和風達文西密碼

相信大家對蝴蝶效應（butterfly effect）耳熟能詳，最簡單的譬喻大概是：台灣美濃的一隻蝴蝶輕拍一下翅膀，可能造成影響美國佛羅里達州的颶風。由於氣候系統是動態的，初始條件微不足道的變化，可能造成影響整個系統的巨大連鎖反應。可是這個蝴蝶變颶風的「實例」說得簡單，實際上卻很難想像和驗證啊！不打緊，只要我們打開電腦或平板，玩一玩生命遊戲（Game of Life），就能在螢幕上看到蝴蝶效應了！

遊戲規則

生命遊戲是由英國數學家約翰．何頓．康威（John Horton Conway）發明，刊登在《科學人》雜誌的數學遊戲專欄。生命遊戲的名稱，來自遊戲模擬的就是真實世界當中的生物。首先假設一個方形的棋盤格，每一格都是一個細胞的空間；遊戲開始時，我們可以扮演「上帝」的角色，任意決定棋盤上哪些細胞是活的。之後細胞就遵循下列規則，與周圍相鄰的8個細胞互動：

• 假如一個活細胞周圍有 2~3 個活細胞，這個活細胞就能繼續存活到下一世代。
• 假如一個活細胞周圍 <2 個或 >3 個活細胞，這個活細胞就會因為「資源不足」或「過度擁擠」，在下一世代死亡。
• 假如一個死細胞周圍恰好有 3 個活細胞，這個死細胞就會在下一世代復活，象徵「細胞繁殖」。

同一個世代的每個細胞同時依照以上三個規則運算後，就產生下一世代的細胞圖，如此周而復始。大家有沒有注意到了：生命遊戲開始之後，不需要玩家插手，就可以一直繼續玩下去了！所以這是一個零玩家遊戲，只要初始條件設定好，我們就可以泡杯咖啡，靜靜觀察這些細胞自我繁殖的過程。

生命遊戲的多變圖案

康威當初在設計生命遊戲時，經過許多實驗精心考慮規則，使細胞不會爆炸性繁殖，又能從相對簡單的初始條件，產生難以預測的結果。生命遊戲更具有「不可決定性」的特點：給定任意起始條件 A 和最終條件 B，判斷 A 的後續世代中是否會造成 B 的演算法是不存在的。因此上述的規則看似簡單，卻能衍生出非常複雜又引人入勝的圖案。一個穩定繁殖中的圖案，往往只要稍微改變幾個細胞，就會產生骨牌效應，把整個系統搞砸，或者產生出令人意想不到的結果！數學家與電腦科學家們往往會用現實生活中的物品，為他們發現的圖案命名。

首先最單調的就是靜物（still lifes），也就是世世代代都不動如山的圖案，最簡單的圖案有下面幾種，其中白色圓點代表活細胞，藍色空白處為死細胞：

我們可以用上面的規則檢查看看，上面每個圖案中，是不是所有的細胞都會維持原本狀態呢？

稍微有趣一點的是振盪器（oscillators），顧名思義，就是在世代發展的過程中，會在幾個不同圖案之間循環。振盪器可以有不同週期，數學家已經發現了很多週期的振盪器，但卻還找不到週期為 19、23、34、38、41 的，這是個非常有趣而具有挑戰性的問題。

太空船（spaceships）就更有意思了，這些圖案會隨著世代發展在棋盤格上移動或「飛行」。太空船中最有名的大概就是滑翔翼（glider，下圖左）了，只要路線上沒有東西阻礙，就會沿著對角線永無止境地滑翔。由於許多程式設計師喜歡玩生命遊戲，結構簡單的滑翔翼被許多駭客們當作標誌。各種太空船的速度不盡相同（下圖右），但就像現實生活中所有物體移動和資訊傳播都沒辦法超越光速，生命遊戲中也有「光速」（一樣用 c 表示）：由於一個細胞每世代只能影響到相鄰的細胞，所以生命遊戲中的光速就是每世代一格，所有太空船都沒辦法超過這個速度。

