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用數學幾何蓋出沒有柱子的建築!巴爾蒙德的倫敦蛇形藝廊 2002

Sharkie Lin_96
・2016/12/13 ・2587字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

英國倫敦海德公園旁,曾有一棟相當著名的實驗性建築蛇形藝廊 2002(Serpentine Gallery Pavilion 2002),蛇形藝廊從 2000 年開始每年都會在夏季舉辦為期三個月的建築展覽,結束後會拆除隔年再換下一個實驗性建築,世界上許多建築大師都曾參與其中[1],算是建築界非常有名的年度盛事。

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倫敦蛇形藝廊 2002 建築物外觀。圖/Balmond Studio 授權使用

蛇形藝廊 2002 是由建築師伊東豊雄(Toyo Ito)、結構設計師塞西爾.巴爾蒙德(Cecil Balmond)與 Arup 團隊共同完成,是一棟長寬高為 18 m × 18 m × 4.5 m 的建築物。意外的是建築內沒有看到明顯的柱體,反而是由許多直線交織出不規則的圖形,來構成天花板與牆面,使得建築物散發一種特殊的美感。具體上無法形容和說明這個建築帶給我的感覺,但從數學人的觀點來看,這構造和幾何息息相關。

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巴爾蒙德與伊東豊雄合影。圖/Balmond Studio 授權使用

建築的最基本元素是正方形?!

乍看之下,建築物中的線條十分複雜看不出有什麼規律,但實際上裡頭運用了非常簡單的數學原理演算法規則。結構設計師巴爾蒙德在建築結構設計中,運用許多典型之外(informal)的設計方式[3],改變一點大家習以為常的規則,創造出許多有趣的建築。

在蛇形藝廊 2002 的建築設計中,巴爾蒙德以正方形為元素(element)作為設計結構的思考起點。他將一個正方形的其中一邊的中點也就是 1/2,連至鄰邊邊長的 1/3,以此類推至四個邊,卻發現這四個邊無法構成一個正方形,所以再將這四個邊的邊線延伸至出去,得到了一個小正方形。再按照此 1/2 → 1/3 演算法的原則進行多次之後得到如下圖右下方交錯的線條網路[4]。

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我們一般人如果想要在正方形中得到另一個正方形,大概就是 1/2 → 1/2 原正方形四個邊的中點連中點吧。1/2 → 1/3 的演算法和 1/2 → 1/2 有什麼不同呢?

首先是中心點胚騰〔註〕的偏移(skew of pattern)打破了原有圖形的對稱性,新的正方形會超過原本正方形的邊界,在重複進行多次以後也會產生螺旋的形狀。

  • 註:胚騰(pattern)可解釋成圖樣、紋理、規律、規則等。

接著選定正方形內較小的一四邊形當作屋頂設計的樣式後,去掉四個角落之後將四邊形外多出的線條垂直向下摺疊 90 度形成一個盒子,再進行結構分析選擇哪些空間是具承重功能的結構體、哪些空間則保持鏤空,使整個系統成為一個無傳統梁柱的建築結構系統。也就是說,這個造型本身就是結構體,而不是只有外觀裝飾功能。

沒有柱子的實驗建築誕生

其實最一開始的時候,伊東豊雄了解到可以在材料與形式上進行許多實驗,由於只有三個月的展期,因此不用擔心建築的功能,也無須擔心建築物會隨著時間老化的特性。他和巴爾蒙德打算採用一般的盒形幾何,透過胚騰的參與(patterned intervention)轉化成一個特殊且與眾不同的建築。

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倫敦蛇形藝廊 2002 建築物內觀。圖/Balmond Studio 授權使用

伊東在概念發想階段提出兩個問題:第一是如何將一個樓板漂浮在空中,也就是說沒有可見的鉛垂線,亦沒有傳統上樓板在柱子上的限制;第二個問題則是如何轉化一個盒子?也就是做一個沒有柱子甚至沒有窗戶與門的盒子(column-less box)[5],沒有任何一般建築會有的元素。

總而言之,伊東想要呈現的是非線性的過程。他們想出的策略是秩序的隨機(ordered random),看似隨機但背後隱含著秩序。伊東交了一個有很多大型不規則氣泡在建築體的草圖給巴爾蒙德之後,巴爾蒙德修正提出了 1/2 → 1/3 的演算法,將乾枯的算術轉化成可用在結構、建築、裝飾的代數規則。

具備將元素轉化成結構設計規則這種能力的結構設計師並不多,巴爾蒙德在這方面是佼佼者,世界上許多知名的建築師都喜歡找他合作。2016 年重新開幕的台中歌劇院也是伊東豊雄和巴爾蒙德的作品,看歌劇院流動的造型就知道他們總是喜歡挑戰一些高難度的建築。

用「元素」玩出結構新貌 巴爾蒙德的建築世界

除了前述的從元素正方形中設計出建築的基本構造之外,巴爾蒙德也擅於從大自然的元素中提取設計的靈感還寫了一本叫做《元素》(Element)的書[6],裡面有稻草堆、花朵生長的方式、甚至還有一個章節是數學裡面的元素,像是伊斯蘭圖樣、數字等概念。

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Element 展覽裡以圖形化呈現吠陀方形的數字規律。 圖/Alex Fradkin 和 Balmond Studio 授權使用

巴爾蒙德早期也曾經研究過位數根(digital root),憑藉著對數字的熱愛以及其中蘊含的規律,寫了《數字 9》(Number 9 : The Search for the Sigma Code)這本書,裡頭也有提到源自古印度數學的吠陀方形(Vedic square)以及位數根的各種規律[7],下圖是吠陀方形在 Element 展覽中呈現的樣態;最新的書 Crossover 則是整理了以往的藝術、建築、橋梁的創新設計案例與概念[8]。

