0

0
0

文字

分享

0
0
0

愛因斯坦與廣義相對論的誕生--《科學月刊》

科學月刊_96
・2015/11/02 ・5262字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

作者:
聶斯特/中央大學物理系與天文所退休教授
陳江梅/中央大學物理系教授

一世紀前,偉大的物理學家愛因斯坦(Albert Einstein, 1879~1955)完成了廣義相對論,透過時空的彎曲來描述重力交互作用,這個理論毫無疑問的是物理學中最激動人心的智慧結晶。愛因斯坦在物理學上做出了許多劃時代的貢獻,例如在1905 年,年輕的他就獨立地完成了許多開創性的成果,其中有關光電效應的論文,是開啟量子物理大門的關鍵性工作,他也因此獲得1921 年諾貝爾物理獎的桂冠。然而,對一般大眾來說,愛因斯坦最著名的研究成果就是相對論,他在1905 年完成了狹義相對論,討論等速運動系統的物理特性,其中光速不變性的假設所推論出來的「時間膨脹」、「長度收縮」等奇特效應,是理論物理中令人非常著迷的現象。十年之後,愛因斯坦更將其理論推廣至加速的系統,建構出描述重力作用的廣義相對論。

學生時期的愛因斯坦

愛因斯坦在大學時期是一個相當古怪的學生,常常翹課,成績也並不突出,最後勉強達到畢業門檻,而他大部分的時間致力於獨立研究物理學中最前沿的問題。至於考試,愛因斯坦則依賴於他的同學格羅斯曼(Marcel Grossmann, 1878~1936)所做的筆記。因為愛因斯坦經常缺課,再加上似乎不夠尊重師長的態度,使得他在授課老師心中留下不良的印象。他的物理學教授韋伯(Heinrich Friedrich Weber, 1843~1912) 曾經責備他說:「你是一個很聰明的孩子,愛因斯坦,非常聰明的孩子,但是你有一個很大的缺點,就是永遠聽不進去別人對你說的任何事情。」他的數學教授閔可夫斯基(Hermann Minkowski, 1864~1909)則曾經稱他為「懶狗」。許多年後,當被問到關於愛因斯坦發表的狹義相對論時,閔可夫斯基的評論是「我真的不敢相信他能夠做到。」

SuvEinsten
愛因斯坦所就讀的蘇黎世聯邦理工學院。 Source: Shepard4711

廣義相對論的基礎

廣義相對論所討論的,是自然界中的重力,也稱為萬有引力,是人類最熟知的作用力。牛頓(Isaac Newton, 1642~1727)首先理解到,萬有引力不單單只是造成地球上萬物會向下掉落的原因,也是天體中星球運行的作用力來源。他寫下了質量如何產生重力的萬有引力公式,再加上他所提出的物體運動必須服從的三大運動定律,構成了牛頓力學的體系,主導我們對物理的認知達數百年。直到愛因斯坦發表相對論後,物理世界才又往前跨出了重要的一步。

廣義相對論的理論基礎,起源於一個稱為「等效原理」的基本概念——當一個人在自由墜落的時候,他感受不到自己的重量。自由墜落是一個加速的運動狀態,而物體的重量則是重力作用的結果,因此,等效原理說明了這兩個物理現象間有一定的關聯性。這個想法給愛因斯坦很深的啟發,引導他建立了一個革命性重力理論的方向。根據愛因斯坦的說法,等效原理的靈感出現在1907 年,是他一輩子中感到最快樂的想法。

根據狹義相對論,物理學家已經理解到在牛頓力學體系中的一維時間和三維空間不再是各自獨立的,勞侖茲(Hendrik Lorentz, 1853~1928)給出了兩個相對等速運動的觀測者間,他們測量到的時間和長度的轉換關係,也就是說,時間和空間必須被看成一體,形成一個稱為「時空」的概念。

一個完整的重力理論包含兩個部分:第一,需要知道物質如何產生重力場,在牛頓的理論就是萬有引力方程式;第二,重力場是如何作用在物體上,因而改變物體的運動狀態,在牛頓的理論中就是第二運動定律。在廣義相對論彎曲時空的架構下,重力如何作用在物體的部分相對上較容易理解,即物體在彎曲時空中走最短路徑,而最短路徑在數學上可由測地線方程式算出。因此,廣義相對論的建構中最核心的問題,就是推導出物質如何彎曲時空的重力場方程式。

1927
1927 年10 月所召開的第五次索爾維會議,主題為「電子與光子」,並齊聚了當時最頂尖的物理學家,包括正中間的愛因斯坦、居里夫人(第一排左三)、勞侖茲(第一排左四)、包立(Wolfgang Pauli,第三排右四)與海森堡(Werner Heisenberg,第三排右三)等人。 Source: I Harsten

困擾愛因斯坦的難題

儘管愛因斯坦對於建立新的重力理論的物理直覺是清晰而深刻,但是要將他的想法具體的實踐出來,需要一個全新的數學架構。討論彎曲時空結構的數學工具「微分幾何」,便成了廣義相對論所需要的數學平台。但是很不幸的,愛因斯坦一開始並不十分熟悉微分幾何,以致於遲遲無法建構出具有一致性的理論。他再次向格羅斯曼尋求幫助,他拜託老同學說:「格羅斯曼,你一定要幫幫我,否則我會瘋了。」