康威曾經懷疑，生命遊戲中是否有圖案能夠永無止盡繁殖下去（穩定產生越來越多的活細胞），還懸賞了50英鎊給第一個發現可無限繁殖圖案的人。這樣的圖案很快就被美國數學家比爾．高斯帕（Bill Gosper）發現了，他設計了一種可以不斷產生滑翔翼的裝置，稱為滑翔翼機關槍（glider gun），之後數學家又發現更多可以不斷發射出太空船的構造，仿照高斯帕原本取的名字統稱為「槍」（guns）。另外一般的太空船，船過水無痕，但有些特殊的太空船會邊走邊「慶煙」，在軌跡上留下「廢氣」，被數學家暱稱為「蒸汽火車」（puffer train）。

除了以上的「生物」之外，還有可把其他生物吃掉的大胃王（eaters）、可以反射太空船的反射板（reflectors）、甚至可以邊走邊產生無數「二級結構」，這些二級結構又可以不斷產生「三級結構」，使活細胞數量成二次方生長的繁殖器（breeder）等等多采多姿的不同結構。數學家與電腦科學家利用這些結構的組合，可以在生命遊戲中製造相當於現實生活中的許多機械。

生命遊戲的應用

讀到這邊，大家可能會出現一些疑惑：這種純粹欣賞的零玩家遊戲，除了當螢幕保護程式之外，有什麼具體用途嗎？首先由於生命遊戲規則簡單，卻能產生非常複雜的結果，因此不論是初學者或高階程式設計者都經常接觸它。假如記憶體和運算時間沒有限制，生命遊戲可以用來模擬所有的運算過程；換句話說生命遊戲本身就等於一台電腦。筆者也是在大學的基礎 MATLAB 程式設計課程中，首次認識生命遊戲的，最近重新讀到，頓時興致大發，就在生命遊戲中建立一個泛科學跑馬燈：

生命遊戲屬於一個更大範疇的模型──細胞自動機(cellular automaton)，泛指所有規律格狀的系統，每格處於有限種類的狀態，而這些狀態是由上一世代的相鄰格子狀態來定義出來的。細胞自動機依照演化方式可粗略分成 4 大類，其中最複雜的第 4 類中，幾乎所有初始狀態都會演化成複雜、渾沌和接近隨機的狀態，生命遊戲也屬於第 4 類。由於以上的特性，細胞自動機可以模擬生物過程、物理粒子的交互作用，甚至地理學、經濟學和社會學；甚至有不少科學家提出了一個問題：整個宇宙是否也是個細胞自動機呢？

1986 年法國藝術家奧利維爾．奧柏（Olivier Auber）更提出了「真人版」生命遊戲──Poietic Generator：在傳統生命遊戲中，每個細胞下一回合的命運，純粹由鄰近的細胞決定；而在 Poietic Generator 中，每位玩家一次可以更改點陣圖中其中一格的顏色，由不同玩家透過網路連線共同創作。在這個遊戲中，沒有所謂的輸贏，主要的目標在欣賞和參與大家的創作過程，共同創造出動態的藝術品。

想玩玩看生命遊戲嗎？網路上有許多利用 JavaScript 寫成的模擬器，另外假如想要深入了解生命遊戲和更多規則各異的細胞自動機，筆者建議下載 Golly 這個免費模擬器，在電腦、iPad與Android多平台上都可以使用喔！

參考文獻

• 維基百科
• LifeWiki
• Conway’s Game of Life, Binary Digits

（本文同時刊載於 dr. i 部落格 Facebook）

一個平凡的下午，工作累了捧著一杯剛煮好的咖啡走到陽台，看到的是對面大樓外牆排列得井然有序的長方形窗戶，和陽台邊的柵欄，一樣是有規律地重複著同樣的間隔。環顧我們的生活空間，好像規律性的結構無所不在，例如樑柱、磚瓦和地磚等等的各種人造物體，很容易地讓人誤以為只要是有規律的結構，一定就是人造的。而大自然中難道就不存在這樣的規律嗎？其實有的，最典型的例子就是晶體（Crystal）。

什麼是晶體？講講生活中常見的例子很多，料理中常用到的糖和鹽都是晶體，還有金屬、水晶和寶石等等。

意外發現不凡的晶體

一般人認為，晶體是所有固體最基本的特徵，並且是由「原子或分子按照一定的週期性，在空間排列成具有一定規則的幾何外形的固體。」至少很多教科書都還是這麼寫著。

但是在1982年的一項發現，顛覆了這個說法，而這個發現就是「準晶體（Quasicrystal）」。

1982年四月的一天早晨，當時在美國標準技術研究所（NIST）客座研究的以色列籍科學家丹.舍特曼（Dan Shechtman）在實驗室中用晶體學觀測鋁錳合金時，發現了一個不可能出現的繞射圖（圖2）。繞射圖是材料學家常用的一種技術，他們用高能量的光線像是X射線或是電子束照在晶體上，當這些光線穿透過晶體後打在螢幕上，所得到的就是晶體繞射圖，而分析它就能夠得知這個晶體的型狀和結構。

