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如果讓喝醉酒的天文台助理,測量行星的軌道……—《股價、棉花與尼羅河密碼》

PanSci_96
・2016/10/26 ・1706字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 550 ・八年級

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三種機率型態中,最為人熟悉的莫過於兩個世紀前崛起的鐘形分布/常態分布。打從一開始,常態分布的理論就十分有影響力且頗具爭議。確實,常態分布的發明還有一段為人津津樂道的故事,那就是法國數學家勒讓德(Adrien-Marie Legendre, 1752-1833)和史上最有名的數學家高斯之間的爭論。

十九世紀初,計算天體運行軌道是當時數學研究中走在尖端的一個領域。日新月異的望遠鏡為科學家帶來更多天體的新資訊,而牛頓的地心引力定律,更是科學家用以分析觀測數據的利器。

不過,早在十六世紀末,著名丹麥天文學家第谷.布拉赫(Tycho Brahe, 1546-1601)所處的年代,人們就知道天文觀測很容易有誤差。首先,望遠鏡本身就有瑕疵:鏡片打磨效果不佳,而且底座不平。儀器方面的誤差還可以衡量、補救,但其他方面的狀況就很難控制了,例如大氣的狀態、地球的震動,以及喝醉酒的天文台助理。諸如此類無法控制的差錯,都會嚴重影響新彗星或行星運行軌道的測量。

像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr
像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr

就跟從前多數的數學家一樣,勒讓德和高斯在專業方面的興趣相當廣泛。

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阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。
阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。

在巴黎的勒讓德不但將歐幾里得著名的幾何學,重新編寫成該領域的標準教材,完成數論領域第一本專著,並且於拿破崙主政時期協助精準測量出巴黎地區的地圖。

身處德國北部漢諾瓦王國(漢諾瓦王朝曾經是好幾代的英國國王)的高斯則是個神童,工人子弟出身的他在牙牙學語之前就會算數了,十八歲便完成他第一個有名的幾何學證明。舉凡他碰過的領域,沒有一個不因而更加進步,例如質數、代數函數、無窮級數、機率及拓樸學。

身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。
身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。

高斯和同事共同設計了第一架電報機。跟勒讓德一樣,他也忙著勘測地圖。此外,高斯以極少的數據計算出數個新發現小行星的運行軌道。確實,高斯的運算速度恐怕鮮少有人比得上,他只花十個小時就計算出灶神星(Vesta)的軌道並加以驗證,換做是別人,可能要好幾天辛苦地計算、查證、核對。

這兩個人的衝突,就發生在天文學領域

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1806 年,勒讓德發表一篇論文探討天體運行軌道的計算,其中包括名為「論最小平方法」(On the method of least squares)的附錄。該篇論文主要是探討常見的難題:如何用誤差重重的觀測值,計算出運行軌道或其他自然現象的正確值。

方法很簡單,首先猜測軌道的正確值,計算該值與各個觀測值相差多少——這就是誤差。然後計算誤差的平方值,將之加總起來。接著,再猜測軌道的正確值,重複先前的步驟,看看誤差平方值之總和是否比上一次小。就這樣一再重複。最小平方法可以找出最小的誤差平方值總和,它就是最接近所有觀測值的數據。

這是很有效的方法,立刻被許多人採用,時至今日更被運用在各式物理研究上,從天文學到生物學無所不包

但是,高斯沒有將勒讓德放在眼裡,在勒讓德提出該論文三年之後,他也發表類似的計算方法。勒讓德當然提出抗議。高斯向來不屑跟其他數學家爭辯,總覺得浪費時間。他沒有直接回應,只對同事表示他在十八歲時就發明這個方法了,而且已經在天文計算上用過很多次。拉普拉斯試圖居中協調,但沒有成功。

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最後勒讓德和高斯兩人都被認可為最小平方法的發明人。後人企圖在高斯的手稿中尋找證明,結果雖仍有爭議,但比起勒讓德,高斯對最小平方法的了解顯然更為高段。