愛因斯坦開始和格羅斯曼合作,埋首於廣義相對論的建構,經過了一段時間的努力之後,愛因斯坦和格羅斯曼終於在1913年發表了著名的「綱要(Entwurf)」論文,這篇論文分為物理與數學兩部分,分別由愛因斯坦和格羅斯曼撰寫。然而,他們兩人在這篇論文中都犯下了錯誤,而這些錯誤全是起源於對彎曲時空的數學沒有能夠全盤掌握。這個新的數學領域,雖然大數學家黎曼(Bernhard Riemann, 1826~1866)早在1854 年就曾發表他在彎曲空間幾何的研究成果,但對愛因斯坦和格羅斯曼這樣的新手來說,他們只能透過可獲得的文獻,對彎曲空間的數學工具有粗略的理解,但是,他們尚未完全了解彎曲時空的數學公式之真正意涵和在他們新的重力理論當中所扮演的角色。

廣義相對論的誕生

廣義相對論的誕生,也就是推導出正確的重力場方程式的日子,發生在1915年的11 月,那一個月份,愛因斯坦在4 日、11 日、18 日和25 日分別發表了有關廣義相對論的論文,從考慮比較簡單的特殊系統再推廣到一般情形,逐步改進結果,而正確的重力場方程式則是出現在25 日的論文之中。

大數學家希爾伯特(David Hilbert,1862~1943)有關重力場方程式的論文也是在這個時間點完成,所以一直都有到底是誰先得到重力場方程式的爭論。愛因斯坦首次提出正確的重力場方程是在1915 年11 月25 日,但就在5 天之前,希爾伯特在德國哥廷根大學的一個報告中介紹了他對廣義相對論的研究成果。希爾伯特的研究主要目的是考慮重力與電磁力的整合模型,他從作用量出發,利用變分原理,進而分析理論的數學性質。

helbert
大數學家希爾伯特。 Source: Open Logic

誰先發現重力場方程式?

愛因斯坦和希爾伯特論文發表的時間十分接近,導致了誰先孰後的爭議:發現重力場方程式應歸功於愛因斯坦還是希爾伯特?有些物理學家和科學史家認為希爾伯特首先發現重力場方程式,而愛因斯坦則是在幾天之後獨立地發現了它。

希爾伯特參與廣義相對論的研究起始於1915 年6 月,那年夏天,愛因斯坦訪問了哥廷根大學,並發表了一系列演講介紹他的重力理論。他和希爾伯特對理論中的問題進行深入的討論。在接下來的幾個月,希爾伯特深入研究關於愛因斯坦的理論,他很快就找到了一個優雅的數學處理方法。他寫信告訴愛因斯坦他的研究成果,而愛因斯坦則要了希爾伯特的筆記與計算的副本。

goben
哥廷根大學一景(1961 年攝)。 Source: Roger W

從愛因斯坦的回信來看,他顯然在11 月18 日前收到了這些筆記副本。但是,沒有證據可以判斷希爾伯特給愛因斯坦的筆記中是否已有愛因斯坦方程式,如果有,那麼愛因斯坦就是在自己提出這個方程式前就已經知道結果。另一種說法是,明確的重力場方程式事實上並沒有出現在希爾伯特給愛因斯坦的筆記副本裡,甚至也沒有在他11 月20日的報告中,希爾伯特是在稍後的論文校對過程時,才將愛因斯坦方程式加入到他的論文當中。

這個兩種看法在1997 年哥廷根大學的圖書館公布了有關希爾伯特在12 月6 日所做的論文校對相關文件後,更添加神祕色彩。希爾伯特的校對版論文內容和最後正式發表的版本是有些不同,最特別的是,在校對版文件中可能是包含愛因斯坦方程式的半頁手稿被人撕走了。這種狀況使得真相更加撲朔迷離,陰謀論的說法層出不窮:難道是愛因斯坦的支持者摧毀證明方程式存在的證據?抑或是希爾伯特的支持者想要掩蓋方程式不存在的事實?

無論真相為何,愛因斯坦和希爾伯特對廣義相對論的建立,都扮演著極其關鍵的角色,愛因斯坦的物理圖像清晰,動機明確,雖然所需的數學基礎和一些疑惑困擾了他許多年,但終究達到目的。希爾伯特經由愛因斯坦的介紹開始重力的研究,他的數學知識雄厚,利用作用量和變分的方法,為重力場方程式的推導開闢出一個在數學上非常簡潔的方法。他們倆人之間在1915 年的相互交流與討論,肯定對彼此的研究產生正面的影響。誰先推導出重力場方程的爭議,一開始在兩人的內心,也確實曾經激起短暫時期的不愉快情緒。然而,在他們往後的頻繁交流過程中,幾乎看不出這爭議對他們的友好關係產生任何嫌隙,或許他們終究認為,這件事並不是個值得浪費時間和友誼的議題。

光路徑偏折

歷史上,牛頓最先提出光線受重力的影響,它所行進的路徑會產生偏折的可能性,在此之後,許多物理學家也都曾經做過光線路徑偏折的具體計算。回到1911 年,愛因斯坦在尚未建構出完整的廣義相對論之前,就曾經基於等效原理和他早先的理論版本,預言光線在經過太陽時會受到它的重力作用影響,而產生0.87 秒角的偏折。

