花了三百年才證明的世紀難題：費馬的最後定理

本文與 Panasonic 合作，泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享，不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上，「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水，但過不了幾天，馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑，甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢（黏質沙雷氏菌）。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」，讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看，世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制，並非打造完全不沾染髒污的材質，而是調整表面的物理與化學屬性，使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力，透過日常水流沖刷，便能輕易地將髒污帶走。

為什麼污垢「黏不住」？ 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」，我們得先像偵探一樣，拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇：

1. 水垢與礦物沉積*1：我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時，這些離子會逐漸結晶析出，變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
2. 生物膜與有機物*2：包含尿液中的無機鹽、油脂殘留，以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物，所組成的黏滑防禦大本營。

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」，前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼，材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢？答案就藏在「表面能（Surface Energy）」與「濕潤性（Wettability）」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時，水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠，還是迅速攤平開來？這取決於表面的特性：

• 疏水路線（Hydrophobic）*1：具備低表面能的疏水表面，能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠，當水珠滾動滑落時，就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走，這就是著名的「自清潔效應」。
• 親水路線（Hydrophilic / Superhydrophilic）*2：相反地，極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子，在材料最外層形成一層薄薄的「水化層（Hydration Layer）」。這層水化層就像是實體的液體盾牌，讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底，只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻：傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆，髒污就像攀岩者，需要找到落腳點並用力撐住才能攀附；而我們做的是抽掉把手點，或是在把手上塗上潤滑油，讓髒污找不到施力點，自然難以停留。

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢，下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢，在微生物學中被稱為「生物膜（Biofilm）」。細菌並不是孤立生長的，當單顆細菌落在表面後，如果覺得環境舒適，它就會開始分泌胞外聚合物（EPS），這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起，並築起堅固的防禦堡壘，這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出，要阻止生物膜形成，除了化學上的抗菌，材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論（Attachment Point Theory）」：

1. 粗糙與微孔洞表面：如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞，細菌（體積通常約 1 到 3 微米）就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點，還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
2. 極致平滑與微結構表面：相反地，如果材料表面做到極致平滑，完全沒有微米級的缺陷；或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構，細菌的足跡構造（如鞭毛或纖毛）就無法在表面找到穩固的「接觸附著點（Contact Points）」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時，它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外，現代衛浴結構在設計時，也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角，等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何，我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系：【材料層（低附著力）】+【結構層（無縫平滑）】+【動態流體層（泡沫與水流剪切力）】= 高效清潔！

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例，就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表：

1. 材料層：有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」（以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料，這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩）。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性，水滴不易長時間攤平停留；材質堅固、不易破裂，耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試，這種素材配合泡沫洗淨，在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌，從源頭阻斷細菌定殖。

2. 結構層：無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上，A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計，減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫，並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計：

• 泡沫防護：在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層，有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺；
• 外圍防護：馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔，防止液體延著外壁滴落至地板；
• 測漏防護：便座與馬桶本體採用不外露的防護設計，避免液體從縫隙飛濺滲漏。

3. 動態流體層：雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時，A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污，再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙，徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著，配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」，利用旋轉產生的流體剪切力，一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外，Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技，釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污，維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆，但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計，到微觀幾何的附著點控制，再到流體力學的水流沖刷，一座現代抗污馬桶的演進，縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而，A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破，展示了材料科學的另一種聰明思維：不靠強酸強鹼硬打，而是透過物理與化學邏輯，將「污垢固著」的機率降到最低。

當材料科學與現代衛浴技術結合，刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持，我們得以從繁重的家務勞動中解放，享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文：A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文：Brushing up functional materials

學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的，可能是畢氏定理。

這個定理是：取一直角三角形，以直角的兩邊（股）為邊長各畫一正方形，則這兩個正方形的面積總和，會等於第三邊（斜邊）畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形，√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c，且 c 是最長邊，那麼畢氏定理得出的結果是：

a²+ b² = c²

從這個漂亮的結果，你可以算出各種東西，包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊，就構成了直角三角形，如果正方形的邊長為 1，由畢氏定理可知：

