和風達文西密碼

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

相信大家對蝴蝶效應（butterfly effect）耳熟能詳，最簡單的譬喻大概是：台灣美濃的一隻蝴蝶輕拍一下翅膀，可能造成影響美國佛羅里達州的颶風。由於氣候系統是動態的，初始條件微不足道的變化，可能造成影響整個系統的巨大連鎖反應。可是這個蝴蝶變颶風的「實例」說得簡單，實際上卻很難想像和驗證啊！不打緊，只要我們打開電腦或平板，玩一玩生命遊戲（Game of Life），就能在螢幕上看到蝴蝶效應了！

遊戲規則

生命遊戲是由英國數學家約翰．何頓．康威（John Horton Conway）發明，刊登在《科學人》雜誌的數學遊戲專欄。生命遊戲的名稱，來自遊戲模擬的就是真實世界當中的生物。首先假設一個方形的棋盤格，每一格都是一個細胞的空間；遊戲開始時，我們可以扮演「上帝」的角色，任意決定棋盤上哪些細胞是活的。之後細胞就遵循下列規則，與周圍相鄰的8個細胞互動：

• 假如一個活細胞周圍有 2~3 個活細胞，這個活細胞就能繼續存活到下一世代。
• 假如一個活細胞周圍 <2 個或 >3 個活細胞，這個活細胞就會因為「資源不足」或「過度擁擠」，在下一世代死亡。
• 假如一個死細胞周圍恰好有 3 個活細胞，這個死細胞就會在下一世代復活，象徵「細胞繁殖」。

同一個世代的每個細胞同時依照以上三個規則運算後，就產生下一世代的細胞圖，如此周而復始。大家有沒有注意到了：生命遊戲開始之後，不需要玩家插手，就可以一直繼續玩下去了！所以這是一個零玩家遊戲，只要初始條件設定好，我們就可以泡杯咖啡，靜靜觀察這些細胞自我繁殖的過程。

生命遊戲的多變圖案

康威當初在設計生命遊戲時，經過許多實驗精心考慮規則，使細胞不會爆炸性繁殖，又能從相對簡單的初始條件，產生難以預測的結果。生命遊戲更具有「不可決定性」的特點：給定任意起始條件 A 和最終條件 B，判斷 A 的後續世代中是否會造成 B 的演算法是不存在的。因此上述的規則看似簡單，卻能衍生出非常複雜又引人入勝的圖案。一個穩定繁殖中的圖案，往往只要稍微改變幾個細胞，就會產生骨牌效應，把整個系統搞砸，或者產生出令人意想不到的結果！數學家與電腦科學家們往往會用現實生活中的物品，為他們發現的圖案命名。

首先最單調的就是靜物（still lifes），也就是世世代代都不動如山的圖案，最簡單的圖案有下面幾種，其中白色圓點代表活細胞，藍色空白處為死細胞：

我們可以用上面的規則檢查看看，上面每個圖案中，是不是所有的細胞都會維持原本狀態呢？

稍微有趣一點的是振盪器（oscillators），顧名思義，就是在世代發展的過程中，會在幾個不同圖案之間循環。振盪器可以有不同週期，數學家已經發現了很多週期的振盪器，但卻還找不到週期為 19、23、34、38、41 的，這是個非常有趣而具有挑戰性的問題。

太空船（spaceships）就更有意思了，這些圖案會隨著世代發展在棋盤格上移動或「飛行」。太空船中最有名的大概就是滑翔翼（glider，下圖左）了，只要路線上沒有東西阻礙，就會沿著對角線永無止境地滑翔。由於許多程式設計師喜歡玩生命遊戲，結構簡單的滑翔翼被許多駭客們當作標誌。各種太空船的速度不盡相同（下圖右），但就像現實生活中所有物體移動和資訊傳播都沒辦法超越光速，生命遊戲中也有「光速」（一樣用 c 表示）：由於一個細胞每世代只能影響到相鄰的細胞，所以生命遊戲中的光速就是每世代一格，所有太空船都沒辦法超過這個速度。