書封:股價、棉花與尼羅河密碼

 

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》,早安財經文化出版。

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數智驅動未來:從信任到執行,AI 為企業創新賦能
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/01/13 ・4938字 ・閱讀時間約 10 分鐘

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本文由 鼎新數智 與 泛科學 共同規劃與製作

你有沒有想過,當 AI 根據病歷與 X 光片就能幫你診斷病症,或者決定是否批准貸款,甚至從無人機發射飛彈時,它的每一步「決策」是怎麼來的?如果我們不能知道 AI 的每一個想法步驟,對於那些 AI 輔助的診斷和判斷,要我們如何放心呢?

馬斯克與 OpenAI 的奧特曼鬧翻後,創立了新 AI 公司 xAI,並推出名為 Grok 的產品。他宣稱目標是以開源和可解釋性 AI 挑戰其他模型,而 xAI 另一個意思是 Explainable AI 也就是「可解釋性 AI」。

如今,AI 已滲透生活各處,而我們對待它的方式卻像求神問卜,缺乏科學精神。如何讓 AI 具備可解釋性,成為當前關鍵問題?

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AI 已滲透生活各處,而我們對待它的方式卻像求神問卜,缺乏科學精神。如何讓 AI 具備可解釋性,成為當前關鍵問題?圖/pexels

黑盒子模型背後的隱藏秘密

無法解釋的 AI 究竟會帶來多少問題?試想,現在許多銀行和貸款機構已經使用 AI 評估借貸申請者的信用風險,但這些模型往往如同黑箱操作。有人貸款被拒,卻完全不知原因,感覺就像被分手卻不告訴理由。更嚴重的是,AI 可能擅自根據你的住所位置或社會經濟背景給出負面評價,這些與信用風險真的相關嗎?這種不透明性只會讓弱勢群體更難融入金融體系,加劇貧富差距。這種不透明性,會讓原本就已經很難融入金融體系的弱勢群體,更加難以取得貸款,讓貧富差距越來越大,雪上加霜。

AI 不僅影響貸款,還可能影響司法公正性。美國部分法院自 2016 年起使用「替代性制裁犯罪矯正管理剖析軟體」 COMPAS 這款 AI 工具來協助量刑,試圖預測嫌犯再犯風險。然而,這些工具被發現對有色人種特別不友好,往往給出偏高的再犯風險評估,導致更重的刑罰和更嚴苛的保釋條件。更令人擔憂的是,這些決策缺乏透明度,AI 做出的決策根本沒法解釋,這讓嫌犯和律師無法查明問題根源,結果司法公正性就這麼被悄悄削弱了。

此外,AI 在醫療、社交媒體、自駕車等領域的應用,也充滿類似挑戰。例如,AI 協助診斷疾病,但若原因報告無法被解釋,醫生和患者又怎能放心?同樣地,社群媒體或是 YouTube 已經大量使用 AI 自動審查,以及智慧家居或工廠中的黑盒子問題,都像是一場越來越複雜的魔術秀——我們只看到結果,卻無法理解過程。這樣的情況下,對 AI 的信任感就成為了一個巨大的挑戰。

為什麼人類設計的 AI 工具,自己卻無法理解?

原因有二。首先,深度學習模型結構複雜,擁有數百萬參數,人類要追蹤每個輸入特徵如何影響最終決策結果,難度極高。例如,ChatGPT 中的 Transformer 模型,利用注意力機制(Attention Mechanism)根據不同詞之間的重要性進行特徵加權計算,因為機制本身涉及大量的矩陣運算和加權計算,這些數學操作使得整個模型更加抽象、不好理解。

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其次,深度學習模型會會從資料中學習某些「特徵」,你可以當作 AI 是用畫重點的方式在學習,人類劃重點目的是幫助我們加速理解。AI 的特徵雖然也能幫助 AI 學習,但這些特徵往往對人類來說過於抽象。例如在影像辨識中,人類習慣用眼睛、嘴巴的相對位置,或是手指數量等特徵來解讀一張圖。深度學習模型卻可能會學習到一些抽象的形狀或紋理特徵,而這些特徵難以用人類語言描述。

