無限循環的莫比烏斯環：莫比烏斯誕辰｜科學史上的今天：11/17

本文由 高柏科技 合作，泛科學撰文

林唯耕剛回台灣任教時，曾在清華大學的實驗室裡用一立方公分的「氨」做實驗。沒想到氨氣意外洩漏，那股刺鼻的氣味瞬間瀰漫整棟大樓，引來眾多師生抗議。

「從此以後，我再也不敢在實驗室裡用氨了。」他在《思想實驗室》的訪談中，帶著笑意回憶這段往事。

這段插曲聽來像是一則工程師的寓言：在理論模型中，氨是太空熱控系統的理想介質；但在現實的辦公大樓裡，它首先是逼人逃竄的臭味。公式本身沒有錯，但現實世界永遠比公式更複雜——它包含了人、成本、風險，以及必須為後果負責的工程師。

高柏科技技術專家、清華大學榮譽退休教授林唯耕 ，曾任職於美國 OAO 工程部熱流組，深耕電子構裝散熱與熱管技術多年。隨著 AI 浪潮席捲全球，他鑽研一輩子的老問題再次被推向科技產業的核心：當晶片運算速度無止境攀升，那股伴隨而生的熱，究竟該往哪裡去？

熱不會讀新品發表會

科技巨頭在發表會上熱衷於談論大型語言模型、GPU 規格與驚人的算力。這些詞彙在投影片上光鮮亮麗，彷彿進步毫無邊界。然而，每一次數位運算都紮實地發生在實體晶片上。晶片會發熱、材料會疲勞老化，一旦設備過熱，系統便會降頻保護。在物理現實面前，再動聽的發表會敘事也必須低頭。

回顧個人電腦發展早期，晶片幾乎不需專屬散熱元件。隨後，鋁製鰭片、風扇、熱管到均溫板逐一登場。這段歷程常被視為技術升級，其實更像是對空間的極限勒索：晶片功率翻倍，發熱源的面積卻沒變大，機箱空間也不可能無限擴張。

林唯耕指出，散熱設計的核心只有三要素：功率、熱源面積與空間限制。他舉例，在標準的 1U 機箱中，若發熱面積約為三十乘三十毫米，氣冷系統在達到八百瓦時就會面臨瓶頸。這並非固定的物理常數，而是取決於空間、面積與氣流的動態平衡。最現實的代價在於，風扇轉速提升的背後，是噪音、電力損耗與空間占用。

因此，「液冷技術」的興起並非單純為了追求酷炫，而是算力密度提升後的必然選擇。它能更精準地帶走晶片廢熱，卻也將新的挑戰帶入機房：漏液風險、流道堵塞、材料相容性，以及維運時的難度。工程的進步，本質上鮮少是徹底消滅問題，更多時候是選擇一組「比較值得承擔」的新問題。

太空教他的，不是把答案搬回地面

太空熱控工程之所以迷人，是因為它剝奪了地球上最常見的散熱工具。在真空宇宙中，沒有空氣能讓風扇製造對流；受光面溫度破百度，陰影處卻極度嚴寒。工程師必須純粹仰賴熱傳導、熱輻射，以及熱管與環路型熱管（LHP）來搬移熱能。

熱管運作的關鍵在於「相變」——液體蒸發時吸收大量潛熱，冷凝後重回循環。林唯耕比較了銅與水的熱傳導能力：在他設定的特定條件下，實心銅塊約能傳導 120 瓦的熱能；但若每秒有一立方公分的水發生蒸發相變，移熱量可瞬間拉升至 2.4 千瓦（kW）。他強調「每秒」的觀念，因為散熱談的是動態流動速率，而非靜態的冷卻魔法。

儘管如此，太空科技並不能直接套用到地面。太空元件因考量重量、功耗與維修難度，偏好無馬達幫浦的被動式設計；但地面 AI 伺服器面臨更高的熱負載與環境溫度，往往仍需幫浦驅動流量。當年那場「氨氣洩漏」事故正是最好的提醒：技術是否「先進」，與它是否「適合」當下的場景，始終是兩回事。

好論文，為什麼仍可能造不出好產品

學術研究致力於證明「可行性」，而工業現場則要求「可重複性」——不僅要能運作，還得確保每台出廠的設備都不漏水。林唯耕將此定義為「從 0 到 1」與「從 1 到 100」的差別。後者涉及良率、成本、公差與客戶信任。論文中那次最完美的實驗數據，在產線上往往未必管用。