康威曾經懷疑，生命遊戲中是否有圖案能夠永無止盡繁殖下去（穩定產生越來越多的活細胞），還懸賞了50英鎊給第一個發現可無限繁殖圖案的人。這樣的圖案很快就被美國數學家比爾．高斯帕（Bill Gosper）發現了，他設計了一種可以不斷產生滑翔翼的裝置，稱為滑翔翼機關槍（glider gun），之後數學家又發現更多可以不斷發射出太空船的構造，仿照高斯帕原本取的名字統稱為「槍」（guns）。另外一般的太空船，船過水無痕，但有些特殊的太空船會邊走邊「慶煙」，在軌跡上留下「廢氣」，被數學家暱稱為「蒸汽火車」（puffer train）。

除了以上的「生物」之外，還有可把其他生物吃掉的大胃王（eaters）、可以反射太空船的反射板（reflectors）、甚至可以邊走邊產生無數「二級結構」，這些二級結構又可以不斷產生「三級結構」，使活細胞數量成二次方生長的繁殖器（breeder）等等多采多姿的不同結構。數學家與電腦科學家利用這些結構的組合，可以在生命遊戲中製造相當於現實生活中的許多機械。

生命遊戲的應用

讀到這邊，大家可能會出現一些疑惑：這種純粹欣賞的零玩家遊戲，除了當螢幕保護程式之外，有什麼具體用途嗎？首先由於生命遊戲規則簡單，卻能產生非常複雜的結果，因此不論是初學者或高階程式設計者都經常接觸它。假如記憶體和運算時間沒有限制，生命遊戲可以用來模擬所有的運算過程；換句話說生命遊戲本身就等於一台電腦。筆者也是在大學的基礎 MATLAB 程式設計課程中，首次認識生命遊戲的，最近重新讀到，頓時興致大發，就在生命遊戲中建立一個泛科學跑馬燈：

生命遊戲屬於一個更大範疇的模型──細胞自動機(cellular automaton)，泛指所有規律格狀的系統，每格處於有限種類的狀態，而這些狀態是由上一世代的相鄰格子狀態來定義出來的。細胞自動機依照演化方式可粗略分成 4 大類，其中最複雜的第 4 類中，幾乎所有初始狀態都會演化成複雜、渾沌和接近隨機的狀態，生命遊戲也屬於第 4 類。由於以上的特性，細胞自動機可以模擬生物過程、物理粒子的交互作用，甚至地理學、經濟學和社會學；甚至有不少科學家提出了一個問題：整個宇宙是否也是個細胞自動機呢？

1986 年法國藝術家奧利維爾．奧柏（Olivier Auber）更提出了「真人版」生命遊戲──Poietic Generator：在傳統生命遊戲中，每個細胞下一回合的命運，純粹由鄰近的細胞決定；而在 Poietic Generator 中，每位玩家一次可以更改點陣圖中其中一格的顏色，由不同玩家透過網路連線共同創作。在這個遊戲中，沒有所謂的輸贏，主要的目標在欣賞和參與大家的創作過程，共同創造出動態的藝術品。

想玩玩看生命遊戲嗎？網路上有許多利用 JavaScript 寫成的模擬器，另外假如想要深入了解生命遊戲和更多規則各異的細胞自動機，筆者建議下載 Golly 這個免費模擬器，在電腦、iPad與Android多平台上都可以使用喔！

參考文獻

• 維基百科
• LifeWiki
• Conway’s Game of Life, Binary Digits

這幾年，越來越多人到日本旅行了。

旅行有所謂的「定番景點」，例如京都金閣寺或清水寺。旅客或者以朝聖的心前往，或者抱持著總得來一下的交報告心態，與金閣寺合影存證。通常，後者比較喜歡私房景點，少了遊覽車與觀光客的喧囂，鏡頭裡沒有十萬個後腦杓，彷彿潛到深水似地，更融入當地的生活。

