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哥德爾誕辰│科學史上的今天:4/28

張瑞棋_96
・2015/04/28 ・995字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 536 ・七年級

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自從十九世紀中期,黎曼等人推翻了兩千多年來顛撲不破的平行公設後,數學家們明白不能再憑直覺接受所謂不證自明的公設或定理,決心從地基開始,重新打造完美無瑕的數學體系。希爾伯特在一九二○年代提出的「希爾伯特計劃」明白地訂出目標:用嚴格的形式化語言表達所有數學陳述,並能滿足完備性與一致性。

所謂完備性就是指系統內的合法陳述都能被證明真偽,而一致性則是要求這個系統不能推導出互相矛盾的結論。這不是應有的基本要求嗎?是沒錯,在有限度的範圍內或許沒問題,但是要確保一個完整的體系完全滿足這兩個條件可不容易,如前面所說,不能再任意定出一些公設,必須小心翼翼地確定每一步都在堅實的水泥地上;所以羅素與懷海德才會花了十年的時間只完成《數學原理》的前三冊,而其中光證明 1+1=2 就花了 362 頁!

即使困難,大家仍樂觀地努力追尋這個聖杯,就像希爾伯特 1930 年退休時發表演說的結語詞:「我們必須知道,我們將會知道!」

不料,就在第二年,25 歲的年輕奧地利數學家哥德爾發表了一篇石破天驚的論文。他證明了任何一個足夠強的公設系統不可能同時具有一致性與完備性,也就是具有一致性的系統必定存在無法證明真偽的陳述;而且這個系統無法證明本身的一致性(只能從系統外部證明它沒自相矛盾)。

這個「哥德爾不完備定理」摧毀了數學界與哲學界的一貫信念,正式宣判聖杯只是幻影,任何努力只是徒勞,大家可以散矣!馮.紐曼聞之當下即嘆:「一切都結束了。」

哥德爾因此躋身大師之列,卻始終孤僻沉默。二次大戰爆發後,他也逃離德國,來到普林斯頓研究所,與大他 27 歲、個性大相逕庭的愛因斯坦成為摯友,常可看見兩人一起散步校園的身影。愛因斯坦晚年曾說自己的工作沒啥意思,進研究室就只為了有榮幸同哥德爾一起散步回家。而哥德爾竟也研究起物理,還得出廣義相對論中一個允許時間旅行回到過去的解。

哥德爾晚年得了嚴重的妄想症,老懷疑別人要毒害他,只肯吃妻子親手作的食物。但她於 1977 年中病倒住院後,哥德爾就只吃簡單的食物,拒絕朋友的探訪。等到被強迫送到醫院時,體重僅剩 30 公斤,最後於 1978 年 1 月 14 日因營養不良而器官衰竭過世。堪稱亞里斯多德以降最偉大的邏輯學家,就這麼孤獨地與世長辭。

 

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 629 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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從圓周率與無理數,談數學也有其無法理解、不精確、和不確定性
賴昭正_96
・2019/06/03 ・3516字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 530 ・七年級

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美妙地證明 π 是超越(自然)數有什麼好處:無理數根本不存在,為什麼要研究這這一類的問題呢?

——Leopold Kronecke 德國數學家(1823-1891)

有些派比其他的更難以下理解。圖/pixabay

自 1988 年以後,每年 3 月 14 號那天,全世界就有許多數學家以各種方式慶祝數學常數圓周率 π(希臘字母,音「派」,其值為 3.1415⋅⋅⋅⋅⋅)。10 歲的外孫女陳佳璐似乎也受到波及,但她只知道「今天是派日」,卻不知道什麼是「派」。筆者自告奮勇地想幫她開通,謂「那不是可以吃的餡餅(西式餡餅 pie,音派),而是圓周與直徑的比例;4、5千年以前人類就已經發現圓周是直徑的3.1415⋅⋅⋅⋅⋅倍,….」。

既然不能吃,陳小姐是一點興趣都沒有,可是筆者卻突然想得:如果是倍數,怎麼小數點後的位數永不停止或重複呢?

圓周率怎麼就「無理」了?

