哥德爾誕辰│科學史上的今天：4/28

2015/04/28 |

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自從十九世紀中期，黎曼等人推翻了兩千多年來顛撲不破的平行公設後，數學家們明白不能再憑直覺接受所謂不證自明的公設或定理，決心從地基開始，重新打造完美無瑕的數學體系。希爾伯特在一九二○年代提出的「希爾伯特計劃」明白地訂出目標：用嚴格的形式化語言表達所有數學陳述，並能滿足完備性與一致性。

所謂完備性就是指系統內的合法陳述都能被證明真偽，而一致性則是要求這個系統不能推導出互相矛盾的結論。這不是應有的基本要求嗎？是沒錯，在有限度的範圍內或許沒問題，但是要確保一個完整的體系完全滿足這兩個條件可不容易，如前面所說，不能再任意定出一些公設，必須小心翼翼地確定每一步都在堅實的水泥地上；所以羅素與懷海德才會花了十年的時間只完成《數學原理》的前三冊，而其中光證明 1+1=2 就花了 362 頁！

即使困難，大家仍樂觀地努力追尋這個聖杯，就像希爾伯特 1930 年退休時發表演說的結語詞：「我們必須知道，我們將會知道！」

不料，就在第二年，25 歲的年輕奧地利數學家哥德爾發表了一篇石破天驚的論文。他證明了任何一個足夠強的公設系統不可能同時具有一致性與完備性，也就是具有一致性的系統必定存在無法證明真偽的陳述；而且這個系統無法證明本身的一致性（只能從系統外部證明它沒自相矛盾）。

這個「哥德爾不完備定理」摧毀了數學界與哲學界的一貫信念，正式宣判聖杯只是幻影，任何努力只是徒勞，大家可以散矣！馮．紐曼聞之當下即嘆：「一切都結束了。」

哥德爾因此躋身大師之列，卻始終孤僻沉默。二次大戰爆發後，他也逃離德國，來到普林斯頓研究所，與大他 27 歲、個性大相逕庭的愛因斯坦成為摯友，常可看見兩人一起散步校園的身影。愛因斯坦晚年曾說自己的工作沒啥意思，進研究室就只為了有榮幸同哥德爾一起散步回家。而哥德爾竟也研究起物理，還得出廣義相對論中一個允許時間旅行回到過去的解。

哥德爾晚年得了嚴重的妄想症，老懷疑別人要毒害他，只肯吃妻子親手作的食物。但她於 1977 年中病倒住院後，哥德爾就只吃簡單的食物，拒絕朋友的探訪。等到被強迫送到醫院時，體重僅剩 30 公斤，最後於 1978 年 1 月 14 日因營養不良而器官衰竭過世。堪稱亞里斯多德以降最偉大的邏輯學家，就這麼孤獨地與世長辭。