他從不避談失敗。在高柏科技早期與學界合作時，也曾遇過實驗數據無法複製，或研究方向偏離產業需求。這未必是雙方努力不夠，而是彼此對「成功」的標準不同。為了解決這道鴻溝，高柏科技推動「柏苗啟航創新培育計畫」，每年投入逾千萬資金與成大、中山、台科大等校合作，並指派專業人才在過程中持續微調、校正，確保研發貼近產線現實。

他分享了近期一項液冷工質校正專案。團隊使用非侵入式的超音波流量計進行觀測，但由於儀器預設以「水」校正，換成其他化學流體後讀數便出現誤差。最初嘗試用幫浦壓差推算，卻發現缺乏重複性，數據甚至推導出不合理的蒸發率。最後團隊回歸基本面，改用秤重法搭配能量平衡進行交叉驗證，才讓數據成功收斂。

這個故事真正的價值不在於「產學雙贏」的口號，而在於那段不夠優雅的挫折：假設失效、數據混亂、方法砍掉重練。也正是在這種時刻，企業需要的不只是會算數的人才，而是能洞察研究何時「走鐘」，並有權力喊停、要求重來的關鍵決策者。

林唯耕坦言，過去在校園裡總認為「技術第一、成本第二」，進入商界後才驚覺行銷與信任關係往往才是關鍵。這番話雖然不如科技突破那樣動聽，卻是產品能否進入市場的殘酷真相。再卓越的散熱設計，若無法穩定生產或贏得客戶信任，也僅止於一份精美的報告。

AI 會給答案，誰來負責出貨？

訪談尾聲，主持人國威提出了一個時代難題：假設 AI 能在彈指間生成散熱架構、材料配方與流道設計，企業該選擇全面擁抱 AI 的速度，還是保留緩慢但穩定的工程驗證，以規避潛在的失效風險？

林唯耕拒絕落入二選一的框架。他的觀點是：兩者並存。AI 擅長處理資訊、生成草案；但工程師仍須實作原型，進行嚴苛的性能與可靠度測試，最終由人決定是否出貨。這並非盲目崇拜人類直覺，而是基於一項事實：AI 的資料庫裡，通常沒記載下一次「意外洩漏」或「材料疲勞」的細節，且模型永遠無法為量產結果擔負法律與商業責任。

在 AI 時代，最稀缺的未必是熟練下指令（Prompt）的人，而是具備這種能力的人：能預判答案可能在哪裡出錯、能設計實驗將問題「逼」出來，並且願意為最終的量產品質負起責任。

大眾習慣將雲端想像成輕盈、無重量的空間。但現實中，雲端是由龐大的機房架構而成，裡面裝滿了晶片、管線、泵浦與冷卻液。虛擬算力的每一次擴張，都會在實體世界留下發熱的足跡。散熱工程師的價值，就是不讓這筆物理帳單，被埋沒在光鮮亮麗的投影片背後。

記得 2018 年初我在谷歌搜尋引擎裡打入「莫比烏斯」，出乎我意料之外第一頁跳出的全是關於電影《莫比烏斯》的訊息。我本來對此電影毫無所知，瞄了一下摘要文字，原來是一部沒有臺詞，內容又涉及閹割和亂倫的韓國電影，真是有點讓人感覺噁心。

再用英文 Mobius 打入谷歌，結果出來的都是電玩《莫比烏斯 Final Fantasy》的訊息。這是一款可以在手機上單打獨鬥的遊戲，需要操作喪失記憶的主角與各種魔物在未知世界裡廝殺。其實我想找的是數學家莫比烏斯（August Ferdinand Möbius），哪裡知道他的大名已經移植到與數學不相干的場域。

天文學家的數學遺產

日爾曼地區在莫比烏斯出生的時候，還沒有一位國際知名的數學家。但當他過世時，日爾曼的數學家已經發揮強大的影響力，吸引各國年輕人紛紛前來學習。這種巨大轉變的產生，關鍵性因素是高斯的橫空而出，徹底革新了數學的面貌。