如果我們將直徑定為一公尺,並內分成 10 小格(即每小格為一公寸),則切斷之圓周的一端將落在第 3 公尺後之第 2 個小格內(在 3.1 公尺到 3.2 公尺之間);如果我們將 3.1 公尺– 3.2 公尺之空間放大,並內分成 10 小格(即每小格為一公分),則圓周的一端將落在 3.1 公尺後第 5 個小格內(在3.14公尺–3.15公尺之間);如果我們再將 3.14 公尺– 3.15 公尺之空間放大,並內分成 10 小格,則圓周的一端將落在 3.14 公尺後第 2 個小格內(在 3.141 公尺–3.142 公尺之間);……;如此繼續下去永遠沒有終止!圓周不是有固定的長度嗎?筆者很難想像這怎麼可能!

圓周與直徑都具固定的長度,當我們將直徑定為 1 單位時,圓周的長度將是 3.14⋅⋅⋅⋅⋅個單位;當我們將直徑定為 2 單位時,圓周的長度將是 6.28……個單位;……;理論上我們不是一定可以將直徑分成更小的 n 個單位、使得圓周的長度是整數 m 個單位嗎?

公元 1761 年,瑞士科學家兼哲學家 Johann Heinrich Lambert 證明了其答案為「不可能」:圓周與直徑無法找到一個公約單位[具「不可通約性」(incommensurability)]。

因為不可能「理解」,我們現在稱這種無法以兩個整數 m/n 來表達的「數」為「無理數」(irrational number)。

不能「理解」的無理數

事實上古希臘哲學家早就知道這種「無理數」的存在!

發現畢氏定理的畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前 570年 – 495 年)是希臘哲學家,創建了一個後來被稱為畢達哥拉斯兄弟會(Brotherhood of Pythagoreans)的團體,致力於數學研究。他的政治和宗教教義在地方上眾所周知,深深地影響了柏拉圖、亞里士多德的哲學、以及他們以後的的西方哲學。

根據亞里士多德的說法,畢達哥拉斯人是為了神秘、而不是實際應用的原因而使用數學;他們相信世界上所有事情都是由整數組成的。因此當其哲學家西柏索士(Hippasus)透過畢氏定理發現兩邊由一個單位長度組成的正三角形,其斜邊 √2 為一無法以兩個整數 m/n 來表達時,他們認為西柏索士將此一神聖的上天秘密洩露給外人,因而將他拋棄到海上淹死懲罰。


同場加映:證明 √2 是無理數

令 √2 =m/n ==> mn 必定有一個是奇數(否則可以用 2 約分)
兩邊平方  2=m2/n2
2n2 = m==> m, m必須是偶數

m =2x
2n2=4x2
n2=2x2 ==>n, n2必須是偶數

所以 nm 均必須是偶數,違反了當初的假設;所以當初的假設一定是錯了,所以√2 不能以 m/n 表示,√2 為一無理數。


純邏輯推理推導出的矛盾

筆者在「數理化科學裡有天才嗎?」一直強調數學是一個純邏輯的科學,因此可能有年輕的天才;可是純邏輯推理怎麼會導出一個這些讓人無法理解的數字呢?讓我們在這裡再看一個例子。{3,8,6} 在數學上稱為有三個成員的「集合」(set),在這集合裡我們可以找出八個子集(sub-set):{}、{3}、{8}、{6}、{3,8}、{3,6}、{8,6}、{3,8,6}。

透過邏輯推斷,我們將可以得到結論謂:一個集合的子集數(8)將永遠大於其成員數(3)。

但如果我們將這一結論衍伸用到 {所有的集合},則其子集數將大於所有的集合數!可是「所有」的集合已經包含了「所有的集合」,怎麼還有比它更大的子集(集合)?

