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解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》

科學月刊_96
・2016/08/28 ・3762字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 556 ・八年級

作者|李武炎/曾任教於淡江大學數學系,現為《科學月刊》編輯委員。

今年素有「數學諾貝爾獎」的阿貝爾獎由美國牛津大學皇家協會講座教授懷爾斯(Andrew Wiles)獲得,推薦文中指出,為了表彰他利用半穩定橢圓曲線的模猜想推出「費馬最後定理」的震撼證明,對數論的發展開啟一個新的世代,獎項已於今(2016)年 5 月 24 日在挪威首都奧斯陸頒發。

懷爾斯
懷爾斯。圖/wiki

英年早逝的天才數學家阿貝爾

阿貝爾(Niels Henrik Abel,1802~1829)是挪威歷史上一位非常著名的數學家,他在很年輕的時候就已經研習大數學家歐拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。19 歲時,他解決了困惑數學界 200 年的老問題:一般 5 次方程式根的公式解是不存在的,如此非凡的表現奠定他在歷史上的地位。另外他在超越函數上的研究,對橢圓函數理論起了革命性的影響。阿貝爾生前非常貧困,18 歲時就肩負起照顧家中 6 個弟妹的重責,後來不幸罹患肺結核,因為無法得到良好的調養, 很可惜在 1829 年 4 月 6 日以 26 歲的年紀辭世,實在是英年早逝,死後兩天,數學家克雷勒(August Leopold Crelle) 攜來柏林欲聘請他擔任教授的聘書,但已經來不及了。後來數學界為了紀念他,特別將抽象代數學中的一個結構交換群命名為「阿貝爾群(abelian group)」,以他為名的專有名詞已經被普通化了,是為了更能彰顯他的偉大。

挪威政府一直有設立紀念阿貝爾的獎項的念頭,這是要彌補諾貝爾獎沒有數學項目的遺憾,但這個獎項的成立一直要等到西元 2002 年阿貝爾 200 歲誕辰方才實現。2002 年阿貝爾獎開始頒發,而第一屆的得主便是法國數學家,同時是數學界大老的謝爾(Jean-Pierre Serre)。去年 2015 年的得主是電影《美麗境界》戲中的主人翁約翰納許,但去年 5 月 19 日納許夫婦領取阿貝爾獎返家途中不幸發生車禍遇難,曾造成新聞界一陣報導。觀察阿貝爾獎的歷屆得主,都是當代數學的翹楚, 而且大都是年高德劭著作等身的數學圈耆老,懷爾斯雖屬壯年,但因為他解決「費馬最後定理」這個世紀難題, 名氣實在太大了,因此阿貝爾獎的評審委員會決定頒授 2016 年的獎給他。有人說這是遲來的獎項,因為自從 20 幾年前懷爾斯證出這個劃時代的問題後,已經得獎無數,幾乎全世界所有的數學獎都被他囊括,其中包括著名的沃爾夫數學獎(1995 年)、沃爾夫斯克爾獎(1997 年)以及邵逸夫獎(2005 年)等,今年添上阿貝爾獎無疑是在懷爾斯的功勛簿上貼滿最後一塊拼圖。值得一提的是,當年懷爾斯解決費馬最後定理時已經年過 40, 無緣獲得數學界的費爾茲獎章(Fields Medal)。

 費馬最後定理

「費馬最後定理」是個一般人都可以明瞭的題目, 並不需要具備很深的數學背景才能理解──探討方程式: xn+yn=zn 的正整數解。當 n = 2 時, 讓我們想到熟知的畢氏定理(又稱勾股弦定理),此處 z 代表一個直角三角形的斜邊長,x 與 y 則為此三角形之兩股的長,也就是說一個直角三角形的斜邊長的平方等於它的兩股長之平方和。 這個方程式當然有許多正整數解,例如:x = 3,y = 4,z = 5;x = 6,y = 8,z = 10;x = 5,y = 12, z = 13 ⋯⋯等等。費馬聲稱當 n ≥ 3 為正整數時, 就不存在非零的整數解

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費馬最後定理中 n=2 時的 a2+b2=c也就是一般所熟知的畢氏定理。圖/wiki

