哥德爾誕辰│科學史上的今天：4/28

本文與  益福生醫 合作，泛科學企劃執行

昨晚，你又在床上翻來覆去、無法入眠了嗎？這或許是現代社會最普遍的深夜共鳴。儘管換了昂貴的乳膠枕、拉上百分之百遮光的窗簾，甚至在腦海中數了幾百隻羊，大腦的那個「睡眠開關」卻彷彿生鏽般卡住。這種渴望休息卻睡不著的過程，讓失眠成了一場耗損身心的極限馬拉松 。

皮質醇：你體內那位「永不熄滅」的深夜警報器

要理解失眠，我們得先認識身體的一套精密防衛系統：下視丘-垂體-腎上腺軸（HPA axis） 。這套系統原本是演化給我們的禮物，讓我們在面對劍齒虎或突如其來的危險時，能迅速進入「戰鬥或快逃」的備戰狀態。當這套系統啟動，腎上腺就會分泌皮質醇 (壓力荷爾蒙)，這種荷爾蒙能調動能量、提高警覺性，讓我們在危機中保持清醒 。

然而，現代人的「劍齒虎」不再是野獸，而是無止盡的專案進度、電子郵件與職場競爭。對於長期處於高壓或高強度工作環境的人們來說，身體的警報系統可能處於一種「切換不掉」的狀態。

在理想的狀態下，人類的生理時鐘像是一場精確的接力賽。入夜後，身體會進入「修復模式」，此時壓力荷爾蒙「皮質醇」的濃度應該降至最低點，讓「睡眠荷爾蒙」褪黑激素（Melatonin）接棒主導。褪黑激素不僅負責傳遞「天黑了」的訊號，它還能抑制腦中負責維持清醒的食慾素（Orexin）神經元，幫助大腦順利關閉覺醒開關。

然而，當壓力介入時，這場接力賽就會變成跑不完的馬拉松賽。研究指出，長期的高壓環境會導致 HPA 軸過度活化，使得夜間皮質醇異常分泌。這不僅會抑制褪黑激素的分泌，更會讓食慾素在深夜裡持續活化，強迫大腦維持在「高覺醒狀態（Hyperarousal）」。 這種令人崩潰的狀態就是，明明你已經累到不行，但大腦卻像停不下來的發電機！

長期的睡眠不足會導致體內促發炎細胞激素上升，而發炎反應又會進一步活化 HPA 軸，分泌更多皮質醇來試圖消炎，高濃度的皮質醇會進一步干擾深層睡眠與快速動眼期（REM），導致睡眠品質變得低弱又破碎，最終形成「壓力－發炎－失眠」的惡行循環。也就是說，你不是在跟睡眠上的意志力作對，而是在跟失控的生理長期鬥爭。

從腸道重啟好眠開關：PS150 菌株如何調校你的生理時鐘

面對這種煞車失靈的失眠困局，科學家們將目光投向了人體內另一個繁榮的生態系：腸道。腸道與大腦之間存在著一條雙向通訊的高速公路，這就是「菌-腸-腦軸 (Microbiome-Gut-Brain Axis, MGBA)」，而某些特殊菌株不僅能幫助消化、排便，更能透過神經與內分泌途徑與大腦對話，直接參與調節我們的壓力調節與睡眠節律。這種菌株被科學家稱為「精神益生菌」（Psychobiotics）。

在眾多研究菌株中，發酵乳桿菌 Limosilactobacillus fermentum PS150 的表現格外引人注目。PS150菌株源於亞洲益生菌權威「蔡英傑教授」團隊的專業研發，累積多年功能性菌株研發經驗的科學成果。針對臨床常見的「初夜效應」（First Night Effect, FNE），也就是現代人因出差、換床或環境改變導致的入睡困難，俗稱認床。科學家在進行實驗時發現，補充 PS150 菌株能顯著恢復非快速動眼期（NREM）的睡眠長度，且入睡更快，起床後也更容易清醒。更重要的是，不同於常見的藥物助眠手段（如抗組織胺藥物 DIPH）容易造成快速動眼期（REM）剝奪或導致睡眠破碎化，PS150 菌株展現出一種更為「溫和且自然」的調節力，它能有效縮短入睡所需的時間，並恢復睡眠中代表深層修復的「Delta 波」能量。