「不完備性定理」的提出,邏輯矛盾的不可避免

類似的觀念問題——「無限小」(infinitesimal)——也在微積分裡發生了,因此讓數學家感到頭大!1920 年,當時最偉大的數學家希爾伯特(David Hilbert1)終於忍受不了,提出「希爾伯特計劃」(Hilbert program),希望將數學建立在一個堅實而完整的邏輯基礎上。他要一勞永逸地從數學世界中消除這些問題,宣稱:

我們都相信每個數學問題都可以解決。畢竟,當我們將自己獻身於數學問題時,吸引我們最大的原因之一正是在我們的內心深處,我們總能聽到這樣的呼喚:這就是問題所在,你可以通過純粹的思考去尋求解決的方案⎯⎯因為在數學中沒有無知的東西。

1930 年,24 歲的年輕無名小子、維也納大學的博士生哥德爾(Kurt Gödel)在一國際會議上卻發表了一篇被認為是「現代邏輯中獨特和巨大的一座里程碑」。在「不完備性定理」(incompleteness theorem)裡,哥德爾證明了:在至少包括算術在內的任何非矛盾(consistency)之形式系統 (formal system) 裡,都不能通過自己的公理證明其完整性(completeness)。他說:

「人們可能會推測,這些公理和推理規則足以決定:可以在這些系統中正式表達的任何命題(待證之問題)。(我)將會證明……事實並非如此。」

哥德爾之「不完備性定理」粉碎了希爾伯特的宏偉計劃!

24歲的哥德爾用「不完備性定理」粉碎了希爾伯特意圖將數學建立在完整邏輯的「希爾伯特計劃」!圖/pixabay

「我在說謊」這句話在文法上是完全正確的,其語意也非常清楚。但是我們卻沒辦法證明它(句子本身)是否正確:如果我是在說謊(假設),那這句話便是正確的,表示我不在說謊(結論),「結論」違反了「假設」,在邏輯上我們說「假設」一定是錯了(這正是我們證明√2是無理數的方法);好吧,那我們就改一改「假設」謂我不在說謊,那上句話便是不正確的,所以我是在說謊(結論),「結論」又違反了「假設」!

對於敬畏數學的人而言,數學是確定性的範式,是完美和絕對真理的典範;因此像「我在說謊」這種不符合邏輯的「命題」,在數學上是不應該、也不會發生的!沒想到哥德爾竟然證明了「事實並非如此」!原來數學也有其無法理解、不精確、和不確定性——對數學感到恐懼的學生,現在總算有理由了(不用謝謝筆者)!

結論:現實與抽象,那些難以解決的命題

圖/pixabay

在「經驗的困境2」二文裡,筆者提到我們如果「盲目」地將日常生活中的經驗擴展到物理學上,將碰到許多難以「理解」的困境:例如光既是「波動」又是「粒子」⎯⎯兩個水火不相容的觀念!

物理是實驗的科學,它的目的就是要解釋我們經驗到的現象;經驗強迫我們接受一些「不合理」的解釋3。數學沒有這一個要求,它可以通過純粹的思考去尋求解決的方案;可是從上面的分析看來,數學似乎也好不到哪裡:也有解決不了的命題?!這類發現顯然證明了「在現實之外,還存在有無法用物理驗證之更深層真理的知識」。

或許正如畢達哥拉斯兄弟會所相信的:人類之外還有一個神聖的上天!愛因斯坦有一句名言是:「我想知道上帝如何創造這世界。」只是,正如人工智慧的機器能有創造它們之人類的想像力嗎?我們如果是上帝創造的,我們能有上帝的想像力嗎?我們能跳出上帝的手掌嗎?

註解

  1. 某些科學家認為希爾伯特比愛因斯坦更早提出廣義相對論之場方程式!事實上兩人曾經為這一爭論搞得很不愉快。最後愛因斯坦寫信給希爾伯特尋求和解:「在我們之間(明顯地)有一種不愉快的情緒,但我不想分析其原因。我曾經抵抗它所導致的苦澀,並已取得了相當圓滿成功。我現在再次以無瑕的友誼想到你,也求你對我這樣做。 客觀地說,如果兩個在這個破舊世界中取得了重要成就的好夥伴,但卻彼此不能從中間獲得快樂,那將是很遺憾。」希爾伯特顯然接受了和解。對數學能力極強的希爾伯特來說,找到重力場方程事實上是一件小事,因此他不認為這是一個大成就;但愛因斯坦是奮鬥了 10 年才見到曙光。做為一個數學家,希爾伯特對場方程式的物理意義的了解,當然遠遠不及愛因斯坦;所以大部分的物理學家均認為愛因斯坦是第一位提出廣義相對論之場方程式的物理學家。
  2. 我愛科學」,台北市華騰文化有限公司出版(2017年12月)。本書收集了筆者自 1970 年元月到2017年八月間在科學月刊及其他雜誌發表過的文章。
  3. 愛因斯坦不肯接受現在廣為物理學家所接受的量子力學物理觀(見註二之「愛因斯坦的最後一搏—EPR悖論」);例如他對光的看法是:「這將近五十年來對「光量子到底是什麼」的深思,並沒有使我更接近答案。現在每一個人,像張三、李四、王五等,都以為他們了解,可是他們錯了!」
賴昭正_96
34 篇文章 ・ 34 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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顛覆世界的「電腦」是怎麼誕生的呢?
寫點科普,請給指教
・2017/05/18 ・5537字 ・閱讀時間約 11 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