1815 年莫比烏斯曾去哥廷根跟隨高斯學習理論天文學，次年進入萊比錫（Leipzig）天文臺擔任觀察員。十九世紀初的日爾曼世界，當天文學家遠比數學家有更良好的聲譽和安穩的待遇。高斯跟莫比烏斯同樣是寒門出身，不也在 1807 年開始終身領導哥廷根天文臺嗎？

莫比烏斯雖然最終成為萊比錫大學的天文學正教授，但是時至今日他所留下的學術遺產，卻是在數學裡多方面的貢獻，最有趣的是他晚年所發現的一條極簡單又美妙的環帶：莫比烏斯環帶。

請讀者拿一張長紙條，把一端轉 180 度與另一端黏在一起，便完成了神奇的莫比烏斯環帶。這個環帶突出的特性是它只有單面，不像原來的紙帶有正反兩面。那麼有一個面到哪裡去了？當你沿著紙帶表面向前走到原來的一端時，因為已經做過半圈的旋轉，你現在就滑入了原來紙帶的背面。於是在莫比烏斯環帶上走啊，走啊，永遠不需要翻過側緣，也永遠碰不到盡頭。

在空間裡看起來扭曲的莫比烏斯環帶壓扁到桌面上，就得到圖 17-1 左邊的平面摺疊圖形。此圖與右邊谷歌雲端硬碟的商標（2012–2014）很相似，相異之處在於商標左側的那段紙帶是在底側紙帶的上面。

其實，我們可以用摺紙方法製作這個商標。首先拿出一張長條紙，我們要在一端摺出一個60度底角。

在圖 17-2 裡，先把長條紙上下邊緣對齊，產生一條中線。然後把左邊緣的線段 DO 往中線摺疊，使得點 D 碰觸到中線上的點 A，於是角 BOC 就剛好是60度。為什麼呢？讓我們從 A 作垂直線段 AB，假設 AB 的長度是 1，則 AO = DO 便為長度 2。從三角關係便知角 AOB 為 30 度，從而角 AOD 就等於 60 度；但因角 AOC 與角 COD 相等，所以角 AOC 也是 30 度，那麼角 BOC 只好是 60 度了。

在長條紙上摺出了 CO 這條摺痕，接著我們用剪刀沿著 CO 剪下去，把三角形 COD 丟掉。然後把 O 點摺到上緣，使得線段 CO 與上緣邊線重合，就會產生一個正三角形。下一階段用這個正三角形做為模板，把長條紙反復摺疊，打開後修剪掉右邊多餘的紙條，就成為具有 15 個正三角形摺痕的紙條，如圖 17-3。

最後沿兩條粗摺線（在摺紙的術語裡，左邊的虛線稱為谷摺、右邊的點虛線稱為山摺），把左段摺在前面，右段摺到背面，右端放在左端上面，用膠紙黏合，就得到谷歌雲端硬碟的商標。如果仿照旋轉紙帶製作莫比烏斯環帶的方法，我們可以抓緊長條紙帶一端，把另一端同方向旋轉三個 180 度後黏合，然後壓扁到平面上，也會得到商標的圖形，只是邊的長度也許沒那麼整齊。

環帶的靈感何處來？

有人說莫比烏斯是偶然間發現了這樣的環帶，其實這是有點戲劇化的講法。莫比烏斯在研究如何構成多面體時，使用了一種基本的想法，就是以黏合三角形來逐步形成多面體。為了準備參加巴黎科學院有關多面體幾何理論的競賽，莫比烏斯也研究了非封閉型（也就是會有邊界）的多面體，他從操作類似圖 17-1 的摺疊圖發現了單面曲面。在莫比烏斯身後出版的著作全集裡，收錄了一篇未曾發表的 1858 年文稿，其中包含了旋轉 3、4、5 個半圈的環帶，如圖 17-4。

可見莫比烏斯有系統的分析了這類環帶，發現旋轉半圈的次數如果是奇數，產生的環帶只有單面；但如果次數是偶數，則環帶仍然保有正反兩面。他更深刻的察覺，這些單面曲面上無法賦予明確的方向，也就是說你從一點出發，也知道當時的順時針方向為何，而當你沿著環帶遊歷一周後，雖然處處你都覺得延續了正確的順時針方向，可是返回出發點時，卻與原始的方向背反。莫比烏斯環帶破壞了所謂的可定向性，這是屬於曲面的拓撲性質，是比度量長度、角度、面積、體積更寬鬆的幾何性質。

