證明「費馬最後定理」：懷爾斯生日│科學史上的今天：4/11

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

數感實驗室／朱倍玉

如果有人突然問你： \(  a^{2}+b^{2=} \)？ 台灣學生大概像膝反射一樣，自然而然地答出 \( c^{2} \)。

直角三角形，直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。這是人人都熟悉的畢氏定理，也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題

費馬（Pierre de Fermat）是 17 世紀的一名律師，數學是他業餘的興趣，當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。雖然費馬本業跟數學天差地遠，但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究，在數學界的貢獻不輸職業數學家，也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》（Arithmetica）這本書時，費馬在書的空白處寫下「\(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \)，當 \(  n>2  \) 時無正整數解」，並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明，可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子，再加上一句話，卻讓後世的數學家們花了足足三百年，直到 1995 年才由懷爾斯（Andrew John Wiles）教授完成證明，而這項證明，被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20) 編按：原文提及費馬定理時敘述為「無解」，實為「無正整數解」，特此更正。

立志要趁早，十歲許願解題的懷爾斯

這個世紀大任務的起點是懷爾斯 10 歲那年。他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書，當時，他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。在其他人才正要認識三角形的年紀，懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。正好，又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣，懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。他踏入數學界的時期，正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。大多數學家認為費馬最後定理無法證明，紛紛轉往其他領域。懷爾斯的指導教授也不例外，要懷爾斯放棄夢想，別白忙一場。也因此除了夢想外，他同時開始研究橢圓曲線^註1這個領域。

然而事實上在更早以前，日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山－志村猜想」，他們認為橢圓曲線與「模形式」^註2可能有關聯。但是，橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢？1985 年，德國數學家佛列（Gerhard Frey）將谷山－志村猜想與費馬最後定理連結，他認為谷山－志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

後來，法國數學家賽爾（Jean-Pierre Serre）、美國數學家里貝特（Ken Ribet）也投入研究。他們發現只要證明出谷山－志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明，才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

於是，長達 7 年的時間，懷爾斯致力於研究谷山－志村猜想與費馬最後定理，他也找來另一位數學教授卡茲（Nicholas Katz）加入研究。懷爾斯是一個很低調的人，為了避免引起眾人的懷疑與關注，他在學校開設新課程，好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式^註3。

由於懷爾斯從未說明開課目的，也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理，只是不停地證明，難度相當高，搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。不久後，懷爾斯正式完成所有證明。他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會，對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式，完全沒提到費馬最後定理。

當時有些謠言，這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生，許多學者因此前來。研討會上，懷爾斯從橢圓曲線、模形式，一路證明到費馬最後定理，帶給台下聽眾滿滿的驚喜。隔天報章雜誌上，到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

以為解開了嗎？過程曲折離奇

然而「福兮，禍之所伏」，驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。當懷爾斯的證明手稿進入審查階段，卡茲與懷爾斯反覆驗證時，他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤，漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。懷爾斯接受訪問時也表達，在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。他把自己關在書桌前，試圖解決這個錯誤，然而不論怎麼做都沒辦法突破。

就在陷入絕望之際，他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。一時靈光乍現，他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤，完成證明。1995 年，世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許，我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述，就是進入一棟大房子。當一個人開始探索第一個全黑的房間時，裡頭一片漆黑，他會在家具中邊跌倒邊摸索。漸漸地知道家具的位置。六個月後，你會找到開關並且打開燈。開燈的那一瞬間，整個房間被光線壟罩，你終於，能清楚地看見你站在哪裡」

——懷爾斯（Andrew John Wiles）

BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片，這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽，仰賴歷史上許多數學家的一臂之力，更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。從這個例子我們也可以看到，數學不是計算，更不是算得快就叫數學好。它是思考與邏輯，能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的 8 月 17 日，正好是費馬的 418 歲生日，特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂！

註釋：

1. 橢圓曲線（Elliptic Curve）是二元三次曲線的一種形式，其圖形並非橢圓，而是圓環狀。
2. 模形式（Modular forms）是具有極複雜對稱性的複數平面函數。
3. 類數公式（Class number formula）與環的有限序列有關。

資料來源：

• 費瑪最後定理（Fermat’s Last Theorem） 紀錄片
• mathworld.wolfram-Elliptic Curve
• 模形式
• mathworld.wolfram-Class Number Formula
• 解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》
• Andrew John Wiles
• Andrew-Wiles
• Pierre de Fermat

作者｜李武炎／曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。

今年素有「數學諾貝爾獎」的阿貝爾獎由美國牛津大學皇家協會講座教授懷爾斯（Andrew Wiles）獲得，推薦文中指出，為了表彰他利用半穩定橢圓曲線的模猜想推出「費馬最後定理」的震撼證明，對數論的發展開啟一個新的世代，獎項已於今（2016）年 5 月 24 日在挪威首都奧斯陸頒發。

