花了三百年才證明的世紀難題：費馬的最後定理

本文由 Amway 委託，泛科學企劃執行。

到底怎樣才算是「乾淨」？這不是什麼靈魂拷問，而是一個價值上億的商業命題。

在半導體產業的無塵室中，「乾淨」的定義極其殘酷：一粒肉眼看不見的灰塵，就足以讓造價數百萬美元的晶圓直接報廢。空氣品質的好壞，甚至能成為台積電（TSMC）決定是否在當地設廠的關鍵性指標。回到你的家中，雖然不需要生產精密晶片，但我們呼吸系統中的肺泡同樣精密，卻長期暴露在充滿 PM2.5、病毒以及各種揮發性氣體的環境中。為了守護健康，你可能還要付費購買「乾淨的空氣」來用。

因此，空氣議題早已超越單純的環保範疇，成為同時影響國家經濟與個人健康的重要問題。

很多人可能沒想到，無論是家用的空氣清淨機，還是造價動輒百億的頂尖晶圓廠，它們對抗污染的核心武器並非什麼複雜的雷射防護罩，而是同一件看起來平凡無奇的東西：一片外觀像紙一樣的 HEPA 濾網。但你真的相信，就憑這層厚度不到幾公分的板子，能擋住那些足以毀滅精密晶片、滲透人體細胞的「奈米級刺客」嗎？

這片大家都聽過的 HEPA 濾網，裡面到底是什麼？

首先，我們必須打破一個直覺上的誤解：HEPA 濾網（High Efficiency Particulate Air filter）在本質上其實並不是一張「網」。

細懸浮微粒 PM2.5，是指粒徑在 2.5 微米以下的污染物，它們能穿過呼吸道直達肺泡，並穿過血管引發全身性發炎。但這只是基本，在工廠與汽車尾氣中，還存在粒徑僅有 1 微米的 PM1，甚至是小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」（UFP，即 PM0.1）。 UFP 不僅能輕易進入血液，甚至能繞過血腦屏障（BBB），進入大腦與胎盤，其破壞力十分可怕。

如果 HEPA 濾網像水槽濾網或麵粉篩一樣，單靠孔目大小來「過濾」粒子，那麼為了攔截奈米微粒，濾網的孔目只能無限縮小到幾乎不透氣的程度。更別說在台積電或 Intel 的製程工程師眼裡，一般人認為的「乾淨」，在工程師眼裡簡直像沙塵暴一樣。對於線寬僅有 2 奈米或 3 奈米（相當於頭髮直徑萬分之一）的晶片而言，空氣中一顆微小的塵埃，就是一顆足以毀滅世界的隕石。

因此，傳統的過濾思維並非治本之道，我們需要的是原理截然不同的過濾方案。這套技術的雛形，最早可追溯至二戰時期的「曼哈頓計畫」。

HEPA 的前身，誕生於曼哈頓計畫！

1940 年代，製造濃縮鈾是發展原子彈的關鍵。然而，若將排氣直接排向大氣，會導致致命的放射性微粒擴散。負責解決這問題的是 1932 年諾貝爾化學獎得主歐文·朗繆爾（Irving Langmuir），他是薄膜和表面吸附現象的專家。他開發了「絕對過濾器」（Absolute Filter），其內部並非有孔的篩網，而是石綿纖維。

有趣的來了，如果把過濾器放到顯微鏡下，你會發現纖維之間的空隙，其實比某些被攔截的粒子還要大。那為什麼粒子穿不過去呢？這是因為在奈米尺度下，物理規則與宏觀世界完全不同。極微小的粒子在空氣中飛行時，並非走直線，而是會受到空氣分子撞擊，而產生「布朗運動」（Brownian Motion），像個醉漢一樣東倒西歪。

當粒子通過由緻密纖維構成的混亂迷宮時，布朗運動會迫使它們不斷轉彎、移動，最終撞擊到帶有靜電的纖維上。這時，靜電的吸附力會讓纖維就像蜘蛛網般死死黏住微粒。那些狂亂移動的奈米刺客，就這樣被永久禁錮迷宮中。

