金球的囚徒｜囚徒困局系列(一)

合作與私利的權衡：囚徒困境

最廣為人知的賽局理論悖論是囚徒困境，這個賽局由加拿大數學家塔克所命名。塔克教授的囚徒困境賽局就像是好萊塢的犯罪劇情片，有人提供認罪協商給兩名嫌疑犯去供出對方。這個賽局說明了為共同利益而採取聯合行動十分困難，因為人們往往追求私利。

囚徒困境賽局中的誘因屢見不鮮，很適合拿來分析許多領域的問題。從經濟學中公司的競爭，到社會學中的社會規範，到心理學中的決策，到生物學中動物競爭稀缺資源，再到資訊工程中電腦系統競爭頻寬。

阿倫和阿班因為合夥偷車而被捕。警方懷疑他們還涉嫌一起肇事逃逸案件，但沒有足夠的證據起訴他們。兩人被帶到不同的房間分開偵訊。

阿倫和阿班都有兩個可能的行動：保持沉默或認罪。因此，賽局中總共有四種結果。

阿倫沉默，阿班沉默。阿倫認罪，阿班沉默。阿倫沉默，阿班認罪。阿倫認罪，阿班認罪。

我們可以用策略型式表達這個囚徒困境。支付矩陣中，列代表阿倫的可能行動，欄代表阿班的可能行動。我們在行與列的相交處填入每位參與者的報酬，在本例中也就是他們各自的刑期。

如果兩人都沉默，兩人都將因偷車而服刑一年。這當然不好，所以報酬是負值（阿倫：-1，阿班：-1）。如果兩人都認罪，兩人都要服刑十年（阿倫：-10，阿班：-10）。

囚徒都知道這個支付矩陣，也都知道彼此面對相同的矩陣。

合作或私利考量下的「最佳解」不同

這是一個同步賽局：即使並非字面意義上的同步，但由於兩人身處不同的偵訊室，做決定時也不知道對方的選擇，因此可以視為同步。

請注意，以策略型式表現賽局，並不意味著我們指出了可能會發生什麼事。我們只是列出所有可能結果，無論合理與否，並且把每個結果中參與者的報酬記下來。

現在，寫下囚徒困境賽局的策略型式後，我們可以嘗試分析可能發生的結果。

很明顯，如果阿倫和阿班可以共同做決定，兩人會選擇一起沉默，只需要坐牢一年。

但這並非均衡的結果。對阿倫來說，「認罪」的策略絕對優於「沉默」：不管他預期阿班會怎麼做，他的最佳回應都是認罪。

同樣地，不管阿班預期阿倫會怎麼做，阿班的最佳回應都是認罪。

在囚徒困境中，納許均衡是兩名參與者都認罪。這個結果的標準寫法是：

｛ 認罪，認罪 ｝

前者是橫列參與者（阿倫）的行動選擇，後者是直欄參與者（阿班）的行動選擇。在均衡中，雙方都要坐牢十年。

這屬於柏雷多效率嗎？

一個有趣的問題是，囚徒困境賽局中的納許均衡是否為柏雷多效率？這個資源分配效率的概念是以義大利經濟學家柏雷多（1848 – 1923）來命名。如果再也沒有其他可能的結果可以使至少一人變得更好，但沒有任何人變糟，這樣的結果就是柏雷多效率。

囚徒困境賽局中的納許均衡並非柏雷多效率，因為如果兩人都沉默，每個囚徒都可以變得更好。這也就是「囚徒困境」名稱的由來。

不過，在多數的賽局中，納許均衡就是柏雷多效率。例如在前面電影檔期的賽局中，沒有其他的結果能使雙方以不損及對方的方式獲得更高利益。

——本文摘自《大話題：賽局理論》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

什麼是「賽局理論」？

賽局理論是在研究策略性互動。策略性互動也是很多桌遊的關鍵元素，賽局理論因此得名。你的決策影響別人的行動，反之亦然。賽局理論的不少術語直接取自這類遊戲。我們把決策者稱為「參與者」（player）。參與者做決定後，就採取了行動（move）。

運用模型簡化複雜世界

真實世界的策略性互動可能非常複雜。例如在人際互動中，不僅行動，包括我們的表情、聲調和肢體語言都會影響他人。

在與他人往來時，人們展現不同的經歷與觀點。這樣無以計數的變化會使得情況異常複雜，也很難分析。

藉由稱為「模型」的簡化結構，我們可以大幅縮減複雜的程度。模型雖然簡單且容易分析，但仍然捕捉了真實世界問題的某些重要特徵。選用適當的簡單模型，可以有效幫助大家學習真實世界的複雜問題。

西洋棋可以幫助我們瞭解這些變化會讓參與（及預測）賽局變得多麼複雜。西洋棋的規則明確，雖然每一步棋的選項有限，但整體棋局的複雜度令人生畏。不過比起許多人類的基本互動，西洋棋其實簡單多了！

