證明「費馬最後定理」：懷爾斯生日│科學史上的今天：4/11

本文與 研華科技 合作，泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言，總能牽動整個 AI 產業的神經。然而，我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線，那如果哪天「網路斷了」，會發生什麼事？

想像你正在自駕車打個盹，系統突然警示：「網路連線中斷」，車輛開始偏離路線，而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭，開始暴走跳舞，甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎？當然不是！也因為如此，「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端，AI 就能在現場即時反應，不只更安全、低延遲，還能讓數據當場變現，不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ？

邊緣 AI，乍聽之下，好像是「孤單站在角落的人工智慧」，但事實上，它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前，像是企業、醫院、學校內部的伺服器，個人電腦，甚至手機等裝置，都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算，稱為邊緣運算；而在邊緣節點上運行 AI ，就被稱為邊緣 AI。簡單來說，就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力，「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

那麼，為什麼需要這樣做？資料放在雲端，集中管理不是更方便嗎？對，就是不好。

第一個不好是物理限制：「延遲」。
即使光速已經非常快，數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房，再把分析結果傳回來，中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回，就算只是幾十毫秒的延遲，對於需要「即刻反應」的 AI 應用，比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時，每一毫秒都攸關安全與精度，這點延遲都是無法接受的！這是物理距離與網路架構先天上的限制，無法繞過去。

第二個挑戰，是資訊科學跟工程上的考量：「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送，湧入的資料數據量就像超級大的水流，一下子就把水管塞爆！要避免流量爆炸，你就要一直擴充水管，也就是擴增頻寬，然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理，把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端，是不是就能減輕頻寬負擔，也能節省大量費用呢？

第三個挑戰：系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時，一旦網路不穩、甚至斷線，那怎麼辦？很多關鍵應用，像是公共安全監控或是重要設備的預警系統，可不能這樣「看天吃飯」啊！邊緣處理讓系統更獨立，就算暫時斷線，本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應，這在工程上是非常重要的考量。

所以你看，邊緣運算不是科學家們沒事找事做，它是順應數據特性和實際應用需求，一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇，是我們想要抓住即時數據價值，非走不可的一條路！

邊緣 AI 的實戰魅力：從工廠到倉儲，再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了，接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢？它強就強在能夠做到「深度感知（Deep Perception）」！

所謂深度感知，並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減，而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型，從原始數據裡面，去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

以研華科技為例，旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例，利用物件偵測模型，快速將工業產品中的瑕疵挑出來，而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測，因此品管上能達到一致性，減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中，檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品，替工廠節省大量人力，同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

此外，在智慧倉儲場域，研華與威剛合作，研華與威剛聯手合作，在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台，打造倉儲系統的 AMR（Autonomous Mobile Robot） 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣，AMR 不需要事先規劃好路線，靠著感測器偵測，就能輕鬆避開障礙物，識別路線，並且將貨物載到指定地點存放。

當然，還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning )，除了可以做備忘錄跟排程規劃以外，還能將實務上碰到的問題記錄下來，等到之後碰到類似的問題時，就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問，那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了？其實，對許多企業來說，內部資料往往具有高度機密性與商業價值，有些場域甚至連手機都禁止員工帶入，自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安，又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言，自行部署大型語言模型（self-hosted LLM）才是理想選擇。而這樣的應用，並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，體積僅如後背包大小，卻能輕鬆支援語言模型的運作，實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現：要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型，會不會太吃資源？這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一：如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」，又不減智慧。接下來，我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

語言模型瘦身術之一：量化（Quantization）—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限，大模型卻越來越龐大，「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像：有些畫面細節我們肉眼根本看不出來，刪掉也不影響整體感覺，卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此，只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示，什麼是浮點數？其實就是你我都熟知的小數。舉例來說，圓周率是個無窮不循環小數，唸下去就會是3.141592653…但實際運算時，我們常常用 3.14 或甚至直接用 3，也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思！ 

然而，量化並不是那麼容易的事情。而且實際上，降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時，工程師會精密調整，確保效能在可接受範圍內，達成「瘦身不減智」的目標。

模型剪枝（Model Pruning）—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型，其實就是在搭建一整套類神經網路系統，並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而，在這麼多參數中，總會有一些參數明明佔了一個位置，卻對整體模型沒有貢獻。既然如此，不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候，總會雜草叢生，但這些雜草並不是我們想要的作物，這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在，而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術，就稱為 AI 模型的模型剪枝（Model Pruning）。

