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從圓照寺談臺灣醫學教育的一些問題

周成功
・2011/11/16 ・1257字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 511 ・六年級

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圖片作者: Sanctu 圖片來源: http://www.flickr.com/photos/mithril/400478264/
圖片作者: Sanctu 圖片來源: http://www.flickr.com/photos/mithril/400478264/

我有一個相當奇特的經歷,在一間莊嚴肅穆的佛寺講堂中,我和來自全省一百多位中小學老師們一起討論生命是什麼?地球上的生命如何從簡單邁向複雜!而在我之前還有臺大物理系高涌泉教授談宇宙的起源和科普作家楊玉齡小姐談生命的老化。這是在高雄縣鳥松鄉的圓照寺所舉辦的一個生命教育研習營的活動。會中除了演講之外,我還參加了一個下午的分組討論,十幾位老師一起討論當前教育部推動中小學生命教育的課程綱要,分享個人的教學經驗等等。

與會之後的感覺非常複雜,親身體驗這些老師從事基層教育的熱忱使我深受感動,但另一方面我也覺得非常慚愧。在大學裡從事教職二十多年,坦白說,我似乎還想不出曾有任何類似的經驗,和同事們如比認真地討論過課程的規劃、改進、更新等等。在臺灣高等教育研究掛帥的現實中,教學己經成了一個大家擺脫不掉又必須承擔的負重。三十年不變的老講義現在當然已經成為歷史,但在教授們每年都選用最新版原文書的背後又呈現出了多少教學的創意?更不用說是否有能力表達一個完整的知識或觀念的架構!

譬如很多醫科的同學,私底下都會抱怨大一的普通化學或是物理與醫學無關,因此往往靠著一本共同筆記就輕鬆地混了過去。我們如果站在學生的立場來想,其實學生的抱怨也並非全然無的放矢。想想這些臺灣最頂尖的高中生:聰明加上用功,為了考上醫科,說不定早在高中就已經把大一的普化課本給唸完了。這些學生進了醫學院,面對自以為己經完全瞭解的教材,除了把中文變成英文外,還能有什麼更深刻的學習動機!學生想法的偏差不談,有的醫學院老師甚而也推波助瀾地認為這些基礎學科不重要,我就曾經聽過『醫科學生為什麼要學微積分?』的論調。當然醫學院如果只在培訓家庭醫師,微積分也許真的不重要。但是想要我們的學生有能力迎向未來醫學發展的前沿,我就不得不再來強調這些基礎學科的重要了!很可惜的是每當大家討論課程的時候,大都只是在學分數的分配上打轉,而極少討論實質的問題:誰來教?教些什麼?

臺灣有十所醫學院,有那一位院長或醫學系系主任經常會在開學前去關心醫科的這些基礎課程是誰來教和教些什麼?除了不關心之外,還有一個更大的問題是除了臺大、成大與輔仁外,其他7所醫學院都是從獨立醫學院升格而來,升格的時候,沒有一家醫學院把理學院的規劃列入考慮。相對於國外的情況,美國絕大多數的醫學院是收大學己經畢業的學生,這些學生多半在大學裡已經受到良好的基礎訓練,所以醫學院可以只負責專業的訓練。

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這裡討論的缺失只是高等教育體系中冰山的一角而已,絕非僅只是臺灣醫學教育的問題而已。我最近看到南部某國立大學某系必修課的安排:大一上修普化,大一下就直接跳過有機化學直修生物化學。這種課程的安排前所未見,排課的理念、授課的內容、課程的銜接等等問題就實在不是我這樣傳統的老師所能想像出來的。

從圓照寺的一次演講活動帶引出這一堆感想,你能說它不是一次奇妙的經驗嗎?!

本文原發表於周成功專欄[2011-11-14]

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周成功
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周成功 現任長庚大學生命科學系專任教授 研究專長:訊息傳導、腫瘤生物學

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人與 AI 的關係是什麼?走進「2024 未來媒體藝術節」,透過藝術創作尋找解答
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/10/24 ・3176字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本文與財團法人臺灣生活美學基金會合作。 

AI 有可能造成人們失業嗎?還是 AI 會成為個人專屬的超級助理?