深度學習模型通常採用分佈式表示(Distributed Representation)來編碼特徵,意思是將一個特徵表示為一個高維向量,每個維度代表特徵的不同方面。假設你有一個特徵是「顏色」,在傳統的方式下,你可能用一個簡單的詞來表示這個特徵,例如「紅色」或「藍色」。但是在深度學習中,這個「顏色」特徵可能被表示為一個包含許多數字的高維向量,向量中的每個數字表示顏色的不同屬性,比如亮度、色調等多個數值。對 AI 而言,這是理解世界的方式,但對人類來說,卻如同墨跡測驗般難以解讀。

假設你有一個特徵是「顏色」,在傳統的方式下,你可能用一個簡單的詞來表示這個特徵,例如「紅色」或「藍色」。但是在深度學習中,這個「顏色」特徵可能被表示為一個包含許多數字的高維向量,向量中的每個數字表示顏色的不同屬性,比如亮度、色調等多個數值。圖/unsplash

試想,AI 協助診斷疾病時,若理由是基於醫生都無法理解的邏輯,患者即使獲得正確診斷,也會感到不安。畢竟,人們更相信能被理解的東西。

打開黑盒子:可解釋 AI 如何運作?我們要如何教育 AI?

首先,可以利用熱圖(heatmap)或注意力圖這類可視化技術,讓 AI 的「思維」有跡可循。這就像行銷中分析消費者的視線停留在哪裡,來推測他們的興趣一樣。在卷積神經網絡和 Diffusion Models 中 ,當 AI 判斷這張照片裡是「貓」還是「狗」時,我需要它向我們展示在哪些地方「盯得最緊」,像是耳朵的形狀還是毛色的分布。

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其次是局部解釋,LIME 和 SHAP 是兩個用來發展可解釋 AI 的局部解釋技術。

SHAP 的概念來自博弈,它將每個特徵看作「玩家」,而模型的預測結果則像「收益」。SHAP 會計算每個玩家對「收益」的貢獻,讓我們可以了解各個特徵如何影響最終結果。並且,SHAP 不僅能透過「局部解釋」了解單一個結果是怎麼來的,還能透過「全局解釋」理解模型整體的運作中,哪些特徵最重要。

以實際的情景來說,SHAP 可以讓 AI 診斷出你有某種疾病風險時,指出年齡、體重等各個特徵的影響。

LIME 的運作方式則有些不同,會針對單一個案建立一個簡單的模型,來近似原始複雜模型的行為,目的是為了快速了解「局部」範圍內的操作。比如當 AI 拒絕你的貸款申請時,LIME 可以解釋是「收入不穩定」還是「信用紀錄有問題」導致拒絕。這種解釋在 Transformer 和 NLP 應用中廣泛使用,一大優勢是靈活且計算速度快,適合臨時分析不同情境下的 AI 判斷。比方說在醫療場景,LIME 可以幫助醫生理解 AI 為何推薦某種治療方案,並說明幾個主要原因,這樣醫生不僅能更快做出決策,也能增加患者的信任感。

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第三是反事實解釋:如果改變一點點,會怎麼樣?

如果 AI 告訴你:「這家銀行不會貸款給你」,這時你可能會想知道:是收入不夠,還是年齡因素?這時你就可以問 AI:「如果我年輕五歲,或者多一份工作,結果會怎樣?」反事實解釋會模擬這些變化對結果的影響,讓我們可以了解模型究竟是如何「權衡利弊」。

最後則是模型內部特徵的重要性排序。這種方法能顯示哪些輸入特徵對最終結果影響最大,就像揭示一道菜中,哪些調味料是味道的關鍵。例如在金融風險預測中,模型可能指出「收入」影響了 40%,「消費習慣」占了 30%,「年齡」占了 20%。不過如果要應用在像是 Transformer 模型等複雜結構時,還需要搭配前面提到的 SHAP 或 LIME 以及可視化技術,才能達到更完整的解釋效果。

講到這裡,你可能會問:我們距離能完全信任 AI 還有多遠?又或者,我們真的應該完全相信它嗎?

