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科學家意外發現的晶體與它的藝術美學

dr. i
・2014/08/25 ・2812字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 531 ・七年級

(本文同時刊載於 dr. i 部落格 Facebook

一個平凡的下午,工作累了捧著一杯剛煮好的咖啡走到陽台,看到的是對面大樓外牆排列得井然有序的長方形窗戶,和陽台邊的柵欄,一樣是有規律地重複著同樣的間隔。環顧我們的生活空間,好像規律性的結構無所不在,例如樑柱、磚瓦和地磚等等的各種人造物體,很容易地讓人誤以為只要是有規律的結構,一定就是人造的。而大自然中難道就不存在這樣的規律嗎?其實有的,最典型的例子就是晶體(Crystal)。

什麼是晶體?講講生活中常見的例子很多,料理中常用到的糖和鹽都是晶體,還有金屬、水晶和寶石等等。

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圖 1 鹽的晶體

意外發現不凡的晶體

一般人認為,晶體是所有固體最基本的特徵,並且是由「原子或分子按照一定的週期性,在空間排列成具有一定規則的幾何外形的固體。」至少很多教科書都還是這麼寫著。

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但是在1982年的一項發現,顛覆了這個說法,而這個發現就是「準晶體(Quasicrystal)」。

1982年四月的一天早晨,當時在美國標準技術研究所(NIST)客座研究的以色列籍科學家丹.舍特曼(Dan Shechtman)在實驗室中用晶體學觀測鋁錳合金時,發現了一個不可能出現的繞射圖(圖2)。繞射圖是材料學家常用的一種技術,他們用高能量的光線像是X射線或是電子束照在晶體上,當這些光線穿透過晶體後打在螢幕上,所得到的就是晶體繞射圖,而分析它就能夠得知這個晶體的型狀和結構。

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圖2 舍特曼在實驗室所觀測到的晶體繞涉圖(左圖),分析過後可見五角形的結構(右圖)

話說回來,為什麼舍特曼所觀察到的繞射圖不可能出現呢?因為長久以來,科學家認為晶體必須要是有週期性地排列,才能延續性地填滿整個平面或空間,而如圖3所示,某些幾何形狀像是五角形是不可能週期性地排列,所以被認定無法成為晶體。而舍特曼在實驗室裡看到的繞射圖顯示晶體擁有五角形的對稱性,正是先前科學家認為不可能存在的晶體結構。

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圖3 中看的出來3、4和6角形都可以週期性地延伸,但五角形卻沒辦法。

舍特曼十分瞭解這個發現所蘊涵的意義,當下很興奮地從實驗室衝到外面走廊上,找人想要分享這個天大的消息,但是走廊上空無一人,他只好再乖乖地回實驗室做進一步地確認。接下來不管他用什麼方式去確認,證據都確實顯示了這個突破性的發現。

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 排山倒海而來的質疑

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圖4 以色列籍科學家丹.舍特曼

若你以為科學界會因為舍特曼的發現而歡聲雷動,那可就大錯特錯。當時所有科學家都強烈斥駁他的實驗結果,很多人第一時間斷定是實驗出錯才有可能得到這個結果。

而接下來兩年的時間,他不斷辛苦地捍衛自己的實驗結果,並持續承受其他科學家包括同事們的批評甚至輕蔑,嚴重到當時研究機構的負責人將他趕出團隊,認為整個團隊因他而蒙羞。另一位強烈的反對者是鼎鼎大名的物理學家,並且得過諾貝爾獎兩次的萊納斯.鮑林(Linus Pauling),他到死前都公開嚴厲地反對特舍曼的研究主張。

一直到兩年後,才陸續有科學家願意接受他的發現,並提出佐證。後續研究顯示,原來該晶體的結構跟另一種數學家所發現的結構相同,叫做「潘洛斯圖案(Penrose Tiling)」(圖5)。

penrosetiling
圖5 潘洛斯圖案(Penrose tiling)

準晶體的特性

潘洛斯圖案(圖5)是由英國劍橋大學的數學物理學家羅傑.潘洛斯(Roger Penrose)所發現。這個圖案有什麼樣的特性呢?其中很重要的就是它的對稱性。

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這個世界所存在的對稱性分為三種,第一種對稱是所謂的「平移對稱(Translational symmetry)」,就是把一個圖案往某方向直線移動,如果它能和原來的圖案重疊,我們就說它有平移對稱性。除了平移對稱外,還有「旋轉對稱(Rotational symmetry)」和「鏡像對稱(Reflection Symmetry)」,前者是指你可以對著某中心旋轉圖案某固定角度,它能和原來的圖案重疊,而後者是指將圖案對著一條線對折後,圖案可以重疊。所有的對稱都可以用這三個項目來分類。

很特別地,潘洛斯圖案具有「五角形旋轉對稱(5-fold rotational symmetry)」和「鏡像對稱」,但是卻沒有「平移對稱」,也就是說它沒有一般科學家對於晶體所要求的週期性。這個圖形全由兩種菱形不斷地拼接而成,而且如果有人在一個固定面積裡數這兩種菱形的數目,它們的比例會剛好趨近於著名的「黃金比例(Golden Ratio)」。