隨著人工智慧技術的快速發展,AI 與人類之間的關係,成為社會大眾目前最熱烈討論的話題之一,究竟,AI 會成為人類的取代者或是協作者?決定關鍵就在於人們對 AI 的了解和運用能力,唯有人們清楚了解如何使用 AI,才能化 AI 為助力,提高自身的工作效率與生活品質。

有鑑於此,目前正於臺灣當代文化實驗場 C-LAB 展出的「2024 未來媒體藝術節」,特別將展覽主題定調為奇異點(Singularity),透過多重視角探討人工智慧與人類的共生關係。

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C-LAB 策展人吳達坤進一步說明,本次展覽規劃了 4 大章節,共集結來自 9 個國家 23 組藝術家團隊的 26 件作品,帶領觀眾從了解 AI 發展歷史開始,到欣賞各種結合科技的藝術創作,再到與藝術一同探索 AI 未來發展,希望觀眾能從中感受科技如何重塑藝術的創造範式,進而更清楚未來該如何與科技共生與共創。

從歷史看未來:AI 技術發展的 3 個高峰

其中,展覽第一章「流動的錨點」邀請了自牧文化 2 名研究者李佳霖和蔡侑霖,從軟體與演算法發展、硬體發展與世界史、文化與藝術三條軸線,平行梳理 AI 技術發展過程。

圖一、1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧」一詞

藉由李佳霖和蔡侑霖長達近半年的調查研究,觀眾對 AI 發展有了清楚的輪廓。自 1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧(Artificial Intelligence))」一詞,並明確定出 AI 的任務,例如:自然語言處理、神經網路、計算學理論、隨機性與創造性等,就開啟了全球 AI 研究浪潮,至今將近 70 年的過程間,共迎來三波發展高峰。

第一波技術爆發期確立了自然語言與機器語言的轉換機制,科學家將任務文字化、建立推理規則,再換成機器語言讓機器執行,然而受到演算法及硬體資源限制,使得 AI 只能解決小問題,也因此進入了第一次發展寒冬。

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圖二、1957-1970 年迎來 AI 第一次爆發

之後隨著專家系統的興起,讓 AI 突破技術瓶頸,進入第二次發展高峰期。專家系統是由邏輯推理系統、資料庫、操作介面三者共載而成,由於部份應用領域的邏輯推理方式是相似的,因此只要搭載不同資料庫,就能解決各種問題,克服過去規則設定無窮盡的挑戰。此外,機器學習、類神經網路等技術也在同一時期誕生,雖然是 AI 技術上的一大創新突破,但最終同樣受到硬體限制、技術成熟度等因素影響,導致 AI 再次進入發展寒冬。

走出第二次寒冬的關鍵在於,IBM 超級電腦深藍(Deep Blue)戰勝了西洋棋世界冠軍 Garry Kasparov,加上美國學者 Geoffrey Hinton 推出了新的類神經網路算法,並使用 GPU 進行模型訓練,不只奠定了 NVIDIA 在 AI 中的地位, 自此之後的 AI 研究也大多聚焦在類神經網路上,不斷的追求創新和突破。

圖三、1980 年專家系統的興起,進入第二次高峰

從現在看未來:AI 不僅是工具,也是創作者

隨著時間軸繼續向前推進,如今的 AI 技術不僅深植於類神經網路應用中,更在藝術、創意和日常生活中發揮重要作用,而「2024 未來媒體藝術節」第二章「創造力的轉變」及第三章「創作者的洞見」,便邀請各國藝術家展出運用 AI 與科技的作品。

圖四、2010 年發展至今,高性能電腦與大數據助力讓 AI 技術應用更強

例如,超現代映畫展出的作品《無限共作 3.0》,乃是由來自創意科技、建築師、動畫與互動媒體等不同領域的藝術家,運用 AI 和新科技共同創作的作品。「人們來到此展區,就像走進一間新科技的實驗室,」吳達坤形容,觀眾在此不僅是被動的觀察者,更是主動的參與者,可以親身感受創作方式的轉移,以及 AI 如何幫助藝術家創作。

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圖五、「2024 未來媒體藝術節——奇異點」展出現場,圖為超現代映畫的作品《無限共作3.0》。圖/C-LAB 提供

而第四章「未完的篇章」則邀請觀眾一起思考未來與 AI 共生的方式。臺灣新媒體創作團隊貳進 2ENTER 展出的作品《虛擬尋根-臺灣》,將 AI 人物化,採用與 AI 對話記錄的方法,探討網路發展的歷史和哲學,並專注於臺灣和全球兩個場景。又如國際非營利創作組織戰略技術展出的作品《無時無刻,無所不在》,則是一套協助青少年數位排毒、數位識毒的方法論,使其更清楚在面對網路資訊時,該如何識別何者為真何者為假,更自信地穿梭在數位世界裡。

