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和風達文西密碼

賴 以威
・2015/01/23 ・2753字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 477 ・五年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

這幾年,越來越多人到日本旅行了。

旅行有所謂的「定番景點」,例如京都金閣寺或清水寺。旅客或者以朝聖的心前往,或者抱持著總得來一下的交報告心態,與金閣寺合影存證。通常,後者比較喜歡私房景點,少了遊覽車與觀光客的喧囂,鏡頭裡沒有十萬個後腦杓,彷彿潛到深水似地,更融入當地的生活。

既然都出國旅行了,當然想體驗些特別的,飛到幾千公里以外的地方,還是去個好像巷口頂好超市一樣,連樓上奶奶上個月都來過的景點,怎麼說也有點讓人洩氣。

至少我是膚淺地這麼認為。

今天就要跟各位介紹一個大隱隱於市的私房景點。不用搭3小時的公車在山路九彎十八拐,只要在參觀廟宇時,稍微抬頭注意一下,就能進入的奇幻世界。

一個由數學、宗教、日本文化構成的特殊景點,藏身在繪馬之中。

※San…gaku?

繪馬通常是拿來許願的,用途有點像擔心拜拜時神明沒聽清楚,在廟裡留下的N次貼。但要是稍微注意看,某些神社的繪馬堂裡,掛了許多大型的繪馬匾額。這些繪馬匾額,不僅是許願,也是貢品。人們畫上珍貴的事物(有點像燒一台賓士的概念),進貢給神明。

wiki_關
和算家關孝和 (Photo credit: wiki)

身為一位數學家,最珍貴的必然是自己的數學知識了。

因此,古代日本數學家準備的繪馬上,往往繪製了數學題目。大大小小的三角形、相切相割的圓形、直線,從課本中被移植到了寺廟的匾額中,增添了幾分神秘的色彩。

這種繪馬有個特別的名稱,稱為算額(さんがく:sangaku)。

發文不附圖,此風不可長。

FujiAstia100BalanceWarm-0638
京都北野天滿宮算額(Photo credit: 賴以威)

 

這張照片是去年底我跟朋友在北野天滿宮找到的算額,相當不起眼地被掛在角落。幾年前來天滿宮時我似乎還曾坐在下方,卻從來沒注意到,頭上有一塊畫了十一道幾何題目的匾額。

※算額就是戰鬥陀螺?

數學是由討論圓與方形之間的關係而建構出來的學問,它是我們該學習的六藝中一種:禮、樂、射、騎、寫、與數。這些是人類獨有,動物不需要的技藝。武田老師自幼學習數學,在這間神社裡,他的弟子藉由奉上此枚算額,祈求神明保佑他們的數學能力能有所精進。

 這是某塊算額的序言。

這段話不僅透露出當時對數學的重視,還顯示了日本數學家的師生關係,就好像其他日本技藝的流派,相當緊密、講究禮儀。日本擅長窮盡一項技藝,昇華為文化,例如茶道、書道、陶藝、圍棋等。江戶時代的日本數學家同樣具備這份的精神,以中國傳入的數學為基礎,建立了「和算」。

和算特別之處在於,和算家們喜歡透過出題、解題,像圍棋棋手一樣的對決。

只是,沒有網路的時代該怎麼交流題目呢?

就要靠「算額」。

和算家雲遊四海,到各地神社參拜時,會特別留意是否有算額可以挑戰。換句話說,這些算額就是和算家們的棋盤,他們的戰場。許多和算家窮盡一生,只為了解開對手的題目,或留下無人能解的經典遺題。

1817年到1828年間,和算家山口坎山遊歷日本各處神社,寫下一本遊記《山口坎山道中日記》,紀載了各式各樣的算額,目前是新瀉阿賀野市的有形文化財。我們可以想像,要是山口先生活在21世紀,應該會開個粉絲頁,每天上傳今天拍到的算額,底下附上詳解——然後只有三個人按讚。聽起來有點可憐。

事實上,可能更可憐。

他的日記裡有這麼一段話:

這道題目,我花了四到五年,總算再今年春天我才解出來。不過,這題目其實沒出得很好。我建議每一位學生,與其花時間解這種題目,不如去讀更多數學教科書吧。

也就是說,他的臉書應該是先拍照,寫下「噢噢,看到好題目可以挑戰了」。然後五年後他的朋友會看到「山口回應了他自己在2010年的一則動態」,點進去還是這麼一則抱怨的回應!

三重縣菅原神社
三重縣菅原神社(photo credit: http://www.wasan.jp/)

 

※算額的文藝復興

由於算額上繪製的圖案、數學描述並非任何人都能了解,被供奉在廟裡的算額常常會被忽略,許多寶貴的算額也因此消失。到1997年為止, 統計的現存算額僅約884面, 最近這幾年又新發現一些算額, 現存算額總數大約達到900餘面

不過,這幾年算額在日本逐漸受到重視,某些中小學甚至將算額引入課堂中,作為綜合性的學習素材。老師利用算額,教導學生包括語文,工藝,美術,社會,歷史,數學等各種知識。比起課本,用算額學習應該會有趣許多,學生也能得到更多新的刺激,畢竟知識是整體性的,平常分門別類、切開來學習,偶爾也需要整體學習。