舍特曼的實驗終於漸漸地被世界各地的科學家重複,並找到相同的結論。事實上很多人曾經觀測到它,但是卻因為不相信自己實驗的結果而放棄深入追究,所以這也告訴了我們相信自己的實驗是多麼重要。

後來科學家們不只驗證了舍特曼是對的,他們更發現了自然界中更多種合金材料有著相同的結構和對稱性,為了有別於以前傳統科學家對於晶體所下的定義,他們稱這種非週期性的晶體為「準晶體(Quasicrystal)」。科學家並發現,有擁這種結構晶體的合金材料特別堅硬。

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quasicrystal
圖6 準晶體材料表面的模擬圖。

這個革命性的發現改寫了所有的教科書。1992年國際晶體學協會把原先對於晶體的定義:「一個由原子、分子或離子,規律且重複性排列所組成的三維圖形」正式改為「任何具有干涉條紋的固體(Any solid having an essentially discrete diffraction pattern)」。舍特曼也因此在2011年獲得諾貝爾化學獎。

藝術與設計

造型和結構均是藝術和設計中不可或缺的元素,不管藝術家對什麼結構有興趣,它一定也被科學家研究過,反之亦然。因此,常常會看到晶體在藝術作品中出現。準晶體特別的對稱性讓它看起來不規律,但其中又暗藏著規律,是很多藝術家或設計師喜歡的圖案,也可以說是科學和藝術交匯的最佳範例。

台灣也看得到由準晶體所啓發的藝術作品。dr. i 今年(2014)在台北信義區的五星級飯店「寒舍艾美酒店(Le Meridien Taipei)」(台北市信義區松仁路38號) 內的一樓大廳,完成了一項動態光雕作品《潘洛斯之夢》,歡迎有興趣的讀者可以前去觀賞!

作品說明:「藝術家以英國天文物理學家羅傑.潘洛斯的潘洛斯圖案為發想,特地為台北寒舍艾美酒店量身設計的動態光影裝置。畫面由兩種平行四邊形所組成,圖案的律動與組合無限延伸,呈現科學與藝術的跨領域交匯,以及藝術家對宇宙間美麗定律的探索。」

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Camera 360

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台北寒舍艾美酒店一樓大廳由筆者所設計之動態光影藝術(by 劉辰岫)
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皇家墨爾本科技學院(by Michael J. Ostwald)
penrose.tiles
皇家墨爾本科技學院(by Michael J. Ostwald)

參考文獻:

  1. The Nobel Prize in Chemistry 2011
  2. N. G. de Bruijn, “Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane”, Mathematics, Proceedings A 84, 1, (1981)
  3. A. L. Mackay, “Crystallography and the Penrose pattern”, Physica 114A, 609, (1982)
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dr. i
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小時候的啓蒙師父是小叮噹,偶像是馬蓋先,並崇拜發明燈泡的愛迪生,當時志向是發明會飛的車。在歐洲旅居十二年後回台灣,目前投身科技與藝術的跨界整合以及科學教育和傳播,現任國立台灣師範大學科技與文創講座兼任助理教授。dr. i 一輩子最大的幻想,是能夠使用時光機和隱形風衣。如果您恰巧擁有其中一項,請拜託用以下的連絡方式連絡!http://facebook.com/newartandscience

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人與 AI 的關係是什麼?走進「2024 未來媒體藝術節」,透過藝術創作尋找解答
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/10/24 ・3176字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文與財團法人臺灣生活美學基金會合作。 

AI 有可能造成人們失業嗎?還是 AI 會成為個人專屬的超級助理?

隨著人工智慧技術的快速發展,AI 與人類之間的關係,成為社會大眾目前最熱烈討論的話題之一,究竟,AI 會成為人類的取代者或是協作者?決定關鍵就在於人們對 AI 的了解和運用能力,唯有人們清楚了解如何使用 AI,才能化 AI 為助力,提高自身的工作效率與生活品質。

有鑑於此,目前正於臺灣當代文化實驗場 C-LAB 展出的「2024 未來媒體藝術節」,特別將展覽主題定調為奇異點(Singularity),透過多重視角探討人工智慧與人類的共生關係。

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C-LAB 策展人吳達坤進一步說明,本次展覽規劃了 4 大章節,共集結來自 9 個國家 23 組藝術家團隊的 26 件作品,帶領觀眾從了解 AI 發展歷史開始,到欣賞各種結合科技的藝術創作,再到與藝術一同探索 AI 未來發展,希望觀眾能從中感受科技如何重塑藝術的創造範式,進而更清楚未來該如何與科技共生與共創。

從歷史看未來:AI 技術發展的 3 個高峰

其中,展覽第一章「流動的錨點」邀請了自牧文化 2 名研究者李佳霖和蔡侑霖,從軟體與演算法發展、硬體發展與世界史、文化與藝術三條軸線,平行梳理 AI 技術發展過程。