對於光線經過太陽會產生偏折的觀測,在廣義相對論誕生前就已經在嘗試進行。觀測的對象是恆星所發出的光線,因為太陽光太強烈,所以可行的觀測只能在日蝕發生時進行。在1914 年7 月底,德國天文學家弗洛因德里希(Erwin Finlay-Freundlich, 1885~1964)與兩位同伴總共攜帶三組相機前去克里米亞,為將發生在8 月21 日的日蝕觀測做準備。很不幸地,德國在8 月1 日的正式宣戰開啟了第一次世界大戰,俄羅斯也出兵參與戰爭。因此,俄羅斯政府拘留了弗洛因德里希,並且沒收了他的設備,也使得這次的觀測計畫被迫中止。愛因斯坦曾經抱怨說:「決定我的科研奮鬥中最重要的結果,將不會在我的有生之年看到。」事實上,當時另一組美國的觀測隊伍並沒有受到發生戰爭的影響,可惜日蝕當天的天氣並不好,是一個不適合拍攝的陰天,因此美國隊伍的觀測過程也並不順利。

幸運的愛因斯坦

這次觀測的延遲對於愛因斯坦來說應該是一個幸運事件,因為直到1914 年,他對光線路徑偏折的計算並沒有考慮到空間彎曲所造成的效應,預測值為0.87 秒角,而這個預測值是不正確的。一年之後,愛因斯坦理解到空間彎曲的部分和時間彎曲的效應是一樣大,他修正預測值增加到1.74 秒角,是原始結果的兩倍大,而這才是正確的數值。如果在1914 年8 月弗洛因德里希成功地完成了對光線彎曲的測量,那麼他的觀測結果就會不符合愛因斯坦所做的預言,那麼愛因斯坦將會發現自己處在一個相當尷尬的位置上。

對於支持廣義相對論最關鍵的觀測結果,是英國天文物理學家愛丁頓(Arthur Stanley Eddington, 1882~1944)所領導的團隊在1919 年完成的。愛丁頓是廣義相對論在英國首要的支持者,他曾用英語寫了許多文章來介紹並推展廣義相對論。和愛因斯坦一樣,愛丁頓在當時是少數和平主義的熱衷支持者。第一次世界大戰期間,英國實行了徵兵政策,而愛丁頓寧可被判刑也不願意入伍服役參與戰爭,經過了一番的努力,他以日蝕觀測在科學研究的重要性,成功地說服仲裁庭給予他一年的免除兵役豁免權,讓他可以領導1919 年的日蝕觀測團隊。幸運地,這場戰爭在愛丁頓豁免時效過期前的1918 年底就結束了。

eitindon
英國天文物理學家愛丁頓。 Source: Smithsonian Institution

在戰爭結束後的1919 年, 共有兩個團隊對當年5 月29 日發生的日蝕進行觀測,格林威治天文臺的克羅梅林(Andrew Crommelin, 1865~1939)所帶領的觀測團隊到巴西,而愛丁頓則領隊到非洲。這次的觀測進行得很順利,而觀測資料分析的結果符合了愛因斯坦廣義相對論的預測。

觀測的結果於1919 年11 月6 日在英國皇家哲學學會和皇家天文學會的倫敦聯合會議上向全世界公佈,天文學家戴森(Frank Watson Dyson, 1868~1939)總結說:「經過仔細研究拍攝的底片,我正式宣布,結果證實了愛因斯坦的預言。一個非常明確的結果顯示了光線的偏折,符合愛因斯坦重力理論的推論。」就在第一次世界大戰結束一周年的前夕,德國科學家愛因斯坦延續了英國科學家牛頓的光環,正式地將萬有引力理論推廣至廣義相對論。這消息也迅速地傳播到世界的每個角落,各地的報紙,都大肆報導這個科學史上劃時代的里程碑,而愛因斯坦也因此迅速地提升至世界名人的地位。

suneat
愛丁頓於1919 年所拍攝之日蝕照片。(Public Domain)

廣義相對論已經誕生一世紀,從它延伸出的許多有趣課題,例如黑洞、宇宙學、重力波、重力透鏡等,幫助我們更深入地理解自然界的奧祕。然而,直到現在,還有許多尚未解決的問題,期待有更多的愛因斯坦來尋找答案。無論如何,就像音樂和美術一樣,能一窺自然界運行的「美」,無疑是一個激動人心的感受。

1234〈本文選自《科學月刊》2015年8月號〉

延伸閱讀:
來自深空的交響詩—重力波
時間起源與量子重力

什麼?!你還不知道《科學月刊》,我們46歲囉!
入不惑之年還是可以
當個科青

文章難易度
科學月刊_96
229 篇文章 ・ 2080 位粉絲
非營利性質的《科學月刊》創刊於1970年,自創刊以來始終致力於科學普及工作;我們相信,提供一份正確而完整的科學知識,就是回饋給讀者最好的品質保證。

2

1
0

文字

分享

2
1
0
烘焙東西軍,有添加麵包 vs. 無添加麵包,今天想吃哪一道?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/09/20 ・2178字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

本文由 家樂福食物轉型計畫 委託,泛科學企劃執行。

  • 文 / 陳彥諺

《烘焙東西軍》熱映開播啦!這一集真的很「熱」,因為節目邀請到了兩位烘焙達人來到現場熱烘烘的烤!麵!包!

第一位華麗登場的,是有著亮麗小鬍子、動作咻咻咻超有效率的「有添加師傅」,另外一位古意老實、動作慢條斯理的,則是近年來越來越被看重的「無添加師傅」——這是一場「有添加」與「無添加」的世紀大對決!