而說到這股算額的熱潮,免不了得提一位傳奇性的高中數學老師——深川英俊。

他原本在愛知縣的某所高中任教,投入大量的時間與精力,獨立研究算額,有了卓越的成果。起先在日本不受重視,但他不放棄,將研究成果寄給數位歐美知名學者,得到了英國幾何大師Dan Pedoe的賞識,兩人合著《Japanese Temple Geometry》。之後他又發表了幾本相關著作,包括代表作《Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry》 (日文版《聖なる数学:算額-世界が注目する江戸文化としての和算》)。現在受邀在日本名城大学擔任兼任講師,在算額這個領域有著重要的地位。不過,比起淵博的算額知識,深川老師對一件事物的全心投入,從無到有的奮鬥過程,我認為更值得學習。

岩手県一関八幡神社
岩手県関八幡神社(photo credit: http://www.wasan.jp/)

 

※算額尋寶之旅

要去日本旅行的朋友,除了訂房跟便宜機票網站外,我推薦另一個網站和算之館,它詳細記載了各都道府縣哪間神社、寺廟保有算額。

根據我的經驗是,就算知道哪間神社有,還是得花時間去找。因為很多神社對算額疏於管理,往往會和一般的繪馬擺在一起,充分體現了「藏葉於林」這句成語。好幾次,我站在底下拍照拍半天,也頂多有人探頭看看我在拍什麼,看兩下又離開,完全沒發現這個「數學古董」。事實上,我們還得感謝廟方的疏於管理,不然有些寺廟知道算額是重要文化財,就會收藏起來,怎麼找也找不到。

三百多年前,一群京都的和算家奉旨將一件秘密傳給後代。為了躲避幕府耳目,他們將這個秘密轉換成數學題目,寫在算額上,藏到祭拜學問之神的北野天滿宮。他們對自己的後人能破解算額,找出他們留下的秘密。然而繪師繪製時出了一個差錯,導致題目沒人能解得開。就這樣,三百年過去了……

各位今年去賞櫻賞楓時,如果時間允許的話,不妨加入一趟探訪算額的尋寶行程吧。

FujiAstia100BalanceWarm-0652
京都北野天滿宮算額(Photo credit: 賴以威)

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

文章難易度
賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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電腦裡的生命遊戲,等你挑戰讓生命無限延續!
艾粒安鈉
・2016/03/23 ・2997字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 534 ・七年級

相信大家對蝴蝶效應butterfly effect)耳熟能詳,最簡單的譬喻大概是:台灣美濃的一隻蝴蝶輕拍一下翅膀,可能造成影響美國佛羅里達州的颶風。由於氣候系統是動態的,初始條件微不足道的變化,可能造成影響整個系統的巨大連鎖反應。可是這個蝴蝶變颶風的「實例」說得簡單,實際上卻很難想像和驗證啊!不打緊,只要我們打開電腦或平板,玩一玩生命遊戲Game of Life),就能在螢幕上看到蝴蝶效應了!

康威生命遊戲中的泛科學跑馬燈!
康威生命遊戲中的泛科學跑馬燈!

遊戲規則

生命遊戲是由英國數學家約翰.何頓.康威(John Horton Conway)發明,刊登在《科學人》雜誌的數學遊戲專欄。生命遊戲的名稱,來自遊戲模擬的就是真實世界當中的生物。首先假設一個方形的棋盤格,每一格都是一個細胞的空間;遊戲開始時,我們可以扮演「上帝」的角色,任意決定棋盤上哪些細胞是活的。之後細胞就遵循下列規則,與周圍相鄰的8個細胞互動:

  • 假如一個活細胞周圍有 2~3 個活細胞,這個活細胞就能繼續存活到下一世代。
  • 假如一個活細胞周圍 <2 個或 >3 個活細胞,這個活細胞就會因為「資源不足」或「過度擁擠」,在下一世代死亡。
  • 假如一個死細胞周圍恰好有 3 個活細胞,這個死細胞就會在下一世代復活,象徵「細胞繁殖」。

同一個世代的每個細胞同時依照以上三個規則運算後,就產生下一世代的細胞圖,如此周而復始。大家有沒有注意到了:生命遊戲開始之後,不需要玩家插手,就可以一直繼續玩下去了!所以這是一個零玩家遊戲,只要初始條件設定好,我們就可以泡杯咖啡,靜靜觀察這些細胞自我繁殖的過程。

生命遊戲的多變圖案

康威當初在設計生命遊戲時,經過許多實驗精心考慮規則,使細胞不會爆炸性繁殖,又能從相對簡單的初始條件,產生難以預測的結果。生命遊戲更具有「不可決定性」的特點:給定任意起始條件 A 和最終條件 B,判斷 A 的後續世代中是否會造成 B 的演算法是不存在的。因此上述的規則看似簡單,卻能衍生出非常複雜又引人入勝的圖案。一個穩定繁殖中的圖案,往往只要稍微改變幾個細胞,就會產生骨牌效應,把整個系統搞砸,或者產生出令人意想不到的結果!數學家與電腦科學家們往往會用現實生活中的物品,為他們發現的圖案命名。

首先最單調的就是靜物(still lifes),也就是世世代代都不動如山的圖案,最簡單的圖案有下面幾種,其中白色圓點代表活細胞,藍色空白處為死細胞:

game of life-still lifes

我們可以用上面的規則檢查看看,上面每個圖案中,是不是所有的細胞都會維持原本狀態呢?

