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花了三百年才證明的世紀難題:費馬的最後定理

數感實驗室_96
・2019/08/17 ・2551字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 538 ・八年級

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數感實驗室/朱倍玉

如果有人突然問你: \(  a^{2}+b^{2=} \)? 台灣學生大概像膝反射一樣,自然而然地答出 \( c^{2} \)

直角三角形,直角的兩鄰邊長的平方和等於斜邊長的平方。這是人人都熟悉的畢氏定理,也是百年數學之謎「費馬最後定理」的一部分。

費馬提出的世紀難題

費馬的本業是律師,但因為熱衷數學研究而被譽為業餘數學王子。圖/wikipedia

費馬(Pierre de Fermat)是 17 世紀的一名律師,數學是他業餘的興趣,當時與他書信往來的包括了笛卡爾、帕斯卡、惠更斯等歷史上知名的數學家。雖然費馬本業跟數學天差地遠,但他相繼提出微積分、機率論與數論的研究,在數學界的貢獻不輸職業數學家,也因此獲得「業餘數學家王子」的封號。

研究《算數》(Arithmetica)這本書時,費馬在書的空白處寫下「\(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \),當 \(  n>2  \) 時無正整數解」,並且用拉丁文留下一句話「我發現了一個極為美妙的證明,可是空白處太小所以沒寫下來」。

短短一條小學生就能理解的式子,再加上一句話,卻讓後世的數學家們花了足足三百年,直到 1995 年才由懷爾斯(Andrew John Wiles)教授完成證明,而這項證明,被稱為上個世紀的大任務。

(2019/8/20) 編按:原文提及費馬定理時敘述為「無解」,實為「無正整數解」,特此更正。

懷爾斯在費馬的出生地前留影,其後是「費馬猜想」的雕刻。圖/wikipedia

立志要趁早,十歲許願解題的懷爾斯

這個世紀大任務的起點是懷爾斯 10 歲那年。他在圖書館翻閱一本講述費馬最後定理歷史的書,當時,他便對費馬留下來的難題產生濃厚興趣。在其他人才正要認識三角形的年紀,懷爾斯已經下定決心要解決這道流傳百年的難題。正好,又提供大家一個立志要及早的偉人例證。

跟很多成就大事的人一樣,懷爾斯在研究費馬最後定理的過程並非一帆風順。他踏入數學界的時期,正好是數學界準備放棄費馬最後定理的時候。大多數學家認為費馬最後定理無法證明,紛紛轉往其他領域。懷爾斯的指導教授也不例外,要懷爾斯放棄夢想,別白忙一場。也因此除了夢想外,他同時開始研究橢圓曲線註1這個領域。

然而事實上在更早以前,日本數學家谷山豐和志村五郎提出「谷山-志村猜想」,他們認為橢圓曲線與「模形式」註2可能有關聯。但是,橢圓曲線或是它與模形式的關聯跟費馬最後定理有什麼關係呢?1985 年,德國數學家佛列(Gerhard Frey)將谷山-志村猜想與費馬最後定理連結,他認為谷山-志村猜想可能可以協助完成費馬最後定理的證明。

後來,法國數學家賽爾(Jean-Pierre Serre)、美國數學家里貝特(Ken Ribet)也投入研究。他們發現只要證明出谷山-志村猜想就可以完成費馬最後定理的證明,才再次啟動懷爾斯的世紀難題證明之路。

卡茲協助懷爾斯完成證明費馬最後定理的最後一哩路。圖/wikipedia

於是,長達 7 年的時間,懷爾斯致力於研究谷山-志村猜想與費馬最後定理,他也找來另一位數學教授卡茲(Nicholas Katz)加入研究。懷爾斯是一個很低調的人,為了避免引起眾人的懷疑與關注,他在學校開設新課程,好讓卡茲協助他找到證明費馬最後定理所需要的最後一項工具──類數公式註3

