你想像的嚴重。正確的做法永遠是：停下來報警，釐清責任，並保留行車記錄器自保 。

保險不夠賠？豪車時代的「超額算計」

另一個現代駕駛的惡夢，是撞到豪車。這不僅是因為修車費貴，更因為衍生出的「代步費用」驚人。

施律師舉例，過去撞到車，只要把車修好就沒事。但現在如果撞到一台 BMW 320，車主可能會主張修車的 8 天期間，他需要租一台同等級的 BMW 320 來代步 。以一天租金 4000 元計算，光是代步費就多了 3 萬多塊 。這時候，一般人會發現「全險」竟然不夠用。為什麼？

因為保險公司承擔的是「合理的賠償責任」，他們有內部的數據庫，只願意賠償一般行情的修車費或代步費 。但對方車主可能不這麼想，為了拿到這筆額外的錢，對方可能會採取「以刑逼民」的策略：提告過失傷害，利用刑事訴訟的壓力（背上前科的恐懼），迫使你自掏腰包補足保險公司不願賠償的差額 。

這就是為什麼在全險之外，駕駛人仍需要懂得談判策略，或考慮尋求律師協助，在保險公司與對方的漫天喊價之間，找到一個停損點 。

談判桌的最佳姿態：「溫柔而堅定」最有效？

除了有單據的財損，車禍中最難談判的往往是「精神慰撫金」。施律師直言，這在法律上沒有公式，甚至有點像「開獎」，高度依賴法官的自由心證 。

雖然保險公司內部有一套簡單的算法（例如醫療費用的 2 到 5 倍），但到了法院，法官會考量雙方的社會地位、傷勢嚴重程度 。在缺乏標準公式的情況下，正確的「態度」能幫您起到加分效果。

施律師建議，在談判桌上最好的姿態是「溫柔而堅定」。有些人會試圖「扮窮」或「裝兇」，這通常會有反效果。特別是面對看過無數案件的保險理賠員，裝兇只會讓對方心裡想著：「進了法院我保證你一毛都拿不到，準備看你笑話」。

相反地，如果你能客氣地溝通，但手中握有完整的接單紀錄、醫療單據，清楚知道自己的底線與權益，這種「堅定」反而能讓談判對手買單，甚至在證明不足的情況下（如外送員的開學期間收入），更願意採信你的主張 。

車禍不只是一場意外，它是認知、情緒、金錢與法律邏輯的總和 。

在這個交通環境日益複雜的時代，無論你是為了生計奔波的職業駕駛，還是天天上路的通勤族，光靠保險或許已經不夠。大部分的車禍其實都是小案子，可能只是賠償 2000 元的輕微擦撞，或是責任不明的糾紛。為了這點錢，要花幾萬塊請律師打官司絕對「不划算」。但當事人往往會因為資訊落差，恐懼於「會不會被告肇逃？」、「會不會留案底？」、「賠償多少才合理？」而整夜睡不著覺 。

PAMO看準了這個「焦慮商機」， 推出了一種顛覆傳統的解決方案——「年費 1200 元的訂閱制法律服務 」。

這就像是「法律界的 Netflix」或「汽車強制險」的概念。PAMO 的核心邏輯不是「代打」，而是「賦能」。不同於傳統律師收費高昂，PAMO 提倡的是「大腦武裝」，當車禍發生時，線上律師團提供策略，教你怎麼做筆錄、怎麼蒐證、怎麼判斷對方開價合不合理等。

施律師表示，他們的目標是讓客戶在面對不確定的風險時，背後有個軍師，能安心地睡個好覺 。平時保留好收入證明、發生事故時懂得不亂說話、與各方談判時掌握對應策略 。

從違停的陷阱到訂閱制的解方，我們正處於交通與法律的轉型期。未來，挑戰將更加嚴峻。

當 AI 與自駕車（Level 4/5）真正上路，一旦發生事故，責任主體將從「駕駛人」轉向「車廠」或「演算法系統」 。屆時，誰該負責？怎麼舉證？

但在那天來臨之前，面對馬路上的豪車、零工騎士與法律陷阱，你選擇相信運氣，還是相信策略？ 先「武裝好自己的大腦」，或許才是現代駕駛人最明智的保險。

PAMO車禍線上律師官網：https://pse.is/8juv6k 

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位

• 採訪編輯／郭雅欣，美術編輯／林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中，以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何，顛覆了牛頓的古典時空概念，並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象，後來一一獲得驗證。