圖一、1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧」一詞

藉由李佳霖和蔡侑霖長達近半年的調查研究,觀眾對 AI 發展有了清楚的輪廓。自 1956 年達特茅斯會議提出「人工智慧(Artificial Intelligence))」一詞,並明確定出 AI 的任務,例如:自然語言處理、神經網路、計算學理論、隨機性與創造性等,就開啟了全球 AI 研究浪潮,至今將近 70 年的過程間,共迎來三波發展高峰。

第一波技術爆發期確立了自然語言與機器語言的轉換機制,科學家將任務文字化、建立推理規則,再換成機器語言讓機器執行,然而受到演算法及硬體資源限制,使得 AI 只能解決小問題,也因此進入了第一次發展寒冬。

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圖二、1957-1970 年迎來 AI 第一次爆發

之後隨著專家系統的興起,讓 AI 突破技術瓶頸,進入第二次發展高峰期。專家系統是由邏輯推理系統、資料庫、操作介面三者共載而成,由於部份應用領域的邏輯推理方式是相似的,因此只要搭載不同資料庫,就能解決各種問題,克服過去規則設定無窮盡的挑戰。此外,機器學習、類神經網路等技術也在同一時期誕生,雖然是 AI 技術上的一大創新突破,但最終同樣受到硬體限制、技術成熟度等因素影響,導致 AI 再次進入發展寒冬。

走出第二次寒冬的關鍵在於,IBM 超級電腦深藍(Deep Blue)戰勝了西洋棋世界冠軍 Garry Kasparov,加上美國學者 Geoffrey Hinton 推出了新的類神經網路算法,並使用 GPU 進行模型訓練,不只奠定了 NVIDIA 在 AI 中的地位, 自此之後的 AI 研究也大多聚焦在類神經網路上,不斷的追求創新和突破。

圖三、1980 年專家系統的興起,進入第二次高峰

從現在看未來:AI 不僅是工具,也是創作者

隨著時間軸繼續向前推進,如今的 AI 技術不僅深植於類神經網路應用中,更在藝術、創意和日常生活中發揮重要作用,而「2024 未來媒體藝術節」第二章「創造力的轉變」及第三章「創作者的洞見」,便邀請各國藝術家展出運用 AI 與科技的作品。

圖四、2010 年發展至今,高性能電腦與大數據助力讓 AI 技術應用更強

例如,超現代映畫展出的作品《無限共作 3.0》,乃是由來自創意科技、建築師、動畫與互動媒體等不同領域的藝術家,運用 AI 和新科技共同創作的作品。「人們來到此展區,就像走進一間新科技的實驗室,」吳達坤形容,觀眾在此不僅是被動的觀察者,更是主動的參與者,可以親身感受創作方式的轉移,以及 AI 如何幫助藝術家創作。

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圖五、「2024 未來媒體藝術節——奇異點」展出現場,圖為超現代映畫的作品《無限共作3.0》。圖/C-LAB 提供

而第四章「未完的篇章」則邀請觀眾一起思考未來與 AI 共生的方式。臺灣新媒體創作團隊貳進 2ENTER 展出的作品《虛擬尋根-臺灣》,將 AI 人物化,採用與 AI 對話記錄的方法,探討網路發展的歷史和哲學,並專注於臺灣和全球兩個場景。又如國際非營利創作組織戰略技術展出的作品《無時無刻,無所不在》,則是一套協助青少年數位排毒、數位識毒的方法論,使其更清楚在面對網路資訊時,該如何識別何者為真何者為假,更自信地穿梭在數位世界裡。

透過歷史解析引起共鳴

在「2024 未來媒體藝術節」規劃的 4 大章節裡,第一章回顧 AI 發展史的內容設計,可說是臺灣近年來科技或 AI 相關展覽的一大創舉。

過去,這些展覽多半以藝術家的創作為展出重點,很少看到結合 AI 發展歷程、大眾文明演變及流行文化三大領域的展出內容,但李佳霖和蔡侑霖從大量資料中篩選出重點內容並儘可能完整呈現,讓「2024 未來媒體藝術節」觀眾可以清楚 AI 技術於不同階段的演進變化,及各發展階段背後的全球政治經濟與文化狀態,才能在接下來欣賞展區其他藝術創作時有更多共鳴。

圖六、「2024 未來媒體藝術節——奇異點」分成四個章節探究 AI 人工智慧時代的演變與社會議題,圖為第一章「流動的錨點」由自牧文化整理 AI 發展歷程的年表。圖/C-LAB 提供

「畢竟展區空間有限,而科技發展史的資訊量又很龐大,在評估哪些事件適合放入展區時,我們常常在心中上演拉鋸戰,」李佳霖笑著分享進行史料研究時的心路歷程。除了從技術的重要性及代表性去評估應該呈現哪些事件,還要兼顧詞條不能太長、資料量不能太多、確保內容正確性及讓觀眾有感等原則,「不過,歷史事件與展覽主題的關聯性,還是最主要的決定因素,」蔡侑霖補充指出。

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舉例來說,Google 旗下人工智慧實驗室(DeepMind)開發出的 AI 軟體「AlphaFold」,可以準確預測蛋白質的 3D 立體結構,解決科學家長達 50 年都無法突破的難題,雖然是製藥或疾病學領域相當大的技術突破,但因為與本次展覽主題的關聯性較低,故最終沒有列入此次展出內容中。