透過歷史解析引起共鳴

在「2024 未來媒體藝術節」規劃的 4 大章節裡,第一章回顧 AI 發展史的內容設計,可說是臺灣近年來科技或 AI 相關展覽的一大創舉。

過去,這些展覽多半以藝術家的創作為展出重點,很少看到結合 AI 發展歷程、大眾文明演變及流行文化三大領域的展出內容,但李佳霖和蔡侑霖從大量資料中篩選出重點內容並儘可能完整呈現,讓「2024 未來媒體藝術節」觀眾可以清楚 AI 技術於不同階段的演進變化,及各發展階段背後的全球政治經濟與文化狀態,才能在接下來欣賞展區其他藝術創作時有更多共鳴。

圖六、「2024 未來媒體藝術節——奇異點」分成四個章節探究 AI 人工智慧時代的演變與社會議題,圖為第一章「流動的錨點」由自牧文化整理 AI 發展歷程的年表。圖/C-LAB 提供

「畢竟展區空間有限,而科技發展史的資訊量又很龐大,在評估哪些事件適合放入展區時,我們常常在心中上演拉鋸戰,」李佳霖笑著分享進行史料研究時的心路歷程。除了從技術的重要性及代表性去評估應該呈現哪些事件,還要兼顧詞條不能太長、資料量不能太多、確保內容正確性及讓觀眾有感等原則,「不過,歷史事件與展覽主題的關聯性,還是最主要的決定因素,」蔡侑霖補充指出。

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舉例來說,Google 旗下人工智慧實驗室(DeepMind)開發出的 AI 軟體「AlphaFold」,可以準確預測蛋白質的 3D 立體結構,解決科學家長達 50 年都無法突破的難題,雖然是製藥或疾病學領域相當大的技術突破,但因為與本次展覽主題的關聯性較低,故最終沒有列入此次展出內容中。

除了內容篩選外,在呈現方式上,2位研究者也儘量使用淺顯易懂的方式來呈現某些較為深奧難懂的技術內容,蔡侑霖舉例說明,像某些比較艱深的 AI 概念,便改以視覺化的方式來呈現,為此上網搜尋很多與 AI 相關的影片或圖解內容,從中找尋靈感,最後製作成簡單易懂的動畫,希望幫助觀眾輕鬆快速的理解新科技。

吳達坤最後指出,「2024 未來媒體藝術節」除了展出藝術創作,也跟上國際展會發展趨勢,於展覽期間規劃共 10 幾場不同形式的活動,包括藝術家座談、講座、工作坊及專家導覽,例如:由策展人與專家進行現場導覽、邀請臺灣 AI 實驗室創辦人杜奕瑾以「人工智慧與未來藝術」為題舉辦講座,希望透過帶狀活動創造更多話題,也讓展覽效益不斷發酵,讓更多觀眾都能前來體驗由 AI 驅動的未來創新世界,展望 AI 在藝術與生活中的無限潛力。

展覽資訊:「未來媒體藝術節——奇異點」2024 Future Media FEST-Singularity 
展期 ▎2024.10.04 ( Fri. ) – 12.15 ( Sun. ) 週二至週日12:00-19:00,週一休館
地點 ▎臺灣當代文化實驗場圖書館展演空間、北草坪、聯合餐廳展演空間、通信分隊展演空間
指導單位 ▎文化部
主辦單位 ▎臺灣當代文化實驗場

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從認證到實踐:以智慧綠建築三大標章邁向淨零
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/11/15 ・4531字 ・閱讀時間約 9 分鐘


當你走進一棟建築,是否能感受到它對環境的友善?或許不是每個人都意識到,但現今建築不只提供我們居住和工作的空間,更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生,正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題,確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染,同時提升我們的生活品質。然而,要成為綠建築並非易事,每一棟建築都需要通過層層關卡,才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境,政府自1999年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立,旨在透過標準化的建築評估系統,鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時,為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法,自2003年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至2024年為止,已有130件優良綠建築、31件優良智慧建築得獎作品,涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築,不僅提升建築物的整體性能,也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多,你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程,要經歷哪些標準與挑戰?