稍微有趣一點的是振盪器(oscillators),顧名思義,就是在世代發展的過程中,會在幾個不同圖案之間循環。振盪器可以有不同週期,數學家已經發現了很多週期的振盪器,但卻還找不到週期為 19、23、34、38、41 的,這是個非常有趣而具有挑戰性的問題。

game of life-oscillators

太空船(spaceships)就更有意思了,這些圖案會隨著世代發展在棋盤格上移動或「飛行」。太空船中最有名的大概就是滑翔翼(glider,下圖左)了,只要路線上沒有東西阻礙,就會沿著對角線永無止境地滑翔。由於許多程式設計師喜歡玩生命遊戲,結構簡單的滑翔翼被許多駭客們當作標誌。各種太空船的速度不盡相同(下圖右),但就像現實生活中所有物體移動和資訊傳播都沒辦法超越光速,生命遊戲中也有「光速」(一樣用 c 表示):由於一個細胞每世代只能影響到相鄰的細胞,所以生命遊戲中的光速就是每世代一格,所有太空船都沒辦法超過這個速度。

Game_of_life_animated_glider     Animated_spaceships

康威曾經懷疑,生命遊戲中是否有圖案能夠永無止盡繁殖下去(穩定產生越來越多的活細胞),還懸賞了50英鎊給第一個發現可無限繁殖圖案的人。這樣的圖案很快就被美國數學家比爾.高斯帕(Bill Gosper)發現了,他設計了一種可以不斷產生滑翔翼的裝置,稱為滑翔翼機關槍(glider gun),之後數學家又發現更多可以不斷發射出太空船的構造,仿照高斯帕原本取的名字統稱為「槍」(guns)。另外一般的太空船,船過水無痕,但有些特殊的太空船會邊走邊「慶煙」,在軌跡上留下「廢氣」,被數學家暱稱為「蒸汽火車」(puffer train)。

Gosper's glider gun (來源)
Gosper’s glider gun。圖/wikipedia

除了以上的「生物」之外,還有可把其他生物吃掉的大胃王(eaters)、可以反射太空船的反射板(reflectors)、甚至可以邊走邊產生無數「二級結構」,這些二級結構又可以不斷產生「三級結構」,使活細胞數量成二次方生長的繁殖器(breeder)等等多采多姿的不同結構。數學家與電腦科學家利用這些結構的組合,可以在生命遊戲中製造相當於現實生活中的許多機械。

一台繁殖器(來源)
一台繁殖器。圖/wikipedia

生命遊戲的應用

讀到這邊,大家可能會出現一些疑惑:這種純粹欣賞的零玩家遊戲,除了當螢幕保護程式之外,有什麼具體用途嗎?首先由於生命遊戲規則簡單,卻能產生非常複雜的結果,因此不論是初學者或高階程式設計者都經常接觸它。假如記憶體和運算時間沒有限制,生命遊戲可以用來模擬所有的運算過程;換句話說生命遊戲本身就等於一台電腦。筆者也是在大學的基礎 MATLAB 程式設計課程中,首次認識生命遊戲的,最近重新讀到,頓時興致大發,就在生命遊戲中建立一個泛科學跑馬燈:

生命遊戲屬於一個更大範疇的模型──細胞自動機(cellular automaton),泛指所有規律格狀的系統,每格處於有限種類的狀態,而這些狀態是由上一世代的相鄰格子狀態來定義出來的。細胞自動機依照演化方式可粗略分成 4 大類,其中最複雜的第 4 類中,幾乎所有初始狀態都會演化成複雜、渾沌和接近隨機的狀態,生命遊戲也屬於第 4 類。由於以上的特性,細胞自動機可以模擬生物過程、物理粒子的交互作用,甚至地理學、經濟學和社會學;甚至有不少科學家提出了一個問題:整個宇宙是否也是個細胞自動機呢?

織錦芋螺(Conus textile)外殼顯示出如細胞自動機般的外觀
織錦芋螺(Conus textile)外殼顯示出如細胞自動機般的外觀。

1986 年法國藝術家奧利維爾.奧柏(Olivier Auber)更提出了「真人版」生命遊戲──Poietic Generator:在傳統生命遊戲中,每個細胞下一回合的命運,純粹由鄰近的細胞決定;而在 Poietic Generator 中,每位玩家一次可以更改點陣圖中其中一格的顏色,由不同玩家透過網路連線共同創作。在這個遊戲中,沒有所謂的輸贏,主要的目標在欣賞和參與大家的創作過程,共同創造出動態的藝術品。

X-00
Poietic Generator X-00

想玩玩看生命遊戲嗎?網路上有許多利用 JavaScript 寫成的模擬器,另外假如想要深入了解生命遊戲和更多規則各異的細胞自動機,筆者建議下載 Golly 這個免費模擬器,在電腦、iPad與Android多平台上都可以使用喔!