數學業餘王子─費馬

費馬(Pierre de Fermat,1601~1665)是一位留著長髮,穿著中古世紀歐洲袍的法國數學家。他是 17 世紀最卓越的數學家之一,在許多數學領域都有極大的貢獻,例如:他在笛卡兒之前發明解析幾何,也在微積分的發展有所建樹,他與巴斯卡被公認是機率論的先驅, 然而他在數論上的研究成果最為後人所記得。他的本行是專業的律師,數學只是他的愛好,而他所作的數學作品都是第一等的工作,為了表彰他的數學造詣,世人冠以「業餘王子」的美譽。在 1637 年的某一天,費馬正在閱讀一本古希臘時代數學家丟番圖(Diophantus) 的數論書《算術學》(Arithmetica)時,突然心血來潮在書頁的空白處寫下這個看似簡單的定理:當 n ≥ 3 為正整數時, 沒有非零的整數解。

Pierre_de_Fermat
費馬。

當時費馬並沒有說明原因,不過他留下這一段話:「我已經發現一個非常美妙的證明,只是書頁的空白處太小無法寫下來。」,始作俑者的費馬也因此留下了這個千古的難題,300 多年來無數的數學家嘗試要求解決這個難題都徒勞無功,這個號稱「世紀難題」的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭大患,極欲解之而後快。19 世紀時法國的法蘭西學院曾二度懸賞金質獎章及 300 法郎給任何解決此一難題之人,可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的一位工業家沃爾夫斯克爾(Paul Wolfskehl,1856~1906)對「費馬最後定理」情有獨鍾,他死後,根據其遺囑遺贈 10 萬馬克(約合 5000 萬新臺幣),頒給能夠證明「費馬最後定理」是正確的人。

Diophantus-II-8-Fermat
在戴奧弗多斯(Diophantus)的《算數》(Arithmetica)1680年的版本中,出現了費馬最後定理。

這個獎在 1908 年設立,有效期間為 100 年,懷爾斯在 1997 年領到這個獎時,獎金只有約 150 萬新臺幣, 原因是這段期間世界曾發生經濟大蕭條,此筆獎額已大幅貶值了。當年沃爾夫斯克爾獎一宣布時,確實吸引不少「數學癡」去從事這個問題,而社會上也掀起了一股瘋「FLT(Fermat’s Last theorem)熱」。20 世紀電腦發展以後,許多數學家利用電腦計算可以證明這個定理當 n 很大時是成立的,1983 年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行 5782 秒證明當 n 為286243-1 時「費馬最後定理」是正確的,286243-1是一個天文數字, 大約有 25960 位數。雖然如此,數學家還是沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了,由當時在美國普林斯頓大學數學系任教的英國數學家懷爾斯教授提出證明,其實他是利用 20 世紀過去 30 年來代數幾何發展的結果加以運用並解決的。

追求數學聖杯的懷爾斯

1993 年的 6 月 21~23 日,懷爾斯在英國劍橋大學所舉辦的研討會發表這個結果,這個報告馬上震驚了數學界甚至於一般社會大眾,懷爾斯證出費馬最後定理的消息在 1993 年的 6 月 24 日登上了《紐約時報》、《美國國家廣播公司》等重要媒體的頭條。一個數學證明能讓新聞媒體如此青睞,可謂空前絕後,原因正如前面所言,這是一個能被一般民眾所能明白的數學問題,並不需具備很強的數學專業知識。其實數論中有很多問題都與費馬最後定理一樣,敘述都很淺顯易懂,內容也很吸引人去思考,可是證明起來都很難。懷爾斯在 1993 年發表的論文報告經過數學界審慎檢查後,卻發現了極大的瑕疵,後來懷爾斯與他的學生嘗試加以補救,終於在 1994 年 9 月修正成功,並且在 1995 年將修正後的論文發表在《數學年刊》(Annals of Mathematics)上。