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Cecil Balmond 的著作。圖/Amazon

雕塑家朱銘說過:「人類創造立方體,卻被立方體所框。」他認為自然生態之中並沒有立方體的形式存在,而僅存在於人類社會之中。被創造出的立方體對人的生活空間與思考都是一種框架,朱銘也在思考如何跨越這個限制。

巴爾蒙德創造出了一個立方體,顛覆了一般大眾對於立方體的認知,以及建築設計、工法上的限制。以秩序生成隨機體現於建築中,不再被立方體所框,而這一切不過就是一個正方形從 1/2 連到 1/3,將線條延伸出原本的邊界去。

讀巴爾蒙德的書除了覺得對於數學的著迷這一點與大師心靈相通之外,還發現他的書書名可以寫成一個跨界方程式:仔細觀察自然或數學中的元素(Element),乘以別人想不到的非典型方式制定新規則(Informal),便可以跨越邊界創造新事物(Crossover)!

Element × Informal = Crossover

  • 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料:

  1. Pavilion | Serpentine Galleries, 2016.
  2. Balmond Studio, 2016.
  3. Balmond, C. Informal, Prestel, Munich, 2007.
  4. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
  5. Ito, T., Balmond, C. Serpentine Gallery Pavilion 2002: Toyo Ito with Arup, Workshop for Architecture and Urbanism, Japan, 2002.
  6. Balmond, C. Element, Prestel, Munich, 2007.
  7. Balmond, C. Number 9, Prestel, Munich, 1998.
  8. Balmond, C. Crossover, Prestel, Munich, 2013.

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Sharkie Lin_96
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在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味,因此近來體驗到數學研究、藝術創作、採訪寫作、展覽策劃、資優教育等工作。不是念數學也不是學藝術,但樂於從多元視角聊聊數學的各種姿態,以及進行數學藝術創作,希望能為世界帶來一點樂趣。科普部落格〈鯊奇事務所〉https://medium.com/sharkie-studio,聯絡信箱 sharkgallium@gmail.com


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「好奇心」不只是珍貴的學習動機,還能讓孩子學得更好、記得更牢!

數感實驗室_96
・2022/05/12 ・1781字 ・閱讀時間約 3 分鐘

大家或許都有這樣的經驗:隔天要考試了,卻不管怎麼背誦依然記不得內容,反倒是平常無意間看到的有趣事情,那怕再冷僻或有些困難,卻深深印在腦海裡,就算隔了好一陣子依然記得很清楚。
就算隔了好一陣子依然記得很清楚。或者回想一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。

一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。圖/envato elements

究竟,好奇心跟學習有甚麼關聯呢?

好奇心讓你記得更清楚

戴維斯加州大學曾作過一項研究相關研究。他們邀請了一群受試者,給他們快速看過一系列題目,不用作答,只需自評對題目的「把握度」及「好奇度」。評分完畢後,實驗者將一邊進行 fMRI 掃描大腦活動,一邊觀看方才「把握度較低」的 50 餘組題目與對應解答。

全部看完後休息 20 分鐘,受試者被要求再次作答同樣、但順序調整過的題目。由於都不是選擇題,受試者完全無法猜答案。22.5 小時後,受試者被要求第二次作答。

有趣的結果發生了。

實驗結果發現,受試者20分鐘後,針對「好奇度高」的題目答對率高達 70.6%;「好奇度低」的題目答對率只有 54.1%。

22.5小時後,「好奇度高」的題目答對率依然有 45.9%;「好奇度低」的題目答對率只剩 28.1%。

好奇心讓你記得。圖/數感實驗室

與問題無關的資訊也能記得牢牢的!

不只如此,實驗裡還設計了一個很特別的橋段:在每題的【題目】與【解答】中間,隨機插入一些人臉,之後的兩次測驗中,同時請受測者辨認那些人臉照片是否有出現在原本的題目中。

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!圖/envato elements

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!

好奇度高與好奇度低的題目,各自有著 42.4% 與 38.2% 的人臉辨識正確率。換句話說,好奇心不僅能幫助記得關心的事件,還能連帶強化和事件無關資訊的記憶力。

為什麼會這樣呢?研究人員利用 fMRI 掃描,發現好奇心引發的強化記憶迴路,和外在動機啟動的區域非常相似,同樣仰賴多巴胺在神經間進行傳遞。

受試者看到他們比較好奇的題目時,會活化大腦內部一條與獎勵機制有關的途徑,增加負責大腦記憶的海馬迴活動。此時,大腦會處在能夠吸收各種資訊並記憶下來的狀態,所以即使是與問題無關的無聊資訊,也比較容易記住。

過去我們一直鼓勵探索、鼓勵孩子喜歡數學,激發學習動機。這次跟大家分享的研究,更進一步展現了「好奇心」與「喜歡」的價值。它不只是學習的起點,不只是讓孩子學習時快樂些,更是學習路上的加速器,能讓孩子學得更好、更有效率。

好奇心讓學習更快樂也更有效率!圖/envato elements

那麼,好奇心要去哪裡買?

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參考資料

  • Matthias J. Gruber, Bernard D. Gelman, Charan Ranganath. States of Curiosity Modulate Hippocampus-Dependent Learning via the Dopaminergic Circuit. Neuron, 2014 DOI: 10.1016/j.neuron.2014.08.060

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/