高手過招容易和局！

像西洋棋之類的桌遊有個特性：玩家愈熟練，就容易產生平手的結局。我們如何解釋這種現象？

因為西洋棋太複雜，難以全面分析，以下我們用簡單的井字遊戲來說明一個重要特性。西洋棋和井字遊戲都有明確的勝負規則。玩家輪流落子，且可以下的地方有限。

井字遊戲無法表現西洋棋中的許多特性。但由於兩者有些共同特徵，因此井字遊戲可以幫助人們瞭解高手對陣為什麼容易產生和局。

被簡化的世界縮影：「賽局」

賽局理論的首要關注並非西洋棋之類的桌遊，而是要增進我們對人際、對企業間、對國家間、對生物間……等互動行為的瞭解。原因是，真實的問題可能過於複雜且難以充分掌握。

因此，在賽局理論中我們創造了非常簡化的模型，稱之為「賽局」。創造有用的模型既是科學，也是藝術。

好的模型夠簡單，讓人能充分瞭解驅動參與者的誘因。同時，模型必須能夠捕捉真實世界的重要元素，以富有開創性的洞察力與判斷力決定哪些元素最為相關。

——本文摘自《大話題：賽局理論》，2023 年 3 月，大家出版出版，未經同意請勿轉載。

賽局理論演算的「穩定婚姻」

賽局理論中有所謂「穩定婚姻問題」。在所有婚姻狀態均「穩定」的已婚社群，每對夫妻各自都無法找到比現在更好的另一半。換句話說，所謂「穩定」的已婚社群，就是丈夫想出軌，他想出軌的對象也不認為他會比現在的另一半來得好，因此不可能會跟這位丈夫在一起，反之妻子亦然。 因此，婚姻中的男女即使見異思遷，實際上也改變不了自己的婚姻狀態。

穩定婚姻意涵社群中，曠夫怨婦不可能藉著與原來配偶離婚，再互相結婚來改進他們的婚姻狀況。這也是賽局理論所說的「伯瑞多最佳」狀態。但這並不代表每個婚姻中人都是如魚得水，他們可能只是找不到更好而有意願的對象而已。

「穩定婚姻問題」尋求一個把男女配對而形成穩定婚姻社群的演算法。這方法早在 1962 年即由 2012 年諾貝爾經濟學獎得主 Lloyd Shapley 和 David Gale 解出。其方法稱做 Gale-Shapley 演算法。Gale-Shapley 演算法的應用遠超過婚姻配對問題，例如美國醫學協會把住院醫師與實習醫院配對便用了這個演算法。

這個演算法要求社群中每個人都要列出他或她對所有異性的喜好順序。例如在三男三女的社群中，假設各人的偏好順序如下表：

三男三女共可有六組不同的婚姻配對，其中有三組是穩定婚姻。

第一組：（A 女，乙男）、（B 女，丙男）、（C 女，甲男）。社群中每位女士均嫁了她們最心儀的男士，但每位男士均娶了他們最看不上眼的女士。很顯然地，雖然男士們都蠢蠢欲動，其奈女士們不動如山何？這組婚姻符合穩定的定義。

第二組：（A 女，甲男）、（B 女，乙男）、（C 女，丙男）。與第一組恰恰相反，這裡每位男士均娶了他們最心儀的女士，但每位女士均嫁了她們最看不上眼的男士。依同理，這組婚姻也是穩定的。

第三組：（A 女，丙男）、（B 女，甲男）、（C 女，乙男）。這裡不分男女均已獲得了次愛對象的垂青。如果有人還不知足，想更上一層樓，很抱歉：他（她）們心目中最愛的對象卻看他（她）們最不上眼呢，還是乖乖守護家庭吧。穩定婚姻！

從這個例子可以看出：穩定婚姻的演算法並不保證唯一解，而且也不保證人人都美滿幸福。

那麼，對婚姻充滿浪漫期待的青年男女們如何才能在穩定的前提上爭取到如意的對象呢？賽局分析顯示，採取主動的一方，比較容易得到排序較高的對象。例如若女性採取主動，則結果較可能是第一組。若男性採取主動，則結果較可能是第二組。被動的一方很可能在形勢比人強的情形下止於末選。

網路上有好幾個網頁以 Python 程式語言執行了 Gale-Shapley 演算法。有興趣的讀者可以參考文末書目。

中國古詩中的穩定婚姻問題

這裡以兩首中國古詩為例說明什麼是「穩定婚姻」、什麼不是「穩定婚姻」。

從漢朝樂府詩 《陌上桑》來看穩定婚姻問題

漢朝樂府詩《陌上桑》全詩如下：

日出東南隅，照我秦氏樓。秦氏有好女，自名為羅敷。羅敷喜蠶桑，採桑城南隅。青絲為籠繫，桂枝為籠鉤。頭上倭墮髻，耳中明月珠。緗綺為下裙，紫綺為上襦。行者見羅敷，下擔捋髭鬚。少年見羅敷，脫帽著帩頭。耕者忘其犁，鋤者忘其鋤。來歸相怨怒，但坐觀羅敷。