科學家發現，即便將 PS150 菌株經過特殊的熱處理（Heat-treated），轉化為不具活性但保有關鍵成分的「後生元」（Postbiotics），其生物活性依然能與活菌媲美 。HT-PS150 技術解決了益生菌在儲存與攝取過程中容易失去活性的痛點，讓這些腸道通訊員能更穩定地發揮作用 。

在臨床實驗中，科學家觀察到一個耐人尋味的現象：當詢問受試者的主觀感受時，往往會遇到強大的「安慰劑效應」，無論是服用 HT-PS150 還是安慰劑的人，主觀上大多表示睡眠變好了。這種「體感上的進步」有時會掩蓋真相，讓人分不清是心理作用還是真實效益。

然而，客觀的生理數據（Biomarkers）卻揭開了關鍵的差異。在排除主觀偏誤後，實驗數據顯示 HT-PS150 組有更高比例的人（84.6%）出現了夜間褪黑激素分泌增加，且壓力荷爾蒙（皮質醇）顯著下降，這證明了菌株確實啟動了體內的睡眠調控系統，而不僅僅是心理安慰。

最值得關注的是，對於那些失眠指數較高（ISI ≧ 8）的族群，這種「生理修復」與「主觀體感」終於達成了一致。這群人在補充 HT-PS150 後，不僅生理標記改善，連原本嚴重困擾的主觀睡眠效率、持續時間，以及焦慮感也出現了顯著的進步。

了解更多PS150助眠益生菌：https://lihi3.me/KQ4zi

重新定義深層睡眠：構建全方位的深夜修復計畫

睡眠從來就不只是單純的休息，而是一場生理功能的全面重整。想要重獲高品質的睡眠，關鍵在於為自己建立一個全方位的修復生態系。

這套系統的基石，始於良好的生活習慣。從減少睡前數位螢幕的干擾、優化室內環境，到作息調整。當我們透過規律作息來穩定神經系統，並輔以現代科學對於 PS150 菌株的調節力發現，身體便能更順暢地啟動睡眠開關，回歸自然的運作節律。

與其將失眠視為意志力的抗爭，不如將其看作是生理機能與腸道微生態的深度溝通。透過生活作息的調整與科學實證的支持，每個人都能擁有掌控睡眠的主動權。現在就從優化生活型態開始，為自己按下那個久違的、如嬰兒般香甜的關機鍵吧。

本文由 肺纖維化(菜瓜布肺)社團衛教 合作，泛科學撰文

在現代醫學的警示清單裡，乳癌、大腸癌這些疾病大家都不陌生；但有一個「隱蔽且致命」的威脅卻常被忽視，那就是「肺纖維化」。其中最常見的類型「特發性肺纖維化」（IPF），其預後往往不太樂觀，確診後的五年存活率甚至比許多常見的癌症還低。

首先，我們得先破解一個迷思：肺纖維化並不是單一疾病，而是許多種間質性肺病的共同表現。當我們聽到「肺纖維化」，腦中常浮現「菜瓜布肺」的形象，患者的肺部外觀充滿一個個空洞與疤痕，像極了乾燥的絲瓜。這精準描繪了肺部組織逐漸硬化、失去彈性的過程。

更重要的是，IPF 這類肺纖維化的威脅在於「不可逆」的特性，一旦形成就很難逆轉。這跟部分 COVID-19 康復者身上、仍有機會復原的肺纖維化，是兩種完全不同的概念。

肺部為何會變成「菜瓜布」？

為什麼好端端的肺會變成菜瓜布？這其實是一場身體修復機制失控的結果。

「纖維化」的組織，就是肺部間質組織（interstitium）的疤痕化。間質是圍繞在肺泡周圍，包含血管與支持肺部結構的結締組織。在正常情況下，肺部損傷後會啟動修復機制，並再生健康組織。但在肺纖維化的患者體內，這套修復機制卻「當機」了。