1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2，也就是自乘結果等於 2 的數。

讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值，否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘，會得到 2.25，比 2大很多；改用 1.4，則得到 1.96，又變得太小。（1.41）² = 1.9881，還是太小，但（1.42）² = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施，事實上也的確辦不到。√2是無理數，意思是無法寫出它所有的位數：完整的小數展開式是無窮盡的，而且沒有不斷重複出現的數字模式。

√2前面 20 位是：

1.4142135623730950488

發現無理數，可能招來殺身之禍

簡單的正方形對角線，無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上，畢達哥拉斯（Pythagoras）的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓（Croton，現今的義大利）的祕密幫派，除了奉行素食主義以及不吃豆類之外，他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心：據說 mathematics（數學，意為「所學習的」）及 philosophy（哲學，意為「愛好智慧」）這兩個詞是畢達哥拉斯所創，據傳，「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是，畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比，也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數；事實上，這正是定義無理數的方式（如果你熟悉長除法，就可以自行驗證，任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數）。

希帕索斯（Hippasus of Metapontum）發現有些數（譬如√2）可能是無理數，他也是畢氏學派的一員，根據（相當隱晦的）歷史證據顯示，他因此受到嚴厲的懲罰：在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧？

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法，是數學上經常使用的論證形式的重要範例，也就是歸謬法。要證明某件事（比方說√2是無理數），你必須先做相反的假設（√2可以寫成分數），如果之後推算出矛盾的結果，就能斷定你原先的假設一定是錯的，也就證明你最初的陳述（√2是無理數）必定為真。

這是很自然的推理方法，舉例來說，你假設管家殺了人，但如此一來，管家必須同一時間出現在兩個地方，這顯然說不通，那麼你就能推論原先的假設必定是錯的，而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱，但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線，不管多小段，都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數，可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤，但無理數實在太多了，根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳，碰到無理數的機率是 1，而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言，畢氏學派完全錯了。

√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用，大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等，有個非常棒的特點，就是將兩張同尺寸的紙並排起來，即能拼成大一級的尺寸，譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度（W）的兩倍，等於大一級紙張的長度，而小一級紙張的長度（L）等於大一級紙張的寬度。

所有尺寸的紙張，長寬比都是一樣的，也就是：

可以改寫成：

意思就是：

A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用？如果你希望影印機能夠把原稿縮小（或放大）一級影印，就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同，縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張，代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級，都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小，影印機提供的倍率是 70%，有時候是 71%，把這些數字寫成小數（70 或 71 除以 100），結果是 0.7 及 0.71，兩個數都非常接近：

這個縮小倍率，正是把一張 A3（或兩張 A4）縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2，這表示新紙張的面積會變成：

就是原來的一半，且因長寬比維持不變，所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%，對應的數字很接近，所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。

BOX：證明√2是無理數

假設 √2 = m/n，其中的整數 m 與 n 沒有公因數（除了 1，沒有其他數可同時整除 m 和 n）。

於是：2 = m²/n²，因此：2n² = m²。

這表示 m²是偶數，m 也是偶數，因為奇數的平方永遠是奇數。所以， m 可以寫成 2k，而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k，就得到：2n² = m² = 4k²

除以 2，就是：n² = 2k²

所以 n² 也是偶數，n 也是偶數，但這產生了矛盾，因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此，√2不能寫成 m/n，即為無理數。

本文摘自《數學好有事》，麥田出版。

劃時代的想法「笛卡兒座標系」

15 世紀，古騰堡（Gutenberg）將活字印刷應用化之後，歐幾里德的《幾何原本》也變成活字版本了。從 1482 年威尼斯的初版開始， 世界上有超過一千種版本，可以說是除了《聖經》之外，銷量最多的 一本書。幾乎可以說《聖經》跟《幾何原本》是支撐歐洲文明的兩大支柱。

為歐幾里德的平面幾何帶來偉大變革的，是 1596 年出生的近代理性主義之父笛卡兒（Descartes）。笛卡兒在他的著作《談談方法》 中，提出追求真理的四大步驟：