1858 年莫比烏斯寫下單面曲面研究成果前幾個月，另外一位現在少為人知的數學家李斯廷（Johann Benedict Listing）已經作出同樣的環帶。莫比烏斯要到 1865 年才在公開發表的著作裡披露單面環帶，而李斯廷在 1861 年出版的專著裡，便公布了單面環帶的存在。李斯廷甚至在 1847 年出版有史以來第一本使用「拓撲學」這個名稱的書（德文書名為Vorstudien zur Topologie）。不過，今日即使想替李斯廷討個公道，把莫比烏斯環帶改名為李斯廷環帶，恐怕也無能為力了。

製作莫比烏斯環帶是如此的簡單，很難不讓人懷疑為什麼沒有人更早發現它呢？在李斯廷之前的數學文獻裡，到目前為止沒有發現有關莫比烏斯環帶的記載。那麼我們探索的對象何不轉移到各種藝術圖像呢？結果在義大利的古跡山提農（Sentinum）羅馬別墅中，發現西元前 200 年至西元前 250 年期間的地板馬賽克，正中央描繪了永恆時間之神艾永（Aion）站在一條代表黃道諸星辰的環帶之中（如圖 17-5）。當我們仔細沿著環帶移動時，能夠毫無疑義分辨出是在一條莫比烏斯環帶上游走。現在還可在多處看見古羅馬遺留下艾永的繪像、浮雕、馬賽克，然而唯有在山提農的別墅中，艾永所踩的環帶是莫比烏斯環帶。

山提農的馬賽克在 1828 年送進慕尼黑的博物館，三十年後李斯廷與莫比烏斯先後研究這個特殊的環帶，他們是否曾經去慕尼黑參觀過博物館，因而受到古羅馬人的啟示呢？我們恐怕永遠也無法確知，然而要寫一本《莫比烏斯密碼》之類的書，也許有可能編織出充滿懸疑的故事。

＿＿＿＿＿ 防雷分隔線＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿ 再來一層防雷分隔線，復仇者要上場囉＿＿＿＿＿

我們都知道在《復仇者聯盟 3》中，薩諾斯大大一個彈指間，地球一半的生物灰飛煙滅。那麼問題來了：在《復仇者聯盟 4》（以下簡稱《復4》）裡頭，各路英雄究竟該怎麼把大家再給救回來呢？

電影用了個十分老派的方法：時空旅行。（以及一堆聽起來萬分浮誇的專有名詞，包括：量子物理、德意志悖論和莫比烏斯環……）

那麼，接下來就讓我們用科學的角度，看看這些花俏的名詞究竟要如何拯救世界。

想拯救被薩諾斯摧毀的世界，首先，來場時空旅行！

想要拯救那消失的 50% 的生物，首先就要談談那些不知道從哪裡來但反正就是超厲害的「無限寶石」們，就是因為有它們，薩諾斯才能轉眼毀滅半個世界。若是要救回那 50% 的生物，寶石可說是重要關鍵。可惜的是，毀完世界後，薩諾斯也順手把寶石們都毀光光了。因此，復仇者們必需回到過去各個時間點，尋回過去的寶石。

然而，時空旅行真的可行嗎？

若我們採用愛因斯坦在狹義相對論裡的說法，只要用接近光速的速度移動，理論上，我們都可以在短短的人生中，「往前」旅行數百萬乃至於數億年的光陰。但是、穿越「回去」則是相對而言十分困難的事。

許多人將時空旅行的希望寄託在「黑洞」上，在黑洞中心奇異點的位置，重力極大，造成時間空間破裂，因此將黑洞與白洞連結，兩者間將產生「蟲洞」，人們便可以此穿越時空。

• 想知道更多關於時空旅行的方法？讓動畫告訴你：

回到過去不容易，沒祖父就沒有你

回到過去的時空旅行會出現很明顯的邏輯悖論，就像是著名的「祖父悖論」。

「祖父悖論」的內容是：如果你穿越回去、殺死了年輕時的「你爺爺」，那麼照理說「你」根本就不會出生，但如果你從來就沒有被生出來，「你」又要如何回到過去把爺爺殺掉呢？

這樣牽一髮而動全身的時空旅行，發生在所謂的「封閉類時曲線」 (closed timelike curve，CTC)。有些理論認為，因為這樣的迴圈在物理上無法實現，因此，回到過去本身就是一件不可能發生的事。

