從圓照寺談臺灣醫學教育的一些問題

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

我有一個相當奇特的經歷，在一間莊嚴肅穆的佛寺講堂中，我和來自全省一百多位中小學老師們一起討論生命是什麼？地球上的生命如何從簡單邁向複雜！而在我之前還有臺大物理系高涌泉教授談宇宙的起源和科普作家楊玉齡小姐談生命的老化。這是在高雄縣鳥松鄉的圓照寺所舉辦的一個生命教育研習營的活動。會中除了演講之外，我還參加了一個下午的分組討論，十幾位老師一起討論當前教育部推動中小學生命教育的課程綱要，分享個人的教學經驗等等。

與會之後的感覺非常複雜，親身體驗這些老師從事基層教育的熱忱使我深受感動，但另一方面我也覺得非常慚愧。在大學裡從事教職二十多年，坦白說，我似乎還想不出曾有任何類似的經驗，和同事們如比認真地討論過課程的規劃、改進、更新等等。在臺灣高等教育研究掛帥的現實中，教學己經成了一個大家擺脫不掉又必須承擔的負重。三十年不變的老講義現在當然已經成為歷史，但在教授們每年都選用最新版原文書的背後又呈現出了多少教學的創意？更不用說是否有能力表達一個完整的知識或觀念的架構！

譬如很多醫科的同學，私底下都會抱怨大一的普通化學或是物理與醫學無關，因此往往靠著一本共同筆記就輕鬆地混了過去。我們如果站在學生的立場來想，其實學生的抱怨也並非全然無的放矢。想想這些臺灣最頂尖的高中生：聰明加上用功，為了考上醫科，說不定早在高中就已經把大一的普化課本給唸完了。這些學生進了醫學院，面對自以為己經完全瞭解的教材，除了把中文變成英文外，還能有什麼更深刻的學習動機！學生想法的偏差不談，有的醫學院老師甚而也推波助瀾地認為這些基礎學科不重要，我就曾經聽過『醫科學生為什麼要學微積分？』的論調。當然醫學院如果只在培訓家庭醫師，微積分也許真的不重要。但是想要我們的學生有能力迎向未來醫學發展的前沿，我就不得不再來強調這些基礎學科的重要了！很可惜的是每當大家討論課程的時候，大都只是在學分數的分配上打轉，而極少討論實質的問題：誰來教？教些什麼？

臺灣有十所醫學院，有那一位院長或醫學系系主任經常會在開學前去關心醫科的這些基礎課程是誰來教和教些什麼？除了不關心之外，還有一個更大的問題是除了臺大、成大與輔仁外，其他７所醫學院都是從獨立醫學院升格而來，升格的時候，沒有一家醫學院把理學院的規劃列入考慮。相對於國外的情況，美國絕大多數的醫學院是收大學己經畢業的學生，這些學生多半在大學裡已經受到良好的基礎訓練，所以醫學院可以只負責專業的訓練。

這裡討論的缺失只是高等教育體系中冰山的一角而已，絕非僅只是臺灣醫學教育的問題而已。我最近看到南部某國立大學某系必修課的安排：大一上修普化，大一下就直接跳過有機化學直修生物化學。這種課程的安排前所未見，排課的理念、授課的內容、課程的銜接等等問題就實在不是我這樣傳統的老師所能想像出來的。

從圓照寺的一次演講活動帶引出這一堆感想，你能說它不是一次奇妙的經驗嗎？！

本文原發表於周成功專欄[2011-11-14]

查爾斯．巴貝奇（Charles Babbage），1792 至 1871 年。

1843 年，一位英國數學家提出了分析機原理，這個構思將在一百零三年後由後人付諸實踐，並有了一個為大家熟知的名字——計算機（今日俗稱電腦）。很遺憾，查理斯．巴貝奇終其一生也沒能實現造出分析機的願望，但他依舊是當之無愧的計算機先驅。