現在最常見的 HEPA 材料，是硼矽酸鹽玻璃纖維。

現代 HEPA 濾網最常見的核心材料為硼矽酸鹽玻璃纖維。這些玻璃纖維的直徑通常介於 0.5 至 2 微米之間，它們在濾網內隨機交織，像是一座茂密「黑森林」。微粒進入這片森林後，並非僅僅面對一層薄紙，而是得穿越一個具有厚度且排列混亂的纖維層，微粒極有可能在布朗運動的影響下撞擊並黏附在某根玻璃絲上。

除此之外，HEPA 濾網在外觀上還有一個極具辨識度的特徵，那就是像手風琴般的摺紙結構。濾材會被反覆摺疊、摺成手風琴的形狀，中間則用鋁箔或特殊的防潮紙進行結構支撐，目的是增加表面積。這不僅為了捕獲更多微粒，而是要「降低過濾風速」。這聽起來可能有點反直覺：過濾不是越快越好嗎？

其實，這與物理學中的流速控制有關。想像一條水管，如果你捏住出口，水流會變得湍急；若將出口放開並擴大，雖然總出水量不變，但出水處的流速會變得緩慢。對於 HEPA 濾網而言，當表面積越大，單位面積所需承載的空氣量就越少，空氣穿透濾網的速度也就越低。

低流速代表微粒停留在濾網內的時間也更久，增加被捕捉的機會。此外，越大的表面積也為 HEPA 濾網帶來了高「容塵量」，延長了使用壽命，這正是它能夠稱霸空氣清淨領域多年的主因。

然而，即便都叫做 HEPA 高效率空氣微粒子過濾網 (High Efficiency Particulate Air filter)，但每個 HEPA 的成分與結構還是會不一樣。例如 安麗逸新空氣清淨機 SKY ，其標榜「可過濾粒徑最小至 0.0024 微米」的污染物，去除率高達 99.99%。

0.0024 微米是什麼概念？塵蟎、花粉、皮屑或黴菌孢子，大小約在 2 至 200 微米；細懸浮微粒  PM2.5 大小約 2.5 微米，細菌也大概這麼大。最小的其實是粒徑小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」，大多數的病毒（如流感、新冠病毒）都落在此區間。對安麗逸新 的HEPA濾網來說，基本上通通都是可被攔截的榜上名單。

在過敏防護上，它更獲得英國過敏協會（Allergy UK）認證，能有效處理 19 大類、102 種過敏原，濾除空氣中超過 300 種氣態與固態污染物。

然而，同樣的過濾邏輯一旦進入半導體無塵室，就必須換一條更為嚴苛的技術路線。因為硼矽酸鹽玻璃纖維對晶圓來說有個致命傷，就是「硼 (Boron)」。

在半導體製程中，硼是常見的 P 型摻雜物，用來精準改變矽晶圓的電性。如果濾網有任何微小的破損、老化或化學侵蝕，進而釋放出極微量的硼離子，就可能直接污染晶圓，改變其導電特性，導致晶片報廢。

此外，無塵室要求的是比 HEPA 更極致的 ULPA（超低穿透率空氣濾網） 等級的潔淨度。ULPA 的標準通常要求對 0.12 微米 的粒子達到 99.999% 甚至 99.9999% 的超高攔截率。在奈米級的競爭中，任何多穿透的一顆微塵，都代表著一筆不小的經濟損失。

為了解決「硼」的問題並追求極限的過濾效率，材料學家搬出了塑膠界的王者，PTFE 也鐵氟龍。鐵氟龍不僅耐酸鹼、耐腐蝕，還能透過拉伸製成直徑僅 0.05 至 0.1 微米 的極細纖維，其細度遠勝玻璃纖維。雖然 PTFE 耐化學腐蝕，但它既昂貴且物理上也很脆弱，安裝時若不小心稍微觸碰，數萬元的濾網就可能報銷。因此，你只會在晶圓廠而非一般家庭環境看到它。

