皮亞諾誕辰 │ 科學史上的今天：8/27

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位

• 採訪編輯／郭雅欣，美術編輯／林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中，以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何，顛覆了牛頓的古典時空概念，並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象，後來一一獲得驗證。

不過，在愛因斯坦建構重力方程式的過程，幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新，在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」，跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了，你真的懂幾何學嗎？

大家都聽過「一個成功的男人，背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過，一個成功的物理學家，背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功，就是一個經典的例子。2

「幾何學，不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形？怎麼會跟相對論扯上關係呢？」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」，是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎，歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何，例如：建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念，就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中，所有度量的幾何量和選取的座標無關，例如兩點間的「長度」，是存在於黎曼幾何的內在性質，而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性，後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後，便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中，空間中的質量分布會產生重力場，也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布，就能找出每一點的重力位能。

然而，如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量，立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定，推導出質量會隨著速度而改變，這意味著，當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面，另一人在等速前進的火車上，兩人看待的物體質量也會不同。

那麼，宇宙中的質量分布及重力場，不就會受到座標的不同影響了嗎？

由於在愛因斯坦發展重力理論之前，著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下，數學形式都不會改變，稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信，重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式，不會因為座標改變而不同。於是，愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似，其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言，至少在他的附近，重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布，此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣，包含了 10 個分量，速度、動量等等項目都能含括進去，才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中，質量分布是重力場（位能） 二次微分的結果，所以愛因斯坦希望能找到另一個（也必須是二階） 張量，其二次微分可以得到描述質量分佈的張量，此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙，格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說，黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關，建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此，如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量，或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我，不然我要瘋了！——愛因斯坦給格羅斯曼的信

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後，發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor)，剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式，於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表，並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的，太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點，而軌道上最靠近這個焦點的位置，就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的，軌道本身也會慢慢的旋轉，也就是近日點的位置會一點點的改變，每一次行星繞到近日點時，位置都會和上一次有些許不同，稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內，水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒，牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

「當時的重力方程式雖然還沒有完整，但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事：「不過，愛因斯坦當時並沒有成功解釋，可能是……他算錯了。」

總之，愛因斯坦的方程式還未完整，旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來，雖然找到了里奇曲率張量，但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項，才能讓方程式完整。

1915 年，愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講，邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert)，在那次見面交流的過程中，希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來，希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作，並在一次信件往返中，向愛因斯坦提出可以利用變分方法及最小作用量原理，來推導出完整的重力方程式。

愛因斯坦於該年 11 月，發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式，對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰，也引起了許多討論。但可以確定的是，希爾伯特在數學上提供的協助，是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦，儘管如此，做出廣義相對論的是愛因斯坦，而非數學家！——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特，幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中，擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新，對於數學時常在物理研究提供重要協助，有怎樣的看法呢？

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色？

幾何學有點像宇宙的「法身」，這是宗教的用語，就是描述這個真正世界背後的道理，用的是數學的語言。我們看得見這個世界，但我們看不見數學語言，幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論，後來卻在真實世界找到應用，您怎麼看？

因為如此，所以我們做理論的，有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時，許多人都保持懷疑的態度，總覺得是從數學公式預測出來的，雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的，應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義？真的有這樣的東西存在呢？我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現，宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體，有些是以雙星的系統彼此繞行，才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波，後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角，您覺得宇宙是什麼樣子？

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的，無限且沒有邊界，但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球，也可以膨脹，它沒有邊界，但是有限的。

在數學上如果曲率夠大，是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率，可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以，如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布，很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中，數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色？

幾何學或數學不會只對重力有幫助，尤其是幾何學，它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛，或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助，只是生命科學的發展可能還很零散。

不過，就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究，後來才慢慢統合成馬克士威方程式，或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來，然後有人看出裡面好像有某個數學觀念，可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣，很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了，正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物，原文為〈幾何學－愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 國中組專題報導類銅獎之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：陳以恩／宜蘭縣立復興國中