偉大的集體成就

「費馬最後定理」的最終解決其實要歸功於無數數學家的努力,最早在 1950 年代,日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想,即二元三次方程式 y2=x3+ax2+bx+c 定義的圖形,其中 abc 為有理數,它不是橢圓,而是因為當初數學家想計算橢圓的周長而產生的名詞。後來由另一位日本數學家志村五郎加以發揚光大,提出谷山 – 志村猜想:每一個橢圓曲線都具有一種模形式(modularity pattern), 這個名詞與高等數學複變函數論有關,在此就不擬加以解釋。當時沒有人認為這個猜想與「費馬最後定理」有任何關聯,直到 1980 年代,德國數學家佛列(Gerhard Frey)才將這個猜想與「費馬最後定理」掛勾。若對奇質數p而言, ap+bp+c有異於零的整數解,則佛列建議考慮橢圓曲線 y2=x(x+ap)(x-bp),此曲線後來被稱為佛列曲線, 因為他覺得此橢圓曲線的判別式 a2pb2p(ap+bp)2=(abc)2p 呈現出一點不太尋常,因此他懷疑這個橢圓曲線不具模形式,所以只要能證明谷山 – 志村猜想就等於證明了「費馬最後定理」。

佛列的猜想後來被法國數學家謝爾加以改良,並且在 1986 年由數學家里貝特(Ken Ribet)證明從 ap+bp=cp 所得的佛列曲線違反模形式。根據里貝特的這個啟發,懷爾斯就全力去從事谷山 志村猜想的證明,至少要證明絕大部分的橢圓曲線都具有模形式。最後他證明了任何半穩定(semistable)橢圓曲線都具有模形式,而佛列曲線就是一個半穩定橢圓曲線,因此證明 ap+bp=cp 之非零整數解是不存在,從而證明了「費馬最後定理」。這裡要提一點,「費馬最後定理」是說對任何大於 2 的整數 n 而言,an+bn=cn 沒有非零的整數解,其實就是要證明對 n = 4 及任意奇質數(3、5、7⋯)均成立即可,因為對任何大於 2 的整數 nn 必有 4 或奇質數的因數,而當 n = 4 時,費馬曾經給予證明(用數論的技巧就可以證出),因此只需考慮 而 p 為奇質數即可。

「費馬最後定理」的證明成功並非僅靠一人之力便能解決,雖然懷爾斯完成了封頂之作,但如同前面所提到的谷山豐、志村五郎、佛列及里貝特都是功臣;自古以來,很多數學理論的形成都是從一些猜想或假設開始,激發數學家的興趣,為了尋求問題的解決,不斷努力發展新的數學技巧,也豐富了數學的內涵,而這些建樹都是歷史上的數學家前仆後繼研究所得的成果,我們可以說:數學演進就是團隊合作的結晶


科學月刊

 

 

〈本文選自《科學月刊》2016 年 7月號〉

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一生最重要的數學教育:小學數學——《數學,這樣看才精采》

天下文化_96
・2022/05/22 ・4053字 ・閱讀時間約 8 分鐘
圖/envato elements

2014 年底一篇新聞報導的題目〈6 分之 1 中小學生學力不及格〉,讓人感覺怵目驚心。還好看完內文之後,才知標題有誤導的嫌疑,其實計算不及格比率的基數並不是全體中小學生。

教育當局實施中小學生補救教學方案,針對各班國文、英文、數學排名倒數 35% 的學生,檢測他們上學年的基本學力,不及格的學生在家長同意下,才得以接受課後的補救教學。如果用全體中小學生為基數來計算,則 35% 的六分之一約為 5.83%。以小學數學而言,施測學生不及格比率如表 26-1。

可以非常明顯的看出,從小學二年級到六年級的數學,原本成績已經在後段的學生裡,不及格人數直線上升達到約四分之一之多。因為小學數學教育對每個人的一生都極端有用,如此的不及格比率是不能接受的。

論學習環境之重要性

小學數學如何有用呢?斯坦(Sherman K. Stein)在《幹嘛學數學?》這本書的第 10 章,報導了美國各行各業需要的數學能力。他參考《職業調查完全手冊》將數學能力分為 6 級,其中第 1、2 級涵蓋小學程度的數學。

以 1992 年美國勞動人力 1 億 2 千 1 百萬來觀察,斯坦發現三分之二的人只需 1、2 級數學程度即可謀生。本來第 10 章的用意在於文末引用美國勞工統計局《職業展望季報》的話:「數學能力愈強的人,不但可以選擇的就業機會愈多,也愈能把工作做好。」但是,從另外一個角度來看,其實恰好凸顯了小學數學對於大多數職工的重要性。