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我們終究是想解決人與 AI 的信任問題

當未來你和 AI 同事深度共事,你自然希望它的決策與行動能讓你認可,幫你省心省力。因此,AI 既要「可解釋」,也要「能代理」。

當未來你和 AI 同事深度共事,你自然希望它的決策與行動能讓你認可,幫你省心省力。圖/unsplash

舉例來說,當一家公司要做一個看似「簡單」的決策時,背後的過程其實可能極為複雜。例如,快時尚品牌決定是否推出新一季服裝,不僅需要考慮過去的銷售數據,還得追蹤熱門設計趨勢、天氣預測,甚至觀察社群媒體上的流行話題。像是暖冬來臨,厚外套可能賣不動;或消費者是否因某位明星愛上一種顏色,這些細節都可能影響決策。

這些數據來自不同部門和來源,龐大的資料量與錯綜關聯使企業判斷變得困難。於是,企業常希望有個像經營大師的 AI 代理人,能吸收數據、快速分析,並在做決定時不僅給出答案,還能告訴你「為什麼要這麼做」。

傳統 AI 像個黑盒子,而可解釋 AI (XAI)則清楚解釋其判斷依據。例如,為什麼不建議推出厚外套?可能理由是:「根據天氣預測,今年暖冬概率 80%,過去三年數據顯示暖冬時厚外套銷量下降 20%。」這種透明解釋讓企業更信任 AI 的決策。

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但會解釋還不夠,AI 還需能真正執行。這時,就需要另一位「 AI 代理人」上場。想像這位 AI 代理人是一位「智慧產品經理」,大腦裝滿公司規則、條件與行動邏輯。當客戶要求變更產品設計時,這位產品經理不會手忙腳亂,而是按以下步驟行動:

  1. 檢查倉庫物料:庫存夠不夠?有沒有替代料可用?
  2. 評估交期影響:如果需要新物料,供應商多快能送到?
  3. 計算成本變化:用新料會不會超出成本預算?
  4. 做出最優判斷,並自動生成變更單、工單和採購單,通知各部門配合執行。

這位 AI 代理人不僅能自動處理每個環節,還會記錄每次決策結果,學習如何變得更高效。隨時間推移,這位「智慧產品經理」的判斷將更聰明、決策速度更快,幾乎不需人工干預。更重要的是,這些判斷是基於「以終為始」的原則,為企業成長目標(如 Q4 業績增長 10%)進行連續且動態地自我回饋,而非傳統系統僅月度檢核。

這兩位 AI 代理人的合作,讓企業決策流程不僅透明,還能自動執行。這正是數智驅動的核心,不僅依靠數據驅動決策,還要能解釋每一個選擇,並自動行動。這個過程可簡化為 SUPA,即「感知(Sensing)→ 理解(Understanding)→ 規劃(Planning)→ 行動(Acting)」的閉環流程,隨著數據的變化不斷進化。

偉勝乾燥工業為例,他們面臨高度客製化與訂單頻繁變更的挑戰。導入鼎新 METIS 平台後,偉勝成功將數智驅動融入業務與產品開發,專案準時率因此提升至 80%。他們更將烤箱技術與搬運機器人結合,開發出新形態智慧化設備,成功打入半導體產業,帶動業績大幅成長,創造下一個企業的增長曲線。

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值得一提的是,數智驅動不僅帶動業務增長,還讓員工擺脫繁瑣工作,讓工作更輕鬆高效。

數智驅動的成功不僅依賴技術,還要與企業的商業策略緊密結合。為了讓數智驅動真正發揮作用,企業首先要確保它服務於具體的業務需求,而不是為了技術而技術。

這種轉型需要有策略、文化和具體應用場景的支撐,才能讓數智驅動真正成為企業持續增長的動力。

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解密離岸風電政策環評:從審查標準到執行成效,一次看懂
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/21 ・3546字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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本文由 環境部 委託,泛科學企劃執行。 

政策環評是什麼,跟一般環評差在哪?