直到今天，許多計算機書籍扉頁裡仍然刊載著他的照片，以表紀念。

巴貝奇發明小型差分計算機

一七九二年，巴貝奇出生於倫敦一個富有的銀行家家庭，十八歲進入著名的劍橋大學三一學院，成為牛頓的校友。後來他擔任了牛頓擔任過的「盧卡斯數學教授」職務。在進入大學之前，他就展現出極高的數學天分。

進入大學後，巴貝奇發現，當時英國人普遍接受的牛頓建立在運動基礎之上的微積分，不如萊布尼茨基於符號處理的微積分那樣便於理解和傳播。為了推廣已被歐洲大陸普遍接受的萊布尼茨的微積分，他和其他人一同創辦了英國的（數學）分析學會。

不過巴貝奇並不是一個安分的學生，他一方面顯現出超凡的智力，另一方面又不按照要求完成學業，為此他不得不轉了一個學院，才能繼續學業。在學校裡，他還對很多超自然的現象感興趣。

延伸閱讀：巴貝奇誕辰｜科學史上的今天：12/26

如果不是趕上工業革命，巴貝奇或許會尋找某個傳統的數學領域或者自然哲學領域做一輩子研究，並且留下一個巴貝奇定律或者巴貝奇定理。但是，工業革命的大背景，讓他把畢生精力和金錢都投入研究一種能夠處理資訊的機械中。

這也不奇怪，因為工業革命為資訊處理提供了思想上的依據、技術上的條件和廣闊的市場。工業革命是人類歷史上最偉大的事件。它不僅第一次讓人類從此進入可持續發展的時代，也改變了人們的思想。人類從相信神，到今天開始變得自信起來，相信這個世界是確定的、有規律的，而自己能夠發現世界上所有的規律。

早在牛頓時代，著名物理學家玻意耳（Robert Boyle）在總結牛頓等人的科學成就之後，就提出了「機械論」，也被稱為「機械思維」。

玻意耳等人（包括牛頓、哈雷等）認為，世間萬物的規律都可以用機械運動的規律來描述，包括蒸汽機和火車在內的工業革命中那些最重要的發明，都受益於機械思維。人們熱衷於用機械的方法解決問題，從精密的航海導航，到能夠奏樂的音樂盒，再到能織出各種圖案的紡織機。

既然能想到的所有規律都可以用運動規律來描述，那麼就很容易想到讓具有特殊結構的齒輪組運動來完成計算，這便是設計機械計算機的思想基礎。

其實，這種想法早在十七世紀就有人嘗試過。法國數學家帕斯卡（Blaise Pascal）發明了一種手搖計算器——雖然有時人們將它稱為最早的機械計算機，但實際上它和我們今天理解的電腦概念沒有太多相似之處，稱之為「計算器」更為恰當。

帕斯卡計算器從外觀上看有上下兩排旋鈕，每個旋鈕上都刻著○至九這十個數字。在做加減法時，只要將參加運算的兩個數字分別撥到相應的位置，然後轉動手柄，計算器裡的一組組齒輪就會轉動，完成計算。

帕斯卡計算器最初只能做加法，後來經過改良， 可以做減法和乘法， 但做不了除法。在帕斯卡之後，萊布尼茨改良了計算器。他發明了一種以他名字命名的轉輪「萊布尼茨輪」，方便實現四則運算中的進位和借位。

到了十九世紀初，經過近兩個世紀的改進，機械計算器已經能夠完成四則運算，但是計算速度很慢，精度也不夠高，而且設備造價昂貴。不過，這種計算器更大的缺陷在於，對於複雜的運算（比如對數運算和三角函數運算）都做不到。

十九世紀機械工業的發展需要進行大量的複雜計算，比如三角函數的計算、指數和對數的計算等。在微積分出現之前，完成這些函數的計算是幾乎不可能的事。

十八世紀之後，歐洲數學家用微積分找到了很多計算上述函數的近似方法，不過這些方法的計算量極大，需要很長的時間，而且當時除了數學家，一般人是完成不了那些計算的。為了便於工程師在工程中和設計時完成各種計算，數學家設計了數學用表，如此一來工程師就可以從表中直接查出計算的結果。

