無限循環的莫比烏斯環：莫比烏斯誕辰｜科學史上的今天：11/17

記得 2018 年初我在谷歌搜尋引擎裡打入「莫比烏斯」，出乎我意料之外第一頁跳出的全是關於電影《莫比烏斯》的訊息。我本來對此電影毫無所知，瞄了一下摘要文字，原來是一部沒有臺詞，內容又涉及閹割和亂倫的韓國電影，真是有點讓人感覺噁心。

再用英文 Mobius 打入谷歌，結果出來的都是電玩《莫比烏斯 Final Fantasy》的訊息。這是一款可以在手機上單打獨鬥的遊戲，需要操作喪失記憶的主角與各種魔物在未知世界裡廝殺。其實我想找的是數學家莫比烏斯（August Ferdinand Möbius），哪裡知道他的大名已經移植到與數學不相干的場域。

天文學家的數學遺產

日爾曼地區在莫比烏斯出生的時候，還沒有一位國際知名的數學家。但當他過世時，日爾曼的數學家已經發揮強大的影響力，吸引各國年輕人紛紛前來學習。這種巨大轉變的產生，關鍵性因素是高斯的橫空而出，徹底革新了數學的面貌。

1815 年莫比烏斯曾去哥廷根跟隨高斯學習理論天文學，次年進入萊比錫（Leipzig）天文臺擔任觀察員。十九世紀初的日爾曼世界，當天文學家遠比數學家有更良好的聲譽和安穩的待遇。高斯跟莫比烏斯同樣是寒門出身，不也在 1807 年開始終身領導哥廷根天文臺嗎？

莫比烏斯雖然最終成為萊比錫大學的天文學正教授，但是時至今日他所留下的學術遺產，卻是在數學裡多方面的貢獻，最有趣的是他晚年所發現的一條極簡單又美妙的環帶：莫比烏斯環帶。

請讀者拿一張長紙條，把一端轉 180 度與另一端黏在一起，便完成了神奇的莫比烏斯環帶。這個環帶突出的特性是它只有單面，不像原來的紙帶有正反兩面。那麼有一個面到哪裡去了？當你沿著紙帶表面向前走到原來的一端時，因為已經做過半圈的旋轉，你現在就滑入了原來紙帶的背面。於是在莫比烏斯環帶上走啊，走啊，永遠不需要翻過側緣，也永遠碰不到盡頭。

在空間裡看起來扭曲的莫比烏斯環帶壓扁到桌面上，就得到圖 17-1 左邊的平面摺疊圖形。此圖與右邊谷歌雲端硬碟的商標（2012–2014）很相似，相異之處在於商標左側的那段紙帶是在底側紙帶的上面。

其實，我們可以用摺紙方法製作這個商標。首先拿出一張長條紙，我們要在一端摺出一個60度底角。

在圖 17-2 裡，先把長條紙上下邊緣對齊，產生一條中線。然後把左邊緣的線段 DO 往中線摺疊，使得點 D 碰觸到中線上的點 A，於是角 BOC 就剛好是60度。為什麼呢？讓我們從 A 作垂直線段 AB，假設 AB 的長度是 1，則 AO = DO 便為長度 2。從三角關係便知角 AOB 為 30 度，從而角 AOD 就等於 60 度；但因角 AOC 與角 COD 相等，所以角 AOC 也是 30 度，那麼角 BOC 只好是 60 度了。

在長條紙上摺出了 CO 這條摺痕，接著我們用剪刀沿著 CO 剪下去，把三角形 COD 丟掉。然後把 O 點摺到上緣，使得線段 CO 與上緣邊線重合，就會產生一個正三角形。下一階段用這個正三角形做為模板，把長條紙反復摺疊，打開後修剪掉右邊多餘的紙條，就成為具有 15 個正三角形摺痕的紙條，如圖 17-3。