既然都出國旅行了，當然想體驗些特別的，飛到幾千公里以外的地方，還是去個好像巷口頂好超市一樣，連樓上奶奶上個月都來過的景點，怎麼說也有點讓人洩氣。

至少我是膚淺地這麼認為。

今天就要跟各位介紹一個大隱隱於市的私房景點。不用搭3小時的公車在山路九彎十八拐，只要在參觀廟宇時，稍微抬頭注意一下，就能進入的奇幻世界。

一個由數學、宗教、日本文化構成的特殊景點，藏身在繪馬之中。

※San…gaku？

繪馬通常是拿來許願的，用途有點像擔心拜拜時神明沒聽清楚，在廟裡留下的N次貼。但要是稍微注意看，某些神社的繪馬堂裡，掛了許多大型的繪馬匾額。這些繪馬匾額，不僅是許願，也是貢品。人們畫上珍貴的事物(有點像燒一台賓士的概念)，進貢給神明。

身為一位數學家，最珍貴的必然是自己的數學知識了。

因此，古代日本數學家準備的繪馬上，往往繪製了數學題目。大大小小的三角形、相切相割的圓形、直線，從課本中被移植到了寺廟的匾額中，增添了幾分神秘的色彩。

這種繪馬有個特別的名稱，稱為算額(さんがく:sangaku)。

發文不附圖，此風不可長。

這張照片是去年底我跟朋友在北野天滿宮找到的算額，相當不起眼地被掛在角落。幾年前來天滿宮時我似乎還曾坐在下方，卻從來沒注意到，頭上有一塊畫了十一道幾何題目的匾額。

※算額就是戰鬥陀螺？

數學是由討論圓與方形之間的關係而建構出來的學問，它是我們該學習的六藝中一種：禮、樂、射、騎、寫、與數。這些是人類獨有，動物不需要的技藝。武田老師自幼學習數學，在這間神社裡，他的弟子藉由奉上此枚算額，祈求神明保佑他們的數學能力能有所精進。

 這是某塊算額的序言。

這段話不僅透露出當時對數學的重視，還顯示了日本數學家的師生關係，就好像其他日本技藝的流派，相當緊密、講究禮儀。日本擅長窮盡一項技藝，昇華為文化，例如茶道、書道、陶藝、圍棋等。江戶時代的日本數學家同樣具備這份的精神，以中國傳入的數學為基礎，建立了「和算」。

和算特別之處在於，和算家們喜歡透過出題、解題，像圍棋棋手一樣的對決。

只是，沒有網路的時代該怎麼交流題目呢？

就要靠「算額」。

和算家雲遊四海，到各地神社參拜時，會特別留意是否有算額可以挑戰。換句話說，這些算額就是和算家們的棋盤，他們的戰場。許多和算家窮盡一生，只為了解開對手的題目，或留下無人能解的經典遺題。

1817年到1828年間，和算家山口坎山遊歷日本各處神社，寫下一本遊記《山口坎山道中日記》，紀載了各式各樣的算額，目前是新瀉阿賀野市的有形文化財。我們可以想像，要是山口先生活在21世紀，應該會開個粉絲頁，每天上傳今天拍到的算額，底下附上詳解——然後只有三個人按讚。聽起來有點可憐。

事實上，可能更可憐。

他的日記裡有這麼一段話：

這道題目，我花了四到五年，總算再今年春天我才解出來。不過，這題目其實沒出得很好。我建議每一位學生，與其花時間解這種題目，不如去讀更多數學教科書吧。

也就是說，他的臉書應該是先拍照，寫下「噢噢，看到好題目可以挑戰了」。然後五年後他的朋友會看到「山口回應了他自己在2010年的一則動態」，點進去還是這麼一則抱怨的回應！

※算額的文藝復興

由於算額上繪製的圖案、數學描述並非任何人都能了解，被供奉在廟裡的算額常常會被忽略，許多寶貴的算額也因此消失。到1997年為止, 統計的現存算額僅約884面, 最近這幾年又新發現一些算額, 現存算額總數大約達到900餘面。