除了內容篩選外,在呈現方式上,2位研究者也儘量使用淺顯易懂的方式來呈現某些較為深奧難懂的技術內容,蔡侑霖舉例說明,像某些比較艱深的 AI 概念,便改以視覺化的方式來呈現,為此上網搜尋很多與 AI 相關的影片或圖解內容,從中找尋靈感,最後製作成簡單易懂的動畫,希望幫助觀眾輕鬆快速的理解新科技。

吳達坤最後指出,「2024 未來媒體藝術節」除了展出藝術創作,也跟上國際展會發展趨勢,於展覽期間規劃共 10 幾場不同形式的活動,包括藝術家座談、講座、工作坊及專家導覽,例如:由策展人與專家進行現場導覽、邀請臺灣 AI 實驗室創辦人杜奕瑾以「人工智慧與未來藝術」為題舉辦講座,希望透過帶狀活動創造更多話題,也讓展覽效益不斷發酵,讓更多觀眾都能前來體驗由 AI 驅動的未來創新世界,展望 AI 在藝術與生活中的無限潛力。

展覽資訊:「未來媒體藝術節——奇異點」2024 Future Media FEST-Singularity 
展期 ▎2024.10.04 ( Fri. ) – 12.15 ( Sun. ) 週二至週日12:00-19:00,週一休館
地點 ▎臺灣當代文化實驗場圖書館展演空間、北草坪、聯合餐廳展演空間、通信分隊展演空間
指導單位 ▎文化部
主辦單位 ▎臺灣當代文化實驗場

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【2011 諾貝爾化學獎】與確立的知識奮戰:黃金比例的晶體——準晶體
諾貝爾化學獎譯文_96
・2022/07/03 ・5569字 ・閱讀時間約 11 分鐘

本文轉載自諾貝爾化學獎專題系列,原文為《【2011諾貝爾化學獎】具有黃金比例的晶體 — 準晶

  • 譯者/蔡蘊明|台大化學系名譽教授
  • 圖/曹一允|美國德州農工大學 Karen Wooley 教授指導下取得博士,現於日本萊雅公司進行研究。

十重對稱的黃金比例

當丹尼.謝西曼(Daniel Shechtman)將這個讓他得到 2011 年諾貝爾化學獎的發現登記於實驗記錄簿上時,在後面寫下了三個問號,因為從那些在他眼前的晶體裡面的原子,產生了一個不可能的對稱性,那就好像一個足球——一個球面 ——不可能只由正六邊形組成。從此之後,有趣的馬賽克圖案(Mosaic)、數學裡面的黃金比例以及藝術,幫科學家們解釋了謝西曼那令人困惑的觀察。

「Eyn chaya kazoo」,丹尼.謝西曼用希伯來語告訴自己「不可能有這種東西」。時值 1982 年 4 月 8 號的早晨,他正在研究的物質,是一個由鋁和錳組成的混合物,看起來很奇怪,因此他用電子顯微鏡,企圖從原子的層次來觀察,但是透過電子顯微鏡得到的圖像,卻違反了所有的邏輯:他看到一些同心圓,每一個都是由十個相互等距的亮點所組成(圖 1)。

謝西曼迅速地將灼熱的熔化金屬冷卻下來。這種溫度的突然改變應該會讓原子的排列混亂,但是他所觀察到的圖案,卻說出了一個完全不同的故事:那些原子以一種違反自然定律的方式而排列。謝西曼一再重複地數著那些點,四個或六個點是可能的,但十個是絕不可能。他在實驗記錄簿上寫下:十重對稱???

一個未知的發現

為了瞭解謝西曼的實驗結果,以及為何他會如此驚訝,讓我們想像下面的一個課堂實驗:一位物理老師讓光通過一個鑿有縫隙的金屬板,一個被稱為繞射光柵的物體(圖 2),當光波通過這個光柵時,它會產生折射,就好像海浪的波紋通過一個防波堤的開口一般。

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在光柵的另一邊,波紋以一個半圓方式散開,並與其它的波紋相交,波峰與波谷相互地加強或減弱。在繞射光柵後面的螢幕上,一種具有明暗的紋路出現,稱為繞射圖紋。

這就是謝西曼在 1982 年 4 月早晨所得到的那種繞射圖紋(圖 1),只不過他的實驗是不同的:他不是用光,而是用電子(註:電子具有波的性質),而他的光柵就是那個快速冷卻了的金屬原子之間的縫隙。

此外,他的實驗是三度空間的,而非平面的。

圖 1:丹尼.謝西曼的繞射圖紋具有十重對稱:將此圖轉動十分之一的圓周角度時(36 度)可得到相同的圖案。圖/諾貝爾獎官網
圖 2:光通過一個繞射光柵產生散射,產生的波相互干涉得到繞射圖案。圖/諾貝爾獎官網

那個繞射圖紋顯示,在那金屬之內的原子是排列成一個整齊有序的晶體。這當然不意外,幾乎所有的固體物質,不論是冰塊或金子,都具有整齊的晶體。雖然謝西曼使用電子顯微鏡非常有經驗,然而,一個由十個亮點排列成的圓形,卻是過去他從未看到過的。