參考文獻

艾粒安鈉
7 篇文章 ・ 1 位粉絲
主修有機合成。對化學、天文、幾何學、地理、氣候、統計學、語言學、心理學、社會學、音樂和烹飪都有興趣。不願一生為學術研究爆肝,而熱愛為感興趣的學科認真寫科普文章,並用創意比喻和爛梗讓大家喜歡科學。多元性別,最高心跳210,海豚音到重低音一手包辦。

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科學家意外發現的晶體與它的藝術美學
dr. i
・2014/08/25 ・2812字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 531 ・七年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

(本文同時刊載於 dr. i 部落格 Facebook

一個平凡的下午,工作累了捧著一杯剛煮好的咖啡走到陽台,看到的是對面大樓外牆排列得井然有序的長方形窗戶,和陽台邊的柵欄,一樣是有規律地重複著同樣的間隔。環顧我們的生活空間,好像規律性的結構無所不在,例如樑柱、磚瓦和地磚等等的各種人造物體,很容易地讓人誤以為只要是有規律的結構,一定就是人造的。而大自然中難道就不存在這樣的規律嗎?其實有的,最典型的例子就是晶體(Crystal)。

什麼是晶體?講講生活中常見的例子很多,料理中常用到的糖和鹽都是晶體,還有金屬、水晶和寶石等等。

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圖 1 鹽的晶體

意外發現不凡的晶體

一般人認為,晶體是所有固體最基本的特徵,並且是由「原子或分子按照一定的週期性,在空間排列成具有一定規則的幾何外形的固體。」至少很多教科書都還是這麼寫著。

但是在1982年的一項發現,顛覆了這個說法,而這個發現就是「準晶體(Quasicrystal)」。

1982年四月的一天早晨,當時在美國標準技術研究所(NIST)客座研究的以色列籍科學家丹.舍特曼(Dan Shechtman)在實驗室中用晶體學觀測鋁錳合金時,發現了一個不可能出現的繞射圖(圖2)。繞射圖是材料學家常用的一種技術,他們用高能量的光線像是X射線或是電子束照在晶體上,當這些光線穿透過晶體後打在螢幕上,所得到的就是晶體繞射圖,而分析它就能夠得知這個晶體的型狀和結構。

crystallogaphy
圖2 舍特曼在實驗室所觀測到的晶體繞涉圖(左圖),分析過後可見五角形的結構(右圖)

話說回來,為什麼舍特曼所觀察到的繞射圖不可能出現呢?因為長久以來,科學家認為晶體必須要是有週期性地排列,才能延續性地填滿整個平面或空間,而如圖3所示,某些幾何形狀像是五角形是不可能週期性地排列,所以被認定無法成為晶體。而舍特曼在實驗室裡看到的繞射圖顯示晶體擁有五角形的對稱性,正是先前科學家認為不可能存在的晶體結構。

symmetry
圖3 中看的出來3、4和6角形都可以週期性地延伸,但五角形卻沒辦法。

舍特曼十分瞭解這個發現所蘊涵的意義,當下很興奮地從實驗室衝到外面走廊上,找人想要分享這個天大的消息,但是走廊上空無一人,他只好再乖乖地回實驗室做進一步地確認。接下來不管他用什麼方式去確認,證據都確實顯示了這個突破性的發現。

 排山倒海而來的質疑

shechtman
圖4 以色列籍科學家丹.舍特曼

若你以為科學界會因為舍特曼的發現而歡聲雷動,那可就大錯特錯。當時所有科學家都強烈斥駁他的實驗結果,很多人第一時間斷定是實驗出錯才有可能得到這個結果。

而接下來兩年的時間,他不斷辛苦地捍衛自己的實驗結果,並持續承受其他科學家包括同事們的批評甚至輕蔑,嚴重到當時研究機構的負責人將他趕出團隊,認為整個團隊因他而蒙羞。另一位強烈的反對者是鼎鼎大名的物理學家,並且得過諾貝爾獎兩次的萊納斯.鮑林(Linus Pauling),他到死前都公開嚴厲地反對特舍曼的研究主張。

一直到兩年後,才陸續有科學家願意接受他的發現,並提出佐證。後續研究顯示,原來該晶體的結構跟另一種數學家所發現的結構相同,叫做「潘洛斯圖案(Penrose Tiling)」(圖5)。

penrosetiling
圖5 潘洛斯圖案(Penrose tiling)

準晶體的特性

潘洛斯圖案(圖5)是由英國劍橋大學的數學物理學家羅傑.潘洛斯(Roger Penrose)所發現。這個圖案有什麼樣的特性呢?其中很重要的就是它的對稱性。

這個世界所存在的對稱性分為三種,第一種對稱是所謂的「平移對稱(Translational symmetry)」,就是把一個圖案往某方向直線移動,如果它能和原來的圖案重疊,我們就說它有平移對稱性。除了平移對稱外,還有「旋轉對稱(Rotational symmetry)」和「鏡像對稱(Reflection Symmetry)」,前者是指你可以對著某中心旋轉圖案某固定角度,它能和原來的圖案重疊,而後者是指將圖案對著一條線對折後,圖案可以重疊。所有的對稱都可以用這三個項目來分類。

很特別地,潘洛斯圖案具有「五角形旋轉對稱(5-fold rotational symmetry)」和「鏡像對稱」,但是卻沒有「平移對稱」,也就是說它沒有一般科學家對於晶體所要求的週期性。這個圖形全由兩種菱形不斷地拼接而成,而且如果有人在一個固定面積裡數這兩種菱形的數目,它們的比例會剛好趨近於著名的「黃金比例(Golden Ratio)」。

舍特曼的實驗終於漸漸地被世界各地的科學家重複,並找到相同的結論。事實上很多人曾經觀測到它,但是卻因為不相信自己實驗的結果而放棄深入追究,所以這也告訴了我們相信自己的實驗是多麼重要。