身體會不斷地發出訊號，導致負責修復工作的「纖維母細胞」（fibroblasts）被過度活化，進而失控地沉積膠原蛋白疤痕組織，最終在肺部形成永久性的纖維化。

科學家發現，這個過程之所以棘手，在於它是一個「惡性循環」，肺部同時存在著「發炎反應」與「纖維化」這兩條路徑 ，它們相互加乘，演變成難以阻斷的強大破壞力。

雖然特發性肺纖維化 (IPF) 的具體成因不明 ，但已知某些特定族群的風險更高。例如抽菸，特定年齡與性別(50歲以上男性)、長期暴露於粉塵環境的工作者(農業、畜牧業、採礦業…)、胃食道逆流者。此外，患有自體免疫疾病（如類風濕性關節炎、乾燥症、硬皮症、皮肌炎/多發性肌炎，）的患者，他們併發肺纖維化的機率遠高於一般人，必須特別警覺。

打斷惡性循環的挑戰，為何只對抗「纖維化」還不夠？

面對這個不可逆的疾病，醫學界長年束手無策，直到 2014 年才迎來一道曙光。美國 FDA 批准了兩種機制不同的新藥：Nintedanib 和 Pirfenidone。這兩種藥物的出現是治療史上的分水嶺，首度被證實能夠「延緩」IPF 患者肺功能的惡化速度。

然而，這場戰役尚未結束。現有的治療雖然帶來了希望，卻也凸顯了「未被滿足的醫療需求」。從機制上來看，這些藥物主要抑制的是「纖維化路徑」。

這讓科學界開始思考這個未被滿足的棘手問題：既然疾病的本質是「發炎」與「纖維化」的雙重打擊，那麼，我們是否能找到「同時抑制」這兩條路徑的全新策略，從而更有效地打斷這個惡性循環？

找到同時調控「發炎」與「纖維化」的新靶點

為了解決難題，科學家將目光鎖定在一個細胞內的酵素：磷酸二酯酶 4B（PDE4B）。

為什麼鎖定它？讓我們看看它的「雙重作用」機制：

1. 關鍵位置： PDE4B 同時存在於免疫細胞（與發炎有關）與纖維母細胞（與纖維化有關）當中。
2. 作用機制： PDE4B 的主要工作是降解細胞內一種叫 cAMP（環磷酸腺苷） 的訊號分子。cAMP 可以被視為細胞內的「穩定信號」。
3. 雙重抑制： 當我們使用藥物抑制了 PDE4B 的活性，細胞內的 cAMP 就不會被分解，濃度會隨之升高。高濃度的 cAMP 能穩定免疫細胞和纖維母細胞，同時產生抗發炎與抗纖維化的雙重效應。

簡單來說，鎖定並抑制 PDE4B，就像是同時抑制了免疫風暴與纖維化的工程，有望從雙從抑制打擊這個惡性循環。

全球臨床試驗帶來的新希望

近十年來，全球在肺纖維化領域投入了大量的臨床試驗，我們相信，在科學家逐步破解肺纖維化惡性循環的複雜難題後，期盼未來能為無數患者爭取到更安全、健康的生活與未來。

最後，我們必須再次提醒，特發性肺纖維化（IPF）與漸進性肺纖維化（PPF）是極具破壞性、且不可逆的疾病。面對這個比癌症更致命的對手，雖然現有的治療手段能延緩惡化，但無法逆轉已經形成的肺部疤痕組織，因此「早期診斷、早期治療」仍是對抗肺纖維化最重要的黃金時刻。

美妙地證明 π 是超越（自然）數有什麼好處：無理數根本不存在，為什麼要研究這這一類的問題呢？

——Leopold Kronecke 德國數學家（1823-1891）

自 1988 年以後，每年 3 月 14 號那天，全世界就有許多數學家以各種方式慶祝數學常數圓周率 π（希臘字母，音「派」，其值為 3.1415⋅⋅⋅⋅⋅）。10 歲的外孫女陳佳璐似乎也受到波及，但她只知道「今天是派日」，卻不知道什麼是「派」。筆者自告奮勇地想幫她開通，謂「那不是可以吃的餡餅（西式餡餅 pie，音派），而是圓周與直徑的比例；4、5千年以前人類就已經發現圓周是直徑的3.1415⋅⋅⋅⋅⋅倍，….」。