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更有甚者,這樣的晶體並沒有被列在國際晶體規格表之內,那是一個結晶學的主要參考指引。在當時的科學,明訂了一個由十個亮點排列成的圓形圖紋是不可能的,而其證明是非常簡單而明顯的。

違反所有邏輯的圖紋

在一個晶體中,原子是以固定而重複的方式排列的。決定於化學的組成,它們會具有不同的對稱性。在圖 3a 中,我們可以看到每一個原子是由三個原子圍繞著,而形成不斷重複的排列圖案,產生一個三重對稱;將此圖案轉動 120 度,又會得到相同的圖案。

同樣的原理發生在四重對稱(圖 3b)以及六重對稱(圖 3c),圖案不斷重複。當你個別地轉動 90 度或 60 度,相同的圖案會重複出現。

圖 3:晶體中不同的對稱性。具有五重對稱的晶體結構單元無法重複。圖/諾貝爾獎官網

然而,五重對稱(圖 3d)是不可能的,某些原子之間的距離會小於其它原子之間的距離,也就是說,相同的圖案不會重複。科學家認為這足以證明五重對稱不可能存在於晶體中。同樣的原因存在於七重對稱或更高重的對稱。

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謝西曼卻發現,他的圖案轉動一個圓的十分之一的角度(36 度)時,又可得到相同的圖案。他的確看到了一個被認為不可能的十重對稱,因此,不意外地,他在實驗記錄簿上寫下了三個問號。

基本假設出錯了

在美國國家標準局(NIST),謝西曼從他的辦公室向外探頭,望了望走廊,希望能看到某一個可以與他分享發現的人,但是走廊空無一人,所以他回到電子顯微鏡前,對那個晶體繼續進一步的實驗。其中他重複地確認所得到的不是巒晶(twin crystal):兩種共生的晶體享有相同的晶面,而導致了奇怪的繞射圖紋;但是他無法找到任何的跡象顯示那是巒晶。

除此之外,他將電子顯微鏡下的晶體轉動,看看到底要轉多少度可以讓這個十重對稱的繞射圖紋重複出現。實驗顯示晶體的對稱性與圖紋的十重對稱不同,但仍然是一個不可能的五重對稱。謝西曼的結論是:科學界的基本假設是錯誤的

當謝西曼告訴科學家們他的發現時,他面對了完全的否定,一些同事們甚至認為這根本是無稽之談,許多人宣稱他所得到的是巒晶。實驗室的主管丟給了他一本結晶學教科書,建議他讀讀。謝西曼當然知道教科書裡面說了什麼,但是他更相信自己的實驗。

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根據謝西曼的回憶,所有的騷動終於導致他的老闆要求他離開那個研究小組,狀況變得非常難堪。

與已知奮戰

謝西曼是在以色列科技大學(Technion-Israel Institute of Technology)修得博士學位的。在 1983 年,他引發了在他母校任職的伊蘭.布雷契(Ilan Blech)對這個研究的興趣,他們合力企圖解釋此一繞射圖紋,並轉譯成為原子在晶體內的排列模式。

於 1984 年夏,他們送了一份論文稿到應用物理期刊(Journal of Applied Physics),但是該稿似乎在收到當日,就即刻被編輯退回。

接著,謝西曼向約翰.康(John Cahn)提出要求。康是一位著名的物理學家,也是當初邀聘謝西曼到 NIST 的人。謝西曼希望康能看看他的數據。這位通常很忙的學者終於答應,接著,康與一位法國的結晶學家丹尼斯.格拉提亞斯(Denis Gratias)諮詢,看看謝西曼是否忽略了什麼,但是根據格拉提亞斯的檢驗,謝西曼的實驗是可以信賴的,格拉提亞斯如果親自做那些實驗,也會使用同樣的方法。

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在 1984 年的十一月,偕同了康、布雷契與格拉提亞斯,謝西曼等人終於在 Physical Review Letters 這份期刊中,共同發表了他的數據。這篇論文像顆炸彈一般,投在結晶學者之間。它質疑了他們的科學學門中的最基本教條:所有的晶體具有重複的週期性結構模式。

揭開知識的迷障

現在這項發現觸及了更多的讀者,而謝西曼成為了更多批評的目標。不過,在此同時,全世界的結晶學者們都產生了一種似曾相識的感覺,許多人在分析一些其它的物質時,也曾經得到過類似的繞射圖紋,但是當初,他們都將之視為巒晶的證據。現在,他們開始翻箱倒櫃,找出以前的實驗記錄簿,很快發現有些其它的晶體也會產生這種看似不可能的圖紋,譬如八重和十二重的對稱。

在謝西曼發表了他的發現之後,他仍然不知道那個奇怪的晶體內部結構到底如何。顯然地,它的對稱性是五重的,那是何種堆疊方式呢?這個答案卻從另一個未曾料到的領域而得:數學中的馬賽克遊戲。