不過，那個時代的數學用表錯誤百出，為生產和科學研究帶來了很多麻煩。而這個問題很難避免，因為手算很難保證完全不出錯。如果很多數學家分別獨立計算，還可以比對結果發現錯誤。但是巴貝奇發現，那些不同版本的數學用表都是抄來抄去，而犯的錯也都一樣。

因此，巴貝奇想設計一種機械來完成微積分的計算，然後用它來計算各種函數值，得到一份可靠的數學用表。當時他只有二十二歲。

延伸閱讀：兩艘軍艦換不到兩噸重的計算機？巴貝奇與差分機｜《電腦簡史》 齒輪時代（十八）

在隨後的十年裡，巴貝奇造出來一台有六位精度（巴貝奇最初的目標是達到八位精度）的小型差分計算機。隨後巴貝奇用它算出了好幾種函數表，用於解決航海、機械和天文方面的計算問題。

值得指出的是，巴貝奇的這次成功受益於工業革命的成就——當時機械加工的精度比瓦特時代已經高出了很多，這讓巴貝奇能夠加工出各種尺寸獨特的齒輪。

但是，當時並沒有二十世紀的精密加工技術，製造小批量特製齒輪和機械部件的成本高、難度大，這給巴貝奇後來的工作帶來了諸多不便。

不過，首次成功還是讓巴貝奇獲得了英國政府的資助，用以打造一台精度高達二十位的計算機。

幾年後，他又獲得了劍橋大學盧卡斯數學教授的職位，讓他有了穩定的收入。在此之前，他一直在花自己繼承的十萬英鎊遺產。勝利女神似乎正向他招手，但接下來的時日，他在計算機研究方面一籌莫展。

從表面上看，巴貝奇遇到的困難是因為那台差分機太複雜了，裡面有包括上萬個齒輪的二點五萬個零件，當時的加工水準根本無法製造。但更本質的原因是，巴貝奇並不真正理解計算的原理。他不懂得對於複雜的計算來說，不是要把機器做得更複雜，而是要用簡單的計算單元來實現複雜的計算。

當然，在那個年代沒有人瞭解這些。作為現代計算機基礎理論的布林代數要再等十幾年才會被提出來，而且要再過近一個世紀，才會被應用到計算技術中。

——本文摘自《資訊大歷史：人類如何消除對未知的不確定》，2022 年 6 月，漫遊者文化，未經同意請勿轉載。

• 作者/劉俊毅（臺北醫學大學醫學系學生）

2019 年台灣的同性婚姻合法化，性別差異也隨著教育普及、時代前進而不斷改善。儘管男性數理強、女性文科強的刻板印象依然存在，但傳統上以男性為主的醫學系中，女生的數量卻明顯增加，甚至有幾間醫學系男、女學生人數相去不遠！

那麼，在這個醫學系男女學生比例逐漸平衡的同時，我們是否可以期待這些未來的準醫生們在性別意識上也能大幅領先，進而影響到傳統醫學領域中由男性主導的慣習，使女性醫生的地位逐漸抬頭呢？

醫學系男女比例的平衡，代表了白色巨塔中的性別平等嗎？

如果仔細檢視不同科別、不同層級的醫師，便能清楚看見醫師群體隱而未顯的性別差異：院長、副院長、主任等主管多由男性醫師壟斷；而女性醫師則高度集中於兒科、眼科、婦產科及家醫科，鮮少選擇泌尿科、神經外科、骨科等科別。