最後沿兩條粗摺線（在摺紙的術語裡，左邊的虛線稱為谷摺、右邊的點虛線稱為山摺），把左段摺在前面，右段摺到背面，右端放在左端上面，用膠紙黏合，就得到谷歌雲端硬碟的商標。如果仿照旋轉紙帶製作莫比烏斯環帶的方法，我們可以抓緊長條紙帶一端，把另一端同方向旋轉三個 180 度後黏合，然後壓扁到平面上，也會得到商標的圖形，只是邊的長度也許沒那麼整齊。

環帶的靈感何處來？

有人說莫比烏斯是偶然間發現了這樣的環帶，其實這是有點戲劇化的講法。莫比烏斯在研究如何構成多面體時，使用了一種基本的想法，就是以黏合三角形來逐步形成多面體。為了準備參加巴黎科學院有關多面體幾何理論的競賽，莫比烏斯也研究了非封閉型（也就是會有邊界）的多面體，他從操作類似圖 17-1 的摺疊圖發現了單面曲面。在莫比烏斯身後出版的著作全集裡，收錄了一篇未曾發表的 1858 年文稿，其中包含了旋轉 3、4、5 個半圈的環帶，如圖 17-4。

可見莫比烏斯有系統的分析了這類環帶，發現旋轉半圈的次數如果是奇數，產生的環帶只有單面；但如果次數是偶數，則環帶仍然保有正反兩面。他更深刻的察覺，這些單面曲面上無法賦予明確的方向，也就是說你從一點出發，也知道當時的順時針方向為何，而當你沿著環帶遊歷一周後，雖然處處你都覺得延續了正確的順時針方向，可是返回出發點時，卻與原始的方向背反。莫比烏斯環帶破壞了所謂的可定向性，這是屬於曲面的拓撲性質，是比度量長度、角度、面積、體積更寬鬆的幾何性質。

1858 年莫比烏斯寫下單面曲面研究成果前幾個月，另外一位現在少為人知的數學家李斯廷（Johann Benedict Listing）已經作出同樣的環帶。莫比烏斯要到 1865 年才在公開發表的著作裡披露單面環帶，而李斯廷在 1861 年出版的專著裡，便公布了單面環帶的存在。李斯廷甚至在 1847 年出版有史以來第一本使用「拓撲學」這個名稱的書（德文書名為Vorstudien zur Topologie）。不過，今日即使想替李斯廷討個公道，把莫比烏斯環帶改名為李斯廷環帶，恐怕也無能為力了。

製作莫比烏斯環帶是如此的簡單，很難不讓人懷疑為什麼沒有人更早發現它呢？在李斯廷之前的數學文獻裡，到目前為止沒有發現有關莫比烏斯環帶的記載。那麼我們探索的對象何不轉移到各種藝術圖像呢？結果在義大利的古跡山提農（Sentinum）羅馬別墅中，發現西元前 200 年至西元前 250 年期間的地板馬賽克，正中央描繪了永恆時間之神艾永（Aion）站在一條代表黃道諸星辰的環帶之中（如圖 17-5）。當我們仔細沿著環帶移動時，能夠毫無疑義分辨出是在一條莫比烏斯環帶上游走。現在還可在多處看見古羅馬遺留下艾永的繪像、浮雕、馬賽克，然而唯有在山提農的別墅中，艾永所踩的環帶是莫比烏斯環帶。

山提農的馬賽克在 1828 年送進慕尼黑的博物館，三十年後李斯廷與莫比烏斯先後研究這個特殊的環帶，他們是否曾經去慕尼黑參觀過博物館，因而受到古羅馬人的啟示呢？我們恐怕永遠也無法確知，然而要寫一本《莫比烏斯密碼》之類的書，也許有可能編織出充滿懸疑的故事。

出生於 1790 年 11 月 17 日的德國數學家莫比烏斯（August F. Möbius）除了在數學方面有所貢獻，他還是位天文學家。不過，他的名字之所以仍為世人熟知，卻是因為他在年近七十時的一項偶然發現：莫比烏斯環。