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二十世紀是人類史上科學技術進展最快的世紀。短短的 100 年間,湧現了大量對世界產生重大的影響的科學發現和技術突破,包括電視、飛機、抗生素、基因科學、量子力學……。

但若要評選一項滲透至人們日常生活的所有角落、改變人類生活型態最劇烈的科技發明,則非電腦莫屬。

第一次工業革命是機械與工廠、第二次工業革命是電力、第三次工業革命乃由電腦發明所激起的資訊時代。有著「第四次工業革命」之稱的人工智慧,我們已在深度學習簡史中有所探討。但追本究源,人工智慧所奠基的電腦(計算機)科學,又是怎麼來的?

今天就讓我們來思考一個有趣的問題:電腦是怎麼來的?

ENIAC:情人節誕生的奇蹟

普遍認為最早的通用電腦,是美國賓州大學的莫奇來 (Mauchly)和他的學生埃克特 (Eckert)在 1946 年 2 月 14 日情人節當天所發表的「ENIAC」 。(情人節剛過不久但別再討論單身魯了,人家可是在情人節顛覆世界呢 XD)

ENIAC 計算機在進行每一次運算之前,都須根據運算要求、把不同的元件用人工插接線路的方式連接在一起。將輸入裝置和輸出裝置設好後,才進行通電……啪!一聲,電腦噠噠噠的開始運作。

但現在可能正用電腦看這篇文章的你,好像不需要在開機前把電線插來插去才能使用?

因為這個電路沒有儲存程式的功能。最早的計算機器僅內涵固定用途的程式,比如一台「計算機器」僅有固定的數學計算程式,除此之外便無其他,無論是文書處理或玩遊戲都不行。若想要改變這台機器的程式,你必須更改線路、結構甚至重新設計機器。

馮.紐曼結構與現代電腦

1945 年 6 月,是現代電腦科學的里程碑。著名的美籍猶太裔數學家馮.紐曼 (John von Neumann) 與多位學者聯名發表了一篇長達 101 頁的報告,其中包括大膽捨棄了十進制、改以二進制運算取代,同時將電腦明確分成五個部分組成(包括:記憶體、控制單元、算術邏輯單元、輸入 / 輸出裝置等),並描述了這五個部分的功能和相互關係,為電腦的邏輯結構設計奠定了基礎。

事實上,EDVAC 報告中最核心的概念即是「可儲存程式的電腦 (Stored Program Computer) 」。如果是一台能儲存程式的電腦,只要一開始先將「文書程式」與「遊戲程式」都載入記憶體中,再告訴電腦去記憶體的哪一個位置開始執行就可以完成,在不需更動硬體的情況下就能讓電腦變得更加有彈性。

1951 年,美國軍方透過馮.紐曼的協助,斥資五十萬美元打造了計算機「EDVAC」。相較於十進位、又須人工插接電路的 ENIAC,可以說 EDVAC 是第一台現代意義的通用計算機,直至今的現代電腦皆仍採用馮.紐曼架構。

在我們介紹馮.紐曼其人其事、與現代電腦的運作原理前,先讓我們重看一次標題所提出的問題:「電腦是怎麼來的?」為什麼馮.紐曼能夠造出這樣的一台電腦?