不過，在愛因斯坦建構重力方程式的過程，幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新，在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」，跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了，你真的懂幾何學嗎？

大家都聽過「一個成功的男人，背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過，一個成功的物理學家，背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功，就是一個經典的例子。2

「幾何學，不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形？怎麼會跟相對論扯上關係呢？」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」，是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎，歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何，例如：建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念，就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中，所有度量的幾何量和選取的座標無關，例如兩點間的「長度」，是存在於黎曼幾何的內在性質，而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性，後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後，便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中，空間中的質量分布會產生重力場，也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布，就能找出每一點的重力位能。

然而，如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量，立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定，推導出質量會隨著速度而改變，這意味著，當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面，另一人在等速前進的火車上，兩人看待的物體質量也會不同。

那麼，宇宙中的質量分布及重力場，不就會受到座標的不同影響了嗎？

由於在愛因斯坦發展重力理論之前，著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下，數學形式都不會改變，稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信，重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式，不會因為座標改變而不同。於是，愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似，其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言，至少在他的附近，重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布，此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣，包含了 10 個分量，速度、動量等等項目都能含括進去，才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中，質量分布是重力場（位能） 二次微分的結果，所以愛因斯坦希望能找到另一個（也必須是二階） 張量，其二次微分可以得到描述質量分佈的張量，此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙，格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說，黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關，建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此，如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量，或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我，不然我要瘋了！——愛因斯坦給格羅斯曼的信

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後，發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor)，剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式，於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表，並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的，太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點，而軌道上最靠近這個焦點的位置，就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的，軌道本身也會慢慢的旋轉，也就是近日點的位置會一點點的改變，每一次行星繞到近日點時，位置都會和上一次有些許不同，稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內，水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒，牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

https://www.youtube.com/watch?v=NXlg3nTqSnk

「當時的重力方程式雖然還沒有完整，但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事：「不過，愛因斯坦當時並沒有成功解釋，可能是……他算錯了。」

總之，愛因斯坦的方程式還未完整，旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來，雖然找到了里奇曲率張量，但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項，才能讓方程式完整。

1915 年，愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講，邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert)，在那次見面交流的過程中，希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來，希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作，並在一次信件往返中，向愛因斯坦提出可以利用變分方法及最小作用量原理，來推導出完整的重力方程式。

愛因斯坦於該年 11 月，發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式，對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰，也引起了許多討論。但可以確定的是，希爾伯特在數學上提供的協助，是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦，儘管如此，做出廣義相對論的是愛因斯坦，而非數學家！——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特，幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中，擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新，對於數學時常在物理研究提供重要協助，有怎樣的看法呢？

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色？

幾何學有點像宇宙的「法身」，這是宗教的用語，就是描述這個真正世界背後的道理，用的是數學的語言。我們看得見這個世界，但我們看不見數學語言，幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論，後來卻在真實世界找到應用，您怎麼看？

因為如此，所以我們做理論的，有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時，許多人都保持懷疑的態度，總覺得是從數學公式預測出來的，雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的，應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義？真的有這樣的東西存在呢？我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現，宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體，有些是以雙星的系統彼此繞行，才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波，後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角，您覺得宇宙是什麼樣子？

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的，無限且沒有邊界，但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球，也可以膨脹，它沒有邊界，但是有限的。

在數學上如果曲率夠大，是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率，可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以，如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布，很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中，數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色？

幾何學或數學不會只對重力有幫助，尤其是幾何學，它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛，或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助，只是生命科學的發展可能還很零散。

不過，就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究，後來才慢慢統合成馬克士威方程式，或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來，然後有人看出裡面好像有某個數學觀念，可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣，很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了，正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物，原文為〈幾何學－愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位