莫比烏斯環的製作非常簡單：將長紙條的一端扭轉 180 度後，再將兩端黏在一起就成了。這個結構看似簡單的紙環，卻有著許多奇妙的性質。一般的紙張都有正面與背面，但莫比烏斯環卻只有一面，因此你從紙上任一點往前塗上顏色，最後都會回到原點，而且各處都會塗滿同一個顏色，不像一般紙環，可以在正反兩面塗上不同顏色。

如果莫比烏斯環是真正的二維平面（前面所說、用紙張製作的莫比烏斯環不算喔，請把紙張想像為一個沒有厚度的透明膠帶），那麼畫在上頭的平面人繞了一圈回到原點時，會發現自己上下顛倒，原本在左邊的心臟變成在右邊了！

因為莫比烏斯環具有這些違反直覺的奇妙性質，不只出現在許多科幻小說、電視、電影之中，還成為許多藝術家的創作靈感，包括美術、雕塑、建築等等。例如著名的荷蘭版畫家艾雪（Maurits Escher）的作品中，就有螞蟻在莫比烏斯環上不斷向前爬行的樣子，而這個意象又成為日本動畫電影《機動戰士鋼彈：逆襲的夏亞》中關於人類命運的隱喻。

在實際應用上，除了已經有設計成莫比烏斯環的輸送帶以延長使用壽命外，科學家也正在研究能否應用於二維結構的石墨烯。莫比烏斯環最初只是一個有趣的數學題目，看似無用，最後卻衍生出各種實際成品，正是科學總會帶來驚喜的典型例子。

• 編按：原文第三段：「將莫比烏斯環沿著中線剪開，結果會如何呢？可不是如我們直覺以為的：變成兩個原來一半寬度的莫比烏斯環，而是一個長度兩倍、扭轉兩次的紙環。如果再繼續將它沿著中線剪開呢？這次倒是會得到兩個彼此相扣的莫比烏斯環了！若不是沿著中線，而是沿著三等份的線剪開，莫比烏斯環會變怎樣呢？何不自己實際試驗看看？」經讀者及作者再次驗證後，發現並不會得到兩個相扣的莫比烏斯環，文章已修正，特此公告。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

＿＿＿＿＿ 防雷分隔線＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿ 再來一層防雷分隔線，復仇者要上場囉＿＿＿＿＿

我們都知道在《復仇者聯盟 3》中，薩諾斯大大一個彈指間，地球一半的生物灰飛煙滅。那麼問題來了：在《復仇者聯盟 4》（以下簡稱《復4》）裡頭，各路英雄究竟該怎麼把大家再給救回來呢？

電影用了個十分老派的方法：時空旅行。（以及一堆聽起來萬分浮誇的專有名詞，包括：量子物理、德意志悖論和莫比烏斯環……）

那麼，接下來就讓我們用科學的角度，看看這些花俏的名詞究竟要如何拯救世界。

想拯救被薩諾斯摧毀的世界，首先，來場時空旅行！

想要拯救那消失的 50% 的生物，首先就要談談那些不知道從哪裡來但反正就是超厲害的「無限寶石」們，就是因為有它們，薩諾斯才能轉眼毀滅半個世界。若是要救回那 50% 的生物，寶石可說是重要關鍵。可惜的是，毀完世界後，薩諾斯也順手把寶石們都毀光光了。因此，復仇者們必需回到過去各個時間點，尋回過去的寶石。

然而，時空旅行真的可行嗎？

若我們採用愛因斯坦在狹義相對論裡的說法，只要用接近光速的速度移動，理論上，我們都可以在短短的人生中，「往前」旅行數百萬乃至於數億年的光陰。但是、穿越「回去」則是相對而言十分困難的事。