不過，這幾年算額在日本逐漸受到重視，某些中小學甚至將算額引入課堂中，作為綜合性的學習素材。老師利用算額，教導學生包括語文，工藝，美術，社會，歷史，數學等各種知識。比起課本，用算額學習應該會有趣許多，學生也能得到更多新的刺激，畢竟知識是整體性的，平常分門別類、切開來學習，偶爾也需要整體學習。

而說到這股算額的熱潮，免不了得提一位傳奇性的高中數學老師——深川英俊。

他原本在愛知縣的某所高中任教，投入大量的時間與精力，獨立研究算額，有了卓越的成果。起先在日本不受重視，但他不放棄，將研究成果寄給數位歐美知名學者，得到了英國幾何大師Dan Pedoe的賞識，兩人合著《Japanese Temple Geometry》。之後他又發表了幾本相關著作，包括代表作《Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry》 (日文版《聖なる数学:算額-世界が注目する江戸文化としての和算》)。現在受邀在日本名城大学擔任兼任講師，在算額這個領域有著重要的地位。不過，比起淵博的算額知識，深川老師對一件事物的全心投入，從無到有的奮鬥過程，我認為更值得學習。

※算額尋寶之旅

要去日本旅行的朋友，除了訂房跟便宜機票網站外，我推薦另一個網站和算之館，它詳細記載了各都道府縣哪間神社、寺廟保有算額。

根據我的經驗是，就算知道哪間神社有，還是得花時間去找。因為很多神社對算額疏於管理，往往會和一般的繪馬擺在一起，充分體現了「藏葉於林」這句成語。好幾次，我站在底下拍照拍半天，也頂多有人探頭看看我在拍什麼，看兩下又離開，完全沒發現這個「數學古董」。事實上，我們還得感謝廟方的疏於管理，不然有些寺廟知道算額是重要文化財，就會收藏起來，怎麼找也找不到。

三百多年前，一群京都的和算家奉旨將一件秘密傳給後代。為了躲避幕府耳目，他們將這個秘密轉換成數學題目，寫在算額上，藏到祭拜學問之神的北野天滿宮。他們對自己的後人能破解算額，找出他們留下的秘密。然而繪師繪製時出了一個差錯，導致題目沒人能解得開。就這樣，三百年過去了……

各位今年去賞櫻賞楓時，如果時間允許的話，不妨加入一趟探訪算額的尋寶行程吧。

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。

（本文同時刊載於 dr. i 部落格 Facebook）

一個平凡的下午，工作累了捧著一杯剛煮好的咖啡走到陽台，看到的是對面大樓外牆排列得井然有序的長方形窗戶，和陽台邊的柵欄，一樣是有規律地重複著同樣的間隔。環顧我們的生活空間，好像規律性的結構無所不在，例如樑柱、磚瓦和地磚等等的各種人造物體，很容易地讓人誤以為只要是有規律的結構，一定就是人造的。而大自然中難道就不存在這樣的規律嗎？其實有的，最典型的例子就是晶體（Crystal）。

什麼是晶體？講講生活中常見的例子很多，料理中常用到的糖和鹽都是晶體，還有金屬、水晶和寶石等等。

意外發現不凡的晶體

一般人認為，晶體是所有固體最基本的特徵，並且是由「原子或分子按照一定的週期性，在空間排列成具有一定規則的幾何外形的固體。」至少很多教科書都還是這麼寫著。

但是在1982年的一項發現，顛覆了這個說法，而這個發現就是「準晶體（Quasicrystal）」。

1982年四月的一天早晨，當時在美國標準技術研究所（NIST）客座研究的以色列籍科學家丹.舍特曼（Dan Shechtman）在實驗室中用晶體學觀測鋁錳合金時，發現了一個不可能出現的繞射圖（圖2）。繞射圖是材料學家常用的一種技術，他們用高能量的光線像是X射線或是電子束照在晶體上，當這些光線穿透過晶體後打在螢幕上，所得到的就是晶體繞射圖，而分析它就能夠得知這個晶體的型狀和結構。