英年早逝的天才數學家阿貝爾

阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829）是挪威歷史上一位非常著名的數學家，他在很年輕的時候就已經研習大數學家歐拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。19 歲時，他解決了困惑數學界 200 年的老問題：一般 5 次方程式根的公式解是不存在的，如此非凡的表現奠定他在歷史上的地位。另外他在超越函數上的研究，對橢圓函數理論起了革命性的影響。阿貝爾生前非常貧困，18 歲時就肩負起照顧家中 6 個弟妹的重責，後來不幸罹患肺結核，因為無法得到良好的調養， 很可惜在 1829 年 4 月 6 日以 26 歲的年紀辭世，實在是英年早逝，死後兩天，數學家克雷勒（August Leopold Crelle） 攜來柏林欲聘請他擔任教授的聘書，但已經來不及了。後來數學界為了紀念他，特別將抽象代數學中的一個結構交換群命名為「阿貝爾群（abelian group）」，以他為名的專有名詞已經被普通化了，是為了更能彰顯他的偉大。

挪威政府一直有設立紀念阿貝爾的獎項的念頭，這是要彌補諾貝爾獎沒有數學項目的遺憾，但這個獎項的成立一直要等到西元 2002 年阿貝爾 200 歲誕辰方才實現。2002 年阿貝爾獎開始頒發，而第一屆的得主便是法國數學家，同時是數學界大老的謝爾（Jean-Pierre Serre）。去年 2015 年的得主是電影《美麗境界》戲中的主人翁約翰納許，但去年 5 月 19 日納許夫婦領取阿貝爾獎返家途中不幸發生車禍遇難，曾造成新聞界一陣報導。觀察阿貝爾獎的歷屆得主，都是當代數學的翹楚， 而且大都是年高德劭著作等身的數學圈耆老，懷爾斯雖屬壯年，但因為他解決「費馬最後定理」這個世紀難題， 名氣實在太大了，因此阿貝爾獎的評審委員會決定頒授 2016 年的獎給他。有人說這是遲來的獎項，因為自從 20 幾年前懷爾斯證出這個劃時代的問題後，已經得獎無數，幾乎全世界所有的數學獎都被他囊括，其中包括著名的沃爾夫數學獎（1995 年）、沃爾夫斯克爾獎（1997 年）以及邵逸夫獎（2005 年）等，今年添上阿貝爾獎無疑是在懷爾斯的功勛簿上貼滿最後一塊拼圖。值得一提的是，當年懷爾斯解決費馬最後定理時已經年過 40， 無緣獲得數學界的費爾茲獎章（Fields Medal）。

 費馬最後定理

「費馬最後定理」是個一般人都可以明瞭的題目， 並不需要具備很深的數學背景才能理解──探討方程式： xⁿ+yⁿ=zⁿ 的正整數解。當 n = 2 時， 讓我們想到熟知的畢氏定理（又稱勾股弦定理），此處 z 代表一個直角三角形的斜邊長，x 與 y 則為此三角形之兩股的長，也就是說一個直角三角形的斜邊長的平方等於它的兩股長之平方和。 這個方程式當然有許多正整數解，例如：x = 3，y = 4，z = 5；x = 6，y = 8，z = 10；x = 5，y = 12， z = 13 ⋯⋯等等。費馬聲稱當 n ≥ 3 為正整數時， 就不存在非零的整數解。

數學業餘王子─費馬

費馬（Pierre de Fermat，1601~1665）是一位留著長髮，穿著中古世紀歐洲袍的法國數學家。他是 17 世紀最卓越的數學家之一，在許多數學領域都有極大的貢獻，例如：他在笛卡兒之前發明解析幾何，也在微積分的發展有所建樹，他與巴斯卡被公認是機率論的先驅， 然而他在數論上的研究成果最為後人所記得。他的本行是專業的律師，數學只是他的愛好，而他所作的數學作品都是第一等的工作，為了表彰他的數學造詣，世人冠以「業餘王子」的美譽。在 1637 年的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘時代數學家丟番圖（Diophantus） 的數論書《算術學》（Arithmetica）時，突然心血來潮在書頁的空白處寫下這個看似簡單的定理：當 n ≥ 3 為正整數時， 沒有非零的整數解。

當時費馬並沒有說明原因，不過他留下這一段話：「我已經發現一個非常美妙的證明，只是書頁的空白處太小無法寫下來。」，始作俑者的費馬也因此留下了這個千古的難題，300 多年來無數的數學家嘗試要求解決這個難題都徒勞無功，這個號稱「世紀難題」的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭大患，極欲解之而後快。19 世紀時法國的法蘭西學院曾二度懸賞金質獎章及 300 法郎給任何解決此一難題之人，可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的一位工業家沃爾夫斯克爾（Paul Wolfskehl，1856~1906）對「費馬最後定理」情有獨鍾，他死後，根據其遺囑遺贈 10 萬馬克（約合 5000 萬新臺幣），頒給能夠證明「費馬最後定理」是正確的人。