模型剪枝的效果，大概能把100變成70這樣的程度，說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助，但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型，僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手，採取更治本的方法：一開始就打造一個很小的模型，並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」，是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾（Knowledge Distillation）—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下，一位經驗豐富、見多識廣的老師傅，就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在，他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案，老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」，例如「為什麼我會這樣想？」、「其他選項的可能性有多少？」。這樣一來，小小的學徒模型，用它有限的「腦容量」，也能學到老師傅的「智慧精髓」，表現就能大幅提升！這是一種很高級的訓練技巧，跟遷移學習有關。

舉個例子，當大型語言模型在收到「晚餐：鳳梨」這組輸入時，它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯：50%，蝦球：30%，披薩：15%，汁：5%」。在知識蒸餾的過程中，它可以把這套機率表一起教給小語言模型，讓小語言模型不必透過自己訓練，也能輕鬆得到這個推理過程。如今，許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成，讓我們得以在資源有限的邊緣設備上，也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是！即使模型經過了這些科學方法的優化，變得比較「苗條」了，要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料，並且高速、即時、穩定地運作，仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說，要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型，真正放到邊緣的現場去發揮作用，就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

邊緣 AI 的強心臟：SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色！那麼，它到底厲害在哪？

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要？因為 GPU 的設計，天生就擅長做「平行計算」，這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的！

你想想看，那麼多數據要同時處理，就像要請一大堆人同時算數學一樣，GPU 就是那個最有效率的工具人！而且，有多張 GPU，代表可以同時跑更多不同的 AI 任務，或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果，在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎！

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房，有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計，體積相對緊湊，散熱空間也比較好（這對高功耗的 GPU 很重要！），部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算，進行「工程化」，讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格，背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場，系統穩定壓倒一切！你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧？這些設計確保了部署在現場的 AI 系統，能夠長時間、穩定地運作，把實驗室裡的科學成果，可靠地轉化成實際的應用價值。

台灣製造 × 在地智慧：打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能，能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署，及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析，還是其他 AI 相關的服務，都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務，讓企業在啟動 AI 專案前，大幅降低前期投入門檻，靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構，從精密製造、城市交通管理，到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全，都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是，這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示，這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果，往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI，不只是一項技術創新，更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場，就能被有效的「理解」與「利用」，是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石！

👉 更多研華Edge AI解決方案
👉 立即申請Server租借

數感實驗室／朱倍玉

如果有人突然問你： $a^{2}+b^{2=}$？ 台灣學生大概像膝反射一樣，自然而然地答出 $c^{2}$。

直角三角形，直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。這是人人都熟悉的畢氏定理，也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題

費馬（Pierre de Fermat）是 17 世紀的一名律師，數學是他業餘的興趣，當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。雖然費馬本業跟數學天差地遠，但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究，在數學界的貢獻不輸職業數學家，也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》（Arithmetica）這本書時，費馬在書的空白處寫下「$a^{n}+b^{n}=c^{n}$，當 $n>2$ 時無正整數解」，並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明，可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子，再加上一句話，卻讓後世的數學家們花了足足三百年，直到 1995 年才由懷爾斯（Andrew John Wiles）教授完成證明，而這項證明，被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20) 編按：原文提及費馬定理時敘述為「無解」，實為「無正整數解」，特此更正。

立志要趁早，十歲許願解題的懷爾斯

這個世紀大任務的起點是懷爾斯 10 歲那年。他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書，當時，他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。在其他人才正要認識三角形的年紀，懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。正好，又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣，懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。他踏入數學界的時期，正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。大多數學家認為費馬最後定理無法證明，紛紛轉往其他領域。懷爾斯的指導教授也不例外，要懷爾斯放棄夢想，別白忙一場。也因此除了夢想外，他同時開始研究橢圓曲線^註1這個領域。

然而事實上在更早以前，日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山－志村猜想」，他們認為橢圓曲線與「模形式」^註2可能有關聯。但是，橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢？1985 年，德國數學家佛列（Gerhard Frey）將谷山－志村猜想與費馬最後定理連結，他認為谷山－志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

後來，法國數學家賽爾（Jean-Pierre Serre）、美國數學家里貝特（Ken Ribet）也投入研究。他們發現只要證明出谷山－志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明，才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