後來科學家們不只驗證了舍特曼是對的,他們更發現了自然界中更多種合金材料有著相同的結構和對稱性,為了有別於以前傳統科學家對於晶體所下的定義,他們稱這種非週期性的晶體為「準晶體(Quasicrystal)」。科學家並發現,有擁這種結構晶體的合金材料特別堅硬。

quasicrystal
圖6 準晶體材料表面的模擬圖。

這個革命性的發現改寫了所有的教科書。1992年國際晶體學協會把原先對於晶體的定義:「一個由原子、分子或離子,規律且重複性排列所組成的三維圖形」正式改為「任何具有干涉條紋的固體(Any solid having an essentially discrete diffraction pattern)」。舍特曼也因此在2011年獲得諾貝爾化學獎。

藝術與設計

造型和結構均是藝術和設計中不可或缺的元素,不管藝術家對什麼結構有興趣,它一定也被科學家研究過,反之亦然。因此,常常會看到晶體在藝術作品中出現。準晶體特別的對稱性讓它看起來不規律,但其中又暗藏著規律,是很多藝術家或設計師喜歡的圖案,也可以說是科學和藝術交匯的最佳範例。

台灣也看得到由準晶體所啓發的藝術作品。dr. i 今年(2014)在台北信義區的五星級飯店「寒舍艾美酒店(Le Meridien Taipei)」(台北市信義區松仁路38號) 內的一樓大廳,完成了一項動態光雕作品《潘洛斯之夢》,歡迎有興趣的讀者可以前去觀賞!

作品說明:「藝術家以英國天文物理學家羅傑.潘洛斯的潘洛斯圖案為發想,特地為台北寒舍艾美酒店量身設計的動態光影裝置。畫面由兩種平行四邊形所組成,圖案的律動與組合無限延伸,呈現科學與藝術的跨領域交匯,以及藝術家對宇宙間美麗定律的探索。」

Camera 360

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台北寒舍艾美酒店一樓大廳由筆者所設計之動態光影藝術(by 劉辰岫)
ostwald
皇家墨爾本科技學院(by Michael J. Ostwald)
penrose.tiles
皇家墨爾本科技學院(by Michael J. Ostwald)

參考文獻:

  1. The Nobel Prize in Chemistry 2011
  2. N. G. de Bruijn, “Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane”, Mathematics, Proceedings A 84, 1, (1981)
  3. A. L. Mackay, “Crystallography and the Penrose pattern”, Physica 114A, 609, (1982)
dr. i
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小時候的啓蒙師父是小叮噹,偶像是馬蓋先,並崇拜發明燈泡的愛迪生,當時志向是發明會飛的車。在歐洲旅居十二年後回台灣,目前投身科技與藝術的跨界整合以及科學教育和傳播,現任國立台灣師範大學科技與文創講座兼任助理教授。dr. i 一輩子最大的幻想,是能夠使用時光機和隱形風衣。如果您恰巧擁有其中一項,請拜託用以下的連絡方式連絡!http://facebook.com/newartandscience

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和風達文西密碼
賴 以威
・2015/01/23 ・2753字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 477 ・五年級

這幾年,越來越多人到日本旅行了。

旅行有所謂的「定番景點」,例如京都金閣寺或清水寺。旅客或者以朝聖的心前往,或者抱持著總得來一下的交報告心態,與金閣寺合影存證。通常,後者比較喜歡私房景點,少了遊覽車與觀光客的喧囂,鏡頭裡沒有十萬個後腦杓,彷彿潛到深水似地,更融入當地的生活。

既然都出國旅行了,當然想體驗些特別的,飛到幾千公里以外的地方,還是去個好像巷口頂好超市一樣,連樓上奶奶上個月都來過的景點,怎麼說也有點讓人洩氣。

至少我是膚淺地這麼認為。

今天就要跟各位介紹一個大隱隱於市的私房景點。不用搭3小時的公車在山路九彎十八拐,只要在參觀廟宇時,稍微抬頭注意一下,就能進入的奇幻世界。

一個由數學、宗教、日本文化構成的特殊景點,藏身在繪馬之中。

※San…gaku?

繪馬通常是拿來許願的,用途有點像擔心拜拜時神明沒聽清楚,在廟裡留下的N次貼。但要是稍微注意看,某些神社的繪馬堂裡,掛了許多大型的繪馬匾額。這些繪馬匾額,不僅是許願,也是貢品。人們畫上珍貴的事物(有點像燒一台賓士的概念),進貢給神明。

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和算家關孝和 (Photo credit: wiki)

身為一位數學家,最珍貴的必然是自己的數學知識了。

因此,古代日本數學家準備的繪馬上,往往繪製了數學題目。大大小小的三角形、相切相割的圓形、直線,從課本中被移植到了寺廟的匾額中,增添了幾分神秘的色彩。

這種繪馬有個特別的名稱,稱為算額(さんがく:sangaku)。

發文不附圖,此風不可長。

FujiAstia100BalanceWarm-0638
京都北野天滿宮算額(Photo credit: 賴以威)

 

這張照片是去年底我跟朋友在北野天滿宮找到的算額,相當不起眼地被掛在角落。幾年前來天滿宮時我似乎還曾坐在下方,卻從來沒注意到,頭上有一塊畫了十一道幾何題目的匾額。

※算額就是戰鬥陀螺?