用以解謎的馬賽克

數學家們喜歡用迷團和邏輯問題來挑戰自我。於 1960 年代,他們開始思索是否可以用有限數目的圖案塊,舖出不會重複的馬賽克圖案,創造一種所謂的「非週期馬賽克」。

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頭一個成功的嘗試是在 1966 年,由一位美國的數學家所發表,但是他需要超過兩萬種圖案塊來做到,這很難讓著迷於精簡的數學家滿足。當更多的數學家投入這項挑戰,需要的不同圖案塊數目穩定下修。

終於,在 1970 年代中期,一位英國數學教授羅傑.潘洛斯(Roger Penrose)對此問題提出了一個最漂亮的解答。他用僅僅兩種圖案塊創造出非週期馬賽克,例如一胖一瘦的菱形(圖 4-1)。

潘洛斯的馬賽克在好幾個不同方面啟發了學界,其中之一是他的發現被用來分析中世紀伊斯蘭綺理(Girih)圖案。我們也發現阿拉伯藝術家早在 13 世紀就創造出了非週期馬賽克,這種馬賽克裝飾著非凡的西班牙阿罕布拉宮,還有伊朗 Darb-i Imam 寺廟的入口和穹頂。

結晶學者艾倫.馬凱(Alan Mackay)運用潘洛斯的馬賽克於另一個方面,他想探究構成物質的原子是否也能如同非週期馬賽克的圖案般排列。他做了一個實驗,用代表原子的圓圈放置在潘洛斯的馬賽克圖案的交點位置(圖 4-2),然後用這樣的圖案作成繞射光柵,來看會得到何種繞射圖案,結果得到一個十重對稱——十個光點圍成一圈。

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馬凱的模型與謝西曼的繞射圖紋之間的關聯性,接著被物理學家保羅.史坦哈特(Paul Steinhardt)與多夫.李凡(Dov Levine)所發現。謝西曼的論文在 Physical Review Letters 這份期刊上發表之前,編輯將該文稿交由其他的科學家審核,在這個過程中,史坦哈特有機會看到這份文章,他早就對馬凱的模型熟悉,因此體認到馬凱的理論模型,存在現實世界中,亦存在於謝西曼在 NIST 的實驗室裡。

在 1984 年的聖誕夜,就在謝西曼的論文出刊後的四週,史坦哈特與李凡發表了一篇論文,其中描述了準晶體(quasicrystal)以及它的非週期馬賽克排列。在這篇論文中,準晶體得到了它的名字。

關鍵的黃金比例

準晶體與非週期馬賽克具有一項共同的迷人特質,那是一個在數學與藝術中不斷出現的黃金比例,亦即數學常數 tau。例如:在潘洛斯的馬賽克中,胖的和瘦的菱形數目的比例是 tau;類似地,準晶體中原子間的不同距離的比例,總是與 tau 相關。

13 世紀的義大利數學家費布那西(Fibonacci),從一個有關兔子繁殖的假設性實驗中找到的一系列數字中,描述了這個數學常數 tau。在這個著名的數列中,每一個數字是前兩個數字之和:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144 等等。如果將一個費氏數列中較大的數字除以前一個數字,例如 144/89,你就會得到一個接近黃金比例的數字。

當科學家想要用一個繞射圖紋來描述準晶體中的原子排列時,費氏數列與黃金比例對他們是很重要的。費氏數列也可以解釋 2011 年的諾貝爾化學獎所表彰的發現,為何改變了化學家對晶體結構的規律性之看法。

費氏數列解釋了為何準晶體改變了化學家對晶體結構規律性的看法。 圖/seventyfourimages

不會重複的規律

先前,化學家解釋晶體的規律性在於一個週期性不斷重複的模式。費氏數列雖然不會重複,卻也是規律的,因為它遵守一個數學的規則。

在準晶體中,原子間的距離與費氏數列相關,原子以規律的方式排列,化學家可以預測一個準晶體中的結構是何樣,不過這種規律性與具有周期性結構的晶體是不同的。

在 1992 年,這個認知導致了國際結晶學會改變了他們對晶體的定義。先前對晶體的定義是「一個物質,其中組成的原子、分子或離子以一個整齊而且重複的方式堆疊成立體的型態」,現在新的定義是「任何固體,基本上具有可區別的繞射圖紋」,這個定義比較寬廣,而且允許未來可能發現的其它種晶體。

準晶體也存在於…

從他們 1982 年的發現之後,數以百計的準晶體在全球許多實驗室中被合成,但一直到了 2009 年的夏天,科學家才第一次報導了天然的準晶體。他們發現了一種採自東俄的哈吐卡(Khatyrka)河的樣本中之礦石。這種礦石是由鋁、銅和鐵組成,具有一個十重對稱的繞射圖紋。它被稱為二十面石(icosahedrite),此名源自於二十面體(icosahedron),那是一種具有 20 個正三角形面的幾何固體,黃金比例存在於其幾何結構中。

準晶體也被發現存在於一種世界上最耐用的鐵當中。在嘗試不同組合的金屬時,一家瑞典的公司成功的製備出一種鐵,具有許多令人驚訝的良好特質。分析它的原子排列結構時,顯示它具有兩種相:硬鐵的準晶體嵌在一種較軟的鐵中,此一準晶體具有一種盔甲的功能。現在它被用於刮鬍刀片,以及眼睛手術的細針等產品中。

