改行公曆｜科學史上的今天：10/5

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

關於春分，我們大多都能直接地說出這天晝夜等長；但除此之外，你知道春分曾經因為曆法的關係而歪的很嚴重嗎？這一天除了感受日夜長度差不多，還有哪些美景可以欣賞呢？讓我們一起來看看關於春分的二三事吧！

閏年太多的儒略曆讓春分的時間跑掉了

• 本段內容摘錄自《愚人節是曆法修改下的副產物？3分鐘搞懂羅馬曆、儒略曆到現行的格里曆》

公元 46 年，羅馬共和時期的執政官凱薩宣布廢除羅馬曆，改採用儒略曆。

羅馬曆把 1 年分為 10 個月，以 March（三月）為第一個月。在英文中，September（九月）、October（十月）、November（十一月）、December（十二月）的拉丁字源分別是 7、8、9 和 10；後來人們在儒略曆中加入 January（一月）和February（二月）這兩個月分，前述的四個月分才往後順延，成為現在的九月、十月、十一月和十二月。不過羅馬人仍將 March 當作每年的第一個月，February 則為最後一個月。

實行儒略曆後，凱薩的將領馬克．安東尼（Mark Antony）馬上建議將第七個月改名為凱薩的名字Julius（因為凱薩是這個月出生的）；凱撒也從二月抽走 1 天，加到自己的月分中，讓七月變成 31 天。後來，奧古斯都（Augustus Caesar）認為以自己名字命名的八月 只有 30 天太少，於是又從二月抽了1 天到八月，導致現在二月只有28 天。

儒略曆比羅馬曆完善，但仍有缺點，問題在於閏年太多了。地球圍繞太陽一周耗時 365 天 5 小時 48 分鐘 45 秒，儒略曆考量到這點，每 4 年在二月補上 1 天，但這方法延續到十六世紀時已經補過頭了，導致當時的儒略曆與分至點（春分、夏至、秋分、冬至）已有 24 天的差距。

春分歪掉，復活節也跟著歪掉啦

• 本段內容摘錄自《閏年怎麼來？為什麼是2月29日？事情沒有你想的那麼簡單》

而這還會有什麼問題呢？

每年差一點點，對於人們生活週期可能還沒有太大的影響，但是對於宗教節慶就有不可輕忽的改變了。由於復活節的時間，是從春分的時間推算而來的。曆法上的年，與太陽、地球真實關係的回歸年有所偏移，就代表每年春分的時間位在曆法上的日期，也不斷地偏移。春分的時間偏移，復活節的時間也就跟著偏移，這對教廷來說是件大事。

於是，在1582年，教皇格列哥里十三世宣布改曆。他做了兩件事情：第一件事，改變置閏的規則。為了讓每年春分時間一致，必須讓曆法的年逼近回歸年。原來年份只要是4的倍數就要置閏，但這樣閏太多了，使得曆法平均一年（365.25天）超過回歸年（365.2422天）太多，因此需要砍掉幾個閏年來修正這個餘額。這時採取的辦法是這樣的：以後年份如果是100的倍數但不是400的倍數，就不是閏年了。也就是說，西元1700、1800、1900年都不再是閏年，但2000年仍然是閏年。

以上的作法，將「4年1閏」變為「400年97閏」。簡單計算一下，1/4=0.25，儒略曆平均一年365.25天；97/400=0.2425，格列哥里曆平均一年365.2425天，與回歸年的誤差縮減到每年0.0003天，到三千多年左右才會誤差一天。這套格列哥里曆，就一直沿用成為現代的「公曆」了。

格列哥里改曆，還做了第二件事情，目的是要讓春分回到3月21日，才能維繫復活節原定的時間。因此，他做了一個立即的修正，等於是大刀砍下去，把之前偏差掉的全部改了回來。還記得嗎？我們剛才估算的結果，儒略曆經過一千多年，整整多出了10天左右。這時候，教皇格列哥里十三世作法很直接，直接在1582年砍掉10天！所以，1582年10月5日到14日，這十天就因為這次改曆而消失了。