1. 如果不是具有明證的真理，就不承認其為真。
2. 為了更加了解問題，要將問題分割成許多小問題。
3. 思考的順序是從單純的事物開始，依序往複雜的事物前進。
4. 小問題都解決了之後，將小問題全部列出來，看看是否有遺漏， 能不能涵蓋原本的大問題。

這也反應出了《幾何原本》的精神，從看起來理所當然的公理開始，一步步推導向複雜的圖形性質。

這個《談談方法》，是討論關於探討真理的方法的書籍序論。笛卡兒提出了一個幾何學上的新見解，做為這個方法的試論，那就是：

「平面上的點都可以用一組兩個的實數來表示，也就是（x, y）」。

在平面上垂直相交的兩條線，分別稱為 x 軸以及 y 軸。為了表示平面上的點的位置，將點分別與 x 軸以及 y 軸做垂線，相交的點分別為 x 以及 y，於是這個點的位置就可以用 （x,　y） 來表 示，這就是所謂的「笛卡兒座標系」（圖 6-10）。

雖然座標軸這個概念並不是笛卡兒發明的， 這樣的座標系也可以稱為「直角座標系」，但因為笛卡兒用這個座標系導入新的幾何學概念，所以我在此稱之為「笛卡兒座標系」。使用笛卡兒座標系的話，平面幾何的問題都可以代換成關於（x, y）的計算問題，連歐幾里德的五個公理， 都可以用笛卡兒座標來解釋了。

例如，〈公理 3〉提到，平面上兩點（x₁, y₁）與 （x₂, y₂），以一點為圓心，求通過另外一點的圓的解。「圓」就是與某一點距離相同的 所有點的集合，所以首先計算這兩點的距離。 如圖 6-11，可以將（x₁, y₁）與 （x₂, y₂）的距離，也就是這兩點所連 結的線段想像成長方形的對角線。

根據畢氏定理，對角線的長度 r 的平方，就是長邊與短邊的平方和。也可以表示成：

〈公理 3〉的「以（x₁, y₁）為中心，通過（x₂, y₂）的圓」就是與點（x₁, y₁）距離 r 的所有點的集合，因此滿足下面算式的所有（x, y）的集合就是解答。

(x － x₁) ² ＋ (y － y₁) ² ＝ r²

利用笛卡兒座標系，就可以將歐幾里德的幾何學問題化為方程式問題了。

用方程式解開美妙的「垂心定理」

2009 年，日本數學書房出版了一本名為《這個定理真美妙》（この定理が美しい）的書。這是一個大型企畫，由 20 位作者分別選出自己認為最美妙的數學定理，並且講述定理獨特的魅力，而我也選了「基本粒子論」中使用到的定理。在這本書中，京都產業大學的牛瀧文宏先生選了平面幾何的「垂心定理」。

要介紹垂心定理，得先介紹三角形的垂線。由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線，這條線就稱為垂線。三角形有三個頂點，理所當然就有三條垂線。所謂的「垂心定理」是指，這三條垂線必會相交在一個點，而這個點稱為垂心。

兩條直線如果不是平行的話，一定會在某處相交，形成一個交點，這是理所當然的事情。但是三條直線，就不一定會相交在同一個點了。牛瀧先生在關於垂心定理的描述中提到，「當時身為中學生的我，被那個即使用盡了我的全力也無法到達的境界的證明所懾服，圖形的協調以及層層堆積的理論，使我確確實實感受到定理的美妙」。 古希臘時代流傳下來的，關於垂心定理的證明，巧妙的使用了輔助線，說是藝術也不為過。網路上有許多關於垂心定理的證明，有興趣的人不妨參考。