不少人把馮.紐曼當作是電腦科學的奠基人,有人甚至稱他為「電腦之父」。然而他本人並不接受這個稱號。

馮.紐曼認為他的研究成果是受到了英國數學家圖靈 (Alan Turing) 所啟發,他僅僅是發揚光大圖靈的原始概念。這台「可儲存程式電腦」真正的意義,其實就是通用圖靈機。馮.紐曼將這個概念的創始人公正無私地還予圖靈。

圖靈:可計算理論與圖靈機

好吧這麼來看,如果我們想要瞭解「電腦是怎麼來的?」,勢必得再先去瞭解圖靈這位同樣有著「電腦科學之父」與「人工智慧之父」之稱的偉大學者,與其圖靈機 (Turing Machine) 的理論了。

1934 年,年僅 22 歲的圖靈從劍橋大學畢業、到美國普林斯頓大學攻讀博士學位。二戰爆發後,圖靈在 1939 年被英國皇家海軍招聘,協助軍方成功破譯德國的密碼系統 Enigma,讓英國軍方對德國的軍事計劃瞭如指掌。圖靈小組的傑出工作,更使得盟軍提前至少兩年戰勝納粹。

--上述是電影《模仿遊戲》的史料。對於圖靈生平有興趣的讀者,可以參考這部向圖靈致敬的電影。 (只是嚴防許多出錯的史實)

除了作為一位傑出的密碼學家,在電影沒詳述的部分中,圖靈在電腦科學上的貢獻更是難以抹滅。

1936 年,24 歲的圖靈發表了一篇論文《論可計算數及其在判定問題上的應用》(On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)。在這篇極富開創性的論文中,圖靈提出了「圖靈機」(Turing Machine) 概念。

「圖靈機」不是一台具體的機器,而是一種運算模型,可製造一種十分簡單但運算能力極強的機械裝置,用來計算所有能想像得到的可計算函數。

圖靈機是闡明現代電腦原理的開山之作,奠定了整個電腦科學的理論基礎。如果說馮紐曼是實際打造出一台現代電腦的電腦之父,其所依據的理論基礎即源自於圖靈機。

但,什麼叫可計算?為什麼圖靈會探討這個問題?實際上,上述關於圖靈論文與圖靈機的介紹,更明確的說法應是:圖靈在 1936 年發布的論文中,對於「哥德爾不完備定理」重新做了論述。相較於哥德爾在證明其不完備定理時、採用的通用算術形式系統,圖靈使用了叫做「圖靈機」的簡單裝置作為代替。

咦,我們這邊又多提到一個人了?!哥德爾……?

哥德爾不完備定理

哥德爾 (Gödel) 被譽為自亞里士多德以來、歷史上最偉大的邏輯學家之一。毫不誇張地說,正是哥德爾使數理邏輯與哲學界發生了極大的革命。

愛因斯坦曾說:我之所以還到研究院來,只是為了與哥德爾一起走路回家。

1931 年,19 歲的圖靈進入劍橋大學就讀;但這一年,同時成了撼動數學界的里程碑——奧地利數學家哥德爾提出不完備定理,證明不存在既完備又一致的數學體系,粉碎了無數位數學家追求聖杯的野心。

人類總是渴求著確定的知識,也稱為真理——藉由純數理論與邏輯證明,數學家不斷尋找著真理的可確定性。

哥德爾當年的發現,簡單來說是:「並非所有為真者,皆可循一邏輯演繹過程而得知」。再更直白點就是:「真理的範圍、比我們所能證明的範圍還大。」

數學家乃藉由公理(不證自明、理所當然為真的命題)進行一連串的推理、最後得出數學定理;基本上是活在一個以邏輯演繹為本質的世界。今天突然有人成功證明了:有些數學命題,我們既沒辦法證明它為真,也沒辦法證明它為假……,可想而知,這對於數學界無非是一項沈重的打擊!