話說回來，為什麼舍特曼所觀察到的繞射圖不可能出現呢？因為長久以來，科學家認為晶體必須要是有週期性地排列，才能延續性地填滿整個平面或空間，而如圖3所示，某些幾何形狀像是五角形是不可能週期性地排列，所以被認定無法成為晶體。而舍特曼在實驗室裡看到的繞射圖顯示晶體擁有五角形的對稱性，正是先前科學家認為不可能存在的晶體結構。

舍特曼十分瞭解這個發現所蘊涵的意義，當下很興奮地從實驗室衝到外面走廊上，找人想要分享這個天大的消息，但是走廊上空無一人，他只好再乖乖地回實驗室做進一步地確認。接下來不管他用什麼方式去確認，證據都確實顯示了這個突破性的發現。

 排山倒海而來的質疑

若你以為科學界會因為舍特曼的發現而歡聲雷動，那可就大錯特錯。當時所有科學家都強烈斥駁他的實驗結果，很多人第一時間斷定是實驗出錯才有可能得到這個結果。

而接下來兩年的時間，他不斷辛苦地捍衛自己的實驗結果，並持續承受其他科學家包括同事們的批評甚至輕蔑，嚴重到當時研究機構的負責人將他趕出團隊，認為整個團隊因他而蒙羞。另一位強烈的反對者是鼎鼎大名的物理學家，並且得過諾貝爾獎兩次的萊納斯.鮑林（Linus Pauling），他到死前都公開嚴厲地反對特舍曼的研究主張。

一直到兩年後，才陸續有科學家願意接受他的發現，並提出佐證。後續研究顯示，原來該晶體的結構跟另一種數學家所發現的結構相同，叫做「潘洛斯圖案（Penrose Tiling）」（圖5）。

準晶體的特性

潘洛斯圖案（圖5）是由英國劍橋大學的數學物理學家羅傑.潘洛斯（Roger Penrose）所發現。這個圖案有什麼樣的特性呢？其中很重要的就是它的對稱性。

這個世界所存在的對稱性分為三種，第一種對稱是所謂的「平移對稱（Translational symmetry）」，就是把一個圖案往某方向直線移動，如果它能和原來的圖案重疊，我們就說它有平移對稱性。除了平移對稱外，還有「旋轉對稱（Rotational symmetry）」和「鏡像對稱（Reflection Symmetry）」，前者是指你可以對著某中心旋轉圖案某固定角度，它能和原來的圖案重疊，而後者是指將圖案對著一條線對折後，圖案可以重疊。所有的對稱都可以用這三個項目來分類。

很特別地，潘洛斯圖案具有「五角形旋轉對稱（5-fold rotational symmetry）」和「鏡像對稱」，但是卻沒有「平移對稱」，也就是說它沒有一般科學家對於晶體所要求的週期性。這個圖形全由兩種菱形不斷地拼接而成，而且如果有人在一個固定面積裡數這兩種菱形的數目，它們的比例會剛好趨近於著名的「黃金比例（Golden Ratio）」。

舍特曼的實驗終於漸漸地被世界各地的科學家重複，並找到相同的結論。事實上很多人曾經觀測到它，但是卻因為不相信自己實驗的結果而放棄深入追究，所以這也告訴了我們相信自己的實驗是多麼重要。

後來科學家們不只驗證了舍特曼是對的，他們更發現了自然界中更多種合金材料有著相同的結構和對稱性，為了有別於以前傳統科學家對於晶體所下的定義，他們稱這種非週期性的晶體為「準晶體（Quasicrystal）」。科學家並發現，有擁這種結構晶體的合金材料特別堅硬。

這個革命性的發現改寫了所有的教科書。1992年國際晶體學協會把原先對於晶體的定義：「一個由原子、分子或離子，規律且重複性排列所組成的三維圖形」正式改為「任何具有干涉條紋的固體（Any solid having an essentially discrete diffraction pattern）」。舍特曼也因此在2011年獲得諾貝爾化學獎。