《烘焙東西軍》這次邀請了「有添加師傅」和「無添加師傅」來烤麵包。圖/家樂福提供

「有添加」與「無添加」的世紀大對決

外表亮麗的有添加師傅,其實早已憑著「三好」稱霸市場多年。所謂的三好,是好快、好吃、好美!為何會這麼說呢?

食品添加物存在於食品中許久,早期因為食物加工技術不夠精良,為了食品安全無虞,便添加可以讓食物安定的添加物,延長保存期限。又因為食品添加物可以改變食品的外觀、口感、縮短製作時程等,因此,長期以來受到業者及消費者的偏愛。

有添加師傅憑著「好快、好吃、好美」稱霸市場多年。圖/家樂福提供

不過,近來由於食安事件頻繁,食品添加物早已偏離了原先讓食物安全的初衷,在追求好吃、好快、好美的背後,卻可能造成身體上的負擔與健康風險!製造過程是否安全合理?乾淨衛生?也是打了許多問號。

再加上現在因健康養生的意識抬頭,消費者們越來越注重吃下肚子的食物成份,開始努力追求簡單無添加。也因為隨著食品加工技術越來越棒,能夠透過改善製程,有效減少添加物的必要性。終於,在消費者意識抬頭、技術成熟等各方條件皆備下,古意老實、耗費工時的無添加師傅,多年以後,開始受到矚目啦!

在這場世紀對決中,有添加師傅在民眾都還來不及反應時,就已經做好了熱騰騰的麵包,每一個麵包都飽滿好看、香氣濃郁,簡直是施了魔法一樣!但見到這麼多食品化工添加物做出來的麵包,難道就不能有更健康的材料選擇或做法嗎?

反觀無添加師傅,他按部就班的從麵粉開始精心挑選,接著再逐一加入可以溯源的材料,接下來,順應麵包的特性自然發酵。即使有添加師傅已經端出熱騰騰的麵包了,無添加師傅仍然不為所動,他循序漸進,寧可耗時製作,堅持做自己的無添加麵包。

無添加師傅之所以堅持,那是因為他秉持著麵包不用任何添加物,不講求快速便利,用純淨的原料配方、遵循傳統法國工法,做出來的麵包也可以照樣香氣四溢、美味好吃,更重要的是每一口都吃的健康又安心!

無添加師傅堅持不用任何添加物,不講求快速便利,用純淨的原料配方、遵循傳統工法。圖/家樂福提供

當兩位師傅的麵包端上評審桌⋯⋯

有添加師傅的麵包外表金黃澎潤漂亮,無添加師傅的則是外表非常質樸。

不過,當評審們吃下麵包後,外表質樸的無添加師傅,竟然擄獲了評審們的心!

怎麼辦到的呢?這是因為花了較多時間製作的無添加麵包,保濕度較佳,口感也較有層次。當評審一口接著一口品嚐,會發現吃的都是食物的鮮甜原味—無添加麵包是名為「裸麵包」的寶藏男孩啊!他不同於外表上看起來質樸敦厚,只要用心切開,裏頭包裹著滿滿新鮮在地的果乾和堅果,是誠心誠意的美味。

烘焙界的寶藏男孩「裸麵包」,是怎麼來的?

堪稱烘焙界的寶藏男孩「裸麵包」,是來自於家樂福自製的烘焙產品。長期關注食物真實性與為顧客把關健康的家樂福,2014 年就開始著手了「無添加驗證計畫」,也在 2019 年取得了「A.A. 無添加驗證標章」,更透過第三方專業機構親赴產線檢驗、不定期抽查等層層審核程序,取得了嚴謹認可。

要打造寶藏男孩般的「裸麵包」,並不是容易的事。許多標榜安心安全的麵包,都只能做到製程及配料上的無添加;而追求極致的家樂福,自製白吐司則從特製 100% 的無添加麵粉開始,掌握源頭,做最純淨、最真實且赤裸的麵包。

這是一款依循歐盟規範,取得 A.A. 無添加標章,第三方驗證後可信賴的麵包。

這是關注在地的暖心麵包,嚴選在地好食材、講求動物福利,選用當季水果、非籠飼雞蛋、透明鮮奶、以安佳奶油取代人造奶油⋯⋯。

這是減塑又減廢,以醜蔬果製作配料,減少食材浪費,更導入環保包材,友善環境的麵包。

烘焙東西軍「有添加師傅」與「無添加師傅」的對決,我們看到了,天公疼憨人,穩扎穩打、工法較繁複的無添加製程,受到消費者的青睞——這一場對決,由純粹、誠實、充滿善意的裸麵包,「無添加師傅」獲勝。

【家樂福食物轉型計畫】烘焙東西軍「有添加麵包」v.s.「無添加麵包」的世紀對決,今天你選哪一邊?影/YouTube
文章難易度
所有討論 2
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
146 篇文章 ・ 268 位粉絲
充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

0

0
0

文字

分享

0
0
0
宇宙到底從哪來?從量子力學和相對論來看「宇宙起源」,解釋完全不一樣!——《宇宙大哉問》
天下文化_96
・2022/09/25 ・2200字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

  • 作者/豪爾赫.陳、丹尼爾.懷森
  • 譯者/徐士傑、葉尚倫

宇宙從何而來?