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綠建築標章智慧建築標章綠建材標章
來源:內政部建築研究所

第一招:依循EEWH標準,打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源,是綠建築(green building)的核心理念,但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單,而是涵蓋建築物的整個生命週期,也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內,都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準,讓我們先回到 1990年,當時英國建築研究機構(BRE)首次發布有關「建築研究發展環境評估工具(Building Research Establishment Environmental Assessment Method,BREEAM®)」,是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後,於1998年推出「能源與環境設計領導認證」(Leadership in Energy and Environmental Design, LEED)這套評估系統,加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶,氣溫高,濕度也高,得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生,四個英文字母分別為Ecology(生態)、Energy saving(節能)、Waste reduction(減廢)以及 Health(健康),分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級,設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例,看它如何躍過一道道指標,成為「鑽石級」綠建築的國家公園!

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位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園,也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時,還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築,其外觀採白色系列,從高空俯瞰,就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落;從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊,生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構,設計自然護岸,保留基地既有的雜木林和灌木草原,並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物,採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙,不僅強化了環境的保護力,也提供多樣的生物棲息環境,使這裡成為動植物共生的美好棲地。

圖說:台江國家公園是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築/來源:內政部建築研究所

第二招:想成綠建築,必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築,使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中,對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出,一路到今日,國際間對此一概念的共識主要包括再使用(reuse)、再循環(recycle)、廢棄物減量(reduce)和低污染(low emission materials)等特性,從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時,使用自然材料與低 VOC(Volatile Organic Compounds,揮發性有機化合物)建材,亦可避免對人體產生危害。

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在綠建築標章後,內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度,以建材生命週期為主軸,提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說,為確保室內環境品質,建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件;為了防溫室效應的影響,須使用本土材料以節省資源和能源;使用高性能與再生建材,不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性,也強調材料本身的再利用性。


在台江國家公園內,綠建材的應用是其獲得EEWH認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念,更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設,並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料,為鳥類和小生物營造棲息空間,讓「蚵殼磚」不再只是建材,而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆,整體綠建材使用率為52.8%。

圖說:被建築實體圍塑出的中庭廣場,牆面設計有蚵殼格柵 /來源:內政部建築研究所

在日常節能方面,台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如,引入樓板下的水面蒸散低溫外氣,屋頂下設置通風空氣層,高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出,廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地,創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企,如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流,不僅提升了隔熱效果,減少空調需求,讓建築如同「與海共舞」,在減廢與健康方面皆表現優異,展示出綠建築在地化的無限可能。

圖說:島式建築群分割後所形成的巷道與水道/來源:內政部建築研究所

在綠建材的部分,另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程,其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材,比方提高高爐水泥(具高強度、耐久、緻密等特性,重點是發熱量低)的量,並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」,還用再生透水磚做人行道鋪面。

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圖說:2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。 /來源:內政部建築研究所
圖說:2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。 /來源:內政部建築研究所

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區,首先,他們捨棄金屬建材,讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是,他們也將施工開挖的土方做回填,將有高地差的荒地恢復成平坦綠地,本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪,無痛轉綠。

圖說:雲林豐泰文教基金會的綠園區。 /來源:內政部建築研究所

等等,這樣看來建築夠不夠綠的命運,似乎在建材選擇跟設計環節就決定了,是這樣嗎?當然不是,建築是活的,需要持續管理–有智慧的管理。

第三招:智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率,除了從建築設計與建材的使用等角度介入,也須適度融入「智慧建築」(intelligent buildings)的概念,即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性,使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器,用於蒐集環境資料和使用行為,並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合,內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度,為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂,目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例,為了掌握建築物生命週期中的能耗,需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標,評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面,則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境,以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

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樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中,充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新8大指標先進技術,來達成兼顧環保和永續發展的理念,也是利用建築資訊模型(BIM)技術打造的指標性建築,受到國際矚目。

圖說:樹林藝文綜合大樓。/來源:內政部建築研究所「111年優良智慧建築專輯」(新北市政府提供)

在興建階段,為了保留基地內4棵原有老樹,團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描,並將大小等比例匯入BIM模型中,讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離,確保施工過程不影響樹木健康。此外,在大樓啟用後,BIM技術被運用於「電子維護管理系統」,透過3D建築資訊模型,提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護,包括保養計畫、異常修繕及耗材管理,讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入BIM技術的應用,從建造設計擴展至施工和日常管理,使建築生命周期的管理更加智慧化。以FM系統 ( Facility Management,簡稱 FM ) 為例,該系統可在雲端進行遠端控制,根據會議室的使用時段靈活調節空調風門,會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣,而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率,保持低頻運作,實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結:

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現,從源頭減少碳足跡;綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小,並保障居民的健康;智慧建築標章運用科技應用,實現能源的高效管理和室內環境的精準調控,增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用,讓建築不僅是滿足基本居住需求,更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

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圖說:建築物於魚塭之上,採高腳屋的構造形式,尊重自然地貌。/來源:內政部建築研究所

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不用數字的數學還會是數學嗎?一窺當代抽象數學的面向——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/26 ・2865字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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  • 文/游森棚|臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學,會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣,也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之,這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域:拓樸、分析、代數,最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」,都沒有「數字」。

這本書談的數學所有篇章都談「概念」,都沒有「數字」。圖/Pixabay

沒有數字的數學是數學嗎?!

讀完初稿,不禁啞然失笑,回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限,目標是解設計好的題目:不要有計算失誤,快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際,大一的微積分(Calculus)與線性代數(Linear Algebra),除了像高中數學一樣的計算與解題,更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行,不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分(Analysis)與代數學(Algebra)卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程,幾乎沒有像高中數學一樣的計算題,而是一整片的理論。前面沒弄懂,後面就根本無法前進。簡單來說,這兩門課從課本內容、習題、到考試,全部是證明題。我可以整個下午在書桌前,只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題,可以耗掉好幾天,而且還做不出來,更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲,一本薄薄的課本可以讀這麼久,真的太划算了。

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我原以為這兩門課已經嘆為觀止,但到了大三時,修了一門更誇張的課,叫做拓樸學(Topology)。幾百頁的課本中沒有任何數字(數字只出現在頁碼、定理標號、足碼)。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板,可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸,掙扎忍耐到快要學期末,然後老師很興奮地預告,下學期,在書本的後半,我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理:這個定理是說,你拿筆在紙上畫一個圓,會把紙分成兩部分,「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然,這能不譁然嗎!我簡直矇了,那一瞬間,我覺得我在外星球上……

這是數學嗎?!

Jordan Curve Theorem 定理是說,拿筆在紙上畫一個圓,會把紙分成兩部分,「圓內」和「圓外」。圖/Pixabay

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的,這是數學。經過大學數學系,我知道從定義出發,純粹的論證與推理,推出夠一般的結論,是數學理論發展的步驟。而論證與推理,才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同,數學是一步推一步的,要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同,但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表,三七是二十一也是有理由的。

即使是小學的九九乘法表,三七是二十一也是有理由的。圖/Pixabay

如果我們抽離出最根本的概念,數學就是在研究形狀,研究變化,研究結構,應用之以解決實際問題,資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

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用數學專業的語言來說,數學研究形狀,就是「幾何學與拓樸學」;數學研究變化,就是「分析學」;數學研究結構,就是「代數學」;數學解決實際問題,就是「應用數學」;數學與資訊結合,就是「離散數學」。這幾個領域,就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中,第一章是拓樸學(形狀),第二章是分析(變化),第三章是代數(結構),第五章是建模(應用數學與離散數學)。數學既然是一步推一步,根基是否穩固就很關鍵,這個部分穿插在第四章的基礎(數學基礎與數學哲學)。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的,因此本書作者相當努力,在每一章中,盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中,盡可能貼近讀者的生活經驗,或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學,細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念,還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下:三角形、橢圓、長方形、叉叉,這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」?很顯然就是叉叉,這個小朋友都能做。但這樣的直覺,就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了,這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧!讀者如果想學嚇人的專業術語,我來註解如下:三角形、橢圓、長方形是同胚的(homeomorphic),但是叉叉和它們不同胚。

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一個簡單的例子如下:三角形、橢圓、長方形、叉叉,這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」?圖/Pixabay

書中有些材料作者介紹得非常精妙,即使以我專業數學家的眼光來看,都覺得眼睛一亮,比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念,讀者就不要有壓力,當作有趣的故事書來讀,會有驚喜的發現:重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆,道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形(manifold)事情就變得非常複雜,讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」,可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版,也佩服作者的宏觀與有趣的文筆,把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚,不管是哪個主幹,本書提及的材料都還只是很小的部分,茫茫數學大海,還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制,許多重要的領域本書沒有碰觸,是較為可惜之處。但這是我太苛求了,本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的,碰觸到的領域已經非常廣闊,足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何,希望本書能開一扇門,引領有緣的讀者或未來的數學家,體會當代數學的面向,從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

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——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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