於是，長達 7 年的時間，懷爾斯致力於研究谷山－志村猜想與費馬最後定理，他也找來另一位數學教授卡茲（Nicholas Katz）加入研究。懷爾斯是一個很低調的人，為了避免引起眾人的懷疑與關注，他在學校開設新課程，好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式^註3。

由於懷爾斯從未說明開課目的，也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理，只是不停地證明，難度相當高，搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。不久後，懷爾斯正式完成所有證明。他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會，對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式，完全沒提到費馬最後定理。

當時有些謠言，這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生，許多學者因此前來。研討會上，懷爾斯從橢圓曲線、模形式，一路證明到費馬最後定理，帶給台下聽眾滿滿的驚喜。隔天報章雜誌上，到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

以為解開了嗎？過程曲折離奇

然而「福兮，禍之所伏」，驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。當懷爾斯的證明手稿進入審查階段，卡茲與懷爾斯反覆驗證時，他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤，漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。懷爾斯接受訪問時也表達，在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。他把自己關在書桌前，試圖解決這個錯誤，然而不論怎麼做都沒辦法突破。

就在陷入絕望之際，他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。一時靈光乍現，他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤，完成證明。1995 年，世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許，我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述，就是進入一棟大房子。當一個人開始探索第一個全黑的房間時，裡頭一片漆黑，他會在家具中邊跌倒邊摸索。漸漸地知道家具的位置。六個月後，你會找到開關並且打開燈。開燈的那一瞬間，整個房間被光線壟罩，你終於，能清楚地看見你站在哪裡」

——懷爾斯（Andrew John Wiles）

BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片，這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽，仰賴歷史上許多數學家的一臂之力，更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。從這個例子我們也可以看到，數學不是計算，更不是算得快就叫數學好。它是思考與邏輯，能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的 8 月 17 日，正好是費馬的 418 歲生日，特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂！

註釋：

1. 橢圓曲線（Elliptic Curve）是二元三次曲線的一種形式，其圖形並非橢圓，而是圓環狀。
2. 模形式（Modular forms）是具有極複雜對稱性的複數平面函數。
3. 類數公式（Class number formula）與環的有限序列有關。

資料來源：

• 費瑪最後定理（Fermat’s Last Theorem） 紀錄片
• mathworld.wolfram-Elliptic Curve
• 模形式
• mathworld.wolfram-Class Number Formula
• 解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》
• Andrew John Wiles
• Andrew-Wiles
• Pierre de Fermat

作者｜李武炎／曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。

今年素有「數學諾貝爾獎」的阿貝爾獎由美國牛津大學皇家協會講座教授懷爾斯（Andrew Wiles）獲得，推薦文中指出，為了表彰他利用半穩定橢圓曲線的模猜想推出「費馬最後定理」的震撼證明，對數論的發展開啟一個新的世代，獎項已於今（2016）年 5 月 24 日在挪威首都奧斯陸頒發。

英年早逝的天才數學家阿貝爾

阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829）是挪威歷史上一位非常著名的數學家，他在很年輕的時候就已經研習大數學家歐拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。19 歲時，他解決了困惑數學界 200 年的老問題：一般 5 次方程式根的公式解是不存在的，如此非凡的表現奠定他在歷史上的地位。另外他在超越函數上的研究，對橢圓函數理論起了革命性的影響。阿貝爾生前非常貧困，18 歲時就肩負起照顧家中 6 個弟妹的重責，後來不幸罹患肺結核，因為無法得到良好的調養， 很可惜在 1829 年 4 月 6 日以 26 歲的年紀辭世，實在是英年早逝，死後兩天，數學家克雷勒（August Leopold Crelle） 攜來柏林欲聘請他擔任教授的聘書，但已經來不及了。後來數學界為了紀念他，特別將抽象代數學中的一個結構交換群命名為「阿貝爾群（abelian group）」，以他為名的專有名詞已經被普通化了，是為了更能彰顯他的偉大。