使君從南來，五馬立踟躕。使君遣吏往，問是誰家姝。「秦氏有好女，自名為羅敷。」「羅敷年幾何？」「二十尚不足，十五頗有餘。」使君謝羅敷：「甯可共載不？」

羅敷前致辭：「使君一何愚！使君自有婦，羅敷自有夫。東方千餘騎，夫婿居上頭。何用識夫婿？白馬從驪駒。青絲繫馬尾，黃金絡馬頭；腰中轆轤劍，可直千萬餘。十五府小吏，二十朝大夫，三十侍中郎，四十專城居。為人潔白皙，鬑鬑頗有鬚。盈盈公府步，冉冉府中趨。坐中數千人，皆言夫婿殊。」

這詩中的「使君」與「羅敷」都已婚。「使君」喜歡「羅敷」甚於喜歡自己太太，但是「羅敷」喜歡自己的先生甚於「使君」。何以見得？「使君一何愚」等於現代人罵無聊男子是「癡漢」。而「皆言夫婿殊」更掩不住嫁了如意郎君的沾沾自喜。

另外，詩中雖未點明，但「羅敷」的夫婿四十幾歲了能娶到十幾歲而又真心愛慕他的美女，即使「使君」的太太羨慕「羅敷」先生高富帥，怨嘆「使君」隨地拈花惹草，「羅敷」的先生應該不至於會喜歡她甚於喜歡自己太太。果然如此，這兩對夫妻所組成的社群，其婚姻狀態便算「穩定」。所以「穩定婚姻」不代表婚姻中人不見異思遷，而是即使想劈腿自己更喜歡的人也找不到願意的對象而無法做到。

依照上面的假設，各人的偏好順序如下：

我們可以看到（羅敷，羅敷夫）、（使君婦，使君）的配對是穩定的。雖然使君婦跟使君都是跟他們的最末順位結婚，可是那即使不滿意也已經無法改善了，被罵「癡漢」也只能黯然。

從《節婦吟·寄東平李司空師道》來看穩定婚姻問題

同樣描寫婚姻狀態的唐代張籍的《節婦吟·寄東平李司空師道》，道出了不太一樣的情境。

君知妾有夫，贈妾雙明珠。
感君纏綿意，繫在紅羅襦。
妾家高樓連苑起，良人執戟明光裡。
知君用心如日月，事夫誓擬同生死。
還君明珠雙淚垂，恨不相逢未嫁時。

這首詩中的「妾」受到「君」的撩撥其實已經動了心。她起初還把「君」贈她的兩顆明珠繫在她貼身的紅色蕾絲小可愛上。後來雖然還給了他，並不是因為喜歡「良人」甚於喜歡「君」。

何以見得？詩中所引用的理由是「妾家高樓連苑起，良人執戟明光裡」。這兩句我怎麼看怎麼不對勁。也許傳統的解釋是說夫家有錢還位居高官。但高樓深宅事實上並沒有防得了「妾」與「君」私通款曲，當然更栓不住她愛慕的心。

至於「良人執戟明光裡」，其實也不過是在皇宮充當侍衛，並不是什麼大不了的官，遠比不上「陌上桑」裡羅敷的夫婿。說不定「良人」不值班的夜晚便拿著他那枝戟月光下在自家門外巡防太太私奔呢！無論如何，這詩裡的「妾」只是個受傳統規範羈束的「節婦」加「怨婦」。「事夫誓擬同生死」不過是「從一而終」的概念。

最後一句「恨不相逢未嫁時」更毫不掩飾地表明了「怨婦」的心情：如果不是喜歡「君」甚於喜歡「良人」，直接罵他「痴漢」就是了，何至於「還君明珠雙淚垂」？又何需心中有恨？這樣的婚姻只能以外力來維持穩定，算不得賽局理論的「穩定婚姻」。

在這個配對中，假設各人的偏好順序如下（註：原詩未提「君」是否已婚。這裡的分析假設他已娶妻，但「君婦」的偏愛順序並不重要。）：

（妾，妾夫）、（君婦，君）的配對是不穩定的，因為「妾」跟「君」如果做得到可以離開原配、互結連理而改進他們的婚姻幸福。只是不幸活在不能隨意離婚的時代，也只能「恨不相逢未嫁時」了！

參考書目：

1. D. Gale and L. S. Shapley. “College Admissions and the Stability of Marriage.” The American Mathematical Monthly, Vol. 69, No. 1 (Jan., 1962), pp. 9-15.
2. Alexander Osipenko, “Gale–Shapley Algorithm Simply Explained.”
3. 漢娜．弗萊著，洪慧芳譯。《數學的戀愛應用題》第三章〈提高安打率的秘密〉。天下雜誌出版。