2016 年美國東北大學社會學教授韓德爾(Michael J. Handel)發表論文〈人們上班時做什麼?〉。調查顯示幾乎所有人在工作中都需要用一些基本數學;但是除了計數與四則運算以外,其他數學題材的使用率便會降低。約有三分之二的人需用分數、小數、百分比,有 22% 的人會用層次稍高一些的數學,例如代數。按照韓德爾的分類,歸入低階白領職業的人,使用超過小學程度數學的比率甚至低於 10%。

調查顯示,多數勞工上班時都會使用到基礎小學數學。圖/envato elements

從這些美國的調查與統計資料可看出,對相當大數量的勞動人口而言,最有用的數學就是小學教的數學。即使他們後來接受了中學的數學教育,那些知識也幾乎派不上用場,只是數學程度高會比較容易通過人才篩選的關卡。

小學數學既然重要,臺灣學生學習的狀況又如何呢?

「國際數學與科學趨勢調查」(Trends in International Mathematics and Science Study,簡稱 TIMSS)每四年舉辦一次,對象為四年級與八年級(國中二年級)學生,目的在瞭解數學與科學領域學習成就的發展趨勢,以及文化背景及教育制度的相關性。臺灣歷屆數學成績排名如表 26-2。

成績穩定名列前茅,看來應該得到喝采。然而 TIMSS 還調查學生喜不喜歡數學、學生對於學習數學的自信,以及學生認為數學有沒有用等等這些涉及學習態度的項目。2019 年的調查中四年級共有 58 個受測單位;八年級共有 39 個受測單位。表 26-3 列出臺灣學生回應負面選項的百分比以及排名。

臺灣小學四年級學生在不喜歡數學與學習沒有自信方面,都是國際平均的兩倍左右。雖然學習成就不錯,但是學習心態不健康,難怪到八年級認為數學無用的人數比例竟然高居國際冠軍。其實歷屆評量中顯現成績與態度的反差,似乎成為臺灣數學教育的常態,如此常態其實是非常令人憂心的一種病態。

因為小學數學教育不像國、高中那樣受到升學的嚴重影響,所以四年級學童負面態度的原因,必須從學習環境去瞭解。臺灣大學數學系翁秉仁教授指出:

「在臺灣,一般家長雖然怕數學,卻很喜歡『干預』小學老師的教學。家長多半覺得自己會小學數學,因此可以『盡一份心』。但是他們干預的方式很簡單,看到孩子不會做習題,就指導學生怎麼算;厲害一點的,更直接把國中方法搬下來,卻不做任何解釋。

問題是,除了數學老師之外的成人,多半覺得數學就是公式和計算,不需要解釋(『反正你這樣算就對了!』)還會因此據理力爭,為小孩向老師爭取分數,造成許多教學困擾。」

除了家長的干預外,不少學生還在補習班接受不斷套公式計算的折磨,後果是抵消了老師正常教學的成效。這種幫倒忙的做法,除了歸咎於把公式背誦等同數學學習,更基本的原因是對於兒童智力發展的欠缺理解。特別是「家長多半覺得自己會小學數學」,而輕忽了其中精微細緻的概念層次。

以色列理工學院教授阿哈羅尼(Ron Aharoni),在離散數學方面的成就國際知名,但他願意花時間去小學教數學以瞭解實況。因為他有高深數學修養,以及研究創新經驗,才能針對小學數學發人所不能發的真知灼見。

在他的書《小學算術教什麼,怎麼教:家長須知,也是教師指南》裡,他說:「我教小學時領悟出來一個道理,就是小學數學一點也不單純,除了美之外還有深度。」換句話說:「小學數學雖然不深奧,但包含智慧;雖然不複雜,卻有深意。」

數學家阿哈羅尼認為,小學數學並不單純,反而兼具美與深度。圖/envato elements

所以要正確認識小學數學的重要性,首先應該建立對小學數學的虔敬之意。家長及教師具有這種鄭重其事的心態,才能貼近孩童感受他們學習中遭遇的困惑,才能發揮啟蒙嚮導作用,並且從旁鼓舞好奇、探索、精進的士氣。