即便如此，在空氣濾淨系統中，還有一樣是無塵室和你家空氣清淨器上面都有的另一張濾網，就是活性碳濾網。

活性碳如何從物理攔截跨越到分子吸附？

好不容易將微塵擋在門外時，危機卻還沒有解除。因為空氣中還隱藏著另一類更難纏的大魔王：AMC（氣態分子污染物）。

HEPA 或 ULPA 這類物理濾網雖然能攔截固體微粒，但面對氣態分子時，就像是用網球拍想撈起水一樣徒勞。這些氣態分子如同「幽靈」一般，能輕易穿過物理濾網的縫隙，其中包括氮氧化物、二氧化硫，以及來自人體的氨氣與各種揮發性有機物（VOCs）。

為了對付這些幽靈，我們必須在物理防線之外，加裝一道「化學濾網」。

這道防線的核心就是我們熟知的活性碳。但這與烤肉用的木炭不同，這裡使用的是經過特殊改造的「浸漬處理（Impregnation）」活性碳。材料科學家會根據敵人的不同性質，在活性碳上添加不同的化學藥劑：

• 酸鹼中和：對付氮氧化物、二氧化硫等酸性氣體，會在活性碳上添加碳酸鉀、氫氧化鉀等鹼性藥劑，透過酸鹼中和反應將有害氣體轉化為固體鹽類。反之，如果添加了磷酸、檸檬酸等酸性藥劑，就能中和空氣中的氨氣等鹼類。
• 物理吸附與凡德瓦力：對於最麻煩的有機揮發物（VOCs，如甲醛、甲苯），因為它們不具酸鹼性，科學家會精密調控活性碳的孔徑大小，利用龐大的「比表面積」與分子間的吸引力（凡德瓦力），像海綿吸水般將特定的有機分子牢牢鎖在孔隙中。

空氣濾淨的終極邏輯：物理與化學防線的雙重合圍

在晶圓廠這種對空氣品質斤斤計較的極端環境，活性碳的運用並非「亂槍打鳥」，而是一場極其精密的對戰策略。

工程師會根據不同製程區域的空氣分析報告，像玩 RPG 遊戲時根據怪物屬性更換裝備一樣——「打火屬性怪要穿防火裝，打冰屬性則換上防寒裝」。在最關鍵的黃光微影區（Photolithography），晶圓最怕的是人體呼出的氨氣，此時便會配置經過酸性藥劑處理的活性碳進行精準中和；而在蝕刻區（Etching），若偵測到酸性廢氣，則會改用鹼性配方的濾網。這種「對症下藥」的客製化邏輯，是確保晶片良率的唯一準則。

而在你的家中，雖然我們無法像晶圓廠那樣天天進行空氣成分分析，但你的肺部同樣需要這種等級的保護。安麗逸新空氣清淨機 SKY 的設計邏輯，正是將這種工業級的精密防護帶入家庭。它不僅擁有前述的高規 HEPA 濾網，更搭載了獲得美國專利的活性碳氣味濾網。

關於活性碳，科學界有個關鍵指標：「比表面積（Specific Surface Area）」。活性碳的孔隙越多、表面積越大，其吸附能力就越強。逸新氣味濾網選用高品質椰殼製成的活性碳，並經過高溫與蒸氣的特殊活化處理，打造出多孔且極致高密度的結構。

這片濾網內的活性碳配重達 1,020 克，但其展開後的總吸附表面積竟然高達 1,260,000 平方公尺——這是一個令人難以想像的數字，相當於 10.5 個台北大巨蛋 的面積。這種超高的比表面積，是市面上常見濾網的百倍之多。更重要的是，它還添加了雙重觸媒技術，能特別針對甲醛、戴奧辛、臭氧以及各種細微的異味分子進行捕捉。這道專利塗層防線，能將你從裝潢家具散發的有機揮發氣體，或是路邊繁忙車流的廢氣中拯救出來，成為全家人的專屬空氣守護者。

總結來說，無論是造價百億的半導體無塵室，還是守護家人的空氣清淨機，其背後的科學邏輯如出一轍：「物理濾網攔截微粒，化學濾網捕捉氣體」。只有當這兩道防線同時運作，空氣才稱得上是真正的「乾淨」。

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學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的，可能是畢氏定理。

這個定理是：取一直角三角形，以直角的兩邊（股）為邊長各畫一正方形，則這兩個正方形的面積總和，會等於第三邊（斜邊）畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形，√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c，且 c 是最長邊，那麼畢氏定理得出的結果是：

a²+ b² = c²

從這個漂亮的結果，你可以算出各種東西，包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊，就構成了直角三角形，如果正方形的邊長為 1，由畢氏定理可知：