五年後的圖靈之所以提出「圖靈機」計算模型,即是以計算機的形式重新演繹了哥德爾的不完備定理,同時補充了判定問題--是否存在一個程式,能判斷:我們任意輸入的一個程式,是否能在有限的時間內結束步驟?或者會陷入無窮迴圈?(當我們對電腦下兩個指令:【往左後往右】與【往右後往左】,電腦就會陷入無窮的迴圈)

哥德爾的發現,引起了當時重要數學家如希爾伯特與馮.紐曼(還記得這個人嗎? 這位計算機之父早年是希爾伯特的助手)等人的重視。到後來不但啟發了後續眾多數學家、哲學家:若無法使用邏輯演繹完全瞭解宇宙,該何以為繼?更激起圖靈創造出了電腦科學在理論上的濫觴。

但是,為什麼哥德爾會探討這樣的問題呢?因為有人下了戰帖!

誰?就是上上句我們提到的大數學家希爾伯特!

希爾伯特的 23 個問題

希爾伯特 (David Hilbert) 是二十世紀初期德國最偉大的數學家之一。

在世紀之交的 1900 年、一場巴黎國際數學家大會的演講當中,希爾伯特根據 19 世紀的研究成果和發展趨勢,以卓越的洞察力提出了 23 個當時尚未被解開的困難數學問題,並鼓舞年輕數學家積極攻克:

「在我們中間,常常聽到這樣的呼聲:這裡有一個數學問題,去找出它的答案!你能通過純思維找到它,因為在數學中沒有不可知。」(希爾伯特大大按曰:只要解出來就能名留青史噢!)

這就是著名的希爾伯特的 23 個問題。

希爾伯特的 23 個問題對 20 世紀的數學研究起了積極的作用,不但超乎希爾伯特的預期,更未曾預料到從其中衍生而出的電腦科學、將會對世界產生無比重大的影響。

而哥德爾之所以提出不完備定理,想解答的正是這 23 個問題中的第二個問題:算術公理系統的無矛盾性。簡單來說,希爾伯特希望能以一個完美的形式系統,成功證明所有的真理、同時找出所有矛盾的陳述。

在這個問題上,希爾伯特原先堅定地表示:「沒有人能將我們逐出康托爾的樂園。」不僅僅是第二個問題,希爾伯特在 23 個問題中所提出(顯然最在意)的第一個問題連續統假設,也是康托爾的研究中所面臨問題。

康托爾……?請放心,這會是本篇文章中所出現的最後一位人名了。

無限多的危機:康托爾集合論

到目前為止,我們已經使用了許多強烈的形容詞,包括:電腦科學之父、偉大的邏輯學家、數學家……。但在這些學者的研究基礎上,我們不能不提現代數學的奠基者——集合論之父康托爾 (Cantor) 。

令集合 A = {1, 2, 3, 4, 5 },B = {1, 3, 5, 7, 9}
則 1, 3, 5 同時為集合 A 和 B 的元素,且 A 集合和 B 集合的大小相等。

康托爾可以說是數學史上最富有想像力的數學家之一,其所開創的集合論則可以說是人類最偉大發明之一--當年康托爾面臨的,正是數學界幾百年幾千年的疑懼:「無限」。

1-1+1-1+1… = 0, 1 還是 1/2? 0.99999….. = 1?還是 <1?

無限有多大?正整數、整數 (正整數 / 負整數 / 0)、實數(有理數 / 無理數) ……等數系的數量相同嗎?

Z+: ∞ (正整數有無限多個), Z-: ∞ (負整數有無限多個), Z: ∞ (整數有無限多個)。
因此: ∞ = 2∞+1 (所有整數個數 = 正整數個數+負整數個數 + 一個 0), 移項得: -∞ = 1,
故: ∞ = -1 …?!

為了處理「無限」這個長久得不到解決的難題,康托爾在 19 世紀下半葉創立了「集合」理論,證明了各個數系雖然是都是無限多,還是有數量上的差別:

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |

無限多的正整數數量 = 無限多的整數數量 = 無限多的有理數數量 < 無限多的無理數數量 = 無限多的實數數量 = 無限多的複數數量

然而集合論實在太過創新、對於無限的解釋也背離了傳統,剛開始時康托爾受到了嚴厲的譴責與撻伐。

但隨後,許多年輕的數學家開始意識到集合論非常的有用--基於自然數 (正整數)與集合論,當時一切的數學成果都可以成功被推證出來。

1900 年在國際數學家大會上,法國數學家龐加萊興高采烈地宣稱:「藉助集合論,我們可以建造起整個數學大廈。」1925 年,希爾伯特也提出了「希爾伯特旅館悖論」來應和康托爾的理論。

然而康托爾集合論仍然面臨了許多問題。首先是連續統假設--我們已知:

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |
那麼還有沒有一個數系,介於此二者間呢?

