「每天有 10,000 名嬰兒潮出生的人年滿 65 歲。」——《紐約時報》,2014 年 8 月 1 日
「每月有 8,000 名嬰兒潮出生的人年滿 65 歲。」——《紐約時報》,2016 年 5 月 7 日
每天都會有幾千份不同的報紙刊登這樣的報導:「每『某段時間』有『多少』『某族群』『如何』。」許多報導內容都與某個「里程碑」(milestone) 相關,或是一生只會發生一次的事,例如出生、死亡或特定年齡的生日。
你對每月有多少嬰兒潮出生的人年滿 65 歲有任何概念嗎?我其實也完全沒概念。所幸我們往往可以理性推論出,這些陳腔濫調的說法是否合理。而在本例中,甚至能夠找出上述哪一則報導的說法基本上正確,而哪一則報導肯定錯誤。
什麼是利特爾法則?
其中一種方法是根據稱作利特爾法則 (Little’s Law) 的經驗法則。它是一種守恆定律 (conservation law),說明經過某些處理過程的事物數量、事物抵達某處理階段的速度,以及處理過程所花費時間長短,三者之間的關係。
以下舉一個簡單例子,你就能輕鬆記住這個法則,並且用來檢視你的思路。想像一間有「1,000 名」學生的學校;每名學生入學後會就讀「4 年」,然後畢業;如果忽略輟學生和轉學生,則每個年級會有「250 名」學生,如圖所示。
利特爾法則把上述 3 個數字的關係連結起來:總共 1,000 名學生等於每年級 250 名學生乘以 4 年。1,000 除以 250 得到 4,1,000 除以 4 得到 250,而 250 乘以 4 則得到 1,000。單就上述例子來說,這樣的關係現在看來顯而易見,但利特爾法則說明的關係,卻是由麻省理工大學史隆管理學院 (MIT Sloan School of Management) 的利特爾 (John Little) 教授,於 1954 年第一次提出。
接下來就使用利特爾法則來估算,每天有多少嬰兒潮出生的人年滿 65 歲吧。為了簡化計算,首先假設美國人口為 3 億人,也就是正在「處理過程中」的人數。「處理過程」指的是一個人的一生。假設每個人活到 75 歲,則 75 年就是「處理時間」。上述數字其實過度簡化,原因是有些人英年早逝,而有些人則長命百歲;此外,人口估算的方法也忽略了遷入、遷出和出生率,但目前為止,這個估算數字已經夠好。
如果將 3 億除以 75,會得到各年齡組別都有 400 萬人,這個數字同時也是抵達率 (arrival rate):每年 400 萬人出生;以及離開率(departure rate):每年 400 萬人死亡。同時 400 萬人也是每年抵達任何年齡里程碑的人數,其中就包含年滿 65 歲。如圖 7.2 所示,包含 65 歲在內,任何特定年齡的人數都是 400 萬人。
將 400 萬除以「1 年(400 天)」,可以得到每天 10,000 人。但實際上 1 年只有 365 天,也就是比 400 天少了 10%,所以可以將 10,000 增加 10%,得到每天達到任何年齡里程碑的人數約為 11,000 人的結論。
因此,「每天有 10,000 名嬰兒潮出生的人年滿 65 歲」的說法正確,而「每月有 8,000 名嬰兒潮出生的人年滿 65 歲」則錯誤,「每月」應該改為「每天」。
使用之前,先了解數字是怎麼來的
相同類型的推理也可以應用到其他地方:
「今年的每一天,都約有 1,800 人會慶祝最具意義的生日(65 歲生日),這也意味著他們即將退休。」——《每日郵報》(Daily Mail),2011 年 8 月 2 日
英國人口約為 6,500 萬人,因此可以假設人們的壽命為 65 年,藉此簡化計算。這代表每年有 100 萬名英國人年滿 65 歲,因此每天約有 2,700 人年滿 65 歲。然而,英國的預期壽命略為超過 80 年,因此更接近的數字應該是每天 2,300 人年滿 65 歲(6,500 萬除以 80 再除以 365)。這個數字比報導中的 1,800 人還要多,但相差不大,報導數字還在合理範圍內。
為了進一步確認,我另外找了一些獨立資料來源。許多報導都提到,出生於 2013 年 7 月 22 日的喬治王子(Prince George),是那天出生的「2,200 個嬰兒」中的其中一個。當然喬治王子很可能成為未來英格蘭的國王,身分和其他嬰兒顯然不同。
請注意,以上為了計算方便,都是使用近似數字,如有必要,之後還可以進一步進行更精確的計算。例如,我並不確定報導包含英國的哪些區域,有可能實際上相關的人口是 7,500 萬人,這樣的話就可以先假設預期壽命為 75 年,便於計算,然後在更確定實際的人口數後,進行上調或下修。
簡化數字的方法,確實能幫助你更容易計算數字。無論計算任何數字,你都應該先尋找簡化數字的方法,之後再來考慮,是否需要計算更精確的數字。
——本文摘自《一輛運鈔車能裝多少錢?:輕鬆培養數感,別再被數字迷惑》,2023 年 6 月,三民出版,未經同意請勿轉載。