話說回來，為什麼舍特曼所觀察到的繞射圖不可能出現呢？因為長久以來，科學家認為晶體必須要是有週期性地排列，才能延續性地填滿整個平面或空間，而如圖3所示，某些幾何形狀像是五角形是不可能週期性地排列，所以被認定無法成為晶體。而舍特曼在實驗室裡看到的繞射圖顯示晶體擁有五角形的對稱性，正是先前科學家認為不可能存在的晶體結構。

舍特曼十分瞭解這個發現所蘊涵的意義，當下很興奮地從實驗室衝到外面走廊上，找人想要分享這個天大的消息，但是走廊上空無一人，他只好再乖乖地回實驗室做進一步地確認。接下來不管他用什麼方式去確認，證據都確實顯示了這個突破性的發現。

 排山倒海而來的質疑

若你以為科學界會因為舍特曼的發現而歡聲雷動，那可就大錯特錯。當時所有科學家都強烈斥駁他的實驗結果，很多人第一時間斷定是實驗出錯才有可能得到這個結果。

而接下來兩年的時間，他不斷辛苦地捍衛自己的實驗結果，並持續承受其他科學家包括同事們的批評甚至輕蔑，嚴重到當時研究機構的負責人將他趕出團隊，認為整個團隊因他而蒙羞。另一位強烈的反對者是鼎鼎大名的物理學家，並且得過諾貝爾獎兩次的萊納斯.鮑林（Linus Pauling），他到死前都公開嚴厲地反對特舍曼的研究主張。

一直到兩年後，才陸續有科學家願意接受他的發現，並提出佐證。後續研究顯示，原來該晶體的結構跟另一種數學家所發現的結構相同，叫做「潘洛斯圖案（Penrose Tiling）」（圖5）。

準晶體的特性

潘洛斯圖案（圖5）是由英國劍橋大學的數學物理學家羅傑.潘洛斯（Roger Penrose）所發現。這個圖案有什麼樣的特性呢？其中很重要的就是它的對稱性。

這個世界所存在的對稱性分為三種，第一種對稱是所謂的「平移對稱（Translational symmetry）」，就是把一個圖案往某方向直線移動，如果它能和原來的圖案重疊，我們就說它有平移對稱性。除了平移對稱外，還有「旋轉對稱（Rotational symmetry）」和「鏡像對稱（Reflection Symmetry）」，前者是指你可以對著某中心旋轉圖案某固定角度，它能和原來的圖案重疊，而後者是指將圖案對著一條線對折後，圖案可以重疊。所有的對稱都可以用這三個項目來分類。

很特別地，潘洛斯圖案具有「五角形旋轉對稱（5-fold rotational symmetry）」和「鏡像對稱」，但是卻沒有「平移對稱」，也就是說它沒有一般科學家對於晶體所要求的週期性。這個圖形全由兩種菱形不斷地拼接而成，而且如果有人在一個固定面積裡數這兩種菱形的數目，它們的比例會剛好趨近於著名的「黃金比例（Golden Ratio）」。

舍特曼的實驗終於漸漸地被世界各地的科學家重複，並找到相同的結論。事實上很多人曾經觀測到它，但是卻因為不相信自己實驗的結果而放棄深入追究，所以這也告訴了我們相信自己的實驗是多麼重要。

後來科學家們不只驗證了舍特曼是對的，他們更發現了自然界中更多種合金材料有著相同的結構和對稱性，為了有別於以前傳統科學家對於晶體所下的定義，他們稱這種非週期性的晶體為「準晶體（Quasicrystal）」。科學家並發現，有擁這種結構晶體的合金材料特別堅硬。

這個革命性的發現改寫了所有的教科書。1992年國際晶體學協會把原先對於晶體的定義：「一個由原子、分子或離子，規律且重複性排列所組成的三維圖形」正式改為「任何具有干涉條紋的固體（Any solid having an essentially discrete diffraction pattern）」。舍特曼也因此在2011年獲得諾貝爾化學獎。

藝術與設計

造型和結構均是藝術和設計中不可或缺的元素，不管藝術家對什麼結構有興趣，它一定也被科學家研究過，反之亦然。因此，常常會看到晶體在藝術作品中出現。準晶體特別的對稱性讓它看起來不規律，但其中又暗藏著規律，是很多藝術家或設計師喜歡的圖案，也可以說是科學和藝術交匯的最佳範例。