數學是由討論圓與方形之間的關係而建構出來的學問,它是我們該學習的六藝中一種:禮、樂、射、騎、寫、與數。這些是人類獨有,動物不需要的技藝。武田老師自幼學習數學,在這間神社裡,他的弟子藉由奉上此枚算額,祈求神明保佑他們的數學能力能有所精進。

 這是某塊算額的序言。

這段話不僅透露出當時對數學的重視,還顯示了日本數學家的師生關係,就好像其他日本技藝的流派,相當緊密、講究禮儀。日本擅長窮盡一項技藝,昇華為文化,例如茶道、書道、陶藝、圍棋等。江戶時代的日本數學家同樣具備這份的精神,以中國傳入的數學為基礎,建立了「和算」。

和算特別之處在於,和算家們喜歡透過出題、解題,像圍棋棋手一樣的對決。

只是,沒有網路的時代該怎麼交流題目呢?

就要靠「算額」。

和算家雲遊四海,到各地神社參拜時,會特別留意是否有算額可以挑戰。換句話說,這些算額就是和算家們的棋盤,他們的戰場。許多和算家窮盡一生,只為了解開對手的題目,或留下無人能解的經典遺題。

1817年到1828年間,和算家山口坎山遊歷日本各處神社,寫下一本遊記《山口坎山道中日記》,紀載了各式各樣的算額,目前是新瀉阿賀野市的有形文化財。我們可以想像,要是山口先生活在21世紀,應該會開個粉絲頁,每天上傳今天拍到的算額,底下附上詳解——然後只有三個人按讚。聽起來有點可憐。

事實上,可能更可憐。

他的日記裡有這麼一段話:

這道題目,我花了四到五年,總算再今年春天我才解出來。不過,這題目其實沒出得很好。我建議每一位學生,與其花時間解這種題目,不如去讀更多數學教科書吧。

也就是說,他的臉書應該是先拍照,寫下「噢噢,看到好題目可以挑戰了」。然後五年後他的朋友會看到「山口回應了他自己在2010年的一則動態」,點進去還是這麼一則抱怨的回應!

三重縣菅原神社
三重縣菅原神社(photo credit: http://www.wasan.jp/)

 

※算額的文藝復興

由於算額上繪製的圖案、數學描述並非任何人都能了解,被供奉在廟裡的算額常常會被忽略,許多寶貴的算額也因此消失。到1997年為止, 統計的現存算額僅約884面, 最近這幾年又新發現一些算額, 現存算額總數大約達到900餘面

不過,這幾年算額在日本逐漸受到重視,某些中小學甚至將算額引入課堂中,作為綜合性的學習素材。老師利用算額,教導學生包括語文,工藝,美術,社會,歷史,數學等各種知識。比起課本,用算額學習應該會有趣許多,學生也能得到更多新的刺激,畢竟知識是整體性的,平常分門別類、切開來學習,偶爾也需要整體學習。

而說到這股算額的熱潮,免不了得提一位傳奇性的高中數學老師——深川英俊。

他原本在愛知縣的某所高中任教,投入大量的時間與精力,獨立研究算額,有了卓越的成果。起先在日本不受重視,但他不放棄,將研究成果寄給數位歐美知名學者,得到了英國幾何大師Dan Pedoe的賞識,兩人合著《Japanese Temple Geometry》。之後他又發表了幾本相關著作,包括代表作《Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry》 (日文版《聖なる数学:算額-世界が注目する江戸文化としての和算》)。現在受邀在日本名城大学擔任兼任講師,在算額這個領域有著重要的地位。不過,比起淵博的算額知識,深川老師對一件事物的全心投入,從無到有的奮鬥過程,我認為更值得學習。

岩手県一関八幡神社
岩手県関八幡神社(photo credit: http://www.wasan.jp/)

 

※算額尋寶之旅

要去日本旅行的朋友,除了訂房跟便宜機票網站外,我推薦另一個網站和算之館,它詳細記載了各都道府縣哪間神社、寺廟保有算額。

根據我的經驗是,就算知道哪間神社有,還是得花時間去找。因為很多神社對算額疏於管理,往往會和一般的繪馬擺在一起,充分體現了「藏葉於林」這句成語。好幾次,我站在底下拍照拍半天,也頂多有人探頭看看我在拍什麼,看兩下又離開,完全沒發現這個「數學古董」。事實上,我們還得感謝廟方的疏於管理,不然有些寺廟知道算額是重要文化財,就會收藏起來,怎麼找也找不到。

三百多年前,一群京都的和算家奉旨將一件秘密傳給後代。為了躲避幕府耳目,他們將這個秘密轉換成數學題目,寫在算額上,藏到祭拜學問之神的北野天滿宮。他們對自己的後人能破解算額,找出他們留下的秘密。然而繪師繪製時出了一個差錯,導致題目沒人能解得開。就這樣,三百年過去了……

各位今年去賞櫻賞楓時,如果時間允許的話,不妨加入一趟探訪算額的尋寶行程吧。

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京都北野天滿宮算額(Photo credit: 賴以威)

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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科技藝術是流行,還是人類文明演進中的必然?
dr. i
・2014/04/15 ・1034字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

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(本文同時刊載於平面藝術報《花開 HAGAI》創刊號 2014.4 與 dr. i 部落格