1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2，也就是自乘結果等於 2 的數。

讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值，否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘，會得到 2.25，比 2大很多；改用 1.4，則得到 1.96，又變得太小。（1.41）² = 1.9881，還是太小，但（1.42）² = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施，事實上也的確辦不到。√2是無理數，意思是無法寫出它所有的位數：完整的小數展開式是無窮盡的，而且沒有不斷重複出現的數字模式。

√2前面 20 位是：

1.4142135623730950488

發現無理數，可能招來殺身之禍

簡單的正方形對角線，無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上，畢達哥拉斯（Pythagoras）的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓（Croton，現今的義大利）的祕密幫派，除了奉行素食主義以及不吃豆類之外，他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心：據說 mathematics（數學，意為「所學習的」）及 philosophy（哲學，意為「愛好智慧」）這兩個詞是畢達哥拉斯所創，據傳，「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是，畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比，也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數；事實上，這正是定義無理數的方式（如果你熟悉長除法，就可以自行驗證，任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數）。

希帕索斯（Hippasus of Metapontum）發現有些數（譬如√2）可能是無理數，他也是畢氏學派的一員，根據（相當隱晦的）歷史證據顯示，他因此受到嚴厲的懲罰：在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧？

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法，是數學上經常使用的論證形式的重要範例，也就是歸謬法。要證明某件事（比方說√2是無理數），你必須先做相反的假設（√2可以寫成分數），如果之後推算出矛盾的結果，就能斷定你原先的假設一定是錯的，也就證明你最初的陳述（√2是無理數）必定為真。

這是很自然的推理方法，舉例來說，你假設管家殺了人，但如此一來，管家必須同一時間出現在兩個地方，這顯然說不通，那麼你就能推論原先的假設必定是錯的，而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱，但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線，不管多小段，都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數，可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤，但無理數實在太多了，根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳，碰到無理數的機率是 1，而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言，畢氏學派完全錯了。

√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用，大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等，有個非常棒的特點，就是將兩張同尺寸的紙並排起來，即能拼成大一級的尺寸，譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度（W）的兩倍，等於大一級紙張的長度，而小一級紙張的長度（L）等於大一級紙張的寬度。

所有尺寸的紙張，長寬比都是一樣的，也就是：

可以改寫成：

意思就是：

A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用？如果你希望影印機能夠把原稿縮小（或放大）一級影印，就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同，縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張，代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級，都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小，影印機提供的倍率是 70%，有時候是 71%，把這些數字寫成小數（70 或 71 除以 100），結果是 0.7 及 0.71，兩個數都非常接近：

這個縮小倍率，正是把一張 A3（或兩張 A4）縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2，這表示新紙張的面積會變成：

就是原來的一半，且因長寬比維持不變，所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%，對應的數字很接近，所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。

BOX：證明√2是無理數

假設 √2 = m/n，其中的整數 m 與 n 沒有公因數（除了 1，沒有其他數可同時整除 m 和 n）。

於是：2 = m²/n²，因此：2n² = m²。

這表示 m²是偶數，m 也是偶數，因為奇數的平方永遠是奇數。所以， m 可以寫成 2k，而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k，就得到：2n² = m² = 4k²

除以 2，就是：n² = 2k²

所以 n² 也是偶數，n 也是偶數，但這產生了矛盾，因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此，√2不能寫成 m/n，即為無理數。

本文摘自《數學好有事》，麥田出版。

數感實驗室／朱倍玉

如果有人突然問你： \(  a^{2}+b^{2=} \)？ 台灣學生大概像膝反射一樣，自然而然地答出 \( c^{2} \)。

直角三角形，直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。這是人人都熟悉的畢氏定理，也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題

費馬（Pierre de Fermat）是 17 世紀的一名律師，數學是他業餘的興趣，當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。雖然費馬本業跟數學天差地遠，但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究，在數學界的貢獻不輸職業數學家，也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》（Arithmetica）這本書時，費馬在書的空白處寫下「\(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \)，當 \(  n>2  \) 時無正整數解」，並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明，可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子，再加上一句話，卻讓後世的數學家們花了足足三百年，直到 1995 年才由懷爾斯（Andrew John Wiles）教授完成證明，而這項證明，被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20) 編按：原文提及費馬定理時敘述為「無解」，實為「無正整數解」，特此更正。