台灣也看得到由準晶體所啓發的藝術作品。dr. i 今年（2014）在台北信義區的五星級飯店「寒舍艾美酒店（Le Meridien Taipei）」(台北市信義區松仁路38號) 內的一樓大廳，完成了一項動態光雕作品《潘洛斯之夢》，歡迎有興趣的讀者可以前去觀賞！

作品說明：「藝術家以英國天文物理學家羅傑.潘洛斯的潘洛斯圖案為發想，特地為台北寒舍艾美酒店量身設計的動態光影裝置。畫面由兩種平行四邊形所組成，圖案的律動與組合無限延伸，呈現科學與藝術的跨領域交匯，以及藝術家對宇宙間美麗定律的探索。」

參考文獻：

1. The Nobel Prize in Chemistry 2011
2. N. G. de Bruijn, “Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane”, Mathematics, Proceedings A 84, 1, (1981)
3. A. L. Mackay, “Crystallography and the Penrose pattern”, Physica 114A, 609, (1982)

這幾年，越來越多人到日本旅行了。

旅行有所謂的「定番景點」，例如京都金閣寺或清水寺。旅客或者以朝聖的心前往，或者抱持著總得來一下的交報告心態，與金閣寺合影存證。通常，後者比較喜歡私房景點，少了遊覽車與觀光客的喧囂，鏡頭裡沒有十萬個後腦杓，彷彿潛到深水似地，更融入當地的生活。

既然都出國旅行了，當然想體驗些特別的，飛到幾千公里以外的地方，還是去個好像巷口頂好超市一樣，連樓上奶奶上個月都來過的景點，怎麼說也有點讓人洩氣。

至少我是膚淺地這麼認為。

今天就要跟各位介紹一個大隱隱於市的私房景點。不用搭3小時的公車在山路九彎十八拐，只要在參觀廟宇時，稍微抬頭注意一下，就能進入的奇幻世界。

一個由數學、宗教、日本文化構成的特殊景點，藏身在繪馬之中。

※San…gaku？

繪馬通常是拿來許願的，用途有點像擔心拜拜時神明沒聽清楚，在廟裡留下的N次貼。但要是稍微注意看，某些神社的繪馬堂裡，掛了許多大型的繪馬匾額。這些繪馬匾額，不僅是許願，也是貢品。人們畫上珍貴的事物(有點像燒一台賓士的概念)，進貢給神明。

身為一位數學家，最珍貴的必然是自己的數學知識了。

因此，古代日本數學家準備的繪馬上，往往繪製了數學題目。大大小小的三角形、相切相割的圓形、直線，從課本中被移植到了寺廟的匾額中，增添了幾分神秘的色彩。

這種繪馬有個特別的名稱，稱為算額(さんがく:sangaku)。

發文不附圖，此風不可長。

這張照片是去年底我跟朋友在北野天滿宮找到的算額，相當不起眼地被掛在角落。幾年前來天滿宮時我似乎還曾坐在下方，卻從來沒注意到，頭上有一塊畫了十一道幾何題目的匾額。

※算額就是戰鬥陀螺？

數學是由討論圓與方形之間的關係而建構出來的學問，它是我們該學習的六藝中一種：禮、樂、射、騎、寫、與數。這些是人類獨有，動物不需要的技藝。武田老師自幼學習數學，在這間神社裡，他的弟子藉由奉上此枚算額，祈求神明保佑他們的數學能力能有所精進。

 這是某塊算額的序言。

這段話不僅透露出當時對數學的重視，還顯示了日本數學家的師生關係，就好像其他日本技藝的流派，相當緊密、講究禮儀。日本擅長窮盡一項技藝，昇華為文化，例如茶道、書道、陶藝、圍棋等。江戶時代的日本數學家同樣具備這份的精神，以中國傳入的數學為基礎，建立了「和算」。