既然不能吃，陳小姐是一點興趣都沒有，可是筆者卻突然想得：如果是倍數，怎麼小數點後的位數永不停止或重複呢？

圓周率怎麼就「無理」了？

如果我們將直徑定為一公尺，並內分成 10 小格（即每小格為一公寸），則切斷之圓周的一端將落在第 3 公尺後之第 2 個小格內（在 3.1 公尺到 3.2 公尺之間）；如果我們將 3.1 公尺– 3.2 公尺之空間放大，並內分成 10 小格（即每小格為一公分），則圓周的一端將落在 3.1 公尺後第 5 個小格內（在3.14公尺–3.15公尺之間）；如果我們再將 3.14 公尺– 3.15 公尺之空間放大，並內分成 10 小格，則圓周的一端將落在 3.14 公尺後第 2 個小格內（在 3.141 公尺–3.142 公尺之間）；……；如此繼續下去永遠沒有終止！圓周不是有固定的長度嗎？筆者很難想像這怎麼可能！

圓周與直徑都具固定的長度，當我們將直徑定為 1 單位時，圓周的長度將是 3.14⋅⋅⋅⋅⋅個單位；當我們將直徑定為 2 單位時，圓周的長度將是 6.28……個單位；……；理論上我們不是一定可以將直徑分成更小的 n 個單位、使得圓周的長度是整數 m 個單位嗎？

公元 1761 年，瑞士科學家兼哲學家 Johann Heinrich Lambert 證明了其答案為「不可能」：圓周與直徑無法找到一個公約單位［具「不可通約性」（incommensurability）］。

因為不可能「理解」，我們現在稱這種無法以兩個整數 m/n 來表達的「數」為「無理數」（irrational number）。

不能「理解」的無理數

事實上古希臘哲學家早就知道這種「無理數」的存在！

發現畢氏定理的畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前 570年 – 495 年）是希臘哲學家，創建了一個後來被稱為畢達哥拉斯兄弟會（Brotherhood of Pythagoreans）的團體，致力於數學研究。他的政治和宗教教義在地方上眾所周知，深深地影響了柏拉圖、亞里士多德的哲學、以及他們以後的的西方哲學。

根據亞里士多德的說法，畢達哥拉斯人是為了神秘、而不是實際應用的原因而使用數學；他們相信世界上所有事情都是由整數組成的。因此當其哲學家西柏索士（Hippasus）透過畢氏定理發現兩邊由一個單位長度組成的正三角形，其斜邊 √2 為一無法以兩個整數 m/n 來表達時，他們認為西柏索士將此一神聖的上天秘密洩露給外人，因而將他拋棄到海上淹死懲罰。

同場加映：證明 √2 是無理數

令 √2 =m/n ==> m或 n 必定有一個是奇數（否則可以用 2 約分）
兩邊平方  2=m²/n²
2n² = m² ==> m, m² 必須是偶數

令 m =2x
2n²=4x²
n²=2x² ==>n, n²必須是偶數

所以 n 及 m 均必須是偶數，違反了當初的假設；所以當初的假設一定是錯了，所以√2 不能以 m/n 表示，√2 為一無理數。

純邏輯推理推導出的矛盾

筆者在「數理化科學裡有天才嗎？」一直強調數學是一個純邏輯的科學，因此可能有年輕的天才；可是純邏輯推理怎麼會導出一個這些讓人無法理解的數字呢？讓我們在這裡再看一個例子。{3,8,6} 在數學上稱為有三個成員的「集合」（set），在這集合裡我們可以找出八個子集（sub-set）：{}、{3}、{8}、{6}、{3,8}、{3,6}、{8,6}、{3,8,6}。