壹、研究動機

三國演義是一部膾炙人口的通俗小說，小說中超現實的情節固然引人入勝。但是，千古流傳的文學瑰寶若能符合科學的論述，則能更增添其可讀性。因此我們以三國演義中最被津津樂道的「孔明借箭」為例，試著找出其中的不合理處並改寫，使之能兼具理性與感性，增添其文學價值。

貳、重讀，找疑點

一、孔明這邊的謬誤

1、卻說魯肅私自撥輕快船二十隻⋯⋯候孔明調用。二十隻船，各束草千餘個，分布兩邊。

周瑜要孔明造十萬枝箭，孔明向魯肅借了二十艘船，平均每艘船約被射中五、六千枝箭。保守估計，若每艘船有五千枝箭的話，則船的左右兩側則各需要兩千五百枝。而文中說「各束草千餘個，分布兩邊」，也就是每邊的每個束草至少要被射中 2.5 枝箭，若每個束草的長寬以 150 公分×20公分計算，則船的長度至少需要20公分×1000束草＝20000公分＝200公尺。200 公尺長的船大約是將國小操場一圈拉直的距離，最有可能是孫吳的樓船（孫權五層樓高的大船）或大舡（可載三千人）。史料上並沒有記載樓船與大舡的長度，只是船的長度超過200公尺，不論航行或停靠都非常困難。而且，200 公尺的船並不屬於輕快船，這與原文魯肅撥輕快船二十隻給孔明明顯矛盾。

    2、二十隻船，用長索相連，逕望北岸進發。

另外原文中提到孔明將「二十隻船，用長索相連，逕望北岸進發」。如果孔明將20艘200公尺的船用長索相連，則船的總長度會有20×200＝4000公尺＝4公里。當時曹操的軍隊在長江北邊的烏林紮營，用 Gggole map 可算出赤壁與烏林之間的長江河道寬約 2.1 公里（這是搭汽渡渡輪的距離，並非直線距離，若是直線距離則會比2.1公里更短）。相連4公里的船，若依原文孔明的船從南邊的赤壁出發，逼近北方的烏林的曹營時，會一艘接一艘將河寬佔滿，而無法行駛。

    3、孔明教船隻頭西尾東，一帶擺開⋯⋯。孔明教把船弔回，頭東尾西，逼近水寨受箭⋯⋯。

等船（頭西尾東）右側的束草受完箭時，孔明將船調頭，改成頭東尾西，一方面是要讓船左側的束草受箭，另一方面是等到霧將散去時，可以立即順流而下。這時二十隻用長索相連的船調頭迴轉，也勢必會面臨長江河道2.1公里小於船相連的4公里的距離。一艘200公尺的船，如果要迴轉，迴旋半徑最少需要200公尺，20艘200公尺相連的船，理論上無法在2.1公里寬的河道迴轉。

    4、比及曹軍寨內報知曹操時，這裏船輕水急，已放回二十餘里。

三國時代的一里約為406.8公尺，二十里約為20×406.8公尺＝8136公尺＝8.136公里。

也就是說，當寨內報知曹操時，孔明的船隊已經行駛了8.1公里。這裏的疑點為，若每艘船已經載重5000隻箭，依照60磅拉力的弓，每磅8到10格令（1 grain 格令＝0.065 gram 克）的拉力計算，每隻箭的重量約為：

60×10×0.065＝39公克，5000隻箭的重量為39×5000＝195000公克＝195公斤。

而船上30名士兵，每人重量約為50公斤，共重30×50＝1500公斤。再加上束草左右各千，每個長150公分，寬20公分，重量250公克，共2000個的束草重量為：

2000×250＝500000公克＝500公斤。

保守估計，船在受箭之後重量約為：箭5000隻195公斤，士兵30名1500公斤，2000個束草500公斤，合計共重2195公斤。每艘至少載重2195公斤的船，再加上長度200公尺的體積，無法船輕水急，放回二十餘里，讓曹操無法追趕。