「越前瞻的科學,越接近藝術;越先進的藝術,越接近科學。(The further art advances the closer it approaches science, the further science advances the closer it approaches art.)」這句由二十世紀美國的名建築師和發明家巴克敏私特.富勒(Buckminster Fuller)的口中講出來的話,對一般人來說似乎是一件很難體會的概念。這麼說,儼然就是在把「科學家」和「藝術家」兩者之間劃上等號。「不可能吧?」我看到了你腦中徘徊的字眼。

讓我們從歷史中找尋這個道理的蛛絲馬跡。首先,將時間倒轉回西元1687年,英國物理泰斗牛頓在他的鉅著《自然哲學的數學原理》中,寫下了「慣性定律」即:「靜者恆靜,動者恆動」;這彷彿是在和早他兩千年的希臘哲人亞里士多德對話,因為亞里士多德對物體的運動學提出過很多理論,那是一個科學和哲學密不可分的時代。再到十五世紀文藝復興時期,看著達文西勾勒出《蒙娜麗莎》的微笑,同一位藝術家也發明了直升機、機關槍、機器人和計算機等等的概念,更別提他那極為寫真的手繪人體解剖圖,好像說著說著,他又像是位科學家,那麼到底這兩者之間的關聯在哪裡?

從實際的角度來說,科學和藝術的發展,均從對生活周遭事物的觀察為原點,形成抽象的概念,而從抽象到具象的實現過程是「技術」,不論是用數學方程式或玻璃試管,還是石雕或顏料,一邊叫做工程,另一邊叫做工藝,因此兩者在活動的本質上其實非常相近。若坐上一艘船跟著時代的洪流順勢而下,我們會看到科學和藝術在起源點是一體的;然而隨著人類文明的演進,兩者並行地發展,經過不同時代和天才們的洗禮和累積,什麼時候它們開始變成互不相干的兩個領域?一顆完整的大腦硬是要被強調是左腦主宰或是右腦主宰,彷彿一個人要被切成半個人似的?

這個分水嶺其實發生在不久前的工業革命時期,科技變成了賺錢的工具,為了講求量產和效率,整個社會甚至世界變成了一個巨大的生產線,每個人被分配成為一個單一性質的角色,教育訓練也自然漸漸單一化,於是乎我們都變成了半顆腦袋的動物,科技逐漸遠離了人性。

當然,在大夥兒吃飽飽的情況下,很少人會去反思這個問題。但是,過去的二十年間全球的經濟體經歷了許多次震撼性的打擊,由金融機構在背後支撐的這個生產線社會崩壞,我們不由得重新檢視人與科技的關係。

眼前的我們正處於一個很令人期盼的時代,能夠目睹科學、科技、藝術和生活的再次結合,近期國內也開始掀起了一股跨領域旋風。科技藝術的成形不只是一種流行,而有人類未來生活之必要性。

dr. i
33 篇文章 ・ 0 位粉絲
小時候的啓蒙師父是小叮噹,偶像是馬蓋先,並崇拜發明燈泡的愛迪生,當時志向是發明會飛的車。在歐洲旅居十二年後回台灣,目前投身科技與藝術的跨界整合以及科學教育和傳播,現任國立台灣師範大學科技與文創講座兼任助理教授。dr. i 一輩子最大的幻想,是能夠使用時光機和隱形風衣。如果您恰巧擁有其中一項,請拜託用以下的連絡方式連絡!http://facebook.com/newartandscience

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和風達文西密碼
賴 以威
・2015/01/23 ・2753字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 477 ・五年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

這幾年,越來越多人到日本旅行了。

旅行有所謂的「定番景點」,例如京都金閣寺或清水寺。旅客或者以朝聖的心前往,或者抱持著總得來一下的交報告心態,與金閣寺合影存證。通常,後者比較喜歡私房景點,少了遊覽車與觀光客的喧囂,鏡頭裡沒有十萬個後腦杓,彷彿潛到深水似地,更融入當地的生活。

既然都出國旅行了,當然想體驗些特別的,飛到幾千公里以外的地方,還是去個好像巷口頂好超市一樣,連樓上奶奶上個月都來過的景點,怎麼說也有點讓人洩氣。

至少我是膚淺地這麼認為。

今天就要跟各位介紹一個大隱隱於市的私房景點。不用搭3小時的公車在山路九彎十八拐,只要在參觀廟宇時,稍微抬頭注意一下,就能進入的奇幻世界。

一個由數學、宗教、日本文化構成的特殊景點,藏身在繪馬之中。

※San…gaku?

繪馬通常是拿來許願的,用途有點像擔心拜拜時神明沒聽清楚,在廟裡留下的N次貼。但要是稍微注意看,某些神社的繪馬堂裡,掛了許多大型的繪馬匾額。這些繪馬匾額,不僅是許願,也是貢品。人們畫上珍貴的事物(有點像燒一台賓士的概念),進貢給神明。

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和算家關孝和 (Photo credit: wiki)

身為一位數學家,最珍貴的必然是自己的數學知識了。

因此,古代日本數學家準備的繪馬上,往往繪製了數學題目。大大小小的三角形、相切相割的圓形、直線,從課本中被移植到了寺廟的匾額中,增添了幾分神秘的色彩。

這種繪馬有個特別的名稱,稱為算額(さんがく:sangaku)。

發文不附圖,此風不可長。

FujiAstia100BalanceWarm-0638
京都北野天滿宮算額(Photo credit: 賴以威)

 

這張照片是去年底我跟朋友在北野天滿宮找到的算額,相當不起眼地被掛在角落。幾年前來天滿宮時我似乎還曾坐在下方,卻從來沒注意到,頭上有一塊畫了十一道幾何題目的匾額。

※算額就是戰鬥陀螺?