每當仰望滿天星斗絢爛壯麗的夜空,或驚嘆微觀世界錯綜複雜的美景時,你不禁會問:「這一切從何而來?宇宙為什麼存在?是什麼東西或是誰負責這一切?」

長期以來,人們一直不斷臆測,讓人驚嘆不已的宇宙真實起源。當然,這比起我們擁有物理學或漫畫的時間要長得多。瞭解宇宙起源很重要,因為有可能會解釋我們存在的來龍去脈。我們想知道我們是怎麼來的,因為這問題的答案可能揭露:我們為什麼在這裡,以及我們應該如何度過時間。如果你知道宇宙從何而來,你的生活方式可能會改變。

因此,在所有問題中最大的問題是,物理學究竟可以告訴我們什麼?

在一開始的時候

在我們問宇宙從何而來或它是如何形成之前,我們需要先退一步想想。我們首先要問的應該是「宇宙是誕生出來的,還是本來就一直存在?」

你可能會驚訝的發現,物理學對這個問題有很多論述。可惜的是,很多論述內容並不是很一致。事實上,量子力學和相對論這兩個偉大的理論,在宇宙主題上指出了兩個截然不同的方向。

量子宇宙

量子力學表明宇宙遵循著我們不熟悉的規則。根據量子力學,粒子和能量以奇怪和不確定的方式表現。這可能令人非常困惑,但幸運的是,這跟我們手上的問題並不相關。因為量子力學對宇宙的過去和未來實際上是一清二楚的。

量子力學用量子態來描述事物。量子態告訴你,與量子對象交互作用時,事情可能發生的概率。例如,它可能會告訴你粒子位置的機率。你可能不知道粒子現在在哪裡,但你可以知道它可能在哪裡。

量子態很有趣,因為如果你知道今天量子物體的狀態,你可以用它來預測明天、兩週後,或者十億年後的狀態。量子力學中最著名的方程式是薛丁格方程式,跟貓和盒子無關。薛丁格方程式告訴你:如何利用你對宇宙的瞭解並將宇宙向未來投射。它也可以反推,可以利用你對現在的瞭解,告訴你宇宙在過去是什麼樣子。

根據量子力學,這種預測能力沒有時間限制。它的基本原則是:量子資訊不會消失,只是轉變為新的量子態。也就是說,如果你知道宇宙今天的量子態,就可以計算出它在任何時間點的量子態。量子力學告訴我們,宇宙在時間上永遠向後和向前推展。

這代表一個非常簡單的事實:宇宙一直存在,並將永遠存在。如果我們對量子力學的理解是正確的,那麼宇宙就沒有起始點。

相對論宇宙

然而,愛因斯坦相對論卻告訴我們一個截然不同的故事。量子力學有個問題,它通常假設空間是靜態的,就像一個固定的背景,你可以在那裡懸掛粒子和場。但是相對論告訴我們,這觀念大錯特錯。

根據相對論,空間是動態的,它可以彎曲、伸展和壓縮。我們可以看到空間在黑洞或太陽之類的重物體附近彎曲。愛因斯坦的理論還描述了整個空間如何膨脹。空間不僅僅是平坦的空虛;它被重物局部扭曲,並且愈來愈大。

這個瘋狂的想法最初來自於相對論中的數學,但現在我們有實驗能加以證明。透過望遠鏡,我們可以看到星系每年愈來愈快的遠離我們。宇宙中的一切似乎都變得愈來愈分散和愈來愈冷,就像氣體在膨脹時冷卻一樣。

對宇宙的起源來說,這代表什麼含義呢?呃……如果把時鐘倒轉,我們的觀察預測出宇宙曾經更熾熱、更密集。如果回溯足夠遠的時間,宇宙就會到達一個特殊的點:奇異點。

此時,宇宙的密度實在是太大了,甚至讓相對論的計算結果顯得有點荒謬。相對論預測宇宙變得非常緊密,空間又異常彎曲,最終達到了一個無限密度點。

按照相對論的觀點,宇宙在某種程度上確實有個開端,或者說至少有個「特殊時刻」。我們所看到的一切,包括所有空間,都來自奇異點。可惜的是,相對論不能告訴我們那一刻發生了什麼,但我們知道它與之後的任何時空點都不一樣。它就像一堵無法跨越的牆,無法用相對論解釋。

孰是孰非?

現代物理學的兩大支柱以大相逕庭的觀點來解釋可能的宇宙起源。一方面,量子力學告訴我們宇宙是永恆的,一直存在。另一方面,相對論告訴我們宇宙來自一個發生在一百四十億年前的無限密度點。

我們知道量子力學不可能完全正確,因為它沒有辦法描述關於宇宙的某些事。例如,量子力學沒有辦法描述重力或空間彎曲。但同時,我們也知道相對論並不完全正確,因為它在奇異點處崩潰,並且忽略了宇宙的量子性質。

——本文摘自《宇宙大哉問:20個困惑人類的問題與解答》,2022 年 8 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
107 篇文章 ・ 588 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

4

2
3

文字

分享

4
2
3
不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」
賴昭正_96
・2022/08/26 ・6632字 ・閱讀時間約 13 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

  • 文/賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

你聽過「雙胞胎悖論」嗎?