由於懷爾斯從未說明開課目的,也沒向學生解釋這個公式將幫助他們通往費馬最後定理,只是不停地證明,難度相當高,搞到最後台下聽眾就只剩下卡茲。不久後,懷爾斯正式完成所有證明。他選擇在劍橋大學舉辦三場研討會,對外宣稱研討會的內容討論的是橢圓曲線和模形式,完全沒提到費馬最後定理。

當時有些謠言,這場研討會似乎有更勁爆的突破要發生,許多學者因此前來。研討會上,懷爾斯從橢圓曲線、模形式,一路證明到費馬最後定理,帶給台下聽眾滿滿的驚喜。隔天報章雜誌上,到處都在報導世紀難題已經解決的喜訊。

Diophantus-II-8-Fermat
儘管過程如此曲折,世紀難題終究還是從未竟之謎的名單中消除了。圖/wikipedia

以為解開了嗎?過程曲折離奇

然而「福兮,禍之所伏」,驚喜後面還藏了一個巨大的驚嚇。當懷爾斯的證明手稿進入審查階段,卡茲與懷爾斯反覆驗證時,他們找到一處先前完全沒發現的錯誤。

人們尖銳地檢視著懷爾斯的失誤,漫天的喜訊瞬間化成毫無遮掩的嘲諷。懷爾斯接受訪問時也表達,在備受矚目的狀態下進行研究並不是他的風格。他把自己關在書桌前,試圖解決這個錯誤,然而不論怎麼做都沒辦法突破。

就在陷入絕望之際,他偶然在桌邊看到一份關於「岩澤理論」的論文。一時靈光乍現,他運用了岩澤理論來化解掉原先證明的錯誤,完成證明。1995 年,世紀難題才正式從未竟之謎的名單中消除。

「或許,我能給出關於我研究數學的歷程最貼切的描述,就是進入一棟大房子。當一個人開始探索第一個全黑的房間時,裡頭一片漆黑,他會在家具中邊跌倒邊摸索。漸漸地知道家具的位置。六個月後,你會找到開關並且打開燈。開燈的那一瞬間,整個房間被光線壟罩,你終於,能清楚地看見你站在哪裡」

——懷爾斯(Andrew John Wiles)

BBC拍攝了一部關於破解費馬最後定理的紀錄片,這段話正是懷爾斯在片頭的開場白。

破解費馬最後定理的世紀任務就像是完成一場接力式的拔河比賽,仰賴歷史上許多數學家的一臂之力,更需要在時間的沖刷與眾人的關注下承擔壓力的決心。從這個例子我們也可以看到,數學不是計算,更不是算得快就叫數學好。它是思考與邏輯,能讓許多人投入一生也樂此不疲的遊戲。

今年的 8 月 17 日,正好是費馬的 418 歲生日,特別寫這段費馬留給後人的禮物來祝他生日快樂!

註釋:

  1. 橢圓曲線(Elliptic Curve)是二元三次曲線的一種形式,其圖形並非橢圓,而是圓環狀。
  2. 模形式(Modular forms)是具有極複雜對稱性的複數平面函數。
  3. 類數公式(Class number formula)與環的有限序列有關。

資料來源:

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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為什麼A4的紙張邊長比是根號2呢?──《數學好有事》
PanSci_96
・2018/05/10 ・2567字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 591 ・九年級

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圖/wikipedia

學校教過的數學課程中最讓人印象深刻的,可能是畢氏定理

這個定理是:取一直角三角形,以直角的兩邊(股)為邊長各畫一正方形,則這兩個正方形的面積總和,會等於第三邊(斜邊)畫出的正方形面積。邊長為 a 的正方形,√2面積是 a×a = a²。如果這個直角三角形的邊長為 a、b、c,且 c 是最長邊,那麼畢氏定理得出的結果是:

a²+ b² = c²

從這個漂亮的結果,你可以算出各種東西,包括正方形的對角線長等。正方形的對角線加上兩邊,就構成了直角三角形,如果正方形的邊長為 1,由畢氏定理可知:

1² + 1² = 2 = d²

這表示對角線的長度 d 等於√2,也就是自乘結果等於 2 的數。

圖/wikipedia

讓人有點尷尬的√2

除非你已經發覺√2有點難定出精確的數值,否則這個數沒什麼大不了的。如果拿 1.5 自乘,會得到 2.25,比 2大很多;改用 1.4,則得到 1.96,又變得太小。(1.41)2 = 1.9881,還是太小,但(1.42)2 = 2.0164 又會超過 2。

看起來無計可施,事實上也的確辦不到。√2是無理數,意思是無法寫出它所有的位數:完整的小數展開式是無窮盡的,而且沒有不斷重複出現的數字模式。

√2前面 20 位是:

1.4142135623730950488

發現無理數,可能招來殺身之禍

圖/wikipedia

簡單的正方形對角線,無意間產生了一個性質極為有趣的數。但事實上,畢達哥拉斯(Pythagoras)的門徒不太高興。畢達哥拉斯學派是西元前五世紀活躍於克羅頓(Croton,現今的義大利)的祕密幫派,除了奉行素食主義以及不吃豆類之外,他們把求知尊為道德健全生活的基石。數學是畢氏哲學的核心:據說 mathematics(數學,意為「所學習的」)及 philosophy(哲學,意為「愛好智慧」)這兩個詞是畢達哥拉斯所創,據傳,「萬物皆數」是他的座右銘。

問題是,畢氏學派所指的「數」只有整數及整數之比,也就是 ½、¼、¾ 等分數。無理數沒辦法寫成分數;事實上,這正是定義無理數的方式(如果你熟悉長除法,就可以自行驗證,任何一個分數都能表示成有限小數或循環小數)。

希帕索斯。圖/wikipedia

希帕索斯(Hippasus of Metapontum)發現有些數(譬如√2)可能是無理數,他也是畢氏學派的一員,根據(相當隱晦的)歷史證據顯示,他因此受到嚴厲的懲罰:在海上沉船淹死。應該沒幾個人因為區區一個數而丟了性命吧?

無理但不悖理

證明√2是無理數的標準證法,是數學上經常使用的論證形式的重要範例,也就是歸謬法。要證明某件事(比方說√2是無理數),你必須先做相反的假設(√2可以寫成分數),如果之後推算出矛盾的結果,就能斷定你原先的假設一定是錯的,也就證明你最初的陳述(√2是無理數)必定為真。

這是很自然的推理方法,舉例來說,你假設管家殺了人,但如此一來,管家必須同一時間出現在兩個地方,這顯然說不通,那麼你就能推論原先的假設必定是錯的,而管家是清白的。歸謬法是數學的支柱,但也可能產生令人驚訝的結果。你將在第 3 章看到更多的例子。

希帕索斯的發現只是巨大冰山的一角。隨便取一小段數線,不管多小段,都有無窮多個無理數。那些能寫成分數的有理數,可以依序排列並賦予 1、2、3 等標籤,但無理數實在太多了,根本沒辦法用同樣的方式來區隔。你在數線上隨意一戳,碰到無理數的機率是 1,而碰到有理數的機率是 0。因此就數字而言,畢氏學派完全錯了。

√2可以是好事

假如畢氏學派知道無理數多麼有用,大概就不會因為有人發現無理數而這麼不高興了。幾乎每天都會用到的例子是紙張。歐洲採用的標準紙張尺寸 A5、A4、A3 等,有個非常棒的特點,就是將兩張同尺寸的紙並排起來,即能拼成大一級的尺寸,譬如兩張A4紙能拼成一張 A3。且小一級紙張寬度(W)的兩倍,等於大一級紙張的長度,而小一級紙張的長度(L)等於大一級紙張的寬度。

A 系列紙張大小。source:Wikipedia

所有尺寸的紙張,長寬比都是一樣的,也就是:

可以改寫成:

意思就是:

A 系列紙張的正字標記就是每張紙的長寬比均為 √2。

為什麼這很有用?如果你希望影印機能夠把原稿縮小(或放大)一級影印,就需要此系列紙張的各個尺寸有同樣的長寬比。假如長寬比不同,縮小影印後周圍就會多出白邊。兩張同尺寸的A系列紙張可並排成大一級的紙張,代表不管你想把兩張A4還是一張A3縮小一級,都可以採用同樣的縮小倍率。

影印機還會自動計算。如果你要縮小,影印機提供的倍率是 70%,有時候是 71%,把這些數字寫成小數(70 或 71 除以 100),結果是 0.7 及 0.71,兩個數都非常接近:

這個縮小倍率,正是把一張 A3(或兩張 A4)縮小到一張 A4所需要的比例。原紙張的長度 L 與寬度 W 會縮小到 L/√2 及 W/√2,這表示新紙張的面積會變成:

就是原來的一半,且因長寬比維持不變,所以能把原來的紙張剛好縮小到 A4 的尺寸。

放大影印也是同樣的道理。影印機提供的放大倍率是 140% 或 141%,對應的數字很接近,所以可以把一張A4 放大到 A3 的尺寸。


BOX:證明√2是無理數

假設 √2 = m/n,其中的整數 m 與 n 沒有公因數(除了 1,沒有其他數可同時整除 m 和 n)。

於是:2 = m²/n²,因此:2n² = m²。

這表示 m2是偶數,m 也是偶數,因為奇數的平方永遠是奇數。所以, m 可以寫成 2k,而 k 是某個正整數。把上式中的 m 換成 2k,就得到:2n2 = m2 = 4k2

除以 2,就是:n2 = 2k2

所以 n2 也是偶數,n 也是偶數,但這產生了矛盾,因為我們一開始假設 m 與 n 沒有公因數。因此,√2不能寫成 m/n,即為無理數。

本文摘自《數學好有事》,麥田出版

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笛卡兒座標系:將思考推往高維度的世界——《用數學的語言看世界》
臉譜出版_96
・2018/01/14 ・3975字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 533 ・七年級

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劃時代的想法「笛卡兒座標系」

15 世紀,古騰堡(Gutenberg)將活字印刷應用化之後,歐幾里德的《幾何原本》也變成活字版本了。從 1482 年威尼斯的初版開始, 世界上有超過一千種版本,可以說是除了《聖經》之外,銷量最多的 一本書。幾乎可以說《聖經》跟《幾何原本》是支撐歐洲文明的兩大支柱。

笛卡爾《談談方法》原版封面。圖/wikimedia commons

為歐幾里德的平面幾何帶來偉大變革的,是 1596 年出生的近代理性主義之父笛卡兒(Descartes)。笛卡兒在他的著作《談談方法》 中,提出追求真理的四大步驟:

1. 如果不是具有明證的真理,就不承認其為真。
2. 為了更加了解問題,要將問題分割成許多小問題。
3. 思考的順序是從單純的事物開始,依序往複雜的事物前進。
4. 小問題都解決了之後,將小問題全部列出來,看看是否有遺漏, 能不能涵蓋原本的大問題。

勒內·笛卡兒畫像,圖/by Frans Hals@wikipedia commons。

這也反應出了《幾何原本》的精神,從看起來理所當然的公理開始,一步步推導向複雜的圖形性質。

這個《談談方法》,是討論關於探討真理的方法的書籍序論。笛卡兒提出了一個幾何學上的新見解,做為這個方法的試論,那就是:

「平面上的點都可以用一組兩個的實數來表示,也就是(x, y)」。

在平面上垂直相交的兩條線,分別稱為 x 軸以及 y 軸。為了表示平面上的點的位置,將點分別與 x 軸以及 y 軸做垂線,相交的點分別為 x 以及 y,於是這個點的位置就可以用 (x, y) 來表 示,這就是所謂的「笛卡兒座標系」(圖 6-10)。