二、曹操那邊的謬誤

毛玠、于禁怕南軍搶入水寨，已差弓弩手在寨前放箭；少頃，旱寨內弓弩手亦到（張遼、徐晃帶弓弩軍三千），約一萬餘人，盡皆向江中放箭：箭如雨發。⋯⋯卻說曹操平白折了十五六萬箭，心中氣悶。

剛開始毛玠、于禁害怕孔明登陸，已經帶了7000名士兵朝孔明的船隻射箭，不久張遼、徐晃又帶3000名弓箭手來助陣。也就是說，曹軍到齊時，約有一萬名的弓箭手。最後原文提到曹操共損失十五六萬隻箭。如果毛玠、于禁帶領的7000名弓箭手，在張遼、徐晃未到達前，每個人發射了3隻箭，需時1分鐘（拿箭直接射出，無須瞄準，因為濃霧中看不見標的物，每隻箭約20秒鐘。）而張遼，徐晃與3000名弓箭手，在五更時（半夜凌晨三點到五點）接到命令，以最快速度整裝就定位，粗估約十分鐘，則7000×3×10＝210000。這時毛玠、于禁所帶領的弓箭手已射出了二十一萬隻箭，如果只以一半的時間攻擊，一半的時間休息，也需要10.5萬隻箭。等到張遼，徐晃到齊之後，加上3000名弓箭手，如果此時恰巧剛好孔明已經調頭迴轉，另外一波萬人齊射，也只花了十分鐘，10000×10×3＝300000，依舊以一半的時間攻擊，一半的時間休息計算，最少也需要15萬隻箭。105000+150000＝2550000。因此，依原文所描述的情節，最保守估計曹操至少已經損失了25.5萬隻箭，非十五六萬隻箭。

參、改寫

三國演義雖是通俗小說，但若讓情節的鋪陳與敘事的邏輯合乎常理，則能使小說更具說服力，在不失想像與創作的前提下，搭配史實與科學讓小說更有價值是改寫初衷與動力。

一、孔明這邊的改寫

為了讓故事流暢不突兀，並搭配末段「船輕水急，放回二十餘里」，因此魯肅私撥給孔明的「輕快船」是必要的，比較合理的做法是改寫船隻的長度。畢竟製造長達200公尺的船隻，即使在擅長水戰的孫吳也絕非易事（目前世界最長的船是諾克‧耐維斯號，長458公尺）。

根據史料記載，當時的輕快船有：蒙衝（中型，外型狹長，水的阻力小，速度快，機動性強，可防禦敵人的箭矢）、舟可（中小型，船行快速，往來如非鷗）、及赤馬（小型，集體作戰，配合其他戰船攻擊）。因此合理的推論以蒙衝最適合。如果船隻過小，收集到十萬隻箭會有困難，而且船隻的數量勢必大量增加。一旦船隻增加太多，或船身太過龐大，就顯得不合常理，因為孔明是私自向魯肅借船，不被周瑜知道。因此根據史料及情節，輕快船的長度為20公尺，船數維持20艘，每艘船受箭量仍為10000÷20＝5000，所以左右兩側一樣各是2500隻箭。因此每側只需各束草百個，每個束草高150公分、寬20公分，100個束草，20×100＝2000公分，總寬度為20公尺，符合情節與史料的描述。

左右兩側各100個束草，每側受箭2500隻，2500÷100＝25，也就是每個束草可受箭25隻。以每個高150公分、寬20公分，150×20＝3000，面積3000平方公分的束草，受箭25隻，平均每隻箭的面積為3000÷25＝120平方公分。也就是一隻箭能夠有半張A4紙的範圍。

因此應將原文「二十隻船，各束草千餘個，分布兩邊」，改寫為「二十隻船，各束草百餘個，分布兩邊」。

此外，20艘20公尺的輕便船相連，長度400公尺，加上迴旋半徑為800公尺，即使烏林與赤壁的寬度不超過2.1公里，孔明的船要在長江調頭迴轉也輕而易舉，合於常理。

最後，若要符合船輕水急，放回二十餘里，各船原三十餘人，士兵人數必須減少，一來減輕船的重量，再者因船的長度縮減，士兵的數量也勢必縮減。合理的推算：

每船約20人，若不作戰，每側只需10人負責行駛。士兵每人50公斤，20人重20×50＝1000公斤，弓箭每隻39公克，5000隻弓箭重5000×39＝195000公克＝195公斤，束草每個250公克，200個束草重量200×250＝50000公克＝50公斤。