許多人將時空旅行的希望寄託在「黑洞」上，在黑洞中心奇異點的位置，重力極大，造成時間空間破裂，因此將黑洞與白洞連結，兩者間將產生「蟲洞」，人們便可以此穿越時空。

• 想知道更多關於時空旅行的方法？讓動畫告訴你：

回到過去不容易，沒祖父就沒有你

回到過去的時空旅行會出現很明顯的邏輯悖論，就像是著名的「祖父悖論」。

「祖父悖論」的內容是：如果你穿越回去、殺死了年輕時的「你爺爺」，那麼照理說「你」根本就不會出生，但如果你從來就沒有被生出來，「你」又要如何回到過去把爺爺殺掉呢？

這樣牽一髮而動全身的時空旅行，發生在所謂的「封閉類時曲線」 (closed timelike curve，CTC)。有些理論認為，因為這樣的迴圈在物理上無法實現，因此，回到過去本身就是一件不可能發生的事。

此外，也有所謂的「希特勒悖論」：假設為了阻止希特勒造成生靈塗炭的第二次世界大戰，我們派出探員穿越時空回到二戰前，暗殺了希特勒，而後阻止了二戰爆發。那麼，問題來了：如果根本沒有所謂二戰，又幹嘛回到過去殺掉希特勒呢？在這次的時空旅行中，旅行本身就消除了一開始旅行的目的，讓這整趟旅程顯得無比弔詭。

• 覺得有聽沒有懂？看動畫更好理解喔：

展開吧！多重宇宙裡什麼都是有可能的！

那麼，在終局之戰中，復仇者們又是如何進行時空旅行的呢？

電影首先吐槽了《回到未來》等時空旅行經典電影（就說了不能用改變過去來干預未來了齁～）然後，復仇者們走了另一條路──替代宇宙 (alternative reality)。

替代宇宙的概念是，當你回到過去做了某些改變，就會因此製造出一個全新的宇宙，就像是將原本的一個世界分支出多重時間線。在物理上，我們稱之為「多世界詮釋」(the many-worlds interpretation)

而為了不要在拯救一個世界的同時創造出三百個新世界，復仇者們決定回到過去「借用」無限寶石，拯救完現在這個地球後，再把寶石們還回原本的世界，一樣的時間、一樣的位置，就像沒有借過一樣（！？）

聽起來很棒，但這能成功嗎？

所以…到底什麼是量子物理？

在《復4》中，我們會一直聽到量子物理，的確，現在有許多時空旅行的新理論都以量子物理為基礎，而其中有些理論，似乎解決了祖父悖論的問題。

恩……所以到底啥是量子物理？這其實是一種看待萬物的不同方式，在量子物理中，原子粒子更像是一種模糊不清的概率波。有多模糊不清呢？你永遠都不可能「同時」知道某個粒子現在在哪兒跟它要往哪裡移動。你只能知道它大概會有某些機率出現在某個特定地點。

一位英國物理學家大衛‧多伊奇 (David Deutsch) 便將這個概念結合了多重世界理論 (Many Worlds theory)，而後發現，只要你用概率的方式去表達一切(把概率推到極致)，你就可能可以解決祖父悖論。

怎麼說呢？就像是粒子充滿了無盡可能，回到過去的旅行者也只有部分機率會殺掉他的祖父，如此一來你也沒死、祖父也沒死，真是可喜可賀可喜可賀啊！如此一來，也就打破了前述的因果關係循環。事實上，這在模擬中，已經成功了。

這看起來或許有些奇怪（加上電影用了很浮誇的方式在敘述），不過，實際上的量子力學，可能比這個還要難懂。別擔心，你並不孤單，畢竟科學家們自己也都還沒有搞清楚。

關於量子力學，還有哪些名詞你該知道：

普朗克尺度 (Planck scale)：所謂的普朗克尺度呢，看的是非常非常非常小的東西，普朗克長度、普朗克時間、普朗克質量等等都是物理上用來敘述的最基本單位。而一個普朗克長度是 1.616 × 10⁻³⁵ 公尺，沒錯，就是這麼小。這個距離，便是光在一段普朗克時間（約為 5× 10⁻⁴⁴ 秒）內前進的距離。

反莫比烏斯環 (Inverted Möbius strip)：那麼東尼看著的那個看起來超級厲害的「反莫比烏斯環」又是個什麼東西？恩……查無資料。但我可以跟你說莫比烏斯環是什麼。