進入醫學系的性別差距日益縮小，但醫師科別的選擇卻有著高度的性別差異化──這不禁教人好奇：

介於其中的「醫學生」，其性別觀念在求學階段究竟產生了甚麼樣的轉變？不同性別的醫學生，又是如何看待未來的家庭與職涯規劃？

為此，高雄醫學大學的陳建州老師展開一項研究：蒐集超過 400 名醫學生的問卷，試圖了解不同性別醫學生的性別意識是否具有差異，以及自己的性別對未來職涯發展又會產生甚麼樣的影響。

性別角色態度影響職涯發展？

研究分成「性別刻板印象」以及「性別對職涯的影響」兩個部分。首先，研究發現相較於男醫學生，女醫學生較不具有「男主外、女主內」、「男性應該陽剛、女性應該陰柔」、「男性數理好、女性文科好」這三類刻板印象。

而在「男性社經地位優於女性」和「男生應該懂電腦與水電、女生應該懂烹飪」這兩類與工作有關的刻板印象上，醫學系的男孩和女孩的態度差不多，但整體來說女孩的觀念更傾向性別平等。

有趣的是，隨著年級的增加，男、女醫學生皆在「男主外、女主內」的態度上越傾向於男女有別，且醫學系女學生對「男性社經地位優於女性」的態度漸趨於平等。而正是這些對於性別角色態度的差異，造成了男女醫學生對於工作與家庭態度上的不同！

醫學系女生：為了家庭必須妥協自己的職涯

醫學系女生愈認同「男主外、女主內」和「男生應該懂電腦與水電、女生應該懂烹飪」的話，她評估婚姻、生育對於自己工作的衝擊就會越高。換句話說，一位傾向男女有別的女性，可能會預期自己必須肩負母職，所以當工作與家庭面臨選擇時，就必須調整原有的工作、配合男性進入家庭。

醫學系男生：為了家庭必須積極爭取職場升遷

反觀醫學系男生，若越認同社經地位應該男高女低的話，他認為家庭對工作的衝擊就越高；而越認同「男性數理好、女性文科好」的話，他認為家庭對工作的衝擊就愈低。換句話說，一位強調男性地位應該高於女性的男醫師，可能會預期自己在為人夫、為人父的時候，必須調整原有的工作，積極爭取職位升遷，或者努力加班賺錢養家。而另一方面，一位強調男性與女性在擅長的學習領域上有所差別的男人可能認為，女性更應該配合家庭犧牲工作。

最後，醫學系的男孩擔任主管的企圖心，明顯高於醫學系女孩；並且女孩較有可能認為結婚和生育對於「擔任主管」會有負面影響，所以當面對家庭與升遷的抉擇時，醫學系女孩的企圖心便會低於醫學系男孩。

醫學教育應更重視性別平等

從這項研究中，我們發現儘管醫學系的男女比例日趨平等，但隨著年級越高，男女醫學生在「公/私領域分布性別差異」的態度上越傾向於男女有別，「性別平等」很可能是醫學系中，始終缺少的一堂重要課程。

醫學院作為一個教育系統，不但不能降低醫學生對於傳統性別角色的態度，更可能隨著年級的發展，漸漸形成「男、女分別有適合的科別與職級」，導致男女醫師在醫療職場上發展出大不同的結果。

我們無法得知這樣的情況是否因醫學教育（包括潛在課程）所致，但進一步檢視醫學教育確屬必要。或許未來，我們更應該在醫學教育與生涯規劃中，強調醫師生涯與性別意識，才能減少那些被性別耽誤的「女」醫生。

• 看完整的「醫學系男女學生的職業生涯想像差異與影響因素」成果報告！

本文轉載自 科技部補助性別與科技相關規劃推動計畫 科研成果科普好文，原文〈醫學院沒教的性別課─被性別耽誤的「女」醫生？！ (105年陳建州教授計畫)〉

介紹由高雄醫學大學醫學社會學與社會工作學系陳建州副教授所主持的科技部 105 年度性別與科技研究計畫「醫學系男女學生的職業生涯想像差異與影響因素」之研究成果。