受箭之後，每艘船20名士兵，5000隻弓箭，200個束草，共重1245公斤，比起原文2195公斤整整少了950公斤，符合船輕水急的定義。

二、曹操這邊的改寫

原文弓箭手有1萬名，而孔明20艘20公尺相連的輕快船長只有400公尺，若弓箭手體寬50公分，布滿400公尺的江面，約800名弓箭手，若以涵蓋1.5倍的船身600公尺計算，則可有1200弓箭手。若採取一人蹲姿，一人站姿交錯的方式射箭，600公尺的江面，推算最多可以站滿2400名弓箭手。

    因此原文：毛玠、于禁怕南軍搶入水寨，已差弓弩手在寨前放箭；少頃，旱寨內弓弩手亦到（張遼、徐晃帶弓弩軍三千），約一萬餘人。應改為：張遼、徐晃帶弓弩軍一千，加上毛玠、于禁約兩千餘人。

而這也符合曹操損失十五、六萬隻箭的描述，以2400名弓箭手射出16萬隻箭來計算160000÷2400＝66.66，每名弓箭手平均約射出66至67隻箭。以每人每分鐘3隻箭的速度，需時66÷2＝22分鐘，而張遼，徐晃未趕到水寨前，只有約1千名弓箭手，攻擊時間約可延長一半，22×1.5＝33。也就是說從毛玠、于禁領兵射擊到張遼、徐晃趕到，到攻擊結束至少花了33分鐘，加上休息、補給弓箭的時間共約40～60分鐘，這也符合孔明將船調頭迴轉的時間。

三、原文重新改寫如下^[1]

瑜曰：「先生之言，甚合愚意。但今軍中正缺箭用，敢煩先生監造十萬枝箭，以為應敵之具。此係公事，先生幸勿推卸。」

孔明曰：「今日已不及，來日起造。至第三日，可差五百小軍至江邊搬箭。」

孔明曰：「『望子敬借我二十隻船，各束草百餘個，分布兩邊』。第三日包管有十萬枝箭。」

卻說魯肅私自撥輕快船二十隻，各船三十餘人，並束布幔等物，盡皆齊備，候孔明調用。

至第三日四更時分，遂命將二十隻船，用長索相連，逕望北岸進發。當夜五更時候，船已近曹操水寨。孔明教船隻頭西尾東，一帶擺開，就船上擂鼓吶喊。

操傳令曰：「重霧迷江，彼軍忽至，必有埋伏，切不可輕動。可撥水軍弓弩手亂箭射之。」又差人往旱寨喚張遼、徐晃帶弓弩軍一千，火速到江邊助射。

    比及號令到來，毛玠、于禁怕南軍搶入水寨，已差弓弩手在寨前放箭；少頃，旱寨內弓弩手亦到張遼、徐晃帶弓弩軍一千，加上毛玠、于禁約兩千餘人，盡皆向江中放箭：箭如雨發。

孔明教把船弔回，頭東尾西，逼近水寨受箭，一面擂鼓吶喊。待至日高霧散，孔明令收船急回。二十隻船兩邊束草上，排滿箭枝。

卻說曹操平白折了十五六萬隻箭，心中氣悶。

肆、結論

想像乃奠基於事實之上，用數學邏輯考據通俗小說，並予以重新改寫，讓原本已經膾炙人口的小說，能在不失想像又符合邏輯推演的情境下，兼具科學理性與文學感性，更增添其價值。

伍、參考資料

[1] 改寫自羅貫中著，三國演義，桂冠圖書出版，1992年再版，頁405～409。

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