立志要趁早，十歲許願解題的懷爾斯

這個世紀大任務的起點是懷爾斯 10 歲那年。他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書，當時，他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。在其他人才正要認識三角形的年紀，懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。正好，又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣，懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。他踏入數學界的時期，正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。大多數學家認為費馬最後定理無法證明，紛紛轉往其他領域。懷爾斯的指導教授也不例外，要懷爾斯放棄夢想，別白忙一場。也因此除了夢想外，他同時開始研究橢圓曲線^註1這個領域。

然而事實上在更早以前，日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山－志村猜想」，他們認為橢圓曲線與「模形式」^註2可能有關聯。但是，橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢？1985 年，德國數學家佛列（Gerhard Frey）將谷山－志村猜想與費馬最後定理連結，他認為谷山－志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

後來，法國數學家賽爾（Jean-Pierre Serre）、美國數學家里貝特（Ken Ribet）也投入研究。他們發現只要證明出谷山－志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明，才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

於是，長達 7 年的時間，懷爾斯致力於研究谷山－志村猜想與費馬最後定理，他也找來另一位數學教授卡茲（Nicholas Katz）加入研究。懷爾斯是一個很低調的人，為了避免引起眾人的懷疑與關注，他在學校開設新課程，好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式^註3。

由於懷爾斯從未說明開課目的，也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理，只是不停地證明，難度相當高，搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。不久後，懷爾斯正式完成所有證明。他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會，對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式，完全沒提到費馬最後定理。

當時有些謠言，這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生，許多學者因此前來。研討會上，懷爾斯從橢圓曲線、模形式，一路證明到費馬最後定理，帶給台下聽眾滿滿的驚喜。隔天報章雜誌上，到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

以為解開了嗎？過程曲折離奇

然而「福兮，禍之所伏」，驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。當懷爾斯的證明手稿進入審查階段，卡茲與懷爾斯反覆驗證時，他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤，漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。懷爾斯接受訪問時也表達，在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。他把自己關在書桌前，試圖解決這個錯誤，然而不論怎麼做都沒辦法突破。

就在陷入絕望之際，他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。一時靈光乍現，他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤，完成證明。1995 年，世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許，我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述，就是進入一棟大房子。當一個人開始探索第一個全黑的房間時，裡頭一片漆黑，他會在家具中邊跌倒邊摸索。漸漸地知道家具的位置。六個月後，你會找到開關並且打開燈。開燈的那一瞬間，整個房間被光線壟罩，你終於，能清楚地看見你站在哪裡」

——懷爾斯（Andrew John Wiles）

BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片，這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽，仰賴歷史上許多數學家的一臂之力，更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。從這個例子我們也可以看到，數學不是計算，更不是算得快就叫數學好。它是思考與邏輯，能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的 8 月 17 日，正好是費馬的 418 歲生日，特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂！

註釋：

1. 橢圓曲線（Elliptic Curve）是二元三次曲線的一種形式，其圖形並非橢圓，而是圓環狀。
2. 模形式（Modular forms）是具有極複雜對稱性的複數平面函數。
3. 類數公式（Class number formula）與環的有限序列有關。

資料來源：

• 費瑪最後定理（Fermat’s Last Theorem） 紀錄片
• mathworld.wolfram-Elliptic Curve
• 模形式
• mathworld.wolfram-Class Number Formula
• 解開「費馬最後定理」的懷爾斯—《科學月刊》
• Andrew John Wiles
• Andrew-Wiles
• Pierre de Fermat

劃時代的想法「笛卡兒座標系」

15 世紀，古騰堡（Gutenberg）將活字印刷應用化之後，歐幾里德的《幾何原本》也變成活字版本了。從 1482 年威尼斯的初版開始， 世界上有超過一千種版本，可以說是除了《聖經》之外，銷量最多的 一本書。幾乎可以說《聖經》跟《幾何原本》是支撐歐洲文明的兩大支柱。