此外，也有所謂的「希特勒悖論」：假設為了阻止希特勒造成生靈塗炭的第二次世界大戰，我們派出探員穿越時空回到二戰前，暗殺了希特勒，而後阻止了二戰爆發。那麼，問題來了：如果根本沒有所謂二戰，又幹嘛回到過去殺掉希特勒呢？在這次的時空旅行中，旅行本身就消除了一開始旅行的目的，讓這整趟旅程顯得無比弔詭。

• 覺得有聽沒有懂？看動畫更好理解喔：

展開吧！多重宇宙裡什麼都是有可能的！

那麼，在終局之戰中，復仇者們又是如何進行時空旅行的呢？

電影首先吐槽了《回到未來》等時空旅行經典電影（就說了不能用改變過去來干預未來了齁～）然後，復仇者們走了另一條路──替代宇宙 (alternative reality)。

替代宇宙的概念是，當你回到過去做了某些改變，就會因此製造出一個全新的宇宙，就像是將原本的一個世界分支出多重時間線。在物理上，我們稱之為「多世界詮釋」(the many-worlds interpretation)

而為了不要在拯救一個世界的同時創造出三百個新世界，復仇者們決定回到過去「借用」無限寶石，拯救完現在這個地球後，再把寶石們還回原本的世界，一樣的時間、一樣的位置，就像沒有借過一樣（！？）

聽起來很棒，但這能成功嗎？

所以…到底什麼是量子物理？

在《復4》中，我們會一直聽到量子物理，的確，現在有許多時空旅行的新理論都以量子物理為基礎，而其中有些理論，似乎解決了祖父悖論的問題。

恩……所以到底啥是量子物理？這其實是一種看待萬物的不同方式，在量子物理中，原子粒子更像是一種模糊不清的概率波。有多模糊不清呢？你永遠都不可能「同時」知道某個粒子現在在哪兒跟它要往哪裡移動。你只能知道它大概會有某些機率出現在某個特定地點。

一位英國物理學家大衛‧多伊奇 (David Deutsch) 便將這個概念結合了多重世界理論 (Many Worlds theory)，而後發現，只要你用概率的方式去表達一切(把概率推到極致)，你就可能可以解決祖父悖論。

怎麼說呢？就像是粒子充滿了無盡可能，回到過去的旅行者也只有部分機率會殺掉他的祖父，如此一來你也沒死、祖父也沒死，真是可喜可賀可喜可賀啊！如此一來，也就打破了前述的因果關係循環。事實上，這在模擬中，已經成功了。

這看起來或許有些奇怪（加上電影用了很浮誇的方式在敘述），不過，實際上的量子力學，可能比這個還要難懂。別擔心，你並不孤單，畢竟科學家們自己也都還沒有搞清楚。

關於量子力學，還有哪些名詞你該知道：

普朗克尺度 (Planck scale)：所謂的普朗克尺度呢，看的是非常非常非常小的東西，普朗克長度、普朗克時間、普朗克質量等等都是物理上用來敘述的最基本單位。而一個普朗克長度是 1.616 × 10⁻³⁵ 公尺，沒錯，就是這麼小。這個距離，便是光在一段普朗克時間（約為 5× 10⁻⁴⁴ 秒）內前進的距離。

反莫比烏斯環 (Inverted Möbius strip)：那麼東尼看著的那個看起來超級厲害的「反莫比烏斯環」又是個什麼東西？恩……查無資料。但我可以跟你說莫比烏斯環是什麼。

想要做出莫比烏斯環其實很簡單只要拿張紙，轉 180 度，再把它的兩端黏起來就可以了。不過，可別小看這個環，它藏有許多奇妙的性質，它沒有正反面的分別，而是僅有一面，也就是說，你在環上隨便找個點往前畫畫畫畫畫，最後都會回到原本的地方，而且會將各處都塗滿同一個顏色。

排除掉那些看起來漂亮但不知道在幹嘛的名詞，《復4》的劇情實在花了許多力氣試圖完整時空旅行的方法、解決時空旅行悖論。

於是，一天又平安地過去了，感謝復仇者們的努力。

參考資料：

• Avengers: Endgame exploits time travel and quantum mechanics as it tries to restore the universe [2019.04.24] The Conversation