準晶體現在也被用在刮鬍刀中。 圖/Pressmaster

除了特別堅硬外,準晶體能像玻璃般輕易的碎裂。

由於其特殊原子排列結構,它們也是很差的熱與電的導體,以及含有不具黏性的表面。其低熱傳導的性質可以讓它們成為有用的熱電材料,能將熱轉為電,發展這種材料的目的在解決熱能的再利用,例如用在汽車與卡車上。現在科學家們正在實驗將準晶體用做像是煎鍋,以及節能的發光二極體(LED)之表面塗料,或是作為引擎的隔熱等等。

保持開放的心

謝西曼的故事並非唯一。

在科學的歷史中,一再地有研究工作者被迫與已經建立的「真理」作戰。事後看來,那些真理不過是一些假設。謝西曼和他的準晶體所面對過的最嚴厲批評,來自於鮑林(Linus Pauling),他曾得過兩次諾貝爾獎。這很清楚地顯示,即使是我們最偉大的科學家,也無法免疫於被陷在舊教條當中。

保持一個開放的心態,勇於質疑已經建立的知識,實際上可能是科學家們最重要的性格特質。

參考資料

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諾貝爾化學獎譯文_96
15 篇文章 ・ 23 位粉絲
「諾貝爾化學獎專題」系列文章,為臺大化學系名譽教授蔡蘊明等譯者,依諾貝爾化學獎委員會的新聞稿編譯而成。泛科學獲得蔡蘊明老師授權,將多年來的編譯文章收錄於此。 原文請參見:諾貝爾化學獎專題系列

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電腦裡的生命遊戲,等你挑戰讓生命無限延續!
艾粒安鈉
・2016/03/23 ・2997字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 534 ・七年級

相信大家對蝴蝶效應butterfly effect)耳熟能詳,最簡單的譬喻大概是:台灣美濃的一隻蝴蝶輕拍一下翅膀,可能造成影響美國佛羅里達州的颶風。由於氣候系統是動態的,初始條件微不足道的變化,可能造成影響整個系統的巨大連鎖反應。可是這個蝴蝶變颶風的「實例」說得簡單,實際上卻很難想像和驗證啊!不打緊,只要我們打開電腦或平板,玩一玩生命遊戲Game of Life),就能在螢幕上看到蝴蝶效應了!

康威生命遊戲中的泛科學跑馬燈!
康威生命遊戲中的泛科學跑馬燈!

遊戲規則

生命遊戲是由英國數學家約翰.何頓.康威(John Horton Conway)發明,刊登在《科學人》雜誌的數學遊戲專欄。生命遊戲的名稱,來自遊戲模擬的就是真實世界當中的生物。首先假設一個方形的棋盤格,每一格都是一個細胞的空間;遊戲開始時,我們可以扮演「上帝」的角色,任意決定棋盤上哪些細胞是活的。之後細胞就遵循下列規則,與周圍相鄰的8個細胞互動:

  • 假如一個活細胞周圍有 2~3 個活細胞,這個活細胞就能繼續存活到下一世代。
  • 假如一個活細胞周圍 <2 個或 >3 個活細胞,這個活細胞就會因為「資源不足」或「過度擁擠」,在下一世代死亡。
  • 假如一個死細胞周圍恰好有 3 個活細胞,這個死細胞就會在下一世代復活,象徵「細胞繁殖」。

同一個世代的每個細胞同時依照以上三個規則運算後,就產生下一世代的細胞圖,如此周而復始。大家有沒有注意到了:生命遊戲開始之後,不需要玩家插手,就可以一直繼續玩下去了!所以這是一個零玩家遊戲,只要初始條件設定好,我們就可以泡杯咖啡,靜靜觀察這些細胞自我繁殖的過程。

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生命遊戲的多變圖案

康威當初在設計生命遊戲時,經過許多實驗精心考慮規則,使細胞不會爆炸性繁殖,又能從相對簡單的初始條件,產生難以預測的結果。生命遊戲更具有「不可決定性」的特點:給定任意起始條件 A 和最終條件 B,判斷 A 的後續世代中是否會造成 B 的演算法是不存在的。因此上述的規則看似簡單,卻能衍生出非常複雜又引人入勝的圖案。一個穩定繁殖中的圖案,往往只要稍微改變幾個細胞,就會產生骨牌效應,把整個系統搞砸,或者產生出令人意想不到的結果!數學家與電腦科學家們往往會用現實生活中的物品,為他們發現的圖案命名。

首先最單調的就是靜物(still lifes),也就是世世代代都不動如山的圖案,最簡單的圖案有下面幾種,其中白色圓點代表活細胞,藍色空白處為死細胞:

game of life-still lifes

我們可以用上面的規則檢查看看,上面每個圖案中,是不是所有的細胞都會維持原本狀態呢?