為歐幾里德的平面幾何帶來偉大變革的，是 1596 年出生的近代理性主義之父笛卡兒（Descartes）。笛卡兒在他的著作《談談方法》 中，提出追求真理的四大步驟：

1. 如果不是具有明證的真理，就不承認其為真。
2. 為了更加了解問題，要將問題分割成許多小問題。
3. 思考的順序是從單純的事物開始，依序往複雜的事物前進。
4. 小問題都解決了之後，將小問題全部列出來，看看是否有遺漏， 能不能涵蓋原本的大問題。

這也反應出了《幾何原本》的精神，從看起來理所當然的公理開始，一步步推導向複雜的圖形性質。

這個《談談方法》，是討論關於探討真理的方法的書籍序論。笛卡兒提出了一個幾何學上的新見解，做為這個方法的試論，那就是：

「平面上的點都可以用一組兩個的實數來表示，也就是（x, y）」。

在平面上垂直相交的兩條線，分別稱為 x 軸以及 y 軸。為了表示平面上的點的位置，將點分別與 x 軸以及 y 軸做垂線，相交的點分別為 x 以及 y，於是這個點的位置就可以用 （x,　y） 來表 示，這就是所謂的「笛卡兒座標系」（圖 6-10）。

雖然座標軸這個概念並不是笛卡兒發明的， 這樣的座標系也可以稱為「直角座標系」，但因為笛卡兒用這個座標系導入新的幾何學概念，所以我在此稱之為「笛卡兒座標系」。使用笛卡兒座標系的話，平面幾何的問題都可以代換成關於（x, y）的計算問題，連歐幾里德的五個公理， 都可以用笛卡兒座標來解釋了。

例如，〈公理 3〉提到，平面上兩點（x₁, y₁）與 （x₂, y₂），以一點為圓心，求通過另外一點的圓的解。「圓」就是與某一點距離相同的 所有點的集合，所以首先計算這兩點的距離。 如圖 6-11，可以將（x₁, y₁）與 （x₂, y₂）的距離，也就是這兩點所連 結的線段想像成長方形的對角線。

根據畢氏定理，對角線的長度 r 的平方，就是長邊與短邊的平方和。也可以表示成：

〈公理 3〉的「以（x₁, y₁）為中心，通過（x₂, y₂）的圓」就是與點（x₁, y₁）距離 r 的所有點的集合，因此滿足下面算式的所有（x, y）的集合就是解答。

(x － x₁) ² ＋ (y － y₁) ² ＝ r²

利用笛卡兒座標系，就可以將歐幾里德的幾何學問題化為方程式問題了。

用方程式解開美妙的「垂心定理」

2009 年，日本數學書房出版了一本名為《這個定理真美妙》（この定理が美しい）的書。這是一個大型企畫，由 20 位作者分別選出自己認為最美妙的數學定理，並且講述定理獨特的魅力，而我也選了「基本粒子論」中使用到的定理。在這本書中，京都產業大學的牛瀧文宏先生選了平面幾何的「垂心定理」。

要介紹垂心定理，得先介紹三角形的垂線。由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線，這條線就稱為垂線。三角形有三個頂點，理所當然就有三條垂線。所謂的「垂心定理」是指，這三條垂線必會相交在一個點，而這個點稱為垂心。

兩條直線如果不是平行的話，一定會在某處相交，形成一個交點，這是理所當然的事情。但是三條直線，就不一定會相交在同一個點了。牛瀧先生在關於垂心定理的描述中提到，「當時身為中學生的我，被那個即使用盡了我的全力也無法到達的境界的證明所懾服，圖形的協調以及層層堆積的理論，使我確確實實感受到定理的美妙」。 古希臘時代流傳下來的，關於垂心定理的證明，巧妙的使用了輔助線，說是藝術也不為過。網路上有許多關於垂心定理的證明，有興趣的人不妨參考。

