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如果讓喝醉酒的天文台助理,測量行星的軌道……—《股價、棉花與尼羅河密碼》

PanSci_96
・2016/10/26 ・1706字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 550 ・八年級

三種機率型態中,最為人熟悉的莫過於兩個世紀前崛起的鐘形分布/常態分布。打從一開始,常態分布的理論就十分有影響力且頗具爭議。確實,常態分布的發明還有一段為人津津樂道的故事,那就是法國數學家勒讓德(Adrien-Marie Legendre, 1752-1833)和史上最有名的數學家高斯之間的爭論。

十九世紀初,計算天體運行軌道是當時數學研究中走在尖端的一個領域。日新月異的望遠鏡為科學家帶來更多天體的新資訊,而牛頓的地心引力定律,更是科學家用以分析觀測數據的利器。

不過,早在十六世紀末,著名丹麥天文學家第谷.布拉赫(Tycho Brahe, 1546-1601)所處的年代,人們就知道天文觀測很容易有誤差。首先,望遠鏡本身就有瑕疵:鏡片打磨效果不佳,而且底座不平。儀器方面的誤差還可以衡量、補救,但其他方面的狀況就很難控制了,例如大氣的狀態、地球的震動,以及喝醉酒的天文台助理。諸如此類無法控制的差錯,都會嚴重影響新彗星或行星運行軌道的測量。

像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr
像是喝醉酒的天文台助理,諸如此類無法控制的差錯。圖 / By bwibbwz @ flickr

就跟從前多數的數學家一樣,勒讓德和高斯在專業方面的興趣相當廣泛。

阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。
阿德里安-馬里·勒讓德僅存的肖像。

在巴黎的勒讓德不但將歐幾里得著名的幾何學,重新編寫成該領域的標準教材,完成數論領域第一本專著,並且於拿破崙主政時期協助精準測量出巴黎地區的地圖。

身處德國北部漢諾瓦王國(漢諾瓦王朝曾經是好幾代的英國國王)的高斯則是個神童,工人子弟出身的他在牙牙學語之前就會算數了,十八歲便完成他第一個有名的幾何學證明。舉凡他碰過的領域,沒有一個不因而更加進步,例如質數、代數函數、無窮級數、機率及拓樸學。

身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。
身處德國北部漢諾瓦王國的高斯則是個神童。

高斯和同事共同設計了第一架電報機。跟勒讓德一樣,他也忙著勘測地圖。此外,高斯以極少的數據計算出數個新發現小行星的運行軌道。確實,高斯的運算速度恐怕鮮少有人比得上,他只花十個小時就計算出灶神星(Vesta)的軌道並加以驗證,換做是別人,可能要好幾天辛苦地計算、查證、核對。

這兩個人的衝突,就發生在天文學領域

1806 年,勒讓德發表一篇論文探討天體運行軌道的計算,其中包括名為「論最小平方法」(On the method of least squares)的附錄。該篇論文主要是探討常見的難題:如何用誤差重重的觀測值,計算出運行軌道或其他自然現象的正確值。

方法很簡單,首先猜測軌道的正確值,計算該值與各個觀測值相差多少——這就是誤差。然後計算誤差的平方值,將之加總起來。接著,再猜測軌道的正確值,重複先前的步驟,看看誤差平方值之總和是否比上一次小。就這樣一再重複。最小平方法可以找出最小的誤差平方值總和,它就是最接近所有觀測值的數據。

這是很有效的方法,立刻被許多人採用,時至今日更被運用在各式物理研究上,從天文學到生物學無所不包

但是,高斯沒有將勒讓德放在眼裡,在勒讓德提出該論文三年之後,他也發表類似的計算方法。勒讓德當然提出抗議。高斯向來不屑跟其他數學家爭辯,總覺得浪費時間。他沒有直接回應,只對同事表示他在十八歲時就發明這個方法了,而且已經在天文計算上用過很多次。拉普拉斯試圖居中協調,但沒有成功。

最後勒讓德和高斯兩人都被認可為最小平方法的發明人。後人企圖在高斯的手稿中尋找證明,結果雖仍有爭議,但比起勒讓德,高斯對最小平方法的了解顯然更為高段。


書封:股價、棉花與尼羅河密碼

 

本文摘自《股價、棉花與尼羅河密碼》,早安財經文化出版。

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PanSci_96
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為何傳染病可以短期內大爆發?不可不知的「傳染動力學」——《小大人的公衛素養課》

親子天下_96
・2021/10/17 ・944字 ・閱讀時間約 1 分鐘
  • 作者/陳建仁、胡妙芬
  • 繪者/Hui

不可不知的傳染動力學:感染人數呈等比級數增加

要知道怎麼對抗傳染病,首先必須了解與傳染病傳播速度密切相關的「傳染動力學」。事實上,傳染病如同謠言一般,會一傳十,十傳百的快速傳播。如果每個人只把傳染病傳給一個人,跟每個人把傳染病傳給三個人,經過十波的傳染之後,最後得病的人數會相差多少?答案是相差 59000 多倍!(差距請見下圖)

圖/親子天下

所以,如何減少感染的人數非常重要。不管是感冒了或是得到其他傳染病,趕快去看醫生、吃藥,並且在家休息不去感染別人,這樣的聰明做法不但是保護自己,也能「傳染病止於智者」,保護到其他沒有感染的人。

圖/親子天下

R0 値是什麼?

傳染病大流行期間,報導中常提到的「R0 值」就是在自然的情況下,一個人會把傳染病傳給幾個人的意思。而加入防疫行動後,數值會隨著時間改變,就稱為「Rt 值」。

比方說,一個人平均會傳給 1 個人,那麼 R0=1,代表病原體會持續存在,但不會蔓延開來。如果一個人平均傳給超過 1 個人,那麼 R0>1,代表病原體會蔓延開來成為流行病;相反的,如果一個人傳給少於 1 個人,那麼 R0<1,代表病原體將會逐漸消失。戴口罩、勤洗手、保持社交距離、生病在家隔離的目的,就是在降低傳染數。

另外,R0 會隨著病原體突變成傳染力強的變異株而上升。譬如像 2020 年新冠肺炎一開始 R0 值約為 2.5,後來突變成 Alpha 株時 R0 值約為 4、Delta 株時 R0 值約為 6。

圖/親子天下
圖/親子天下

——本文摘自《小大人的公衛素養課:流行病學×預防醫學》,2021 年 9 月,親子天下,未經同意請勿轉載

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親子天下_96
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