想體驗手算日出的感覺嗎？來試試日出方程式

• 本段內容摘錄自《日出方程式 (Sunrise Equation) – 基本式推導》

如上圖所示，從外太空看地球側面，水平基準線 OH 為地球赤道，垂直線 OG 為太陽在春分或秋分照射地球時的日夜分界線，斜線 OB 為太陽其它日期照射地球的日夜分界線，日夜分界線的地方就是日出或日落的地方。

有了日出方程式，就可以計算出太陽在不同的赤緯，地球各地不同緯度的日出和日落精確時間：

ω₀ 是日出(當數值為負數時)或日落(當數值為正值時)時，以度為單位的時角；
ψ 是在地球上觀測者的緯度；

δ 是太陽的赤緯；

日出的定義為太陽剛從地平線出現的一剎那，而非整個太陽離開地平線，而日落是以太陽完全沒入地平線，太陽盤面大小約0.5°。還有大氣折射影響，太陽在地平面會被抬升約 0.6°。

因此，需要再加 a = -0.85°(= 0.6°+0.5°/2) 修正

或是找個地方靜靜地，享受春分帶來的美景

• 本段內容摘錄自《時間的軌跡：現代都市中的巨石陣》

天體運動的成因有好幾個，包括地球繞著太陽做軌道運動、地球以地軸為中心自轉，還有因為地球的北極並非位於與軌道面垂直的位置。從這三點延伸得到的觀測結果，就是太陽在天空中的位置會在一年當中不斷改變。太陽每天會從地平線上不同的位置昇起落下，在天空中移動的軌跡也都不一樣。

一年之中，在春分和秋分這兩天，太陽會從正東方昇起、於正西方落下；而在夏至和冬至時，太陽在地平線上東昇西落的位置會分別最偏向北方和南方。

世界有許多古代遺址的岩石和建築物，是依據星辰和太陽的起落和位置所精心排列，像是青蔥蒼翠的索爾茲伯里平原 (Salisbury Plain) 上矗立的巨石陣、安納沙茲人 (Anasazi) 建於查科峽谷 (Chaco Canyon) 的卡薩林克納達神廟 (Casa Rinconada)，還有懷俄明州大角山脈 (Bighorn Range) 山頂的大醫藥輪 (Great Medicine Wheel)。

有時候，現代都市的地標排列也會與時鐘般規律的天體運行呈現巧妙的呼應，或許是有意設計的，但多半都是出於偶然。看看曼哈頓島 (Island of Manhattan) 就知道了，這座島位於哈德遜河 (Hudson River) 的河口，對角線往南北方向偏斜；最早有人在此定居時，街道都是隨意開闢的，像大部分的古老城市一樣雜亂無章地發展。這些曲折小路看起來大同小異、難以辨別，讓整個城區儼然成為不斷擴大的迷宮，最後終於根據 1811 年委員會計劃 (Commissioners’ Plan of 1811) 將整座城市的發展方針制定為棋盤式的街道。

當時對於棋盤式街道的規劃，是依照和島嶼海岸平行的方向，開闢出略偏南北方向的一條條大道；因此，和這些幹道交叉的橫向街道都略為偏往東西向，與正東西方向的偏斜角度大約為 25 到 30 度，結果正巧讓所有的橫向街道幾乎正對著夏至時日出日落的方向！這個現象在大約十年前由奈爾·德葛拉司·泰森 (Neil deGrasse Tyson) 提出而廣為人知，他將這個現象稱為「曼哈頓巨石陣」(Manhattanhenge)。

不過若想欣賞與天文現象排列一致的現代建築景觀，也不是非得大老遠跑到曼哈頓去，很多城鎮都市的街道都是以棋盤式排列。如果是以東西向和南北向規劃鋪設的街道系統，在每年三月和九月的春分與秋分，都有機會目睹這種魔幻奇景。芝加哥市就是一例，當地的街道 (大致上) 是呈現矩形的棋盤狀排列，與羅盤方位一致，所以在三月的春分和九月的秋分時，就可以拍攝到「芝加哥巨石陣」的景象！