隨著公共建設的規模越來越大,傳統的環境影響評估(EIA),難以應對當今層層疊疊的環境議題。當我們評估一項重大政策時,只看「單一開發案」已經不夠,就像評估一棵樹,卻忽略了整片森林。因此,政策環境影響評估(SEA)應運而生,它看樹,也看森林,從政策的角度進行更全面的考量與評估。

與只專注於「單一開發案」的個案環評不同,政策環評更像是一場全面性的檢視,強調兩個核心重點:「整合評估」與「儘早評估」。簡單來說,這不再是逐案評估的模式,而是要求政府在制定政策時,就先全面分析可能帶來的影響,從單一行為的侷限中跳脫,轉而聚焦在整體影響的視角。無論是環境的整體變化,還是多項行為累計起來的長期影響,政策環評的目的就是讓這些潛在問題能儘早浮現、儘早解決。

除此之外,政策環評還像是一個大型的協商平台,以永續發展為最高指導原則,公開整合來自不同利益團體、民眾與各機關的意見。這裡,決策單位不再只是單純的「評分者」,而是轉為「協調者」或「仲裁者」,協調各方的意見看法在這裡得到整合,讓過程更具包容性。

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政策環評並沒有所謂的「否決權」,而是側重意見的蒐集與整合,讓行政機關在政策推動時,能更全面地掌握各方意見。政策環評旨在建立系統化、彈性的決策評估程序(包含量化、特徵化等評估方式),也廣納社會面或民眾滿意度等影響因子,把正式與非正式的作法一併考量進去。再來,決策程序中能層層檢討、隨時修正,也建立了追蹤機制和成效評估標準(如環境殘餘效應、累積效應等),透過學習來強化決策品質與嚴謹度。就像一場球賽,隨時根據變化、調整策略。

這樣的制度設計,就非常適合離岸風電這類規模大、跨區域、影響層面廣泛的能源政策評估,讓我們可以在政策推動初期就想到整個工程對環境、產業發展與社會的諸多影響,也為後續政策執行奠定更穩固的基礎。

政策環評並沒有否決權,而是重在整合各方意見、量化影響以及建立追蹤與修正機制,這樣的制度設計便適用於離岸風電等大型政策評估。圖/envato

離岸風電為何需要的是政策環評?

離岸風電是能源轉型的重要策略之一,但這不是只在某塊空地上架幾個風車,而是要在廣闊的大海中進行大規模建設,牽涉的不僅是發電,還涉及海洋保育、航空交通、水下文化資產等議題,更與當地漁民的權益息息相關。

這樣的大型離岸風電工程,因海洋環境的風險和不確定性極高,很容易讓人擔心生態影響。如何在海洋生態保護和綠能發展之間找到平衡點?這就需要政策環評的把關,從多方檢視這些複雜的挑戰,確保政策推行既能穩妥,又能達成發電目標。

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2016 年 3 月,經濟部自願提出「離岸風電區塊開發政策評估說明書」,是臺灣首次針對再生能源政策所進行的政策環評。根據這份評估說明書,政府將採分期公告、逐年檢討的方式,每三年開放 0.5~1 百萬瓩(GW)的電量額度鼓勵業者投入開發。當時環保署(現為環境部)歷經九個月召開 2 次意見徵詢會議,蒐集環評委員、專家學者、相關機關、民眾等意見,最終於同年 12 月的環評委員會作出徵詢意見。這些協商和檢討的過程,讓政策「名正言順」,得以充分顧及各方利益與生態平衡。

共通性環境議題與因應對策

在「離岸風電區塊開發政策評估說明書」中,環評會議盤點了開發過程中共通的環境議題。

首先,對於海洋生態保育的重點,特別是對中華白海豚的保護。環評會要求風機基座必須距離白海豚棲地1公里以上,以減少對其生態的干擾。實際上,這項規範在後續的實務執行中更為嚴格,例如,福海二期示範風場已退縮到 2.5 公里外,臺電二期風場甚至退到 4.2 公里外,顯示政策環評確實發揮了實質作用。此外,針對施工期間的聲音干擾,要求施工需有 30 分鐘以上的打樁緩啟動時間,並限制聲量不得超過 180 分貝等。