挪威政府一直有設立紀念阿貝爾的獎項的念頭，這是要彌補諾貝爾獎沒有數學項目的遺憾，但這個獎項的成立一直要等到西元 2002 年阿貝爾 200 歲誕辰方才實現。2002 年阿貝爾獎開始頒發，而第一屆的得主便是法國數學家，同時是數學界大老的謝爾（Jean-Pierre Serre）。去年 2015 年的得主是電影《美麗境界》戲中的主人翁約翰納許，但去年 5 月 19 日納許夫婦領取阿貝爾獎返家途中不幸發生車禍遇難，曾造成新聞界一陣報導。觀察阿貝爾獎的歷屆得主，都是當代數學的翹楚， 而且大都是年高德劭著作等身的數學圈耆老，懷爾斯雖屬壯年，但因為他解決「費馬最後定理」這個世紀難題， 名氣實在太大了，因此阿貝爾獎的評審委員會決定頒授 2016 年的獎給他。有人說這是遲來的獎項，因為自從 20 幾年前懷爾斯證出這個劃時代的問題後，已經得獎無數，幾乎全世界所有的數學獎都被他囊括，其中包括著名的沃爾夫數學獎（1995 年）、沃爾夫斯克爾獎（1997 年）以及邵逸夫獎（2005 年）等，今年添上阿貝爾獎無疑是在懷爾斯的功勛簿上貼滿最後一塊拼圖。值得一提的是，當年懷爾斯解決費馬最後定理時已經年過 40， 無緣獲得數學界的費爾茲獎章（Fields Medal）。

 費馬最後定理

「費馬最後定理」是個一般人都可以明瞭的題目， 並不需要具備很深的數學背景才能理解──探討方程式： xⁿ+yⁿ=zⁿ 的正整數解。當 n = 2 時， 讓我們想到熟知的畢氏定理（又稱勾股弦定理），此處 z 代表一個直角三角形的斜邊長，x 與 y 則為此三角形之兩股的長，也就是說一個直角三角形的斜邊長的平方等於它的兩股長之平方和。 這個方程式當然有許多正整數解，例如：x = 3，y = 4，z = 5；x = 6，y = 8，z = 10；x = 5，y = 12， z = 13 ⋯⋯等等。費馬聲稱當 n ≥ 3 為正整數時， 就不存在非零的整數解。

數學業餘王子─費馬

費馬（Pierre de Fermat，1601~1665）是一位留著長髮，穿著中古世紀歐洲袍的法國數學家。他是 17 世紀最卓越的數學家之一，在許多數學領域都有極大的貢獻，例如：他在笛卡兒之前發明解析幾何，也在微積分的發展有所建樹，他與巴斯卡被公認是機率論的先驅， 然而他在數論上的研究成果最為後人所記得。他的本行是專業的律師，數學只是他的愛好，而他所作的數學作品都是第一等的工作，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業餘王子」的美譽。在 1637 年的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘時代數學家丟番圖（Diophantus） 的數論書《算術學》（Arithmetica）時，突然心血來潮在書頁的空白處寫下這個看似簡單的定理：當 n ≥ 3 為正整數時， 沒有非零的整數解。

當時費馬並沒有說明原因，不過他留下這一段話：「我已經發現一個非常美妙的證明，只是書頁的空白處太小無法寫下來。」，始作俑者的費馬也因此留下了這個千古的難題，300 多年來無數的數學家嘗試要求解決這個難題都徒勞無功，這個號稱「世紀難題」的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。19 世紀時法國的法蘭西學院曾二度懸賞金質獎章及 300 法郎給任何解決此一難題之人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的一位工業家沃爾夫斯克爾（Paul Wolfskehl，1856~1906）對「費馬最後定理」情有獨鍾，他死後，根據其遺囑遺贈 10 萬馬克（約合 5000 萬新臺幣），頒給能夠證明「費馬最後定理」是正確的人。

這個獎在 1908 年設立，有效期間為 100 年，懷爾斯在 1997 年領到這個獎時，獎金只有約 150 萬新臺幣， 原因是這段期間世界曾發生經濟大蕭條，此筆獎額已大幅貶值了。當年沃爾夫斯克爾獎一宣布時，確實吸引不少「數學癡」去從事這個問題，而社會上也掀起了一股瘋「FLT（Fermat’s Last theorem）熱」。20 世紀電腦發展以後，許多數學家利用電腦計算可以證明這個定理當 n 很大時是成立的，1983 年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行 5782 秒證明當 n 為2⁸⁶²⁴³-1 時「費馬最後定理」是正確的，2⁸⁶²⁴³-1是一個天文數字， 大約有 25960 位數。雖然如此，數學家還是沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，由當時在美國普林斯頓大學數學系任教的英國數學家懷爾斯教授提出證明，其實他是利用 20 世紀過去 30 年來代數幾何發展的結果加以運用並解決的。