透過邏輯推斷，我們將可以得到結論謂：一個集合的子集數（8）將永遠大於其成員數（3）。

但如果我們將這一結論衍伸用到 {所有的集合}，則其子集數將大於所有的集合數！可是「所有」的集合已經包含了「所有的集合」，怎麼還有比它更大的子集（集合）？

「不完備性定理」的提出，邏輯矛盾的不可避免

類似的觀念問題——「無限小」（infinitesimal）——也在微積分裡發生了，因此讓數學家感到頭大！1920 年，當時最偉大的數學家希爾伯特（David Hilbert¹）終於忍受不了，提出「希爾伯特計劃」（Hilbert program），希望將數學建立在一個堅實而完整的邏輯基礎上。他要一勞永逸地從數學世界中消除這些問題，宣稱：

我們都相信每個數學問題都可以解決。畢竟，當我們將自己獻身於數學問題時，吸引我們最大的原因之一正是在我們的內心深處，我們總能聽到這樣的呼喚：這就是問題所在，你可以通過純粹的思考去尋求解決的方案⎯⎯因為在數學中沒有無知的東西。

1930 年，24 歲的年輕無名小子、維也納大學的博士生哥德爾（Kurt Gödel）在一國際會議上卻發表了一篇被認為是「現代邏輯中獨特和巨大的一座里程碑」。在「不完備性定理」（incompleteness theorem）裡，哥德爾證明了：在至少包括算術在內的任何非矛盾（consistency）之形式系統 (formal system) 裡，都不能通過自己的公理證明其完整性（completeness）。他說：

「人們可能會推測，這些公理和推理規則足以決定：可以在這些系統中正式表達的任何命題（待證之問題）。（我）將會證明……事實並非如此。」

哥德爾之「不完備性定理」粉碎了希爾伯特的宏偉計劃！

「我在說謊」這句話在文法上是完全正確的，其語意也非常清楚。但是我們卻沒辦法證明它（句子本身）是否正確：如果我是在說謊（假設），那這句話便是正確的，表示我不在說謊（結論），「結論」違反了「假設」，在邏輯上我們說「假設」一定是錯了（這正是我們證明√2是無理數的方法）；好吧，那我們就改一改「假設」謂我不在說謊，那上句話便是不正確的，所以我是在說謊（結論），「結論」又違反了「假設」！

對於敬畏數學的人而言，數學是確定性的範式，是完美和絕對真理的典範；因此像「我在說謊」這種不符合邏輯的「命題」，在數學上是不應該、也不會發生的！沒想到哥德爾竟然證明了「事實並非如此」！原來數學也有其無法理解、不精確、和不確定性——對數學感到恐懼的學生，現在總算有理由了（不用謝謝筆者）！

結論：現實與抽象，那些難以解決的命題

在「經驗的困境²」二文裡，筆者提到我們如果「盲目」地將日常生活中的經驗擴展到物理學上，將碰到許多難以「理解」的困境：例如光既是「波動」又是「粒子」⎯⎯兩個水火不相容的觀念！

物理是實驗的科學，它的目的就是要解釋我們經驗到的現象；經驗強迫我們接受一些「不合理」的解釋³。數學沒有這一個要求，它可以通過純粹的思考去尋求解決的方案；可是從上面的分析看來，數學似乎也好不到哪裡：也有解決不了的命題？！這類發現顯然證明了「在現實之外，還存在有無法用物理驗證之更深層真理的知識」。

或許正如畢達哥拉斯兄弟會所相信的：人類之外還有一個神聖的上天！愛因斯坦有一句名言是：「我想知道上帝如何創造這世界。」只是，正如人工智慧的機器能有創造它們之人類的想像力嗎？我們如果是上帝創造的，我們能有上帝的想像力嗎？我們能跳出上帝的手掌嗎？