這可以從我們的地平線日曆中推敲得知，因為太陽從地平線昇起落下、不斷移動，在夏至和冬至、春分和秋分時，可以預料太陽在地平線上昇起落下的固定位置，但若經過仔細的規劃、觀測還有模擬 (可以使用 Stellarium 一類的天文館模擬器)，你就會發現自己居住的城市街道在什麼時候會正對著日出和日落的方向。

不妨就趁著春分的今天，趕快看準時間走出戶外，到離你最近的東西向街道上，拿出手機拍下正對著日出或日落的獨特景象吧！

從一年十個月的羅馬曆到十二個月的儒略曆

羅馬曆把 1 年分為 10 個月，以 March（三月）為第一個月。在英文中，September（九月）、October（十月）、November（十一月）、December（十二月）的拉丁字源分別是 7、8、9 和 10；後來人們在儒略曆中加入 January（一月）和February（二月）這兩個月分，前述的四個月分才往後順延，成為現在的九月、十月、十一月和十二月。不過羅馬人仍將 March 當作每年的第一個月，February 則為最後一個月。

公元 46 年，羅馬共和時期的執政官凱薩宣布廢除羅馬曆，改採用儒略曆。他的將領馬克．安東尼（Mark Antony）馬上建議將第七個月改名為凱薩的名字Julius（因為凱薩是這個月出生的）；凱撒並且從二月抽走 1 天，加到自己的月分中，讓七月變成 31 天。後來，奧古斯都（Augustus Caesar）認為以自己名字命名的八月 只有 30 天太少，於是又從二月抽了1 天到八月，導致現在二月只有28 天。

儒略曆比羅馬曆完善，但仍有缺點，問題在於閏年太多了。地球圍繞太陽一周耗時 365 天 5 小時 48 分鐘 45 秒，儒略曆考量到這點，每 4 年在二月補上 1 天，但這方法延續到十六世紀時已經補過頭了，導致當時的儒略曆與分至點（春分、夏至、秋分、冬至）已有 24 天的差距。

現行的公曆：格里曆如何修正閏年

格里曆就是現在多數國家所採用的公曆，由義大利天文學家阿洛伊修斯．里利烏斯（Luigi Lilio）改良儒略曆而來，可惜他在說服梵蒂岡於採用此曆前便過世了。後來，修訂格里曆的重任就落在德國數學家克里斯托佛．克拉烏（Christopher Clavius）身上。

1582 年，教宗格里．高利十三世（Pope Gregory XIII）宣布改行此曆，因而得到「格里曆」之名。

格里曆的閏年規則與儒略曆不同，基本上也是四年一閏，但如果是千禧年，該年必該同時能被 4 與100 整除（也就是要能被 400 整除），才行閏年，因此公元1700 年、1800 年、1900 年都不是閏年，公元2000 年才是。在這個設定下，格里曆每 400 年只有 97 個閏年，比較接近每 3,300 年才誤差 1 天的回歸年（也就是我們現在使用的太陽年）。

愚人節的由來

4 月1 日之所以被定為愚人節，很可能跟格里曆有關。以前英國人在三月底開始新年節慶，慶祝活動至四月的第一天達到高峰然後結束。改行格里曆後，很多人因為不知道曆法改變了，仍然按照儒略曆的日期慶祝新年。在 1750 那個年代，資訊傳播得很慢，導致有些偏遠地區的居民在錯的日子慶祝新年，看在城巿親戚的眼裡自然十分可笑。

其他國家當然不乏慶賀春天到來的瘋狂節日，但英國人之所以在 4 月 1 日彼此作弄，的確是從改行格里曆後才開始的。所以，如果愚人節不是特定傳統，它的出現應該要「歸功」於格里曆。

本文摘自《我們如何丈量世界？從生活的單位看見科學的趣味》，三采文化出版。