藝術與設計

造型和結構均是藝術和設計中不可或缺的元素，不管藝術家對什麼結構有興趣，它一定也被科學家研究過，反之亦然。因此，常常會看到晶體在藝術作品中出現。準晶體特別的對稱性讓它看起來不規律，但其中又暗藏著規律，是很多藝術家或設計師喜歡的圖案，也可以說是科學和藝術交匯的最佳範例。

台灣也看得到由準晶體所啓發的藝術作品。dr. i 今年（2014）在台北信義區的五星級飯店「寒舍艾美酒店（Le Meridien Taipei）」(台北市信義區松仁路38號) 內的一樓大廳，完成了一項動態光雕作品《潘洛斯之夢》，歡迎有興趣的讀者可以前去觀賞！

作品說明：「藝術家以英國天文物理學家羅傑.潘洛斯的潘洛斯圖案為發想，特地為台北寒舍艾美酒店量身設計的動態光影裝置。畫面由兩種平行四邊形所組成，圖案的律動與組合無限延伸，呈現科學與藝術的跨領域交匯，以及藝術家對宇宙間美麗定律的探索。」

參考文獻：

1. The Nobel Prize in Chemistry 2011
2. N. G. de Bruijn, “Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane”, Mathematics, Proceedings A 84, 1, (1981)
3. A. L. Mackay, “Crystallography and the Penrose pattern”, Physica 114A, 609, (1982)

（本文同時刊載於平面藝術報《花開 HAGAI》創刊號 2014.4 與 dr. i 部落格）

「越前瞻的科學，越接近藝術；越先進的藝術，越接近科學。（The further art advances the closer it approaches science, the further science advances the closer it approaches art.）」這句由二十世紀美國的名建築師和發明家巴克敏私特.富勒（Buckminster Fuller）的口中講出來的話，對一般人來說似乎是一件很難體會的概念。這麼說，儼然就是在把「科學家」和「藝術家」兩者之間劃上等號。「不可能吧？」我看到了你腦中徘徊的字眼。

讓我們從歷史中找尋這個道理的蛛絲馬跡。首先，將時間倒轉回西元1687年，英國物理泰斗牛頓在他的鉅著《自然哲學的數學原理》中，寫下了「慣性定律」即：「靜者恆靜，動者恆動」；這彷彿是在和早他兩千年的希臘哲人亞里士多德對話，因為亞里士多德對物體的運動學提出過很多理論，那是一個科學和哲學密不可分的時代。再到十五世紀文藝復興時期，看著達文西勾勒出《蒙娜麗莎》的微笑，同一位藝術家也發明了直升機、機關槍、機器人和計算機等等的概念，更別提他那極為寫真的手繪人體解剖圖，好像說著說著，他又像是位科學家，那麼到底這兩者之間的關聯在哪裡？

從實際的角度來說，科學和藝術的發展，均從對生活周遭事物的觀察為原點，形成抽象的概念，而從抽象到具象的實現過程是「技術」，不論是用數學方程式或玻璃試管，還是石雕或顏料，一邊叫做工程，另一邊叫做工藝，因此兩者在活動的本質上其實非常相近。若坐上一艘船跟著時代的洪流順勢而下，我們會看到科學和藝術在起源點是一體的；然而隨著人類文明的演進，兩者並行地發展，經過不同時代和天才們的洗禮和累積，什麼時候它們開始變成互不相干的兩個領域？一顆完整的大腦硬是要被強調是左腦主宰或是右腦主宰，彷彿一個人要被切成半個人似的？

這個分水嶺其實發生在不久前的工業革命時期，科技變成了賺錢的工具，為了講求量產和效率，整個社會甚至世界變成了一個巨大的生產線，每個人被分配成為一個單一性質的角色，教育訓練也自然漸漸單一化，於是乎我們都變成了半顆腦袋的動物，科技逐漸遠離了人性。

當然，在大夥兒吃飽飽的情況下，很少人會去反思這個問題。但是，過去的二十年間全球的經濟體經歷了許多次震撼性的打擊，由金融機構在背後支撐的這個生產線社會崩壞，我們不由得重新檢視人與科技的關係。

眼前的我們正處於一個很令人期盼的時代，能夠目睹科學、科技、藝術和生活的再次結合，近期國內也開始掀起了一股跨領域旋風。科技藝術的成形不只是一種流行，而有人類未來生活之必要性。