社會文化影響改革走向

近二十餘年來,教育改革一直是臺灣社會關注的議題,不過民眾對於教改效果似乎貶過於褒。在 1996 年到 2003 年間,小學數學課程標準也出現過強調知識建構的時期,然而因為引起非常大的爭議不得不叫停。據臺灣勤益大學劉柏宏教授的觀察:

「臺灣近幾年對建構式數學的討論與美國『數學戰爭』的某些過程雖不盡相同,但其背後內涵確實有幾分相似之處。不論在數學界或數學教育界,美國的走向都緊緊牽動臺灣的發展。美國『數學戰爭』雖已緩和但尚未結束,而臺灣的課程爭議也還沒落幕。」

美國的「數學戰爭」起源於 1989 年美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM)公布的《學校數學課程與評量標準》,其中倡議的中小學數學教育改革方向深受建構主義影響。這套《標準》及根據它所編寫的教科書,受到相當多專業數學家的強烈批評,媒體因而用「數學戰爭」描述雙方論辯的激烈程度。

這場戰爭最終導致《各州共同核心標準》(Common CoreStates Standards,簡稱 CCSS)於 2010 年公布,規範了從幼兒園到高中的數學課程。採用此標準的地方達到 41 州、首都華盛頓,以及 4 個海外領地。CCSS 的數學標準強調聚焦、一貫與嚴謹三原則,既注重概念理解也不輕忽實作應用,整體看來比 NCTM 主導期的課程難度加大。雖然 CCSS 得到專業數學團體的熱烈支持,但是反對的勢力仍然存在,由聯邦經費支持的標準化測驗尤其為人所詬病。

美國的數學戰爭牽動著台灣的數學教育。圖/envato elements

數學內容雖然普世相同,但是數學教育深受社會與文化因素的影響,必然與各國的具體國情有關。像是法國菁英層次與普通民眾之間,包括數學教育在內的很多方面,都存在著巨大鴻溝。

曾經得過菲爾茲獎的法國明星國會議員維拉尼(Cédric Villani)在 2018 年 2 月完成一份報告,認為一般人民接受的數學教育幾近災難。他在 21 條改革建議中,強調了提高中小學數學教師水準的迫切性。類似阿哈羅尼在「以色列人人數學有成就基金會」採取的措施,維拉尼的報告也把新加坡的數學教學做為值得學習的楷模。

英國方面的狀況是教室紀律鬆懈,使用教科書比例低落,因而造成數學學習成效欠佳。2016 年英國政府以四年為期,計劃提撥經費給全英格蘭近半數學校,預計培育 700 名種子教師,還要廣泛向上海、新加坡、香港學習,進行數學教學改革。

法國與英國都認為應提高小學數學教師水準。圖/envato elements

為什麼這些國家都要向新加坡學習呢?主要是因為新加坡不僅在 TIMSS 總是名列前茅,在另外一項國際評量 PISA 中也表現出眾。PISA 是《國際學生能力評量計畫》(Programme for International Student Assessment)的簡稱,每三年針對 15 歲學生進行一次跨國評量,藉以瞭解各國學生在「閱讀素養」、「數學素養」與「科學素養」上的能力。

2015 年有 72 個參加評量單位,新加坡在每一素養專案上都獨占鰲頭。2018 年則每項都居第二名,僅輸給從中國取樣的北京、上海、江蘇、浙江組合隊伍。

PISA 評量的目標是各科「素養」,注重理解、應用、解決問題的能力,也是學生進入社會必須具備的能力。評量題目與日常生活相關,同時說明試題的情境,讓學生作答時能把思考與情境聯繫起來。臺灣最新的《十二年國民基本教育課程綱要》,也要著重培養下一代的核心素養,為終身學習奠定基礎與職業生涯發展做好準備,可說是呼應 PISA 引導的教育發展方向。

在注重素養的時代,家長必須先自我教育,才能用正確的觀點、恰當的誘導、健康的態度,協助孩童獲得應有的數學能力。小學教師們也應該加強自我改善的力道,積極參加教師培訓或增能活動,開創書面作業以外的動手實作或身體活動,幫助學生體會出生活周遭處處可發現數學的蹤跡,如此才能使每個人一生最重要的數學教育沒有白白耗費時間與精力。

——本文摘自《數學,這樣看才精彩:李國偉的數學文化講堂》,2022 年 4 月,天下文化出版。


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