我有時會問自己,我是如何發展相對論的。我認為其原因是:一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的;但我的智力發育遲緩,因此長大後才開始思考空間和時間。

——愛因斯坦(Albert Einstein)),1921年諾貝爾物理獎得主

1905 年,愛因斯坦在題為「關於運動物體之電動力學」的論文裡,從兩個簡單的假設,得到結論謂如果張三與李四相對運動,則張三會認為李四的手錶跑得比較慢。在證明這一稱為「時間膨脹」(time dilation)的現象後,寫道:

由此產生以下奇怪結果。如果(開始時)A 點和 B 點在(靜止坐標)K 中觀察是同步的(即同一時刻),但 A 處的時鐘以速度 v 沿 AB 線到 B,則在到達 B 時,兩個時鐘將不再是同步:移動到 B 後的 A 時鐘將落後於保持不動的 B 時鐘…。我們得出這樣的結論:如果兩個 A 處同步的時鐘,其中一個以恆定速度沿閉合曲線移動 t 秒後返回 A 處,則保持靜止的時鐘將發現剛返回的時鐘慢了 tv2/(2c2)秒(c 為光速)。

昨天才校正過的手錶,怎麼現在又慢了?難道我是在黑洞附近?或是該換新手表的時候了? 圖/作者提供

或許是怕像筆者這樣智力發育遲緩的讀者難懂,愛因斯坦於 1911 年重申並詳細說明這一現象如下:

如果我們把一個活的有機體放在一個盒子裡……我們可以安排這個有機體在經過任意長時間的飛行後,在幾乎沒有改變的情況下返回到它原來的位置。此時保持在原來位置的相應有機體已經早已讓位於新一代,但對於移動的有機體來說,只要運動以接近光速進行,漫長的旅程只是一瞬間而已。

名物理教科書作者雷斯尼克(Robert Resnick)更清楚地解讀謂:

如果靜止的有機體是一個人,而旅行的是他的雙胞胎,那麼旅行者回到家時會發現他的雙胞胎兄弟比自己老得多。但在相對論中,任何一個雙胞胎都可以將另一個視為旅行者,因此再碰面時將比他自己年輕。這在邏輯上看來是一個矛盾的現象,因此被稱為「雙胞胎悖論」(twin paradox)。

雙胞胎悖論」可以說是相對論中最著名的想像實驗,為許多教科書與通俗科學文章所討論的對象;但筆者卻發現在「泛科學」裡只有一篇書評的文章中提到它!

難道真如諾貝爾獎得主普朗克(Max Planck)所說的:「一個新的科學真理之所以勝利,不是因為說服了它的對手,讓他們看到了光明,而是因為它的對手最終會死去,而熟悉它的新一代會成長起來」?在習以為常的熏陶下,現在的「新一代」已經不再認為「雙胞胎悖論」是值得討論的悖論?

如果你不是這樣的「新一代」,那本文是為你所寫的,相信你在這裡將讀到在其它地方找不到之「雙胞胎悖論」的白話文解讀(不用任何數學)。

同步與同時的「相對性」

普朗克謂:「光速之於相對論就像基本的作用量子之於量子論:光速是相對論的絕對核心。」

可是如何測量光速呢?從甲處發一道光到乙處,將甲乙之距離除以光旅行的時間就得到光速。當然,要能精確地測得光速,甲乙兩處的時鐘必須是互相校正過的、同步(synchronized)的。如何校正甲乙的時鐘呢?相信很多人小時候就已經知道了:將兩個時鐘帶到同一處,然後像電影中之突擊隊,在出發前由隊長發命令說:「讓我們校正時間,現在是……」 。

可是愛因斯坦不知道為什麼竟然沒有想到這一點?或許真的是「智力發育遲緩」,他竟然建議在乙處放一面鏡子來反射甲處在零時刻所發的光,如果乙處接到光的時刻正是甲處光來回所需之時間的一半,我們便說甲乙兩處的時鐘同步化了。用這種方法來同步化時鐘,很顯然在邏輯上我們便不可能測單方向的光速是否為定值了,所以愛因斯坦增加了一個假設,即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c

如果我們將同步化的甲乙兩個時鐘分別放在火車月台的兩端,讓它們在同一時刻(零點)往月台中心發射一道激光,則站在月台中心的賴教授應該「同時」收到來自甲乙兩端的激光(圖 a)。

但坐在從乙往甲方向以等速 v 行駛之車廂內的李教授,卻發現甲、乙激光發射後一直在以同一速度 c 逼近賴教授(圖 c);但因賴教授在往乙方向運動,因此如果光同時到達賴教授處(任何人都同意的「事件」,否則賴教授不是說謊就是頭腦有問題),李教授將下結論謂:甲乙兩個時鐘並不同步,甲時鐘顯然先發射,因此比乙時鐘快(甲的零點比乙的零點早)!

所以「同時」將因觀察者之運動而異:賴教授說甲乙兩激光是同時發射的,李教授卻說甲激光先發射的!如果李教授坐的火車是由甲往乙方向行駛呢?他將發現乙激光是先發射的!

這似乎是很明顯的結論,為什麼要等愛因斯坦告訴我們、難道牛頓沒想到嗎?牛頓不是沒想到,而是他認為宇宙中有一獨立於任何觀察者的時鐘,稱為「絕對時間」,所以「同時」是絕對,不會因觀察者之相對運動而異。

但事實上這結論與絕對時間無關,而是因愛因斯坦之假設—光的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值—造成的!如果不是這一假設,則光的傳播速率將與發射體運動狀態有關(古典力學),李教授會認為乙激光是以 c-v 逼近、而甲激光則是以 c+v 追趕以 v 速運動的賴教授(圖 b),因此兩道激光當然還是同時到達賴教授處!所以李教授和賴教授都同意時鐘是同步的。

所以很明顯地應是愛因斯坦的「同時相對性」改變了人類根深蒂固的「絕對同時性」觀念。如果我們將「發射激光」改成孿生子(雙胞胎)的「生日慶典」,則賴教授將說他們是同時出生的;但是李教授則會因其運動狀態而說甲孿生子先出生(比較老)或乙孿生子先出生。這不正是「雙胞胎悖論」的一個影本嗎?我們在這裡事實上還看到一個很重要的現象:參考坐標(運動方向)的改變,可能顛倒兩個不同事件的「先後次序」!