和算特別之處在於，和算家們喜歡透過出題、解題，像圍棋棋手一樣的對決。

只是，沒有網路的時代該怎麼交流題目呢？

就要靠「算額」。

和算家雲遊四海，到各地神社參拜時，會特別留意是否有算額可以挑戰。換句話說，這些算額就是和算家們的棋盤，他們的戰場。許多和算家窮盡一生，只為了解開對手的題目，或留下無人能解的經典遺題。

1817年到1828年間，和算家山口坎山遊歷日本各處神社，寫下一本遊記《山口坎山道中日記》，紀載了各式各樣的算額，目前是新瀉阿賀野市的有形文化財。我們可以想像，要是山口先生活在21世紀，應該會開個粉絲頁，每天上傳今天拍到的算額，底下附上詳解——然後只有三個人按讚。聽起來有點可憐。

事實上，可能更可憐。

他的日記裡有這麼一段話：

這道題目，我花了四到五年，總算再今年春天我才解出來。不過，這題目其實沒出得很好。我建議每一位學生，與其花時間解這種題目，不如去讀更多數學教科書吧。

也就是說，他的臉書應該是先拍照，寫下「噢噢，看到好題目可以挑戰了」。然後五年後他的朋友會看到「山口回應了他自己在2010年的一則動態」，點進去還是這麼一則抱怨的回應！

※算額的文藝復興

由於算額上繪製的圖案、數學描述並非任何人都能了解，被供奉在廟裡的算額常常會被忽略，許多寶貴的算額也因此消失。到1997年為止, 統計的現存算額僅約884面, 最近這幾年又新發現一些算額, 現存算額總數大約達到900餘面。

不過，這幾年算額在日本逐漸受到重視，某些中小學甚至將算額引入課堂中，作為綜合性的學習素材。老師利用算額，教導學生包括語文，工藝，美術，社會，歷史，數學等各種知識。比起課本，用算額學習應該會有趣許多，學生也能得到更多新的刺激，畢竟知識是整體性的，平常分門別類、切開來學習，偶爾也需要整體學習。

而說到這股算額的熱潮，免不了得提一位傳奇性的高中數學老師——深川英俊。

他原本在愛知縣的某所高中任教，投入大量的時間與精力，獨立研究算額，有了卓越的成果。起先在日本不受重視，但他不放棄，將研究成果寄給數位歐美知名學者，得到了英國幾何大師Dan Pedoe的賞識，兩人合著《Japanese Temple Geometry》。之後他又發表了幾本相關著作，包括代表作《Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry》 (日文版《聖なる数学:算額-世界が注目する江戸文化としての和算》)。現在受邀在日本名城大学擔任兼任講師，在算額這個領域有著重要的地位。不過，比起淵博的算額知識，深川老師對一件事物的全心投入，從無到有的奮鬥過程，我認為更值得學習。

※算額尋寶之旅

要去日本旅行的朋友，除了訂房跟便宜機票網站外，我推薦另一個網站和算之館，它詳細記載了各都道府縣哪間神社、寺廟保有算額。

根據我的經驗是，就算知道哪間神社有，還是得花時間去找。因為很多神社對算額疏於管理，往往會和一般的繪馬擺在一起，充分體現了「藏葉於林」這句成語。好幾次，我站在底下拍照拍半天，也頂多有人探頭看看我在拍什麼，看兩下又離開，完全沒發現這個「數學古董」。事實上，我們還得感謝廟方的疏於管理，不然有些寺廟知道算額是重要文化財，就會收藏起來，怎麼找也找不到。

三百多年前，一群京都的和算家奉旨將一件秘密傳給後代。為了躲避幕府耳目，他們將這個秘密轉換成數學題目，寫在算額上，藏到祭拜學問之神的北野天滿宮。他們對自己的後人能破解算額，找出他們留下的秘密。然而繪師繪製時出了一個差錯，導致題目沒人能解得開。就這樣，三百年過去了……

各位今年去賞櫻賞楓時，如果時間允許的話，不妨加入一趟探訪算額的尋寶行程吧。

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。