追求數學聖杯的懷爾斯

1993 年的 6 月 21~23 日，懷爾斯在英國劍橋大學所舉辦的研討會發表這個結果，這個報告馬上震驚了數學界甚至於一般社會大眾，懷爾斯證出費馬最後定理的消息在 1993 年的 6 月 24 日登上了《紐約時報》、《美國國家廣播公司》等重要媒體的頭條。一個數學證明能讓新聞媒體如此青睞，可謂空前絕後，原因正如前面所言，這是一個能被一般民眾所能明白的數學問題，並不需具備很強的數學專業知識。其實數論中有很多問題都與費馬最後定理一樣，敘述都很淺顯易懂，內容也很吸引人去思考，可是證明起來都很難。懷爾斯在 1993 年發表的論文報告經過數學界審慎檢查後，卻發現了極大的瑕疵，後來懷爾斯與他的學生嘗試加以補救，終於在 1994 年 9 月修正成功，並且在 1995 年將修正後的論文發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）上。

偉大的集體成就

「費馬最後定理」的最終解決其實要歸功於無數數學家的努力，最早在 1950 年代，日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想，即二元三次方程式 y²=x³+ax²+bx+c 定義的圖形，其中 a、b、c 為有理數，它不是橢圓，而是因為當初數學家想計算橢圓的周長而產生的名詞。後來由另一位日本數學家志村五郎加以發揚光大，提出谷山 – 志村猜想：每一個橢圓曲線都具有一種模形式（modularity pattern）， 這個名詞與高等數學複變函數論有關，在此就不擬加以解釋。當時沒有人認為這個猜想與「費馬最後定理」有任何關聯，直到 1980 年代，德國數學家佛列（Gerhard Frey）才將這個猜想與「費馬最後定理」掛勾。若對奇質數p而言， a^p+b^p+c^p 有異於零的整數解，則佛列建議考慮橢圓曲線 y²=x(x+a^p)(x-b^p)，此曲線後來被稱為佛列曲線， 因為他覺得此橢圓曲線的判別式 a^2pb^2p(a^p+b^p)²=(abc)^2p 呈現出一點不太尋常，因此他懷疑這個橢圓曲線不具模形式，所以只要能證明谷山 – 志村猜想就等於證明了「費馬最後定理」。

佛列的猜想後來被法國數學家謝爾加以改良，並且在 1986 年由數學家里貝特（Ken Ribet）證明從 a^p+b^p=c^p 所得的佛列曲線違反模形式。根據里貝特的這個啟發，懷爾斯就全力去從事谷山 志村猜想的證明，至少要證明絕大部分的橢圓曲線都具有模形式。最後他證明了任何半穩定（semistable）橢圓曲線都具有模形式，而佛列曲線就是一個半穩定橢圓曲線，因此證明 a^p+b^p=c^p 之非零整數解是不存在，從而證明了「費馬最後定理」。這裡要提一點，「費馬最後定理」是說對任何大於 2 的整數 n 而言，aⁿ+bⁿ=cⁿ 沒有非零的整數解，其實就是要證明對 n = 4 及任意奇質數（3、5、7⋯）均成立即可，因為對任何大於 2 的整數 n，n 必有 4 或奇質數的因數，而當 n = 4 時，費馬曾經給予證明（用數論的技巧就可以證出），因此只需考慮 而 p 為奇質數即可。

「費馬最後定理」的證明成功並非僅靠一人之力便能解決，雖然懷爾斯完成了封頂之作，但如同前面所提到的谷山豐、志村五郎、佛列及里貝特都是功臣；自古以來，很多數學理論的形成都是從一些猜想或假設開始，激發數學家的興趣，為了尋求問題的解決，不斷努力發展新的數學技巧，也豐富了數學的內涵，而這些建樹都是歷史上的數學家前仆後繼研究所得的成果，我們可以說：數學演進就是團隊合作的結晶。

〈本文選自《科學月刊》2016 年 7月號〉

延伸閱讀：

數海英雌的孤單與堅強—中研院院士張聖容專訪

數學的諾貝爾獎

什麼？！你還不知道《科學月刊》，我們46歲囉！

入不惑之年還是可以當個科青