雙胞胎悖論

假設雙胞胎張四決定乘坐等速高速太空船去旅行。因他決定一去不回,故在旅行前與張三痛哭擁抱,答應在死前一刻依自己的時鐘將年齡紀錄下來,「寄」回地球。

依照經驗,如果兩人的生理機能完全不受外界的影響,則兩人的壽命應該一樣長;但是依照相對論,張三認為張四是在運動,其(生理)時鐘跑得較慢【稱為「時間膨脹」現象】,因此活得較長;同樣地,張四認為張三是在運動,其(生理)時鐘跑得較慢,因此活得較長!誰對呢?智力發育遲緩的筆者認為這是矛盾的,一定有一個人錯,但愛因斯坦說兩人都沒錯,要筆者耐心地等一等……。

坐上高速太空船旅行的張四,與留在地球的張三,誰活的時間比較「長」呢? 圖/envatoelements

歲月如梭,張四的信終於抵達地球了;打開一看,怎麼?他的壽命竟然與張三一樣!筆者一個頭兩個大,顯然是不應該學物理—尤其是相對論!請讀者幫幫忙吧!

假設張四離開10年(他的時間)時突然想家,於是緊急剎車,將太空船轉個方向,緊急加速到原來的速度(為了方便,我們可以假設整個過程是「瞬間」),10 年後終於又回到地球,跟雙胞胎張三重新會合,正要擁抱時卻發現張三已經比他老多了!這正是上面愛因斯坦及雷斯尼克所說的結果。

這看似矛盾的結果事實上是很容易理解的:張四在太空中的「緊急剎車、將太空船轉個方向、緊急加速到原來的速度」破壞了兩人運動的對稱性。我們雖然沒有辦法感受到自己是在靜止狀態或者是在等速運動,但我們卻可以知道自己是在加速。所以張四在太空中的急轉彎,不但破壞了兩人運動的對稱性,也應該是造成他們年齡差異的原因。我們可以從兩方面來看為什麼改變速度(加速)造成年齡差異。

從相對論來看,在去程及回程的等速運動時,張四應該一直認為張三比他年輕。但在前面的火車站實驗中,我們發現李教授的火車行駛方向改變會造成「先後次序」的顛倒,因此張四在太空急(「瞬間」)轉彎的過程中會發現張三(「瞬間」)老了許多(不怕數學讀者,可參見附錄二):多得超過了剛提到之等速運動時的年輕數,因此張四在相會時將發現張三比他老!從張三的角度來看,他從未加速,因此認為在運動的張四一直比他年輕!不止如此,他依相對論所算出來的年齡差距,也正是張四依他自己之坐標(包括等速與改速)所算出來的!

相信某些讀者要問:「老」是生理現象,張四的坐標轉換怎麼會使張三變老呢?火車站實驗中的「先後次序」顛倒,只是李教授的觀點而已,並沒有實質的物理意義,賴教授不是不同意嗎?1905年的相對論沒有回答這個問題,這答案 10 年後才在廣義相對論中出現(詳見愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士):加速可以視為是一種重力現象,時間在重力場中跑得比較慢【稱為「重力時間膨脹」(gravitational time dilation)】。

所以張四在太空中急速的減速及加速將造成強大的重力場,使得其(生理)時鐘變得非常慢,因此在這期間老得也非常慢(在黑洞附近的人—如果不被吸進去的話—幾乎可以長生不老)!

太空中急速的減速與加速,將造成強大的重力場,使時間變得非常慢。 圖/GIPHY

長度收縮

特殊相對論還預測一個稱為「長度收縮」(length contraction)的怪現象,謂:一位快跑健將拿著一根棍子沿著棍子方向以速度v飛跑,旁觀人會認為棍子長度變短。這一個怪現象事實上在月台的實驗上已經看到了:要決定兩點之間的距離,我們必須「同時」測兩點的坐標;李教授認為甲的零點比乙的零點早,因此必須「稍等」甲一下才能「同時」記錄甲、乙兩點的坐標,但這一「稍等」,因為甲在往乙方向運動,不是使得測得的距離變短嗎

如果讀者不怕數學,讓我們在這裡用點數學來看「長度收縮」這一怪現象,希望能幫助讀者更進一步了解。

圖二是旁觀者的坐標,顯示在 t=a 時,棍子的前端進入原點 x=0,然後沿軌跡 x=v(t-a) 繼續前進;棍子的後端則在 t=b 時進入原點,然後沿軌跡 x=v(t-b) 繼續前進。

圖二中的 bc 是棍子後端剛進入原點時,旁觀者的「同時」線,即線上每一點的時間都是 t=b(同步化)。測量棍子的長度必須「同時」觀察其前端及後端的位置,因此他測量得到的棍子長度為 be(他不知道那個時刻棍子前端事實上已經到達 d 點了)!bd 是快跑健將的同時線,其 x 坐標 (xd-xb) 則是 他測量的棍子長度,比 be 長;所以旁觀者說「棍子變短了」。

如果快跑健將的速度不快,則前、後端軌跡將趨近於成垂直,不同運動狀態的「同時」便趨近於相同,我們便又回到我們所熟知的牛頓世界了!