針對鳥類保育,政策環評也訂立了具體規範。其中,包括風機之間必須留設 500 公尺以上的鳥類穿行廊道,並在施工期間避開每年 11 月至隔年 3 月的候鳥過境期。同時,為確保這些措施確實生效,工程方也被要求設置「鳥類活動監測系統」,持續追蹤、評估風場對鳥類的影響。

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此外,環評會也確立了「先遠後近」的開發原則,要求優先開發較單純的航道外側區塊,待累積足夠經驗及相關資料後,再進行近岸區域的開發。這項原則考量了近海生態系的複雜性,也顧到養殖漁業的漁民權益,展現出政策環評在平衡發展需求與環境保護上的價值。

新一代的審查機制:達成能源轉型及環境保護雙贏

為提升環評效率並確保審查品質,環境部參考過去離岸風電審查經驗,制定「風力發電離岸系統開發行為環境影響評估初審作業要點」,建立了全新的二階段審查機制。

環境部推動二階段審查機制,提升離岸風電環評效率與審查品質。圖/envato

這套新機制分為兩個階段。第一階段,就像「初步檢查」,由環境部依照檢核表進行初審,並由環評審查委員會執行秘書邀集 2-5 位環評委員進行初審,通過第一階段初審之業者,可取得經濟部遴選資格,其初審結果有效期為兩年,必要時可申請展延一年。接著進入「第二階段」,開發單位檢附目的事業主管機關核配的容量證明文件等資料,提供更詳細的環境影響說明書以進行實質審查。

檢核表明確規範了 15 大項審查事項、112 項檢核項目,涵蓋開發案的全生命週期。

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工程面,包含風機及海上變電站基礎設置、海域電纜路線規劃、陸域設施工程等硬體設施的規範。其中,風機基礎設置必須避開海岸保護區、河口、潮間帶等環境敏感區域,且須進行地震危害度分析。海域電纜部分,除特殊情形外,埋設深度至少須達 1.5 公尺,且不得跨越中華電信海底電纜 1 公里的範圍。

環境保護上,檢核表則對施工噪音管制訂立了明確標準。舉例來說,打樁期間警戒區 750 公尺範圍內的水下噪音不得超過 160 分貝,且必須全程採用最佳噪音防制工法。同時,每個開發案或聯席審查的風場,同一時間內只能進行一支基樁施作,而日落前一小時到日出前也不得啟動新的打樁作業。

環境監測計畫更是檢核表中的重點,分為「施工前、施工期間、營運期間」三階段,每個階段都規定了詳細的監測要求(包括海域底質監測、水下噪音監測、鯨豚目視監測等)。以鯨豚監測為例,每年需執行20趟次,四季中每季至少執行 2 趟次。此外,所有監測數據都必須上傳至環境部「環保專案成果倉儲系統」(https://epaw.moenv.gov.tw/)供各界查閱。

這套標準化的審查機制不僅解決了「同一風場可能有多家廠商重複調查或審查」的資源浪費,也透過明確的檢核項目,讓開發單位在規劃階段就能掌握更具體的環境保護要求。不僅如此,該機制亦確保了環境保護標準前後一致,避免不同案件之間標準不一。

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結語

透過新的審查機制,環境部正積極推動再生能源開發案的環評審查作業,在提升行政效率之餘,也確保環境影響評估的品質,支持臺灣的離岸風電開發及國家能源轉型政策,也做好把關。藉由標準化檢核表和二階段審查制度,期待能在推動能源轉型的同時落實環境保護。