數學是由討論圓與方形之間的關係而建構出來的學問,它是我們該學習的六藝中一種:禮、樂、射、騎、寫、與數。這些是人類獨有,動物不需要的技藝。武田老師自幼學習數學,在這間神社裡,他的弟子藉由奉上此枚算額,祈求神明保佑他們的數學能力能有所精進。

 這是某塊算額的序言。

這段話不僅透露出當時對數學的重視,還顯示了日本數學家的師生關係,就好像其他日本技藝的流派,相當緊密、講究禮儀。日本擅長窮盡一項技藝,昇華為文化,例如茶道、書道、陶藝、圍棋等。江戶時代的日本數學家同樣具備這份的精神,以中國傳入的數學為基礎,建立了「和算」。

和算特別之處在於,和算家們喜歡透過出題、解題,像圍棋棋手一樣的對決。

只是,沒有網路的時代該怎麼交流題目呢?

就要靠「算額」。

和算家雲遊四海,到各地神社參拜時,會特別留意是否有算額可以挑戰。換句話說,這些算額就是和算家們的棋盤,他們的戰場。許多和算家窮盡一生,只為了解開對手的題目,或留下無人能解的經典遺題。

1817年到1828年間,和算家山口坎山遊歷日本各處神社,寫下一本遊記《山口坎山道中日記》,紀載了各式各樣的算額,目前是新瀉阿賀野市的有形文化財。我們可以想像,要是山口先生活在21世紀,應該會開個粉絲頁,每天上傳今天拍到的算額,底下附上詳解——然後只有三個人按讚。聽起來有點可憐。

事實上,可能更可憐。

他的日記裡有這麼一段話:

這道題目,我花了四到五年,總算再今年春天我才解出來。不過,這題目其實沒出得很好。我建議每一位學生,與其花時間解這種題目,不如去讀更多數學教科書吧。

也就是說,他的臉書應該是先拍照,寫下「噢噢,看到好題目可以挑戰了」。然後五年後他的朋友會看到「山口回應了他自己在2010年的一則動態」,點進去還是這麼一則抱怨的回應!

三重縣菅原神社
三重縣菅原神社(photo credit: http://www.wasan.jp/)

 

※算額的文藝復興

由於算額上繪製的圖案、數學描述並非任何人都能了解,被供奉在廟裡的算額常常會被忽略,許多寶貴的算額也因此消失。到1997年為止, 統計的現存算額僅約884面, 最近這幾年又新發現一些算額, 現存算額總數大約達到900餘面

不過,這幾年算額在日本逐漸受到重視,某些中小學甚至將算額引入課堂中,作為綜合性的學習素材。老師利用算額,教導學生包括語文,工藝,美術,社會,歷史,數學等各種知識。比起課本,用算額學習應該會有趣許多,學生也能得到更多新的刺激,畢竟知識是整體性的,平常分門別類、切開來學習,偶爾也需要整體學習。

而說到這股算額的熱潮,免不了得提一位傳奇性的高中數學老師——深川英俊。

他原本在愛知縣的某所高中任教,投入大量的時間與精力,獨立研究算額,有了卓越的成果。起先在日本不受重視,但他不放棄,將研究成果寄給數位歐美知名學者,得到了英國幾何大師Dan Pedoe的賞識,兩人合著《Japanese Temple Geometry》。之後他又發表了幾本相關著作,包括代表作《Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry》 (日文版《聖なる数学:算額-世界が注目する江戸文化としての和算》)。現在受邀在日本名城大学擔任兼任講師,在算額這個領域有著重要的地位。不過,比起淵博的算額知識,深川老師對一件事物的全心投入,從無到有的奮鬥過程,我認為更值得學習。

岩手県一関八幡神社
岩手県関八幡神社(photo credit: http://www.wasan.jp/)

 

※算額尋寶之旅

要去日本旅行的朋友,除了訂房跟便宜機票網站外,我推薦另一個網站和算之館,它詳細記載了各都道府縣哪間神社、寺廟保有算額。

根據我的經驗是,就算知道哪間神社有,還是得花時間去找。因為很多神社對算額疏於管理,往往會和一般的繪馬擺在一起,充分體現了「藏葉於林」這句成語。好幾次,我站在底下拍照拍半天,也頂多有人探頭看看我在拍什麼,看兩下又離開,完全沒發現這個「數學古董」。事實上,我們還得感謝廟方的疏於管理,不然有些寺廟知道算額是重要文化財,就會收藏起來,怎麼找也找不到。

三百多年前,一群京都的和算家奉旨將一件秘密傳給後代。為了躲避幕府耳目,他們將這個秘密轉換成數學題目,寫在算額上,藏到祭拜學問之神的北野天滿宮。他們對自己的後人能破解算額,找出他們留下的秘密。然而繪師繪製時出了一個差錯,導致題目沒人能解得開。就這樣,三百年過去了……

各位今年去賞櫻賞楓時,如果時間允許的話,不妨加入一趟探訪算額的尋寶行程吧。

FujiAstia100BalanceWarm-0652
京都北野天滿宮算額(Photo credit: 賴以威)

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室