始終證明不出問題、又受到世人無數攻訐的康托爾,晚年發了瘋、死在精神病院中。

但除此之外,集合論還有一個問題是羅素悖論:「這句話是假的。」讀者只要稍加推論就會發現:如果這句話是真的,那麼這句話是假的會成立……?!如果這句話是假的,那這句話就是真的……?! 這個命題就矛盾了。

羅素悖論應用在集合論的問題即是:如果我們創造一個集合 A,裡面收集了所有不包含在自己這個集合的集合:A = {x|x∉x}。若是 A∈A 成立,則 A 是 A 的集合、使得 A∉A。但若 A∉A,則符合命題,使得 A∈A。

好不容易我們在集合論的基礎上構築起了數學大廈,結果發現集合論也是不完美的。究竟能不能找到一個完備的系統,從上面建築起整個數學的基礎呢?

這樣的系統是否存在呢?希爾伯特除了在 23 個問題中的第一個問題提出「連續統假設」,身為康托爾堅定的擁護者(腦粉),也在第二個問題中提了這樣的難題。

這也接續到我們先前的介紹:再後來哥德爾成功證明了不完備定理、解決了 23 個問題中的第二個問題,到圖靈用「圖靈機」的概念更加簡單明瞭的重新演繹一次哥德爾不完備定理,最後馮.紐曼基於通用圖靈機的概念、建出了第一台具備現代電腦架構雛形的電腦。

哇!「電腦是怎麼來的」居然爬梳出這麼多的問題?

哲學:不懈探究真理的精神

若要探究下去,你知道:康托爾、希爾伯特、哥德爾、馮.紐曼…等人都是德國人嗎(哥德爾和馮.紐曼皆為奧匈帝國人)?19 世紀的德國究竟是一個什麼樣的時代,造就了如此多的數學大家?

事實上,你知道這些數學家同時還有著哲學家的頭銜嗎?更進一步來說,19 世紀知名德國哲學家,尚包括了:黑格爾、叔本華、馬克思、尼采、康德… 毫無疑問地,當時的德國可說是歐洲最具代表性的哲學重鎮。

哲學反映了人類對真理的追求,體現人類的智能與認知極限。因而數學的發展不只是解一些生活問題,而成為一種學問、一種探求真理的道路與哲學手段。

哲學在西方文化中扮演了非常重要的角色,也是現代科學會出現在歐洲的重要原因。至於西方哲學追求真理的精神,又是起源於何時何處呢?這又要回溯到希臘時期,比如亞里斯多德的三段式證法或畢達哥拉斯學派……。

觀察過往,出現像上述「無限有多大」這樣的數學危機,在人類史上也不是第一次發生了:負數的英文為--Negative Number、無理數--Irrational Number、虛數--Imaginary Number。否定的 (Negative)、不合理的 (Irrational)、想像的 (Imaginary)……。

從這些詞彙中可以看出在探究真理的過程中,人類總是不斷遭遇思想上的困難,卻又能在突破後、成功踏上嶄新的道路。 今天我們思考了一個問題:「電腦是怎麼來的?」,並從中衍生出了更多值得探索的問題:

.數學是邏輯、也是哲學?
.歷史上其他的數學危機有哪些、又是如何被解決的?
.希臘亞里斯多德時代至一戰前的德國,哲學是如何百花齊放?
.無限有多大?
.悲劇性的數學家康托爾為什麼偉大?
.希爾伯特的 23 個問題?
.我們能造出一台判別真理的機器嗎?
.哥德爾不完備定理是什麼?圖靈機呢?
.計算機的電路是怎麼計算和記憶的?

沒有了探求宇宙真理的精神,或許工業革命就不會出現在歐洲了? 人類也不會有科技發展、或者今日的生活。

少年啊,你渴望真理嗎?

後續幾篇,我們會繼續用深入淺出的方式一一來討論這些問題,歡迎一起加入這樣的思考訓練吧!


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