為確保制度能持續精進,環境部每半年至一年會進行制度檢討,並持續公開所有環評書件於「環評書件查詢系統」(https://eiadoc.moenv.gov.tw/eiaweb/)。此外,環評會議召開前一週,也必須在指定網站公布開會訊息,讓民眾能申請列席旁聽或發表意見。透明化措施一方面展現了政府推動永續發展的決心,另一方面也確保全民能共同參與監督離岸風電的發展過程。未來,這套制度將在各界的檢視與建議中持續完善,為臺灣的永續發展貢獻心力,發揮環評作業的最大效益。

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傳奇的「數學王子」高斯 │ 科學史上的今天:3/30
張瑞棋_96
・2015/03/30 ・1272字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 521 ・七年級

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有關高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 自小即展露數學天份的傳奇故事,我們已經耳熟能詳:三歲時一旁觀看當水泥匠工頭的老爸計算給工人的薪資時,發現計算錯誤而當場糾正;十歲時老師在課堂上出了「由 1 加到 100」的算術難題想說可以圖個清靜,沒想到高斯竟然不到一分鐘就交卷,原來他從中看出首尾一一配對相加都等於 101 的對稱性(1+100、2+99、⋯⋯),很快算出答案等於 5050。十一歲時就自己導出二項式定理的一般展開式。

要繼續研究數學嗎?將圓十七等分的轉捩點

在費迪南公爵的資助下,家境貧困的高斯得以繼續升學,鑽研高等數學,並改進牛頓、歐拉等人的證明。然而考慮到生計問題,高斯一直不確定是否要成為數學家,直到 1796 年的今天,就在屆滿 19 歲前一個月,高斯用幾何作圖,也就是只有尺和圓規,解決了自歐幾里得以來兩千年無人能解的難題:如何將圓十七等分?這項重大的突破成為一個轉捩點,讓他立定志向將一生奉獻給數學,於是,我們才有了「數學王子」高斯。

自這一天開始,高斯將研究成果記錄在一本《日誌錄》中,直到 1814 年 7 月。這本一百年後才被發現,而今稱之為《科學筆記》的日記共有 146 則記錄,包括才相隔九天的第二則:「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、一百天後的第十則:證明任何自然數最多只需用三個三角形數之和就能表示。他在前七個月就記載了超過四十則發現,完全展現了一位天才全力以赴下的創造力有多可怕。高斯第二年完成了前人無法完成的「代數基本定理」的證明作為他的博士論文,而且日後又作出另外三種不同方式的證明。1801 年,才 24 歲的高斯將幾年來研究數論的成果集結成書;霍金如此評價這本書:「在高斯完成這本劃時代鉅作《算術研究》之前,所謂數論其實只是蒐集許多孤立研究的成果。……因為高斯在《算術研究》中引進『同餘』的符號概念,這才建構出完整的數論。」

也是 1801 這一年,義大利天文學家皮亞齊發現小行星穀神星 (Ceres),不久後就因太陽遮蔽而失去它的蹤影。高斯卻能僅憑皮亞齊的三次觀測記錄,就用自己早就發明的「最小平方法」推算出它的運行軌道。後來果然在他預測的位置上發現穀神星,高斯因此更加聲名大噪,連望遠鏡都沒有的他躋身為第一流的理論天文學家。

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高斯不凡的成就不勝枚舉,數學方面除了上述的貢獻之外,還發現代表常態分佈的高斯曲線、建立複數平面而賦予複數幾何上的意義、對於曲面的研究為非歐幾里得幾何奠下了基礎(最後由他的學生黎曼完成)。物理方面提出電磁學的高斯定理、與韋伯 (Wilhelm Weber) 共同發明第一台發報機並繪製第一張地球磁場圖,還發明廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。

高斯的研究範圍廣泛,其中許多成就光一項就足以讓他名留千古,不過高斯晚年最想要刻在墓碑上的還是將圓十七等份的正十七邊形,只是石匠認為刻好後看起來恐怕與圓無異才作罷。高斯會有此念,除了這是他選擇人生道路的轉捩點,更是因為當年解開千古數學難題的悸動令他永難忘懷吧?!

 

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。