雖然座標軸這個概念並不是笛卡兒發明的, 這樣的座標系也可以稱為「直角座標系」,但因為笛卡兒用這個座標系導入新的幾何學概念,所以我在此稱之為「笛卡兒座標系」。使用笛卡兒座標系的話,平面幾何的問題都可以代換成關於(x, y)的計算問題,連歐幾里德的五個公理, 都可以用笛卡兒座標來解釋了。

圖 6-10 笛卡兒座標系(直角座標系),圖/《用數學的語言看世界》提供。

例如,〈公理 3〉提到,平面上兩點(x1, y1)與 (x2, y2),以一點為圓心,求通過另外一點的圓的解。「圓」就是與某一點距離相同的 所有點的集合,所以首先計算這兩點的距離。 如圖 6-11,可以將(x1, y1)與 (x2, y2)的距離,也就是這兩點所連 結的線段想像成長方形的對角線。

根據畢氏定理,對角線的長度 r 的平方,就是長邊與短邊的平方和。也可以表示成:

〈公理 3〉的「以(x1, y1)為中心,通過(x2, y2)的圓」就是與點(x1, y1)距離 r 的所有點的集合,因此滿足下面算式的所有(x, y)的集合就是解答。

(x - x1) 2 + (y - y1) 2 = r2

利用笛卡兒座標系,就可以將歐幾里德的幾何學問題化為方程式問題了。

圖 6-11 兩點間的距離 r,可以當作長方形的對角線來計算,圖/《用數學的語言看世界》提供。

用方程式解開美妙的「垂心定理」

2009 年,日本數學書房出版了一本名為《這個定理真美妙》(この定理が美しい)的書。這是一個大型企畫,由 20 位作者分別選出自己認為最美妙的數學定理,並且講述定理獨特的魅力,而我也選了「基本粒子論」中使用到的定理。在這本書中,京都產業大學的牛瀧文宏先生選了平面幾何的「垂心定理」。

要介紹垂心定理,得先介紹三角形的垂線。由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線,這條線就稱為垂線。三角形有三個頂點,理所當然就有三條垂線。所謂的「垂心定理」是指,這三條垂線必會相交在一個點,而這個點稱為垂心。

三角形垂心:由三角形的頂點向對邊做一條垂直的線的「垂線」,三條垂線必會相交在一個點,而這個點稱為「垂心」。圖/wikimedia commons

兩條直線如果不是平行的話,一定會在某處相交,形成一個交點,這是理所當然的事情。但是三條直線,就不一定會相交在同一個點了。牛瀧先生在關於垂心定理的描述中提到,「當時身為中學生的我,被那個即使用盡了我的全力也無法到達的境界的證明所懾服,圖形的協調以及層層堆積的理論,使我確確實實感受到定理的美妙」。 古希臘時代流傳下來的,關於垂心定理的證明,巧妙的使用了輔助線,說是藝術也不為過。網路上有許多關於垂心定理的證明,有興趣的人不妨參考。

在這邊利用笛卡兒座標系來證明這個定理。證明中不講求細節, 只是希望大家能感受一下方程式的氣氛,體會一下「將幾何問題化成方程式」的感覺。

假設三角形的頂點為 a = (0,0),b = (p,0), c = (q,r)。頂點 c 對 ab 邊的垂線,可以用方程式表示為:

x = q

頂點 a 對 bc 邊的垂線也可以用方程式表示為:

頂點 b 對 ca 邊的垂線也可以用方程式表示為:

最初的兩個方程式是 x,y 的聯立方程式,求解之後可以得到 :

(x, y) =(q, (p - q)q/r)

這個解也能滿足第三個方程式。也就是說,這三個方程式有共同的一個解。換句話說,三條垂線具有一個共同的交點,也就是垂心。

這個證明不像古希臘流傳下來使用輔助線的證明方法那樣帶有藝術性。只是先將題目中的垂線利用笛卡兒座標表示成方程式,接著解聯立方程式,按照步驟機械式地一步步操作而已。但正是因為不需要靈感,所以只要知道解法,誰都可以證明出同樣的答案。