在這邊利用笛卡兒座標系來證明這個定理。證明中不講求細節， 只是希望大家能感受一下方程式的氣氛，體會一下「將幾何問題化成方程式」的感覺。

假設三角形的頂點為 a ＝ (0,0)，b ＝ (p,0)， c ＝ (q,r)。頂點 c 對 ab 邊的垂線，可以用方程式表示為：

x ＝ q

頂點 a 對 bc 邊的垂線也可以用方程式表示為：

頂點 b 對 ca 邊的垂線也可以用方程式表示為：

最初的兩個方程式是 x，y 的聯立方程式，求解之後可以得到 ：

（x, y） ＝（q, (p － q)q/r）

這個解也能滿足第三個方程式。也就是說，這三個方程式有共同的一個解。換句話說，三條垂線具有一個共同的交點，也就是垂心。

這個證明不像古希臘流傳下來使用輔助線的證明方法那樣帶有藝術性。只是先將題目中的垂線利用笛卡兒座標表示成方程式，接著解聯立方程式，按照步驟機械式地一步步操作而已。但正是因為不需要靈感，所以只要知道解法，誰都可以證明出同樣的答案。

如果使用輔助線的證明方法是在田野間悠閒騎著腳踏車，享受著田園風景前進，那麼利用笛卡兒座標系的證明方法就如同搭上由精密機械組裝而成的新幹線呼嘯而過一般。笛卡兒座標終結了幾何學的牧歌時代，進入了重視效率的近代。

有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系

高斯定理：「如果圖形的邊長比，能夠利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示的話，這個圖形就可以作圖，如果不能，圖形就不能作圖」也可以用笛卡兒座標系簡單解釋。作圖的基本規則是只使用尺跟圓規，所以又稱為尺規作圖。在笛卡兒座標系中，利用尺畫出的直線，可以表示為一次函數 y ＝ ax ＋ b，利用圓規畫出的圓是二次函數 (x － x₁) ² ＋ (y － y₁) ² ＝ r² 。

因此，重複這些步驟作圖得到的線段長的比值，就是一次方程式以及二次方程式相互組合的解，也就是「可以利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示」。

笛卡兒座標不僅僅影響了幾何學，對於科學技術方面的影響更是廣泛且重大。笛卡兒出版《談談方法》的序文〈探討真理的方法〉時，剛好是伽利略的晚年。

伽利略發現了許多關於物質運動的重要現象，包括——

• 「鐘擺的等時性」：鐘擺的擺動週期是固定的，與擺動幅度無關；
• 「自由落體法則」：物體落下時所需要的時間與物體重量無關；
• 「慣性法則」：以等速度移動的物體，在不施加外力的狀況下，會一直維持等速度運動；
• 「相對性」：在等速度移動的座標系中的力學法則，看起來與靜止座標系中的力學法則相同。

但是，即使發現了這麼多重大的發現，伽利略卻沒有完成力學體系，其中一個原因，或許是因為伽利略並不知道笛卡兒座標系吧。

在伽利略過世那年出生的牛頓，為了將力學以及重力學的法則用 數學方法表示時所使用的，正好就是笛卡兒座標系。從此以後，科學以及工程學的各式各樣方程式都可以利用笛卡兒座標系表示。

今日，只要是有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系。例如，電腦螢幕或是手機畫面上的點的位置，就是轉換成笛卡兒座標系，以數字表示，而能使電腦處理畫面上的圖像。

將思考推往高維度的世界

笛卡兒座標還有另一個重大貢獻，它將人類的思考從平面中解放，前往更高維度。

二維平面的點可以用一組兩個的數字（x,y）表示，三維空間的點也能用一組三個的數字（x,y,z）代表。在三維空間中畫出互相垂直相 交的三條直線，稱之為 x 軸、y 軸、z 軸，在三維空間的點，分別對 這三個軸做垂線，得到 x、y、z 的數值，這個一組三個的數值就是點的座標。

二維平面上兩點（x,y）與（x’,y’）的距離 r 的公式是：

同樣的，三維空間中兩點（x,y,z）與（x’,y’,z’）的距離 r 公式是：

利用座標表示點的位置的話，能夠簡單地表示比三維更高維度的空間。n 維度的空間，就是無數個由一組 n 個數的座標（x₁,……,x_n）所表示的點的集合。三維的世界是眼睛可以看到的世界，但我們還是會懷疑、思考看不到的四維以上的空間到底有沒有意義。然而，我們的日常生活所遭遇的事物之中，就隱藏著高維度世界。

本文選自《用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美》，臉譜出版。