想要做出莫比烏斯環其實很簡單只要拿張紙，轉 180 度，再把它的兩端黏起來就可以了。不過，可別小看這個環，它藏有許多奇妙的性質，它沒有正反面的分別，而是僅有一面，也就是說，你在環上隨便找個點往前畫畫畫畫畫，最後都會回到原本的地方，而且會將各處都塗滿同一個顏色。

排除掉那些看起來漂亮但不知道在幹嘛的名詞，《復4》的劇情實在花了許多力氣試圖完整時空旅行的方法、解決時空旅行悖論。

於是，一天又平安地過去了，感謝復仇者們的努力。

參考資料：

• Avengers: Endgame exploits time travel and quantum mechanics as it tries to restore the universe [2019.04.24] The Conversation

3/31是國際跨性別現身日（International Transgender Day of Visibility），此節日是由跨性別權利運動者蕾切爾•克蘭德爾（Rachel Crandall）於2009年發起[1]，跨性別指的是心理狀態與原生性別不完全一致的人，例如說電影《丹麥女孩》的主角莉莉·艾爾伯（Lili Elbe）和《當他們認真編織時》的主角凜子。廣義來說在男女二元光譜之外的非性別二元（Non-binary）的人都包含在內。

有別於11/20的國際跨性別紀念日是以紀念因恐跨（transphobia）而被殺害跨性別的紀念性質，「現身日」則是以正面的方式慶祝跨性別為社會中的一員且為自己感到驕傲。今年在世界許多地方都有慶祝活動：像是英國倫敦舉辦了非競賽型的跨性別駭客松，為了讓大眾了解世界各地經常發生針對跨性別的犯罪活動以及增進跨性別社群的權益；TDoV 2017在加州舊金山舉辦了兩天的活動，30號在推特總部舉辦由YouTube Red原創的「This is Everything: Gigi Gorgeous」影片欣賞會，31號則是有大型的慶祝晚會；美國北卡羅萊納州則是有跨性別藝術家的作品展覽與拍賣會。

今天來聊聊數學和跨性別可以有怎樣的關係呢？這個問題可以從文學裡頭找到答案。知名小說家東野圭吾在《單戀》這本小說裡頭以一貫的懸疑、謀殺為劇情的故事裡頭，探討跨性別的生活處境與多元面貌，用極富詩意的莫比烏斯環「Möbius strip」比喻性別狀態。

莫比烏斯環是一個數學上的拓樸結構，只要將長紙條的一端扭轉180度再接到另一端黏起來，就可以得到只有一個面的莫比烏斯環。莫比烏斯環出現在許多藝術作品中，像是二十世紀的藝術大師艾雪（Maurits Cornelis Escher）創作的三條蛇互相咬住對方的〈莫比烏斯環(一)〉和紅色螞蟻在莫比烏斯環上不斷向前爬像是無限符號∞的〈莫比烏斯環(二)〉以及〈騎士〉。台灣有一部與跨性別有關的紀錄片就叫做《莫比烏斯》。

小說家用莫比烏斯環描述性別狀態

如果是普通的一張紙，背面不管到哪裡都是背面，而正面永遠都是正面。兩者不會有相遇的一天。但若是莫比烏斯環，心想是正面而往前進的話，不知不覺間就會繞到背面。換句話說，兩者是相通的。這世上的所有人，都身處在這條莫比烏斯環之上。沒有完全的男人，也沒有完全的女人。不但如此，每個人手上的莫比烏斯環都不只一條。

性別氣質或是性向可以變換且非二元的特性經常以光譜做為比喻，小說家超脫出凡人的視角以數學拓樸結構描述性別狀態，可以不知不覺地從裡繞到外又能夠從外繞到裡，而且還是在同一個面上。如同書末〈M/W的悲劇〉一文所寫，人的靈魂同時具有男性和女性，一種有如莫比烏斯環「∞」的狀態，也像是將英文字母M和W上下疊在一起的樣子[1]。