註解

1. 某些科學家認為希爾伯特比愛因斯坦更早提出廣義相對論之場方程式！事實上兩人曾經為這一爭論搞得很不愉快。最後愛因斯坦寫信給希爾伯特尋求和解：「在我們之間（明顯地）有一種不愉快的情緒，但我不想分析其原因。我曾經抵抗它所導致的苦澀，並已取得了相當圓滿成功。我現在再次以無瑕的友誼想到你，也求你對我這樣做。 客觀地說，如果兩個在這個破舊世界中取得了重要成就的好夥伴，但卻彼此不能從中間獲得快樂，那將是很遺憾。」希爾伯特顯然接受了和解。對數學能力極強的希爾伯特來說，找到重力場方程事實上是一件小事，因此他不認為這是一個大成就；但愛因斯坦是奮鬥了 10 年才見到曙光。做為一個數學家，希爾伯特對場方程式的物理意義的了解，當然遠遠不及愛因斯坦；所以大部分的物理學家均認為愛因斯坦是第一位提出廣義相對論之場方程式的物理學家。
2. 「我愛科學」，台北市華騰文化有限公司出版（2017年12月）。本書收集了筆者自 1970 年元月到2017年八月間在科學月刊及其他雜誌發表過的文章。
3. 愛因斯坦不肯接受現在廣為物理學家所接受的量子力學物理觀（見註二之「愛因斯坦的最後一搏—EPR悖論」）；例如他對光的看法是：「這將近五十年來對「光量子到底是什麼」的深思，並沒有使我更接近答案。現在每一個人，像張三、李四、王五等，都以為他們了解，可是他們錯了！」

自從十九世紀中期，黎曼等人推翻了兩千多年來顛撲不破的平行公設後，數學家們明白不能再憑直覺接受所謂不證自明的公設或定理，決心從地基開始，重新打造完美無瑕的數學體系。希爾伯特在一九二○年代提出的「希爾伯特計劃」明白地訂出目標：用嚴格的形式化語言表達所有數學陳述，並能滿足完備性與一致性。

所謂完備性就是指系統內的合法陳述都能被證明真偽，而一致性則是要求這個系統不能推導出互相矛盾的結論。這不是應有的基本要求嗎？是沒錯，在有限度的範圍內或許沒問題，但是要確保一個完整的體系完全滿足這兩個條件可不容易，如前面所說，不能再任意定出一些公設，必須小心翼翼地確定每一步都在堅實的水泥地上；所以羅素與懷海德才會花了十年的時間只完成《數學原理》的前三冊，而其中光證明 1+1=2 就花了 362 頁！

即使困難，大家仍樂觀地努力追尋這個聖杯，就像希爾伯特 1930 年退休時發表演說的結語詞：「我們必須知道，我們將會知道！」

不料，就在第二年，25 歲的年輕奧地利數學家哥德爾發表了一篇石破天驚的論文。他證明了任何一個足夠強的公設系統不可能同時具有一致性與完備性，也就是具有一致性的系統必定存在無法證明真偽的陳述；而且這個系統無法證明本身的一致性（只能從系統外部證明它沒自相矛盾）。

這個「哥德爾不完備定理」摧毀了數學界與哲學界的一貫信念，正式宣判聖杯只是幻影，任何努力只是徒勞，大家可以散矣！馮．紐曼聞之當下即嘆：「一切都結束了。」

哥德爾因此躋身大師之列，卻始終孤僻沉默。二次大戰爆發後，他也逃離德國，來到普林斯頓研究所，與大他 27 歲、個性大相逕庭的愛因斯坦成為摯友，常可看見兩人一起散步校園的身影。愛因斯坦晚年曾說自己的工作沒啥意思，進研究室就只為了有榮幸同哥德爾一起散步回家。而哥德爾竟也研究起物理，還得出廣義相對論中一個允許時間旅行回到過去的解。

哥德爾晚年得了嚴重的妄想症，老懷疑別人要毒害他，只肯吃妻子親手作的食物。但她於 1977 年中病倒住院後，哥德爾就只吃簡單的食物，拒絕朋友的探訪。等到被強迫送到醫院時，體重僅剩 30 公斤，最後於 1978 年 1 月 14 日因營養不良而器官衰竭過世。堪稱亞里斯多德以降最偉大的邏輯學家，就這麼孤獨地與世長辭。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。