旁觀者測得的棍子長度因快跑健將的速度不同而異(原始長度則是快跑健將所測量道的長度,與其速度無關)。 圖/envatoelements

結論

愛因斯坦1905年的相對論中之「光傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值」假設徹底地毀滅了物理學中「同時」的觀念,因之產生了一些與日常經驗不符的奇怪現象,如「長度收縮」及著名的「雙胞胎悖論」。

希望本文的解釋不但能讓讀者見怪不怪,甚至發現其實不怪;了解相對論裡所有「矛盾」現象都是因為不同觀察者在「自說自話」造成的:例如在棍子的例子裡,靜止觀察者談論的是他(靜止觀察者)在某個時刻測量得到的長度,而移動觀察者談論的則是他自己(移動觀察者)在另一個瞬間測量的長度。

時間及空間是人類製造出來便利溝通的語言,如果李教授不認為甲地先發射,他沒辦法解釋為什麼賴教授同時看到甲乙兩地發射出來的光(實際經驗到的物理現象);所以「自說自話」原來是為了保持物理定律的不變性(物理定律是用來解釋我們實際經驗到的物理現象)。這些「自說自話」事實上也不是隨便說的,而是靠「洛倫茲轉換」(Lorentz transformation)連接在一起的。

附錄一:「後見之明」輕鬆地推導「洛倫茲(坐標)轉換」公式

K’ 坐標以 + v 速度相對於 K 坐標運動。如果坐標在 t=0 時重合,加上時、空的均勻性(變數沒有二次方):

…………………………………………………………(1)

β 為待解的常數。如果在 t=0 時發射一道光,則光的軌跡為 x=ct;代入上式,得

…………………………………………………………(2)

因為 K’ 坐標及 K 坐標的對稱性:

…………………………………………………………(3)

將 (3) 代入 (2) 解得

…………………………………………………………(4)

從 x = β ( x’ + vt’ ) 解 x’ ,然後代入(1),化簡可得到

…………………………………………………………(5)

公式(1) 、(5), 及(4)就是「洛倫茲(坐標)轉換」公式。長度收縮中之快跑健將棍子的同時線方程式為公式(5) :

附錄二:雙胞胎悖論的數學

假設雙胞胎甲留在地球,雙胞胎乙決定以 v 速度往太空地球 S 旅遊,則甲(x , t)、乙( x’ , t’)兩人的坐標轉換為(為了方便,將光速定為 1,所以 v 應該小於 1 ):

圖三為甲的坐標圖:太空地球 S 的位置為( xs , ts)。依照上面公式轉換,對乙來說,其坐標為( x’s , t’s )。去程時,乙在 S 時的同時線(該線上每一點的時鐘都「同步」) t1s 為:

在到達 S 時,乙瞬間改變方向,其同時線瞬間變為 t2s :

這兩個方程式的時間零點分別為 t0t3 ,因此不能直接用它們來算去程及回程的同時點 t1 及 t2 ;但因為對稱的關係,我們可以將 t1s 延長到 x=2xs 處,用  t’s=β ( t-vx ) 解得:

所以乙的回程坐標轉換一下子讓甲老了

t2 – t1 = v2xs

……舉個實際的例子:如果 v=0.6, xs=6,則 β=1.25,所以對甲來說,乙需要 10(=6/0.6) 年才能到達 S ,也需要 10 年才能回來,因此乙回來時,甲應該已經 20 歲了(為了說明方便,假設他們一出生,乙就到太空旅行)。甲的 S 坐標為(6 , 10),透過坐標轉換,乙的 S 坐標為(0 , 8);所以甲認為乙的時鐘比較慢,只要花 8 年(乙時鐘)的時間就可以到達 S,同樣地也只要花 8 年時間回來,所以乙回來時應該只有 16 歲!

透過乙在 S 時的同時線,可以解得當 x=0 時,t1=6.4。所以對乙來說,他已經 8 歲了,但甲才 6.4 歲,顯然比他年輕(老得慢)!同樣地,在回程時,乙也應該認為他老了 8 歲,但甲才老了 6.4 歲,所以乙回到老家時,乙應該已經 16 歲,但甲才 12.8 歲,比他年輕!

但前面不是說過甲應該已經 20 歲了嗎?矛盾?不!我們忘了乙坐標轉換時的「時差」 :7.2 年!將這「時差」加進去,乙也計算出甲的年齡應該是 20 歲(=6.4+7.2+6.4)!

甲、乙兩個人的結論相同,沒有矛盾!愛因斯坦沒有騙我們!

註:

要決定兩點之間的距離,我們必須「同時」測兩點的坐標;同樣地,要決定兩個事件發生的時差(時間),我們必須在「同點」測兩個事件發生的時刻。相對論不但毀滅了物理學中「同時」的觀念,事實上也摧殘了「同點」的觀念:沒有絕對的空間,「同點」因運動者而異。所以我們也應該可以在類似月台的簡單實驗上尋找到「時間膨脹」的現象(請讀者幫幫忙吧)。

延伸閱讀

愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士(科學月刊,2021 年 5 月號)。

所有討論 4
賴昭正_96
32 篇文章 ・ 31 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。