在這邊利用笛卡兒座標系來證明這個定理。證明中不講求細節， 只是希望大家能感受一下方程式的氣氛，體會一下「將幾何問題化成方程式」的感覺。

假設三角形的頂點為 a ＝ (0,0)，b ＝ (p,0)， c ＝ (q,r)。頂點 c 對 ab 邊的垂線，可以用方程式表示為：

x ＝ q

頂點 a 對 bc 邊的垂線也可以用方程式表示為：

頂點 b 對 ca 邊的垂線也可以用方程式表示為：

最初的兩個方程式是 x，y 的聯立方程式，求解之後可以得到 ：

（x, y） ＝（q, (p － q)q/r）

這個解也能滿足第三個方程式。也就是說，這三個方程式有共同的一個解。換句話說，三條垂線具有一個共同的交點，也就是垂心。

這個證明不像古希臘流傳下來使用輔助線的證明方法那樣帶有藝術性。只是先將題目中的垂線利用笛卡兒座標表示成方程式，接著解聯立方程式，按照步驟機械式地一步步操作而已。但正是因為不需要靈感，所以只要知道解法，誰都可以證明出同樣的答案。

如果使用輔助線的證明方法是在田野間悠閒騎著腳踏車，享受著田園風景前進，那麼利用笛卡兒座標系的證明方法就如同搭上由精密機械組裝而成的新幹線呼嘯而過一般。笛卡兒座標終結了幾何學的牧歌時代，進入了重視效率的近代。

有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系

高斯定理：「如果圖形的邊長比，能夠利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示的話，這個圖形就可以作圖，如果不能，圖形就不能作圖」也可以用笛卡兒座標系簡單解釋。作圖的基本規則是只使用尺跟圓規，所以又稱為尺規作圖。在笛卡兒座標系中，利用尺畫出的直線，可以表示為一次函數 y ＝ ax ＋ b，利用圓規畫出的圓是二次函數 (x － x₁) ² ＋ (y － y₁) ² ＝ r² 。

因此，重複這些步驟作圖得到的線段長的比值，就是一次方程式以及二次方程式相互組合的解，也就是「可以利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示」。

笛卡兒座標不僅僅影響了幾何學，對於科學技術方面的影響更是廣泛且重大。笛卡兒出版《談談方法》的序文〈探討真理的方法〉時，剛好是伽利略的晚年。

伽利略發現了許多關於物質運動的重要現象，包括——

• 「鐘擺的等時性」：鐘擺的擺動週期是固定的，與擺動幅度無關；
• 「自由落體法則」：物體落下時所需要的時間與物體重量無關；
• 「慣性法則」：以等速度移動的物體，在不施加外力的狀況下，會一直維持等速度運動；
• 「相對性」：在等速度移動的座標系中的力學法則，看起來與靜止座標系中的力學法則相同。

但是，即使發現了這麼多重大的發現，伽利略卻沒有完成力學體系，其中一個原因，或許是因為伽利略並不知道笛卡兒座標系吧。

在伽利略過世那年出生的牛頓，為了將力學以及重力學的法則用 數學方法表示時所使用的，正好就是笛卡兒座標系。從此以後，科學以及工程學的各式各樣方程式都可以利用笛卡兒座標系表示。

今日，只要是有科學技術的地方，就有笛卡兒座標系。例如，電腦螢幕或是手機畫面上的點的位置，就是轉換成笛卡兒座標系，以數字表示，而能使電腦處理畫面上的圖像。

將思考推往高維度的世界

笛卡兒座標還有另一個重大貢獻，它將人類的思考從平面中解放，前往更高維度。

二維平面的點可以用一組兩個的數字（x,y）表示，三維空間的點也能用一組三個的數字（x,y,z）代表。在三維空間中畫出互相垂直相 交的三條直線，稱之為 x 軸、y 軸、z 軸，在三維空間的點，分別對 這三個軸做垂線，得到 x、y、z 的數值，這個一組三個的數值就是點的座標。

二維平面上兩點（x,y）與（x’,y’）的距離 r 的公式是：

同樣的，三維空間中兩點（x,y,z）與（x’,y’,z’）的距離 r 公式是：

利用座標表示點的位置的話，能夠簡單地表示比三維更高維度的空間。n 維度的空間，就是無數個由一組 n 個數的座標（x₁,……,x_n）所表示的點的集合。三維的世界是眼睛可以看到的世界，但我們還是會懷疑、思考看不到的四維以上的空間到底有沒有意義。然而，我們的日常生活所遭遇的事物之中，就隱藏著高維度世界。

本文選自《用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美》，臉譜出版。