稍微有趣一點的是振盪器(oscillators),顧名思義,就是在世代發展的過程中,會在幾個不同圖案之間循環。振盪器可以有不同週期,數學家已經發現了很多週期的振盪器,但卻還找不到週期為 19、23、34、38、41 的,這是個非常有趣而具有挑戰性的問題。

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game of life-oscillators

太空船(spaceships)就更有意思了,這些圖案會隨著世代發展在棋盤格上移動或「飛行」。太空船中最有名的大概就是滑翔翼(glider,下圖左)了,只要路線上沒有東西阻礙,就會沿著對角線永無止境地滑翔。由於許多程式設計師喜歡玩生命遊戲,結構簡單的滑翔翼被許多駭客們當作標誌。各種太空船的速度不盡相同(下圖右),但就像現實生活中所有物體移動和資訊傳播都沒辦法超越光速,生命遊戲中也有「光速」(一樣用 c 表示):由於一個細胞每世代只能影響到相鄰的細胞,所以生命遊戲中的光速就是每世代一格,所有太空船都沒辦法超過這個速度。

Game_of_life_animated_glider     Animated_spaceships

康威曾經懷疑,生命遊戲中是否有圖案能夠永無止盡繁殖下去(穩定產生越來越多的活細胞),還懸賞了50英鎊給第一個發現可無限繁殖圖案的人。這樣的圖案很快就被美國數學家比爾.高斯帕(Bill Gosper)發現了,他設計了一種可以不斷產生滑翔翼的裝置,稱為滑翔翼機關槍(glider gun),之後數學家又發現更多可以不斷發射出太空船的構造,仿照高斯帕原本取的名字統稱為「槍」(guns)。另外一般的太空船,船過水無痕,但有些特殊的太空船會邊走邊「慶煙」,在軌跡上留下「廢氣」,被數學家暱稱為「蒸汽火車」(puffer train)。

Gosper's glider gun (來源)
Gosper’s glider gun。圖/wikipedia

除了以上的「生物」之外,還有可把其他生物吃掉的大胃王(eaters)、可以反射太空船的反射板(reflectors)、甚至可以邊走邊產生無數「二級結構」,這些二級結構又可以不斷產生「三級結構」,使活細胞數量成二次方生長的繁殖器(breeder)等等多采多姿的不同結構。數學家與電腦科學家利用這些結構的組合,可以在生命遊戲中製造相當於現實生活中的許多機械。

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一台繁殖器(來源)
一台繁殖器。圖/wikipedia

生命遊戲的應用

讀到這邊,大家可能會出現一些疑惑:這種純粹欣賞的零玩家遊戲,除了當螢幕保護程式之外,有什麼具體用途嗎?首先由於生命遊戲規則簡單,卻能產生非常複雜的結果,因此不論是初學者或高階程式設計者都經常接觸它。假如記憶體和運算時間沒有限制,生命遊戲可以用來模擬所有的運算過程;換句話說生命遊戲本身就等於一台電腦。筆者也是在大學的基礎 MATLAB 程式設計課程中,首次認識生命遊戲的,最近重新讀到,頓時興致大發,就在生命遊戲中建立一個泛科學跑馬燈:

生命遊戲屬於一個更大範疇的模型──細胞自動機(cellular automaton),泛指所有規律格狀的系統,每格處於有限種類的狀態,而這些狀態是由上一世代的相鄰格子狀態來定義出來的。細胞自動機依照演化方式可粗略分成 4 大類,其中最複雜的第 4 類中,幾乎所有初始狀態都會演化成複雜、渾沌和接近隨機的狀態,生命遊戲也屬於第 4 類。由於以上的特性,細胞自動機可以模擬生物過程、物理粒子的交互作用,甚至地理學、經濟學和社會學;甚至有不少科學家提出了一個問題:整個宇宙是否也是個細胞自動機呢?

織錦芋螺(Conus textile)外殼顯示出如細胞自動機般的外觀
織錦芋螺(Conus textile)外殼顯示出如細胞自動機般的外觀。

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1986 年法國藝術家奧利維爾.奧柏(Olivier Auber)更提出了「真人版」生命遊戲──Poietic Generator:在傳統生命遊戲中,每個細胞下一回合的命運,純粹由鄰近的細胞決定;而在 Poietic Generator 中,每位玩家一次可以更改點陣圖中其中一格的顏色,由不同玩家透過網路連線共同創作。在這個遊戲中,沒有所謂的輸贏,主要的目標在欣賞和參與大家的創作過程,共同創造出動態的藝術品。

X-00
Poietic Generator X-00

想玩玩看生命遊戲嗎?網路上有許多利用 JavaScript 寫成的模擬器,另外假如想要深入了解生命遊戲和更多規則各異的細胞自動機,筆者建議下載 Golly 這個免費模擬器,在電腦、iPad與Android多平台上都可以使用喔!

參考文獻

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艾粒安鈉
7 篇文章 ・ 1 位粉絲
主修有機合成。對化學、天文、幾何學、地理、氣候、統計學、語言學、心理學、社會學、音樂和烹飪都有興趣。不願一生為學術研究爆肝,而熱愛為感興趣的學科認真寫科普文章,並用創意比喻和爛梗讓大家喜歡科學。多元性別,最高心跳210,海豚音到重低音一手包辦。