如果使用輔助線的證明方法是在田野間悠閒騎著腳踏車,享受著田園風景前進,那麼利用笛卡兒座標系的證明方法就如同搭上由精密機械組裝而成的新幹線呼嘯而過一般。笛卡兒座標終結了幾何學的牧歌時代,進入了重視效率的近代。

利用尺規作圖畫出的正五邊型,圖/by Hkpawn@wikipedia commons。

有科學技術的地方,就有笛卡兒座標系

高斯定理:「如果圖形的邊長比,能夠利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示的話,這個圖形就可以作圖,如果不能,圖形就不能作圖」也可以用笛卡兒座標系簡單解釋。作圖的基本規則是只使用尺跟圓規,所以又稱為尺規作圖。在笛卡兒座標系中,利用尺畫出的直線,可以表示為一次函數 y = ax + b,利用圓規畫出的圓是二次函數 (x - x1) 2 + (y - y1) 2 = r2

因此,重複這些步驟作圖得到的線段長的比值,就是一次方程式以及二次方程式相互組合的解,也就是「可以利用加減乘除或是平方根的有限次數組合來表示」。

笛卡兒座標不僅僅影響了幾何學,對於科學技術方面的影響更是廣泛且重大。笛卡兒出版《談談方法》的序文〈探討真理的方法〉時,剛好是伽利略的晚年。

伽利略發現了許多關於物質運動的重要現象,包括——

  • 鐘擺的等時性」:鐘擺的擺動週期是固定的,與擺動幅度無關;
  • 自由落體法則」:物體落下時所需要的時間與物體重量無關;
  • 慣性法則」:以等速度移動的物體,在不施加外力的狀況下,會一直維持等速度運動;
  • 相對性」:在等速度移動的座標系中的力學法則,看起來與靜止座標系中的力學法則相同。

但是,即使發現了這麼多重大的發現,伽利略卻沒有完成力學體系,其中一個原因,或許是因為伽利略並不知道笛卡兒座標系吧。

伽利略畫像,圖/by Justus Sustermans@wikipedia commons。

在伽利略過世那年出生的牛頓,為了將力學以及重力學的法則用 數學方法表示時所使用的,正好就是笛卡兒座標系。從此以後,科學以及工程學的各式各樣方程式都可以利用笛卡兒座標系表示。

今日,只要是有科學技術的地方,就有笛卡兒座標系。例如,電腦螢幕或是手機畫面上的點的位置,就是轉換成笛卡兒座標系,以數字表示,而能使電腦處理畫面上的圖像。

將思考推往高維度的世界

笛卡兒座標還有另一個重大貢獻,它將人類的思考從平面中解放,前往更高維度。

二維平面的點可以用一組兩個的數字(x,y)表示,三維空間的點也能用一組三個的數字(x,y,z)代表。在三維空間中畫出互相垂直相 交的三條直線,稱之為 x 軸、y 軸、z 軸,在三維空間的點,分別對 這三個軸做垂線,得到 x、y、z 的數值,這個一組三個的數值就是點的座標。

二維平面上兩點(x,y)與(x’,y’)的距離 r 的公式是:

同樣的,三維空間中兩點(x,y,z)與(x’,y’,z’)的距離 r 公式是:

利用座標表示點的位置的話,能夠簡單地表示比三維更高維度的空間。n 維度的空間,就是無數個由一組 n 個數的座標(x1,……,xn)所表示的點的集合。三維的世界是眼睛可以看到的世界,但我們還是會懷疑、思考看不到的四維以上的空間到底有沒有意義。然而,我們的日常生活所遭遇的事物之中,就隱藏著高維度世界。

 

 

本文選自《用數學的語言看世界:一位博士爸爸送給女兒的數學之書,發現數學真正的趣味、價值與美》,臉譜出版

 

 

臉譜出版_96
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