這個獎在 1908 年設立，有效期間為 100 年，懷爾斯在 1997 年領到這個獎時，獎金只有約 150 萬新臺幣， 原因是這段期間世界曾發生經濟大蕭條，此筆獎額已大幅貶值了。當年沃爾夫斯克爾獎一宣布時，確實吸引不少「數學癡」去從事這個問題，而社會上也掀起了一股瘋「FLT（Fermat’s Last theorem）熱」。20 世紀電腦發展以後，許多數學家利用電腦計算可以證明這個定理當 n 很大時是成立的，1983 年電腦專家斯洛文斯基借助電腦運行 5782 秒證明當 n 為2⁸⁶²⁴³-1 時「費馬最後定理」是正確的，2⁸⁶²⁴³-1是一個天文數字， 大約有 25960 位數。雖然如此，數學家還是沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了，由當時在美國普林斯頓大學數學系任教的英國數學家懷爾斯教授提出證明，其實他是利用 20 世紀過去 30 年來代數幾何發展的結果加以運用並解決的。

追求數學聖杯的懷爾斯

1993 年的 6 月 21~23 日，懷爾斯在英國劍橋大學所舉辦的研討會發表這個結果，這個報告馬上震驚了數學界甚至於一般社會大眾，懷爾斯證出費馬最後定理的消息在 1993 年的 6 月 24 日登上了《紐約時報》、《美國國家廣播公司》等重要媒體的頭條。一個數學證明能讓新聞媒體如此青睞，可謂空前絕後，原因正如前面所言，這是一個能被一般民眾所能明白的數學問題，並不需具備很強的數學專業知識。其實數論中有很多問題都與費馬最後定理一樣，敘述都很淺顯易懂，內容也很吸引人去思考，可是證明起來都很難。懷爾斯在 1993 年發表的論文報告經過數學界審慎檢查後，卻發現了極大的瑕疵，後來懷爾斯與他的學生嘗試加以補救，終於在 1994 年 9 月修正成功，並且在 1995 年將修正後的論文發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）上。

偉大的集體成就

「費馬最後定理」的最終解決其實要歸功於無數數學家的努力，最早在 1950 年代，日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想，即二元三次方程式 y²=x³+ax²+bx+c 定義的圖形，其中 a、b、c 為有理數，它不是橢圓，而是因為當初數學家想計算橢圓的周長而產生的名詞。後來由另一位日本數學家志村五郎加以發揚光大，提出谷山 – 志村猜想：每一個橢圓曲線都具有一種模形式（modularity pattern）， 這個名詞與高等數學複變函數論有關，在此就不擬加以解釋。當時沒有人認為這個猜想與「費馬最後定理」有任何關聯，直到 1980 年代，德國數學家佛列（Gerhard Frey）才將這個猜想與「費馬最後定理」掛勾。若對奇質數p而言， a^p+b^p+c^p 有異於零的整數解，則佛列建議考慮橢圓曲線 y²=x(x+a^p)(x-b^p)，此曲線後來被稱為佛列曲線， 因為他覺得此橢圓曲線的判別式 a^2pb^2p(a^p+b^p)²=(abc)^2p 呈現出一點不太尋常，因此他懷疑這個橢圓曲線不具模形式，所以只要能證明谷山 – 志村猜想就等於證明了「費馬最後定理」。

佛列的猜想後來被法國數學家謝爾加以改良，並且在 1986 年由數學家里貝特（Ken Ribet）證明從 a^p+b^p=c^p 所得的佛列曲線違反模形式。根據里貝特的這個啟發，懷爾斯就全力去從事谷山 志村猜想的證明，至少要證明絕大部分的橢圓曲線都具有模形式。最後他證明了任何半穩定（semistable）橢圓曲線都具有模形式，而佛列曲線就是一個半穩定橢圓曲線，因此證明 a^p+b^p=c^p 之非零整數解是不存在，從而證明了「費馬最後定理」。這裡要提一點，「費馬最後定理」是說對任何大於 2 的整數 n 而言，aⁿ+bⁿ=cⁿ 沒有非零的整數解，其實就是要證明對 n = 4 及任意奇質數（3、5、7⋯）均成立即可，因為對任何大於 2 的整數 n，n 必有 4 或奇質數的因數，而當 n = 4 時，費馬曾經給予證明（用數論的技巧就可以證出），因此只需考慮 而 p 為奇質數即可。

「費馬最後定理」的證明成功並非僅靠一人之力便能解決，雖然懷爾斯完成了封頂之作，但如同前面所提到的谷山豐、志村五郎、佛列及里貝特都是功臣；自古以來，很多數學理論的形成都是從一些猜想或假設開始，激發數學家的興趣，為了尋求問題的解決，不斷努力發展新的數學技巧，也豐富了數學的內涵，而這些建樹都是歷史上的數學家前仆後繼研究所得的成果，我們可以說：數學演進就是團隊合作的結晶。

〈本文選自《科學月刊》2016 年 7月號〉

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