小說中東野圭吾還用了比例這個數學概念解釋性別狀態：

假設男人是黑石，女人是白石，原本所有人就不是徹底的黑或白，而是居於由黑至白的漸層當中。

每個人身處於漸層上的位子，會因為那一天的身體狀況或四周環境而左右挪移。就算是我或你，也會因為日子的不同，有時靠近女人那一端。不過就算百分之九十五的黑變成百分之九十的黑，也不會產生決定性的影響。但如果百分之五十的黑變成百分之四十五的黑，就差的遠了。如此一來，白的部分就多了百分之十。

黑和白之間有無限多種灰階，有些人的顏色和出生時的顏色很接近，有些人的顏色則是在灰階較為中間的位置就像是跨性別，用數學的說法只是比例不同而已。而比例並不是永遠固定不變的，而是在面對不同情境或是人物之下可能有不同的組合。

正好我之前的文章曾經介紹過在花蓮可以看到莫比烏斯環的石雕創作，是德國藝術家瓦勒里歐‧奇瑪裘（Valeriu Ciumacu）製作的〈世界可以是不同的〉，作品說明現實的兩個層面在本質可以是一體的；從不同角度觀看一個物體也會有不同的解釋，因此世界可以是不同的。此作品的色調符合小說中黑和白的比例關係，名稱與內涵也巧妙呼應跨性別呈現的多元氣質。

莫比烏斯環看似沒有實用功能，卻能夠在文學和藝術作品裡詮釋人類的內心世界，在意想不到的地方發揮了用處。

參考資料：

1. 陳國偉，M/W的悲劇–東野圭吾《單戀》解說
2. 花蓮縣石雕博物館，世界可以是不同的

出生於 1790 年 11 月 17 日的德國數學家莫比烏斯（August F. Möbius）除了在數學方面有所貢獻，他還是位天文學家。不過，他的名字之所以仍為世人熟知，卻是因為他在年近七十時的一項偶然發現：莫比烏斯環。

莫比烏斯環的製作非常簡單：將長紙條的一端扭轉 180 度後，再將兩端黏在一起就成了。這個結構看似簡單的紙環，卻有著許多奇妙的性質。一般的紙張都有正面與背面，但莫比烏斯環卻只有一面，因此你從紙上任一點往前塗上顏色，最後都會回到原點，而且各處都會塗滿同一個顏色，不像一般紙環，可以在正反兩面塗上不同顏色。

如果莫比烏斯環是真正的二維平面（前面所說、用紙張製作的莫比烏斯環不算喔，請把紙張想像為一個沒有厚度的透明膠帶），那麼畫在上頭的平面人繞了一圈回到原點時，會發現自己上下顛倒，原本在左邊的心臟變成在右邊了！

因為莫比烏斯環具有這些違反直覺的奇妙性質，不只出現在許多科幻小說、電視、電影之中，還成為許多藝術家的創作靈感，包括美術、雕塑、建築等等。例如著名的荷蘭版畫家艾雪（Maurits Escher）的作品中，就有螞蟻在莫比烏斯環上不斷向前爬行的樣子，而這個意象又成為日本動畫電影《機動戰士鋼彈：逆襲的夏亞》中關於人類命運的隱喻。

在實際應用上，除了已經有設計成莫比烏斯環的輸送帶以延長使用壽命外，科學家也正在研究能否應用於二維結構的石墨烯。莫比烏斯環最初只是一個有趣的數學題目，看似無用，最後卻衍生出各種實際成品，正是科學總會帶來驚喜的典型例子。

• 編按：原文第三段：「將莫比烏斯環沿著中線剪開，結果會如何呢？可不是如我們直覺以為的：變成兩個原來一半寬度的莫比烏斯環，而是一個長度兩倍、扭轉兩次的紙環。如果再繼續將它沿著中線剪開呢？這次倒是會得到兩個彼此相扣的莫比烏斯環了！若不是沿著中線，而是沿著三等份的線剪開，莫比烏斯環會變怎樣呢？何不自己實際試驗看看？」經讀者及作者再次驗證後，發現並不會得到兩個相扣的莫比烏斯環，文章已修正，特此公告。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。